Normalhöhen in Baden-Württemberg, Arbeiten zur Einführung von Höhen im System des Deutschen Haupthöhennetzes von S. Schneid und H.

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1 ormlhöhen n Bden-Württemberg rbeten zur Enführung von Höhen m System des Deutschen Hupthöhennetzes 99 von S. Schned und H. Mechle Zusmmenfssung In Bden-Württemberg werden demnächst de Höhen n enem neuen Höhensystem nämlch ormlhöhen m Deutschen Hupthöhennetz 99 (DHH9) ls Grundlge für lle künftgen Höhenbestmmungen engeführt. Dmt werden de set den 7er Jhren des vergngenen Jhrhunderts gültgen mtlchen Höhen n Bden-Württemberg m System des Deutschen Hupthöhennetzes 9 (DHH) bgelöst. Im neuen Höhensystem wrd durch Enbezehung grvmetrscher Messungen bem räzsonsnvellement der Enfluss des ttsächlchen Erdschwerefeldes uf de Bestmmung der Höhenfestpunkte berückschtgt. Im Folgenden werden de gänggen Höhensysteme ennder gegenübergestellt und de Vorgehenswesen zur Berechnung der ormlhöhen beschreben. De Möglchket ener Überführung durch Trnsformton wrd prxsnh nchgewesen. Deses Verfhren st uch bestens geegnet Höhenpunkte mt ormlhöhen n örtlchen Höhensystemen wrtschftlch und genu genug zu überführen. Enführung De Lndesvermessungen der lten Bundesländer erneuerten n der gemensm durchgeführten Messkmpgne hr gesmtes vellementnetz. Ordnung. och während der Vorberetungen zur Enführung deses geplnten neuen Höhensystems (DHH 85) km es 99 zur Wederverengung Deutschlnds. Zu desem Zetpunkt bestnden n beden Telen Deutschlnds unterschedlche Höhensysteme. In den lten Bundesländern stnden de uf den msterdmer egel bezogenen normlorthometrschen Höhen des DHH zur Verfügung. In den neuen Bundesländern rbetete mn set 979 mt den ormlhöhen des Sttlchen vellementnetzes 976 (S76) m veu des egels Kronstdt be St. etersburg mt enem um c. 5 cm höher ls n msterdm legenden mttleren Meeresspegel. Glechzetg entstnd m Zuge der europäschen Integrton uch der Gednke de velen unterschedlchen Höhenbezugssysteme n den nderen europäschen Stten durch ene gemensme Grundlge zu ersetzen und dbe ormlhöhen zu benutzen. Konkrete Beschlüsse konnten jedoch bs heute noch ncht gefsst werden. De dv (rbetsgemenschft der Vermessungsverwltungen der Länder der Bundesrepublk Deutschlnd) beschloss m Oktober 99 für ds gesmte Gebet der neuen Bundesrepublk Deutschlnd en enhetlches ormlhöhensystem enzuführen. Dzu wurden m Jhre 99 de beden ncht zusmmenhängenden Höhennetze n Ost und West durch vellements verbunden und ls en etz zwngsfre usgeglchen. Deses neue gesmtdeutsche vellementnetz erhelt de Bezechnung Deutsches Hupthöhennetz 99. Ds Dtum des DHH9 wurde uf den ullpunkt des ehemlgen egels msterdm bezogen.

2 En weterer Beschluss der dv verpflchtete de Lndesvermessungsämter de DHH9- Höhen für sämtlche Höhenfestpunkte n den Folgenetzen zu berechnen und zu veröffentlchen. De n Bden-Württemberg bevorstehende Enführung der ormlhöhen ls mtlche Höhen gbt nlss de Möglchketen und de notwendgen rbeten der Höhenberechnungen bzw. Trnsformtonen drzustellen. Vorusgehend snd de gebräuchlchen Höhensysteme und deren Chrkterstk zusmmengestellt. Höhen und Höhensysteme Im desem Kptel werden de unterschedlchen Höhendefntonen de n der rxs uftreten erläutert. Des snd: de ellpsodsche Höhe h we se z.b. mt GS-Messungen bestmmt wrd de geopotentelle Kote C mnchml ls ntürlche Höhe bezechnet de orthometrsche Höhe H O de ormlhöhe H de m neuen System DHH9 verwendet wrd und de normlorthometrsche Höhe H O de bsher n den lten Bundesländern verwendet wurde.. Ellpsodsche Höhen bb. : Ellpsodsche Höhe h enes unktes De mthemtsche Festlegung enes unktes uf der Erdoberfläche erfolgt üblcherwese durch en Koordntentrpel bestehend us ener Brete ener Länge und ener Höhe. De Brete und Länge bezehen sch herbe uf en Rottonsellpsod und werden n der Geodäse ls geodätsche Brete B und geodätsche Länge L bezechnet. Im Flle von GSS (Glo-

3 bl vgton Stellte System) z. B. GS-bserte Koordnten B und L st deses Ellpsod stndrdmäßg ds WGS84 (World Globl System 984) ene mthemtsch defnerte Fgur welche globl bestmöglch n den mttleren Meeresspegel ngepsst st. Bezeht mn de Höhe enes unktes we sene geodätsche Koordnte Brete B und Länge L uf deses Ellpsod so erhält mn de ellpsodsche Höhe h ls den metrschen bstnd von der Ellpsodoberfläche zum unkt entlng der Flächennormlen (bb. und ). ufgrund der ren geometrschen Festlegung (Tb. (-9)) der Bezugsfläche sprcht mn uch von geometrschen Höhen. bb. : Bezehung zwschen ellpsodscher Höhe h und Gebruchshöhe H n enem unkt In den mesten geodätschen nwendungen st de Höhe über dem Ellpsod jedoch von kenerle Interesse. De n enem ntonlen System defnerten Höhen oft ls Gebruchshöhen bezechnet snd bezogen uf en vertkles Dtum ene klr defnerte Höhenbezugsfläche (HBF) de n der Regel den mttleren Meeresspegel nnähert und n mndestens enem unkt zugänglch st dem Dtumspunkt (bb. ). De ellpsodschen Höhen snd mttels moderner GSS-Verfhren zum Bespel GS n Verbndung mt SOS (dv 5) ohne Mehrufwnd recht genu zu bestmmen. De Bezehung zwschen den ellpsodschen Höhen h und den Gebruchshöhen H lutet: h H (-) HBF wobe HBF der lotrechte bstnd des Fußpunktes von uf der Höhenbezugsfläche zum Referenzellpsod st (bb. ).

4 . Geopotentelle Kote De fundmentle Idee dss ene Fläche de zunächst ls horzontl ngenommen wrd ene konstnte Höhe n jedem unkt erhlten soll wrd enzg durch ds otentl W erfüllt. Ene Fläche mt konstntem otentl W wrd deshlb Äqupotentlfläche gennnt. Ds otentl W enes unktes bezogen uf ene Referenzfläche mt WW dem vertklen Dtum lso de otentldfferenz C W W C mt C (-) C wrd ls geopotentelle Kote mnchml uch ls ntürlche Höhe C bezechnet. De Äqupotentlfläche mt dem otentlwert W und der geopotentellen Kote C wrd Geod gennnt und st ls physklsche Höhenbezugsfläche zu nterpreteren. Äqupotentlflächen verlufen.. ncht prllel zuennder unter nderem wegen der ellpsodsch bgepltteten Mssenvertelung und der unenhetlchen Dchte m Erdnneren. Dher knn hnen ken enhetlcher metrscher Wert zugeordnet werden. Folglch snd de Ergebnsse enes geometrschen vellements wegebhängg (Heck ). De geopotentelle Kote C enes wrd durch Kombnten von geometrschem vellement und Schweremessung we folgt bestmmt: C g dn gk nk C gk δ δn (-) k Herbe bedeutet δnk der nvellerte Höhenuntersched zwschen den Wechselpunkten k und k und g k st der Mttelwert der gemessenen Schwere n k und k. C st de geopotentelle Kote enes belebgen nschlußpunktes. In der rxs wrd de geopotentelle Kote C ufgrund hrer unhndlchen Enhet (m² s ) nur für wssenschftlche Zwecke engesetzt. Zur Umrechnung n de prxstuglche Enhet Meter wrd se durch enen zunächst belebgen Schwerewert g (m² s ) dvdert. Je nch Whl des Schwerewertes g erhält mn unterschedlche physklsch defnerte Höhentypen: de dynmsche Höhe H D de orthometrsche Höhe H O oder de ormlhöhe H (Tb. ). Zudem st be den Höhentypen H O und H der entstehende Höhenwert uch geometrsch defnert bzw. nterpreterbr.. Dynmsche Höhe Zur Berechnung der dynmschen Höhe wrd de geopotentelle Kote C enes unktes durch enen konstnten Schwerewert γ dvdert (Tb. (-)). Herbe st γ grundsätzlch belebg wählbr. Üblcherwese wrd γ ls Funkton der geodätschen Brete B lso ls γ (B) mt der mttleren Brete B 45 berechnet. De Dvson der geopotentellen Kote C durch γ bedeutet enzg ene Trnsformton der Enhet von m² s n m und st physklsch ncht begründbr. 4

5 Für unkte mt glechem otentl W erhält mn mmer folglch de gleche dynmsche Höhe H D. Dmt st zwr de Forderung nch glecher Höhe für ene Fläche mt stehendem Wsser erfüllt ber wegen der chtprlleltät der Äqupotentlflächen wären de dynmschen Höhen H D uch klenräumg nur mt ufwendgen schwerebhänggen Korrekturen durch en vellement reproduzerbr. In der rxs spelt de dynmsche Höhe dher kene Rolle se wrd vorwegend für wssenschftlche Zwecke engesetzt..4 Orthometrsche Höhe Dvdert mn de geopotentelle Kote C enes unktes durch den mttleren Schwerewert g entlng der Lotlne bs zum unkte uf der Referenzfläche des Schwerepotentls (Tbelle (-)) so erhält mn de orthometrsche Höhe H O ls metrsche Entfernung zwschen und entlng der Lotlne (bb. ). De Referenzfläche des Schwerepotentls ds Geod st somt n enem orthometrschen Höhensystem sowohl de physklsche Referenz mt konstntem otentl WW zur Bestmmung der geopotentellen Koten ls uch de geometrsche Referenz. Vernchlässgt mn de Krümmung der Lotlnen so lutet de geometrsche Bezehung zwschen ellpsodscher Höhe h der orthometrschen Höhe H O und der Höhe GEOID des Geods über dem Referenzellpsod (bb. vgl. (-)) O h H. (-4) GEOID D sch de mttleren Schwerewerte g und g n zwe unkten und mt glecher geopotenteller Kote C C n der Regel vonennder unterscheden ht ene ruhende Wsseroberfläche n der Regel kene konstnte orthometrsche Höhe H O. Klenräumg snd de Unterschede jedoch vernchlässgbr. bb. : Defnton der orthometrsche Höhe H O 5

6 De zur Berechnung erforderlche mttlere Schwere g entlng der Lotlne st offenschtlch ncht für Messungen zugänglch. Dmt snd nnhmen über den Dchteverluf m Erdnneren erforderlch. Es gbt zhlreche Vrnten der orthometrschen Höhe de gebräuchlchste st wohl de nch Helmert (Torge ). Orthometrsche Höhen werden n engen Ländern Europs verwendet u.. n Österrech Itlen Großbrtnnen Spnen ortugl Ungrn Fnnlnd und n der Schwez..5 ormlhöhen Be der Bestmmung der physklsch defnerten und metrschen ormlhöhe werden Hypothesen zur Dchtevertelung m Erdnneren vermeden. Dzu wrd ds Schwerefeld der Erde ngenähert durch en ormlschwerefeld welches von enem Rottonsellpsod erzeugt wrd n der Regel dem GRS8 (Globl Reference System 98). Ene Inkonsstenz zum WGS84 besteht be glechen großen Hlbchsen und Dfferenzen von wenger ls enem Mllmeter n der klenen Hlbchse prktsch ncht. Dem Ellpsod GRS8 wrd de Msse der Erde zugeordnet und sene Oberfläche st ene Äqupotentlfläche des ormlschwerefeldes U welches es selbst erzeugt. Zur Defnton enes solchen veuellpsodes snd 4 Fundmentlprmeter erforderlch de große Hlbchse der dynmsche Formfktor J de Wnkelgeschwndgket ω und de geozentrsche Grvttonskonstnte GM (Torge ). lle nderen Größen des Ellpsodes snd von den Fundmentlprmetern bletbr. De Zuordnung des ormlschwerefeldes zum ttsächlchen Schwerefeld errecht mn durch Glechsetzen der otentlwerte der Referenz-Äqupotentlflächen U W. Ddurch knn mn jedem unkt (B L W ) uf der Erdoberfläche enen otentlwert U m ormlschwerefeld zuordnen. bb. 4 : Defnton der ormlhöhe H 6

7 Zur Berechnung sener ormlhöhe wrd enem unkt uf der Erdoberfläche mt dem durch vellement und Grvmetre bestmmten otentl W en unkt Q mt dem berechneten ormlpotentl U Q derrt zugeordnet dss de Bedngung W U Q (-5) erfüllt st (bb. 4). De Fläche m ormlschwerefeld für welche de Bezehung (-5) n jedem unkt glt wrd Tellurod gennnt. De geopotentelle Kote st nun uch us dem ormlschwerefeld bestmmbr (vgl. (-)) C U U. (-6) Q Um en metrsches Mß der Höhe zu erhlten dvdert mn de geopotentelle Kote C durch de mttlere ormlschwere γ längs der normlen Lotlne vom Tellurodpunkt Q zum unkt Q uf dem Referenzellpsod (Tbelle (-)). Mn erhält so de ormlhöhe ls metrschen Entfernung von Q nch H Q entlng der normlen Lotlne. De Krümmung der normlen Lotlne st vernchlässgbr gerng so dss se mt der Ellpsodnormlen glechgesetzt werden knn.der metrsche bstnd zwschen dem Tellurodpunkt Q und dem unkt n der Erdoberfläche wrd Höhennomle ζ gennnt (bb. 4). Trägt mn de ormlhöhe m unkt entlng der Ellpsodnormlen nch unten b errecht mn ds Qusgeod ls geometrsche Höhenbezugsfläche. Entsprechend st de Höhennomle ζ nun dentsch mt dem bstnd Qusgeod zwschen Qusgeod und dem unkt Q uf dem Ellpsod und es glt de Bezehung (vgl. (-) und (-4)) h H H ζ. (-7) QUSIGEOID Ds Qusgeod st kene Äqupotentlfläche des Schwerefeldes und ht kene physklsche Bedeutung. hysklsche Referenzfläche zur Bestmmung der geopotentellen Koten blebt ds Geod mt WW. We be den orthometrschen Höhen so st uch be den ormlhöhen de Bedngung nch stehendem Wsser zwschen unkten glecher Höhe theoretsch ncht bzw. nur klenräumg erfüllt. ormlhöhen werden heute n zhlrechen Ländern Europs verwendet z.b. n velen Ländern des ehemlgen Ostblocks Russlnd sowe Chn Frnkrech und Schweden..6 ormlorthometrsche Höhen Enen Sonderfll stellt de normlorthometrsche Höhe dr. ufgrund fundmentler technscher Schwergketen und des hohen wrtschftlchen ufwndes zur Messung von Schwerewerten g wurde n der Vergngenhet de verenfchte Defnton der normlen geopotentellen Kote 7

8 C γ δn k k (-8) be der Enrchtung von Grundlgenetzen verwendet. Herbe werden de gemessenen Schwerewerte durch theoretsche Schwerewerte γ us enem verenbrten ormlschwerefeld ersetzt. Ds bedeutet de Berückschtgung der Schwereänderungen nfolge der bplttung der zugrundegelegten ormlfgur der Erde. Durch Dvson der normlen geopotentellen Kote durch enen mttleren ormlschwerewert O γ (Tbelle (-)) erhält mn de normlorthometrsche Höhe H. Wegen der Kombnton von theoretschen ormlschwerewert γ und gemessenem Höhenuntersched δn n hrer Defnton st de normlorthometrsche Höhe weder endeutg physklsch noch endeutg geometrsch defnert und dmt nur wegebhängg bestmmbr. De Höhenbezugsfläche de O mn durch btrgen der normlorthometrschen Höhen enes etzes mt den unkten entlng der normlen Lotlne nch unten erhält st dher genugenommen nur punktwese defnert und dmt unstetg. Se wrd ls ormlnull () bezechnet. De normlorthometrschen Höhen des Deutschen Hupthöhennetztes 9 (DHH) Höhen m "neuen System" oder "Höhen über " gennnt hben sch n der rxs bewährt. Erst der Bedrf ener exkten und stetgen Höhenbezugsfläche be der Gebruchshöhenbestmmung modernen GSS-Verfhren erfordert de Umstellung uf en physklsches Höhensystem. H.7 Verglech der Höhensysteme Tb. : Überblck über de unterschedlche Defnton von Höhen. Defnton Bezechnung Bestmmung Geometrsch Ellpsodsche Höhe physklsch Sonderfll h h Z f ) (-9) ( Ellpsod Ellpsod Dynmsche D C Höhe H mt γ γ ( B ) z.b. B 45 γ Orthometrsche Höhe ormlhöhe H H O C g C γ Q (-) mt g g dn O (-) H mt γ Q H Q γ dn Q (-) De unterschedlchen Defntonen der verschedenen Höhentypen snd n Tb. zusmmengestellt. ormlorthometrsche Höhe H O O C H ; mt γ γ ( B ) (-) γ 8

9 De ellpsodschen Höhen scheden ls Gebruchssystem us d se ren geometrsch ls Flächennormle uf en Ellpsod defnert snd. Dmt fehlt jede Verbndung zum ttsächlchen Erdschwerefeld. ufgrund der unterschedlchen egung von Referenzellpsod und Äqupotentlflächen wären be enem vellement Wdersprüche bs zu cm / km möglch. uch de dynmschen Höhen snd für de rxs ungeegnet d de polre Konvergenz der veuflächen ncht berückschtgt wrd. Sttt dessen werden de geopotentellen Koten durch enen konstnten Schwerewert dvdert. De dynmschen Höhen snd dher ncht durch en vellement reproduzerbr. Ebenso scheden de normlorthometrschen Höhen für en modernes Höhensystem us denn ds nur m normlen Schwerefeld berechnete Höhenergebns st bhängg vom vellementweg ( theoretscher Schlefenschlußfehler ). Des weteren st der Verluf der Bezugsfläche be enen normlorthometrschen Höhensystem ncht stetg und dher für moderne GSS-Verfhren ungeegnet. uf de Frge welches der n Frge kommenden physklsch defnerten Höhensysteme orthometrsche Höhen oder ormlhöhen für en ntonles Referenzsystem geegneter st gbt es kene endeutge ntwort. Bede Systeme stützen sch uf de geopotentellen Koten dmt snd de jewels bzuletenden Höhen wegeunbhängg bestmmbr. Der entschedende Untersched legt n der Bestmmung des zur Umrechnung der geopotentellen Kote erforderlchen Schwerewertes. Während de mttlere ormlschwere γ endeutg us den fundmentlen rmetern des Referenzellpsodes berechnet werden knn (-) snd zur Berechnung der ttsächlchen Schwere g entlng der Lotlne Dchtemodelle erforderlch. Des bedeutet dss der ufwnd zur Berechnung strenger orthometrscher Höhen sehr vel größer st ls zur Berechnung von ormlhöhen. eben weteren theoretschen Egenschften (Ilk ) sollte en Höhensystem uch prktschen nsprüchen genügen. So sollte en Höhensystem den Zwecken möglchst veler nwender denen und möglchst lnge Zet Bestnd hben. Ferner muss gelten dss en neues System kenen Enfluss uf de täglchen Vermessungsrbeten hben drf d.h. vellements n klenräumgen Gebeten müssen ohne Schweremessungen durchführbr sen. De wesentlchen Merkmle bzw. Unterschede zwschen orthometrschen Höhen und ormlhöhen snd nochmls n Tb. zusmmengefsst (vgl. Mrt und Schltter ): Tb : Merkmle der orthometrschen Höhen und der ormlhöhen Merkmle orthometrsches Höhensystem ormlhöhensystem Strenges System mt Verbndung zum otentl j j Hypothesenfrees System nen j enfche Berechnung nen j Höhen nhe be nvellerten Höhen nen j physklsche Bedeutung der Referenzfläche j nen Geometrsche Bezehung zu ellpsodschen Höhen j j 9

10 . Entstehung des Deutschen Hupthöhennetzes 99 Be der Dskusson zur Enführung enes neuen Höhensystems n Deutschlnd glt es us der Scht der Lndesvermessung und der wssenschftlchen Insttutonen de folgende nforderungen zu erfüllen:. De reduzerten vellementergebnsse müssen wegeunbhängg sen.. De n den vellementergebnssen nzubrngenden Reduktonsbeträge sollen so klen sen dss örtlche Höhenmessungen ohne ene Redukton n deses Höhensystem engerechnet werden können.. Es soll ene endeutge Bezehung zwschen den neuen Höhen und den ellpsodschen Höhen bestehen. 4. De neuen Höhen dürfen von den -Höhen kenesflls so strk bwechen dss topogrphsche Krtenwerke dvon betroffen snd. 5. De Berechnung der neuen Höhen soll möglchst ohne Zuhlfenhme von Hypothesen möglch sen. 6. Ds neue Höhensystem soll enschleßlch senes veus nch Möglchket uf de Höhensysteme der chbrstten bgestmmt sen. Dbe snd nsbesondere de Verhältnsse be der Wederverengung Deutschlnds zu berückschtgen. 7. De vorgesehene free usglechung der Wederholungsnvellements m DHH soll n geopotentellen Koten erfolgen. 8. Ds veu für de etzusglechung st us dem Verengten Europäschen vellementnetz (UEL) bzuleten. De dv fsste uf ntrg des rbetskreses Höhen- und Schwerefestpunktfeld m Oktober 99 für de Höhenmessung n Deutschlnd enen wchtgen Beschluss. De wesentlchen Inhlte deses Beschlusses snd:. Es erfolgt ene Berechnung des gesmtdeutschen vellementnetzes. Ordnung mt der Bezechnung "Deutsches Hupthöhennetz 99 (DHH9)"; de Höhen werden dbe ls "Höhen über ormlhöhennull (H)" bezechnet.. Ds DHH9 wrd gebldet us den jewels jüngsten v-etzen.ordnung der lten und der neuen Bundesländer ergänzt durch neu gemessene Verbndungslnen zwschen den beden etzen.. Es erfolgt ene zwngsfree usglechung des DHH9 n geopotentellen Koten. 4. Ds veus des DHH9 wrd festgelegt durch nschluss n ds europäsche vellementnetz UEL Zur Stblserung der Rndschlefen des DHH9 werden vellementlnen ußerhlb Deutschlnds n de etzusglechung hnzugezogen. 6. De Höhen der unkte des DHH9 werden ls ormlhöhen berechnet. 7. uch für de vellementpunkte nederer Ordnungen werden ormlhöhen m System des DHH9 berechnet. 8. Der chwes der unkte des DHH9 und der unkte nederer Ordnungen erfolgt n den mtlchen chwesen der vellementpunkte unter der Höhensttuszhl Es besteht ene Möglchket der Weterführung bsher gültger Höhen von vellementpunkten n den v-chwesen unter entsprechenden Höhensttuszhlen.

11 . Berechnung der Höhen m DHH9 (v. Ordnung) Ds DHH9 beruht n den lten Bundesländern uf den Wederholungsmessungen der Jhre /987 und n den neuen Ländern uf den Messungen für ds Sttlche vellementnetz 976. Zwschen den beden Messungsblöcken führten de Lndesvermessungsbehörden unmttelbr nch der Wederverengung Deutschlnds Verbndungsnvellements durch. Glechzetg wurden Schweremessungen entlng der vellementlnen usgeführt. De uswertung übernhm ene zentrle Rechenstelle. Ds edersächssche Lndesverwltungsmt - bt. Lndesvermessung - berechnete n llen Bundesländern Höhen m DHH9. Ds Insttut für ngewndte Geodäse (IfG) ußenstelle Lepzg (heute Bundesmt für Krtogrphe und Geodäse (BKG)) führt ene unbhängge Kontrollrechnung durch. Zur Defnton enes physklschen Höhensystems st neben der Festlegung des Typs der physklsch defnerten metrschen Höhe uch noch de Bestmmung des vertklen Dtums erforderlch. Der Dtumspunkt n der sonst freen usglechung des DHH9 wr der v r Krche Wllenhorst (bb. 5) der ls Knotenpunkt des Verengten Europäschen vellementsnetzes 986 (UEL86) n den ehemlgen egel n msterdm orml msterdms el () mt der geopotentellen Kote 9686 m - s - ngeschlossen st. bb. 5: Krche n Wllenhorst (be Osnbrück) mt der Vermrkung des Ursprungs des vertklen Dtums des DHH9 De usglechung umfsste c. 55 vellementpunkte. Ordnung n 87 v- Schlefen mt 468 Knotenpunkten. De herbe errechte mttlere reltve Genugket für de Höhen beträgt c. 8mm km. nschleßend wurden n enem zweten Schrtt für de nländschen Lnenpunkte geopotentelle Koten berechnet. De endgültgen Höhen der vellementpunkte des DHH9 wren gemäß dv-beschluss ls ormlhöhen H nch der Theore von Molodensk zu berechnen. Dzu wrd de geopotentelle Kote C durch den mttleren ormlschwerewert zwschen dem Tellurodpunkt Q und dem Fußpunkt Q uf dem Ellpsod (bb. 4) dvdert. De mttlere ormlschwere γ de of-

12 fenschtlch selbst wederum von der ormlhöhe H bhängt wrd durch Tylor-Entwcklung m Ellpsodpunkt Q drgestellt. Mt der ormlschwere γ n Q nch Somgln (Torge ) erhält mn de ormlhöhe Q H γ Q γ H h C γ h ( H ) K. (-) In der rxs kommt häufg de verenfchte nch Vgnl (954) bennnte tertve Formel zum Enstz: H γ Q C 54 mgl H. (-) Zur Bestmmung ener von ormlhöhendfferenz zweer unkte und wrd zu der rohen vellementdfferenz ene ormlkorrekton δh ddert: H H δ nk δh (-) De ormlkorrekton δh δh g γ ( 45 ) erhält mn us: γ γ ( 45 ) γ γ ( 45 ) k δnk H H γ ( 45 ) γ ( 45 ) γ ( 45 ) (-4) Herbe bedeutet δnk wederum der nvellerte Höhenuntersched und g k der Mttelwert der gemessenen Schwere zwschen den Wechselpunkten k und k. Für lokle vellements nederer Ordnungen st de ormlhöhenredukton n der Regel vernchlässgbr. De Berechnungen der "Höhen über ormlhöhenull (H)" konnten m Jhre 994 bgeschlossen werden. Se unterscheden sch n dentschen unkten nur um enge Zentmeter von den Höhen des DHH ledglch be großen Höhenunterscheden bs Dezmeter. Dfferenzen uf dem Gebet von Bden-Württemberg sehe bb... Berechnung der Höhen n den Folgenetzen De ormlhöhenbestmmung für de vellementpunkte der Folgeordnungen wr von den enzelnen Ländern selbst zu durchzuführen. De dv ht den Termn zu dem n llen Bundesländern v Höhen m System des DHH9 vorlegen sollten uf den.. festgelegt. In Bden-Württemberg konnten de Umrechnungen n llen Ordnungen bs dhn noch ncht fertggestellt werden wel de Umstellung der Krte der v n de v-dte (Dtenbnk) und de erforderlchen Schweremessungen noch ncht bgeschlossen wren.

13 ormlhöhenberechnungen snd zwe rten möglch: Strenge Berechnung über geopotentelle Koten bzw. ormlhöhenreduktonen. Herzu werden neben Koordnten und Schwerewerten bzw. Schwerenomlen für lle v uch de gemessenen Höhenunterschede benötgt. De erforderlchen Schwerewerte können uch nterpolert werden. Herrchsche Enrechnung der vellementpunkte nederer Ordnungen durch Trnsformtonen. Be ener derrtgen Berechnungsmethode snd kene gemessenen Höhenunterschede erforderlch. bb. 6: Deutsches Hupthöhenetz 99 (DHH9) mt Drstellung der Dfferenzbeträge zu den Höhennetzen der chbrländern nfolge unterschedlcher egelnschlüsse (Weber )

14 .. Strenge Berechnung De Berechnung von ormlhöhen erfolgt n Bden-Württemberg für ds Zwschennetz. Ordnung ds v-etz. Ordnung und n wengen Fällen uch ds v-etz. Ordnung streng über gespecherte Lnennsätze (Orgnlmesswerte). De Berechnungen wurden mt Hlfe des Lnennvellementusglechungsprogrmmes (LIIV C Verson) usgeführt. Es wurde set 976 bem Lndesvermessungsmt RW entwckelt und stetg den fchlchen nforderungen ngepsst. Set Frühjhr 5 betet de ktuelle Wndows-Verson de folgenden Lösungsmöglchketen: uswertung lnen- und netzförmg ngelegter vellements utomtserte Bldung der Lnen sowe Zusmmenfügen des etzes Free usglechung (Dgnose von etzspnnungen und nschlusshöhen) Zwngsusglechung unter freer Whl der nschlusspunkte Free Whl der Höhensysteme unter Berückschtgung der Schwerekorrektonen Dtenfluss von der Messung bs zum dgtlen chwes der v und Erzeugung ener lotdte zum Zechnen enes etzrsses. Ds rogrmm bezeht sene Engbedten us Dteen nämlch der Streckendte mt llen Dten de be der Verbndung zweer ufennderfolgender v von Bedeutung snd nsbesondere dem Höhenuntersched der unktdte mt llen zur Berechnung benötgten Dten und solchen zusätzlchen Dten de zur endeutgen chwesführung n der v-dte (Dtenbnk) notwendg snd und der Verschlüsselungsdte n der lnge klrschrftlche ngben hnterlegt snd. Für de Bestmmung der Höhenfestpunkte snd de dgtl vorlegenden vellementergebnsse schlefenwese ener usglechung zu unterzehen. In LIIV werden de uswertungen n Verfhren über de Messdten (enthlten n der Streckendte) und den unktdten (unktdte und chwesdte) durchgeführt. Der Berechnungsbluf wrd über rmeter gesteuert. Dese können nterktv vom Berbeter für ds Verfhren engestellt werden. LIIV sucht zu den n der Streckendte vorkommenden unktkennzechen de entsprechenden Dtensätze us der unktdte n denen sch wetere ngben we Höhen Schwere me Koordnten usw. befnden. De Defnton der nschlusspunkte knn uch uf grphscher Bss vorgenommen werden d ds etzbld mt unktlgen ummererung und Streckenverbndungen uf dem Bldschrm überschtlch drgestellt wrd Für ene Knotenpunktusglechung werden lnenhft de Messungselemente von Knotenpunkt zu Knotenpunkt zusmmengefügt und ls "Beobchtungen" n de usglechung engeführt. Zur Bestmmung der Zwschenpunkte werden de ermttelten Verbesserungen für de "Lnenstücke" proportonl der Messweglängen uf de enzelnen Strecken vertelt. De Berechnung der ormlhöhe erfolgt nch der Methode von Vgnl (-)... Berechnung über Trnsformtonen De vellementpunkte m v-etz.ordnung mchen c. 6% ller v us. Se können unter wrtschftlch vertretbrem ufwnd nur über ene Trnsformton n ds neue Höhen- 4

15 system übergeführt werden. Flls Verbndungsmessungen zwschen den etzen verschedener Ordnungen wegen etzzerfll fehlen oder n Gebeten mt Fortführungsmessungen kommt usschleßlch ds Trnsformtonsverfhren n Frge. De erste Behndlung des Thems und en Lösungsvorschlg bserend uf der Repräsentton von Höhenbezugsflächen nch der Methode der Fnten Elemente fndet sch n (Jäger 999) sowe (Jäger und Kälber ). Bserend uf desen Beträgen wrd m Folgenden geegnetes Konzept zur Trnsformton theoretsch beschreben und prktsch nhnd enes Bespels vorgestellt. bb. 7: Mthemtsche Bezehung zwschen ormlhöhe H Höhe H O und normlorthometrscher 4 Trnsformton der normlorthometrschen Höhen H O n ormlhöhen H Zur Umrechnung der normlorthometrschen Höhen H O n ormlhöhen H nch mthemtschen Methoden wrd zunächst ene mthemtsche Drstellung der jewelgen Höhenbezugsfläche gesucht. De ormlhöhe H QG wrd dnn bestmmt ndem de Dfferenz der beden Bezugsflächen Qusgeod (QG) und ormlnull () n de normlorthometrsche Höhe ngebrcht wrd (bb. 7): H O QG H. (4-) 4. FEM - Drstellung von Höhenbezugsflächen und deren Dfferenzen Ene Methode de set Jhren erfolgrech zur Repräsentton von Höhenbezugsflächen engesetzt wrd st de Methode der Fnten Elemente (FEM) (Dnter et. l. 996 Jäger et. l. ). ch dem Konzept der "Dgtlen Fnte Element Höhenbezugsfläche (DFHBF)" snd 5

16 für ene Velzhl von Ländern zentmetergenue Repräsenttonen der HBF berechnet und n Dtenbnken bgelegt worden (Jäger und Schned 5; Mechle ). D dmt verbundene mthemtsche Modell fndet sch uch n (Buer ). In nloge zum DFHBF-Konzept wrd m Folgenden en Verfhren zur Berechnung der Dfferenzfläche zu Trnsformton von Höhen zwschen ormlnull (-System) und ormlhöhennull (H-System) hergeletet und nhnd enes Bespels erläutert und getestet. Zur Begnn der Berechnung enes FEM Models wrd ds komplette Gebet n ene belebge nzhl von Mschen untertelt (bb. 9). Vortelhft dbe st de Grphkunterstützung der DFHBF-Softwre nsbesondere de Möglchket der Krtenhnterlegung be der Erzeugung der FEM-Vermschung. Innerhlb jeder Msche wrd de Funkton der Höhenbezugsfläche ls Tylorrehe drgestellt. Ene geegnete Funkton der HBF st herbe de Undulton lso de geometrsche Höhe der HBF über dem Referenzellpsod. ) ( ) ( ) ( )! ( (4-) Herbe bedeuten und de krtesschen ellpsodschen Koordnten ener belebgen rojekton der geodätschen Koordnten B und L. Der Index bezechnet den Entwcklungspunkt der Tylorrehe (Tb. ). Mthlfe der Tylorentwcklung können de Funktonswerte der HBF theoretsch belebg genu uf jeden Fll ber genügend genu berechnet werden. De Entwcklung der Tylorrehe bs zu enem bestmmten Grd n und der Übergng uf de otenzrehe (Tb. ) führen nch usmultplzeren zu dem olynom ( ) n mt p FEM K T [ K ] ; f [ K] n j j j ( p) f p n n n (4-) us numerschen Gründen betet es sch n ls Koordnten enes unktes de Schwerpunktskoordnten n der FEM-Msche enzuführen. us Gründen der Überschtlchket wrd heruf m Folgenden jedoch verzchtet und mt den bsoluten Koordnten () wetergerbetet. Dmt glt und und y. x Der Grd n der Entwcklung sowe de Größe der Entwcklungsumgebung U nnerhlb der de Tylorrehe glt snd zu Begnn enes rojektes ufennder bzustmmen. De Entwcklungsumgebung U entsprcht m vorlegenden Fll der Größe der enzelnen FEM Mschen. ε Zur Repräsentton von Höhenbezugsflächen n ener Genugket von wengen Mllmetern snd bespelswese olynome vom Grd n Verbndung mt ener Mschengröße bs zu (5 x 5) km² geegnet. In Tb. st de geometrsche Bedeutung der Tylorentwcklung sowe der FEM Repräsentton der HBF drgestellt. ε 6

17 Tb. : Geometrsche Interpretton der Tylorentwcklung und der FEM-Drstellung der Höhenbezugsfläche De FEM-Repräsentton der HBF mt olynomen vom Grdes n st nnerhlb ener Msche genu n-ml dfferenzerbr. Dmt de gesmte drgestellte Fläche n jeder Stelle n-ml dfferenzerbr st wrd en Stz von C-Stetgketsbedngungen entlng der gemensmen Knte zweer benchbrter Mschen engeführt. Im Folgenden wrd bespelhft de C -Stetgket lso glecher Funktonswert der HBF entlng der gemensmen Knte hergeletet. usgngspunkt der Überlegung snd zwe benchbrte Mschen und B mt der gemensmen Knte von nch E (bb. 8). En unkt uf der HBF mt den Koordnten ( ) läßt sch nun drstellen mt Hlfe der FEM-Repräsentton z.b. vom Grd der Mschen und B: j j B j j j j (4-4) 7

18 Msche B FEM FEM Msche B (4-5) C -Stetgket m unkt bedeutet dss de Dfferenz der beden Drstellungen glech ull st. FEM Msche B FEM Msche B FEM B FEM (4-6) FEM FEM Für de Lgekomponenten und st (4-4) offenschtlch erfüllt d de Georeferenzerung vollkommen unberührt von der FEM-Drstellung der HBF n den enzelnen Mschen blebt. B Für de Höhenkomponenten und snd nun geegnete Bedngungen zu formuleren de enen stetgen Übergng von Msche zu Msche B n jedem unkt der gemensmen Knte erzwngen. bb. 8: Zwe benchbrte FEM-Mschen und B mt unkt uf der gemensmen Knte E Zur Formulerung der Bedngung wrd de FEM-Drstellung entlng der Knte zunächst für bede Mschen ls Funkton enes Gerdenprmeters t m Intervll t drgestellt. Für de Msche lutet der usdruck für de drgestellte Rumkurve Knte FEM j j ( t( E ) t( E ) ; t ( ) j t( E )) ( t( E )) (4-7) und für de Msche B entsprechend 8

19 ) ( ; )) ( ( )) ( ( ) ( ) ( t t t t t Knte j j E E B j E E B FEM (4-8) Wobe bzw. E E jewels de Koordnten des nfngs- bzw. Endpunktes der Knte bezechnen. D dese nch we vor unberührt von der FEM-Drstellung bleben erhält mn für de Dfferenz der beden Rumkurven (4-5) und (4-6) ) ( ; ) ( ) ( t t t Knte Knte Knte j j j B FEM FEM B FEM wobe E E B j j j (4-9) De Dfferenz der beden Rumkurvenstücke st dentsch mt der Dfferenz der z- Komponente der beden Ortsvektoren. Durch usmultplzeren erhält mn en olynom n t vom glechen Grd n welches glech ull sen muß um de C -Stetgketsbedngung zu erfüllen. Für ds vorlegende Bespel mt dem Entwcklungsgrd lutet deses olynom n verenfchter Drstellung: t D t C t B t Knte B FEM (4-) Dmt de Bedngung für lle t glt wrd nun jewels en Glechungssystem für B C und D formulert für welches glt: ) ( { } B (4-) (4-b) (4-c) 9

20 D C (4-d) De zur Umrechnung der -Höhe H O n de ormlhöhe H erforderlche Korrektur (4-) wrd m Idelfll n ener usglechung nch der Methode der klensten Qudrte ermttelt. De Bedngungen n de jewelgen rmeter QG j werden herbe ls seudobeobchtungen mt (belebg) klenen Stndrdbwechungen engeführt. Des ht den Vortel dss de Dmenson der ormlglechungsmtrx erhlten blebt. De Informton zur jewelgen HBF der -Fläche m lten System und dem Qusgeod m neuen System erhält mn us dentschen unkten mt Höhen n beden Systemen. Zur Herletung der Verbesserungsglechungen schreben wr zunächst de ellpsodsche Höhe h ls Summe von H O und -Fläche bzw. H und Qusgeod (-) wobe wr für de jewelge HBF nun de FEM-Repräsentton ensetzen: FEM FEM O H H h ζ (4-) Ene wchtge Egenschft der FEM Repräsentton durch bvrte olynome st de geometrsche Interpreterbrket der rmeter j. De rmeter. Ordnung können bespelswese ls Stegung ener Fläche ngesehen werden (Tbelle ). Wrd be den FEM- Drstellungen zweer Höhenbezugsflächen de gleche FEM-Vermschung zugrunde gelegt so hben de resulterenden j ncht nur de gleche geometrsche Bedeutung sondern uch de gleche Georeferenzerung und können ddert und subtrhert werden. Für de Dfferenz zwschen H QG und H O können wr dher schreben FEM (p) FEM FEM O QG H H ζ. (4-) Der Vektor p enthält herbe de FEM-rmeter j bhängg von der Vermschung und des gewählten Entwcklungsgrdes n der Tylorpolynome. Mt (4-) legt nun ene Drstellung vor de zur Formulerung der Verbesserungsglechungen zur Schätzung der FEM-rmeter p geegnet st. D sowohl ds Qusgeod ls uch de -Fläche strk mt der Topogrphe korrelert snd knn mn n der usglechung enen zusätzlchen höhenbhänggen rmeter m enführen. Führt mn de ormlhöhen n den dentschen unkten ebenflls ls Unbeknnte en so erhält mn ls entgültges System der Verbesserungsglechungen

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