Relationen / Lineare Funktionen

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1 Relationen / Lineare Funktionen Relationen Werden Elemente aus einer Menge X durch eine Zuordnungsvorschrift anderen Elementen aus einer Menge Y zugeordnet, so wird durch diese Zuordnungsvorschrift eine Relation definiert. Die Menge X nennt man Grundmenge oder Definitionsmenge, die Menge Y Wertemenge der Relation. Beispiel: Die Menge X enthält z. B. die Uhrzeiten eines Tages (0Uhr -Uhr). Die Menge Y enthält z.b. die Temperaturwerte (z.b. von -0 C bis +0 C). Schreibt man an einem bestimmten Tag nun jede volle Stunde den jeweiligen Temperaturwert auf, so stellt man eine Zuordnung (Relation) zwischen Zeitpunkten (t) und Temperaturen ( ϑ ) her. Die geordneten Paare ( t / ϑ ) kann man als Punkte in einem Koordinatensstem zeichnen. (Da man gegebenenfalls auch jede Minute oder sogar jede Sekunde messen könnte, kann man die bei stündlicher Messung die fehlenden Werte in der Zeichnung auch durch Interpolieren ergänzen. Als Graph erhält man eine Temperaturkurve.) In einem geordneten Paar steht der -Wert immer an erster und der -Wert immer an zweiter Stelle, also ( / ). und sind Platzhalter für Zahlen aus den jeweiligen Mengen, im Beispiel also Zeitpunkte und Temperaturwerte (z. B. ( 00 Uhr / C)) Funktionen Relationen, die besondere Eigenschaften (Eindeutigkeit, Eineindeutigkeit (Erklärung s.u). ) haben, nennt man Funktionen. Der einem -Wert zugeordnete Wert wird als Funktionswert von bezeichnet. Man schreibt: f() (lies: f von ) Ein geordnetes Paar lässt sich dann (/) oder (/f()) schreiben. (Merke: Jede Funktion ist auch eine Relation, aber nicht umgekehrt!).) Eindeutigkeit: Sieht eine Zuordnungsvorschrift so aus, dass einem Element nur ein Element zugeordnet wird (dabei können mehrere -Werte zu einem -Wert gehören), so liegt eine eindeutige Zuordnung vor. (Bildlich gesprochen: Wenn man entlang den Zuordnungspfeilen von der X-Menge in die Y-Menge schaut, so geht von jedem -Wert nur ein Zuordnungspfeil aus. Schaut man jedoch von der Y-Menge in die X-Menge, so können bei einem - Wert mehrere Zuordnungspfeile ankommen..) Eineindeutigkeit: Sieht eine Zuordnungsvorschrift so aus, dass einem Element nur ein Element zugeordnet wird und jedem Element nur ein Element, so liegt eine umkehrbar-eindeutige (eineindeutige) Zuordnung vor. (Bildlich gesprochen: Wenn man entlang den Zuordnungspfeilen von der X-Menge in die Y-Menge schaut, so geht von jedem -Wert nur ein Zuordnungspfeil aus. Schaut man von der Y-Menge in die X-Menge, so kommt bei einem -Wert auch nur ein Zuordnungspfeil an. Ergänzung: Wenn eine Zuordnung nicht eindeutig ist, so handelt es sich (nur) um eine Relation. Eine Zuordnung ist nicht eindeutig, wenn einem Element mehrere Elemente zugeordnet sind. In einer Zeichnung sieht das z. B. so aus: X-Menge Grundmenge X-Menge Funktion (und Relation) eindeutig Funktion (und Relation) Y-Menge Funktions- Werte Wertemenge Y-Menge Funktionseineindeutig Werte Grundmenge Wertemenge X-Menge Relation Y-Menge nicht eindeutig Grundmenge Wertemenge nicht eindeutig, Relation "übereinander" liegende Punkte eindeutig, Relation und Funktion "nebeneinander" liegende Punkte eineindeutig, Relation und Funktion weder über- noch nebeneinander liegende Punkte

2 Proportionale Funktionen (Proportionalität) Die proportionale Funktion ist eineindeutig, da jedem -Wert nur ein -Wert zugeordnet ist und umgekehrt. Besondere Eigenschaft aller proportionalen Funktionen ist, dass das Wertepaar (0/0) dazugehört. Weitere besondere Eigenschaft ist, dass der Quotient aller Wertepaare f ( ) oder auch f ( ) konstant, also immer gleich ist. Es gilt: m. m ist der konstante Wert. Es ergibt sich durch Umformung die Funktionsgleichung für eine Proportionale Funktion: f ( ) m 99ct 98ct 97ct Beispiel: Zuordnung Benzinmenge / Preis:... usw. l l l Der Funktionsgraph der Proportionalität ist eine Ursprungsgerade (d. h. die Gerade verläuft durch den Koordinatenursprung). Den Faktor m nennt man Steigungsfaktor oder die Steigung der Geraden. Formt man den Steigungsfaktor zu einem Bruch um, so kann man ihn zum Zeichnen der Geraden benutzen. Beispiel: f ( ) 0, 7 umgeformt zu: f ( ) f ( ), umgeformt zu: (siehe auch oben: Der Quotient aller Wertepaare ist gleich.) Im Nenner steht der -Wert, im Zähler der Funktionswert (-Wert) Ausgehend vom Punkt (0/0) heißt das: Man geht Einheiten in (+) - Richtung (also nach rechts) und dann Einheiten in (+) -Richtung (also nach oben) und findet dort einen Punkt der Geraden. Den hiermit zurückgelegten Weg bezeichnet man als Steigungsdreieck. (Zur Erhöhung der Zeichengenauigkeit sollte man jedoch den Bruch passend zum Koordinatensstem erweitern. Hier z. B. 6 ) Hat man einen negativen Steigungsfaktor, zählt man in 8 umgekehrter Richtung:, also auf Einheiten in (+)-Richtung (also nach rechts) geht man Einheiten in (-)-Richtung (also nach unten) und findet dort einen Punkt der Geraden, alternativ geht man auf Einheiten in (-)-Richtung (also nach links) dann Einheiten in (+)- Richtung (also nach oben) und findet dort einen Punkt der Geraden. Merke: In Schreibrichtung gesehen sind Geraden mit positiver Steigung steigend und Geraden mit negativer Steigung sind fallend. Merkhilfen zur Proportionalen Funktion: (Folgende Begriffe gehören zusammen:) Proportionalität / f ( ) m / Quotientengleichheit / Ursprungsgerade Allgemeine, lineare Funktion Die oben beschriebenen Ursprungsgeraden sind eine Teilmenge aller Geraden. Diese ergeben sich graphisch gesehen dadurch, dass man im Koordinatensstem eine Ursprungsgerade nach oben oder unten verschiebt. Rechnerisch bedeutet das, dass man zu jedem Funktionswert der Ursprungsgeraden einen festen n Wert addiert. Dies führt auf die allgemeine Geradengleichung f ( ) m + n Den Wert (Summanden) n bezeichnet man als -Achsenabschnitt. Definition: Der -Achsenabschnitt n einer Funktion ist die Stelle, für die gilt: f ( 0 ) n. Es ist die Stelle der -Achse, an der der Graph Funktion die -Achse schneidet. Die Koordinaten des zugehörigen Schnitt-Punktes sind: P( 0 / n) Setzt man nämlich in diese allg. Geradengleichung für den Wert 0 ein, so ergibt sich f ( ) m 0 + n n. Das bedeutet, dass der Funktionswert an der Stelle 0 also f ( 0 ) n ist. Das heißt wiederum, dass der Punkt mit den Koordinaten ( 0 / n ) auf der Geraden liegt. dieser Punkt liegt aber an der Stelle n auf der -Achse. Allgemein berechnet man die Koordinaten eines Punktes,

3 indem man einen Zahlwert für einsetzt und dann das zugehörige f ( ) ausrechnet, (oder indem man einen Zahlwert für f() einsetzt und dann das zugehörige ausrechnet). Beispiel : Gegeben ist f ( ) +. Wie lautet der Funktionswert an der Stelle? Durch Einsetzen: f ( ) +. Das geordnete Paar lautet: ( / ), der Punkt P( / ) liegt auf der Geraden. Beispiel : Gegeben ist f ( ) +. Wie lautet der -Wert an der Stelle f ( )? Durch Einsetzen: +, also 0 und. Das geordnete Paar lautet: ( / ), der Punkt P( / ) liegt auf der Geraden. Man zeichnet den Graphen einer Funktion f ( ) m + n, indem man zuerst den Punkt (0 / n), der durch den -Achsen-Abschnittswert angegeben ist, einzeichnet. Von diesem Punkt ausgehend ermittelt man den nächsten Punkt der Geraden, wie bei der Prop. Funktion beschrieben. Beispiel: a.) Zeichne den Funktionsgraphen der Funktion f( ), 8. b.) Berechne die Funktionswerte für und a.) Zeichne den Funktionsgraphen der Funktion f ( ), b.) Berechne die Funktionswerte für und P f ()-, f (),8- P P - - P - a.) Zeichne den Funktionsgraphen der Funktion f( ), 8. Ausgehend vom Punkt ( 0 / - ) Steigungsdreieck Einheiten nach rechts, dann 9 nach oben zum Punkt ( / ). Gerade durch ( 0 / - ) und ( / ) b.) Berechne die Funktionswerte für und f ( ), 8 f ( ) 9 f ( ) P ( / ) f ( ), 8 ( ) f ( ), 8 f ( ), 8 P ( /, 8) a.) Zeichne den Funktionsgraphen der Funktion f ( ), Ausgehend vom Punkt ( 0 / 6 ) Steigungsdreieck Einheiten nach 0 rechts, dann 8 nach unten zum Punkt ( / - ). Gerade durch ( 0 / 6 ) und ( / - ).

4 b.) Berechne die Funktionswerte für und f ( ) ( ), f ( ) f ( ) P ( / ) f ( ), f ( ) +, + 6 f ( ) 9, P ( / 9, ) ( ) ( ) f() f( ) f( ) Zwei-Punkte-Formel Sind vom Graphen einer linearen Funktion die Koordinaten zweier Punkte gegeben, so lässt sich die zugehörige Funktionsgleichung aus dem Steigungsdreieck ermitteln. Die beiden gegebenen Punkte f / f ( ). Mit ihnen lässt sich der Graph und das haben die Koordinaten ( / ( )) und ( ) - f( )-f( ) zugehörige Steigungsdreieck zeichnen. Die Seitenlängen des Steigungsdreiecks lassen sich aus der Differenz der -Werte und der Differenz der -Werte berechnen. (Siehe nebenstehende Abb.) Da sich die Steigung einer Geraden aus dem Verhältnis des Weges in -Richtung zum Weg in -Richtung errechnet (siehe auch: Prop. Funktionen) ergibt sich der Steigungsfaktor einer beliebigen Gerade aus dem Quotienten m f ( f ) ( ) (Merke: Man muss beim Einsetzen der Werte darauf achten, dass man die Koordinatenwerte der Punkte nicht miteinender vertauscht ( nicht mit und von P -Werte nicht mit Werten von P.) Nachdem man auf diese Weise den Steigungsfaktor m ermittelt hat, ist von der gesuchten Geradengleichung nur noch der -Achsenabschnitt n unbekannt. Da die beiden am Anfang gegebenen Punkte auf der Geraden liegen sollen, bedeutet das, dass ihre Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen müssen, d.h. beim Einsetzen der Punktkoordinaten eines der beiden Punkte für und muss die entstehende Gleichung richtig (wahr) sein. (Dies wurde auch schon bei der Ermittlung unbekannter Koordinatenwerte beschrieben.) Durch diese Einsetzung entsteht entweder die Gleichung f ( ) m + n oder f ( ) m + n. Beide Gleichungen lassen sich nach der unbekannten Variablen n auflösen und ausrechnen. Damit ist die Funktionsgleichung bekannt. Beispiel : Gegeben sind die Punkte P ( / ) und P ( 6 / ) (a) Ermittle die Steigung der zugehörigen Geraden: Es ergibt sich durch Einsetzen in die Zwei-Punkte Formel: m f ( f ) ( ) ( ) 8 6 (b) Berechne den -Achsenabschnitt und gib die vollständige Funktionsgleichung an. Die Koordinaten von Punkt P oder P müssen die Funktionsgleichung erfüllen, also: f ( ) m + n ergibt + n und damit n 7 oder f ( ) m + n ergibt 6 + n und damit n 7. Die vollständige Funktionsgleichung lautet dann: f ( ) 7 Beispiel : Gegeben sind die Punkte P ( / ) und P ( 6 / 7) (a) Ermittle die Steigung der zugehörigen Geraden: Es ergibt sich durch Einsetzen in die Zwei-Punkte Formel: m f ( f ) ( ) (b) Berechne den -Achsenabschnitt und gib die vollständige Funktionsgleichung an. Die Koordinaten von Punkt P oder P müssen die Funktionsgleichung erfüllen, also: f ( ) m + n ergibt ( ) + n und damit n oder f ( ) m + n ergibt 7 ( ) 6 + n und damit n. Die vollständige Funktionsgleichung lautet dann: f ( ) +

5 f() P f()-7 P P P Nullstellen einer linearen Funktion: Definition: Nullstellen einer Funktion sind die Stellen 0, an denen der Funktionswert f ( ) ist. Die Nullstelle ist die Stelle der -Achse, an der der Graph einer Funktion die Achse schneidet. Die Koordinaten des zugehörigen Punktes sind: P ( / ) n Für die Geradengleichung lautet die Bestimmungsgleichung: 0 m0 + n und daraus: 0. m Beispiel : Beispiel : f ( 0) , P0 (,/ 0) f ( ) + 0 +, P (, / 0) Hilfen für den Umgang mit Tetaufgaben Bei jeder Funktion ist eine Abhängigkeit zwischen Größen gegeben z. B. an der Tankstelle die Abhängigkeit zwischen der getankten Benzinmenge und dem Geldbetrag, der bezahlt werden muss. Dabei kann man aus dem Aufgabentet in der Regel klären, welche Größe von welcher abhängig ist. (Hier: Der Preis (Geld G) ist von der Warenmenge (Volumen V) abhängig, ( ) Tanken also G ( V ). Damit gehört das Volumen also auf die -Achse und der Preis auf die -Achse. f ist beim Um eine Funktionsgleichung aus gegebenen Werten erarbeiten zu können, gibt es Möglichkeiten: () Gegeben: Die Funktionsgleichung Daraus: Durch Einsetzen der Zahlwerte in die Funktionsgleichung kann man damit alle Punkte berechnen oder prüfen. () Gegeben: Punkte Daraus: Mit der Zwei-Punkte-Formel kann man die Steigung berechnen. Dann kann man durch Einsetzen der Steigung und der Koordinaten eines

6 Punktes in die allgemeine Geradengleichung f ( ) m + n den -Achsenabschnitt berechnen. Damit hat man alle Werte (also m und n) für die Funktionsgleichung. () Gegeben: Punkt und die Steigung Daraus: Durch Einsetzen des Punktes und der Steigung in die allgemeine Geradengleichung f ( ) m + n erhält man den - Achsenabschnitt. Damit hat man alle Werte (also m und n) für die Funktionsgleichung. () Gegeben: Punkt und der -Achsenabschnitt Daraus: Durch Einsetzen des Punktes und des -Achsenabschnitts in die allgemeine Geradengleichung f ( ) m + n erhält man die Steigung. Damit hat man alle Werte (also m und n) für die Funktionsgleichung. Man muss also im Aufgabentet suchen welche Angaben enthalten sind und diese dann entsprechend () () bearbeiten. Anmerkung: Wenn nur ein Punkt gegeben ist und weder eine Steigung noch ein - Achsenabschnitt zu finden ist, sollte man prüfen ob das Einsetzen des Punktes (0/0) mit dem Tet einen Sinn ergibt, z. B. In 0 Minuten Zeit ist die Fahrstrecke 0 Meter. Dann handelt es sich um eine Proportionalität (s. o.) Andere Erscheinungsformen linearer Funktionen: Eine lineare Funktion ist eine Gleichung mit Variablen, nämlich und. Die allgemeinste Form einer Gleichung mit Variablen lautet: a + b + c 0, wobei a,b und c beliebige Zahlen darstellen. Andere Formen sind a + b c oder a b + c oder b a + c. Alle diese Formen lassen sich durch geeignete Äquivalenzumformungen (Auflösen einer Gleichung nach einer Variablen, hier also Auflösen nach der Variablen ) in die Form der allgemeinen Geradengleichung bringen und bearbeiten, wie im Vorhergehenden beschrieben. Beispiel: Es handelt sich um eine fallende Gerade (auf Einheiten nach rechts um nach unten) mit dem - Achsenabschnitt n. Die Gerade geht also durch den Punkt ( 0 / ) Sonderformen von linearen Funktionen bzw. linearen Relationen:.) Wenn bei der Funktionsgleichung f ( ) m + n der Wert n 0 ist, so ergibt sich f ( ) m + 0 oder kürzer f ( ) m. Dies ist die oben bereits behandelte Proportionalität (Ursprungsgerade).) Wenn bei der Funktionsgleichung f ( ) m + n der Wert für die Steigung m 0 ist, so ergibt sich f ( ) 0 + n oder kürzer f ( ) n. Die Zugehörige Gerade steigt also weder, noch fällt sie, d.h. wie die Funktionsgleichung f ( ) n sagt, ergibt sich für jeden beliebigen eingesetzten -Wert immer derselbe Funktionswert, nämlich n. Der Graph dieser Funktion ist also eine Parallele zur -Achse durch den -Achsenabschnitt. (Anmerkung: Die Gerade mit der Funktionsgleichung f ( ) 0 ist also die -Achse selber.).) Hilfsüberlegung: Von den Überlegungen zum Thema Steigung wissen wir, dass die Gerade umso steiler ist, je größer ihr Steigungsfaktor m ist. Die steilste mögliche Gerade ist eine Senkrechte, d.h. eine Parallele zur -Achse (oder die -Achse selber.) Ihre Steigung ist dann also unendlich groß. Als Gleichung ergibt sich dann 0, d.h. dem einzigen -Wert dieser Gerade (nämlich der Nullstelle) sind alle möglichen -Werte (d.h. alle Rationalen Zahlen zugeordnet) Es handelt sich hier also um eine Gerade, die keine Funktion sondern (nur) eine Relation ist (siehe Seite ). Die Gleichung der -Achse lautet dann also 0. F. Ptlik 00 6

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