Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund

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1 Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer Vorstellung zu einem Ganzen. Diese Objekte nennt man die Elemente der Menge. Man schreibt für ein Element x und eine Menge M: x M falls x ein Element von M ist; x M falls x kein Element von M ist. Notation. N = {1, 2, 3,...} die natürlichen Zahlen ohne die Null; N 0 = {0, 1, 2, 3,...} die natürlichen Zahlen mit der Null; Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} die ganzen Zahlen; Q = { a a Z, b Z, b 0} die rationalen Zahlen; b R die reellen Zahlen; C die komplexen Zahlen; die leere Menge oder { }. Definition Eine endliche Menge ist eine Menge, die nur endlich viele Elemente enthält. Die Mächtigkeit (oder Kardinalität) einer Menge M, in Zeichen M oder #M, ist die Anzahl der verschiedenen Elemente in der Menge M. 1

2 Beispiel. Verschiedene Weisen, Mengen zu beschreiben, z.b. die geraden natürlichen Zahlen: Aufzählung (Auflisten): {2, 4, 6,...} Beschreibung der Elemente: {x x N und x gerade} Beschreibung als Teilmenge: {x N x gerade} Beschreibung der Bildungsvorschrift: {2m m N} Beispiel. Die positiven reellen Zahlen: R >0 = {x x R x > 0} = {x R x > 0} = {x 2 x R x 0} (hier: bezeichnet das logische und ). Definition Seien A und B zwei Mengen. A ist eine Teilmenge von B, falls für jedes x A auch x B gilt, in Zeichen A M oder A M (beides erlaube hier Gleichheit der Mengen). Man spricht dann auch von einer Inklusion von A in B. Eine strikte/echte Teilmenge, strikte/echte Inklusion, in Zeichen A B oder A B, liegt vor wenn A B und A B gilt. Beispiel. N Z Q R C. Aber: Z N. Für jede Menge M gilt: M M, M. Beispiel. {, { }}, aber auch {, { }}, und auch { } {, { }}, { } {, { }}. Definition (Operationen mit Mengen). Seien A, B Mengen. Durchschnitt A B = {x x A x B}; Vereinigung A B = {x x A x B} (hier: bezeichnet das logische oder ); Differenz A \ B = {x x A x B}; disjunkte Vereinigung (kein besonderes Zeichen, oder disjunkt oder ) falls in der Vereinigung A B zusätzlich gilt A B = ; Ist eine Grundmenge M fest vorgegeben und gilt A M, so ist das Komplement von A (in M) die Menge M \ A. Man spricht oft nur vom Komplement von A wenn klar ist, welche Grundmenge vorgegeben ist. Dies wird im Weiteren kaum benötigt. In der Literatur wird das Komplement manchmal mit A bezeichnet (dies ist schlecht, da diese Bezeichnung auch oft anders verwendet wird) oder mit A c oder ähnlichen Bezeichnungen. 2

3 Definition Das kartesisches Produkt A B zweier Mengen A und B ist die Menge der geordneten Paare (a, b), a A, b B. Sind a, a A, b, b B, so gilt (a, b) = (a, b ) genau dann wenn a = a und b = b. Verallgemeinerung: A 1... A n ist die Menge der geordneten n-tupel (a 1,..., a n ), a i A i. Ähnlich zu oben gilt: zwei n-tupel sind gleich genau dann wenn die jeweiligen Komponenten übereinstimmen. Notation: A n = A... A } {{ } n mal Satz M, N endliche Mengen = M N = M N. Bemerkung. Die beiden Mengen {1, 2} und {2, 1} (als Teilmengen von N) sind gleich. Die beiden Paare (2-Tupel) (1, 2) und (2, 1) in N 2 sind verschieden. Definition und Satz Potenzmenge einer Menge M: P(M) = {A A M}. Falls M endlich, M = n, dann gilt P(M) = 2 n. Notation. Symbole aus der Logik: für alle ; es existiert ;! es existiert genau ein... ; = impliziert oder aus...folgt (mit der entsprechenden Umkehrung =); genau dann wenn oder ist äquivalent zu ; A : B bedeutet A wird durch B definiert. Definition X, Y zwei nichtleere Mengen. Eine Abbildung von X nach Y ist eine Vorschrift, die jedem x X genau ein y Y zuordnet, in Zeichen y = f(x) ( f von x ). Die Abbildung schreibt man oft in der folgenden Form: f : X Y : x f(x) f(x) bezeichnet das Bild von x unter f; X ist der Definitionsbereich ; Y ist der Zielbereich oder die Zielmenge; Elemente von X heißen auch Argumente. Bemerkung. Zwei Abbildungen sind gleich wenn: gleiches f, gleicher Definitionsbereich und gleiche Zielmenge. 3

4 Beispiel. (1) Drei verschiedene Abbildungen: f : N N : x x 2 g : Z N 0 : x x 2 h : Z Z : x x 2 (2) Reelle Funktionen aus der Analysis sind Abbildungen: sin : R R : x sin(x) exp : R R : x e x (3) Für eine Menge M: f : P(M) N 0 : A A. (4) Darstellung durch Wertetabelle: f : {1, 2, 3, 4, 5} {g, u} x f(x) u g u g u (5) Bildliche Darstellung von Abbildungen zwischen Mengen durch Pfeile von einer Menge (Definitionsbereich) in eine andere (Zielmenge). (6) f : N N : x x 1 ist keine Abbildung (wieso?). Definition Gegeben seien eine Abbildung f : X Y und A X. f(a) = {f(a) a A} ist das Bild von A unter f; f(x) ist das Bild oder die Bildmenge von f. Sei B Y. f 1 (B) = {a X f(a) B} ist das Urbild von B unter f. Notation falls B = {b}: f 1 (b) statt f 1 ({b}). Beispiel. In vorherigem Beispiel (1): f({1, 2, 3}) = {1, 4, 9}; f 1 ({10, 25, 70, 100}) = {5, 10}; f 1 ({10, 11, 12, 13, 14, 15}) =. h({ 2, 1, 0, 1, 2}) = {0, 1, 4}; h 1 ({100, 101, 102,..., 1000}) = {±10, ±11, ±12,..., ±31}; h 1 ( 1) =. Definition Sei f : X Y eine Abbildung. f injektiv : [ x, x X : f(x) = f(x ) = x = x ] ( [ x, x X : x x = f(x) f(x )] f surjektiv : [ y Y : x X : f(x) = y] ( [f(x) = Y ]) f bijektiv : f injektiv und surjektiv. Definition Sei f : X Y eine Abbildung. Die Menge Γ f = {(x, f(x)) x X} X Y, heißt der Graph von f. 4

5 Als Beispiel der Graph von f : R R : x x 2 als Diagramm in R 2. Definition Seien f : X Y, g : Y Z Abbildungen mit Y Y. Die Komposition g f : X Z (oder Verknüpfung, Verkettung, Hintereinanderausführung) ist definiert durch g f(x) := g(f(x)) für alle x X. Bemerkung Ist h : Z W eine weitere Abbildung mit Z Z, so gilt die Assoziativität der Verknüpfung: h (g f) = (h g) f. Definition und Bemerkung Die identische Abbildung auf einer Menge X ist definiert als id X : X X : x x. Falls f : X Y, so gilt f = id Y f = f id X. Definition und Satz Sei f : M N eine Abbildung. (i) f injektiv g : N M mit g f = id M. (ii) f sujektiv h : N M mit f h = id N. (iii) f bijektiv k : N M mit k f = id M und f k = id N. (iv) Angenommen f bijektiv. Dann heißt die Abbildung k in (iii) Umkehrabbildung von f. Sie ist eindeutig bestimmt und bijektiv. Man schreibt dann auch k = f 1 (nicht zu verwechseln mit der Notation, die man beim Urbild verwendet!!!). Es gilt dann k 1 = f, also (f 1 ) 1 = f. Definition Eine Menge M ist gleichmächtig zu einer Menge N: Bijektion f : M N. Eine unendliche Menge M ist abzählbar unendlich falls M gleichmächtig zu N ist, andernfalls ist sie überabzählbar. Bemerkung. M gleichmächtig zu N N gleichmächtig zu M (Umkehrabbildung!). M = n N M gleichmächtig zu {1, 2,..., n}. Beispiel. N und Z sind gleichmächtig (wie kann man eine Bijektion konstruieren?). R ist nicht gleichmächtig zu N (wieso?). R ist also überabzählbar. Satz Seien f : X Y, g : Y Z Abbildungen. Dann gilt: f und g injektiv/surjektiv/bijektiv = g f injektiv/surjektiv/bijektiv. 5

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