Funktionen. Funktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen. Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts

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1 Funktionen Allgemeines Funktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts Ein Lesetext Datei Nr. 800 Stand: 5. Juli 0 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 800 Funktionen Grundlagen Vorwort In diesem Text werden die Grundbegriffe zusammengestellt und durch Beispiele belegt. Wichtig ist auch, dass man auch erkennt, wann ein Schaubild keine Funktion darstellen kann. Dann folgen noch zur Information Beispiele zu verschiedenen Funktionstypen. Inhalt Funktionen die Grundlagen 3. Die Eindeutigkeit der Zuordnung, Grundmenge und Wertmenge 3. Schaubild einer Funktion 4 Beispiel : Eine lineare Funktion 4 Beispiel : Die Quadratfunktion 5.3 Trennung von Algebra und Geometrie Richtig formulieren! 6.4 Definitionsbereiche 7 Beispiel 3: f 4 x x und Beispiel 4: fx x 7 Beispiele für keine Funktionen 9. Eine Parallele zur y-achse ist kein Schaubild einer Funktion 9. Ein Kreis ist nie Schaubild einer Funktion 0.3 Eine nach rechts geöffnete Parabel ist kein Schaubild einer Funktion.4 Aufgaben: Welche Schaubilder gehören zu keiner Funktion Lösungen 3 3 Musterbeispiele für Funktionen 5 3. Lineare Funktionen 5 3. Quadratische Funktionen Ganzrationale Funktionen Potenzfunktionen Gebrochen rationale Funktionen Exponentialfunktionen Trigonometrische Funktionen 3.8 Logarithmusfunktionen 3.9 Wurzelfunktionen 3

3 800 Funktionen Grundlagen 3 Funktionen - die Grundlagen. Die Eindeutigkeit der Zuordnung, Grundmenge und Wertmenge Wenn jemand eine Funktion ausübt, muss er etwas ausführen und es soll ein Ergebnis herauskommen. Ein an die Mathematik grenzendes Beispiel ist die Funktion, die eine Kassiererin im Supermarkt ausübt. Sie soll berechnen, welchen Preis ich für meine Waren zu bezahlen habe, die ich in meinen Warenkorb gelegt habe. Sie ordnet also meinem Einkauf einen Preis zu. Nun bin ich ein skeptischer Mensch, weil ich aus Erfahrung weiß, wie viele Fehler man in der Mathematik machen kann. Daher gehe ich nach dem Bezahlen zur Marktaufsicht und bitte um eine Kontrolle der Abrechnung. Wenn die Dame und der Kontrolleur ihre Funktion korrekt ausgeübt haben, sollte derselbe Preis herauskommen. Die Zuordnung Einkauf Preis muss eindeutig sein. Das verlangt man von jeder Funktion. Es gibt sicher Beispiele, wo eine Funktion mehrere Ergebnismöglichkeiten zulässt. Doch das nennt man dann in der Mathematik keine Funktion, sondern eine Relation. Die Festlegung mathematischer Begriffe geschieht in einer so genannten Definition. Man verlangt von einem Schüler, dass er in der Lage ist, eine gelernte Definition selbst wiederzugeben, entweder das, was er brav auswendig gelernt hat, oder besser mit seinen eigenen Worten, denn dabei muss er dann wissen, worauf es ankommt. Schauen wir uns zuerst die Hintergründe für mathematische Funktionen an. Eine Funktion soll einen Funktionswert berechnen. Sie bezieht sich also auf eine Anfangszahl, die man einer festgelegten Menge entnehmen soll. Diese heißt man die Grundmenge G. Für eine beliebige Zahl dieser Grundmenge verwendet man meistens die Variable x. Die Funktion berechnet dazu einen Funktionswert, den man dann y nennt. Es ist günstiger, ihn mit f(x) zu bezeichnen, denn das ist eine Information mehr, wie man schnell erkennt: Wenn eine Funktion f der Zahl x = 3 den Wert y = 9 zuordnet, also f: 3 9, dann drückt die Schreibweise f3 9 dies kompakter und übersichtlicher aus. Man liest das: f von 3 gleich 9, was besagt, dass 9 der Funktionswert von 3 ist. Die Menge aller Funktionswerte, die sich zu den Zahlen der Grundmenge berechnen lässt, nennt man die Wertmenge oder den Wertebereich der Funktion. Definition: Eine Funktion ist eine Vorschrift, die Zahlen einer Grundmenge eindeutig Werte zuordnet. Diese bilden die Wertmenge. MERKE: Wenn nicht ausdrücklich etwas anderes angegeben ist, verwendet man als Grundmenge immer die Menge R der reellen Zahlen.

4 800 Funktionen Grundlagen 4. Schaubild einer Funktion Beispiel : Eine lineare Funktion Betrachten wir als erstes Beispiel die Funktion f: x x. Sie ordnet jeder Zahl der Grundmenge G R einen Funktionswert zu, der um kleiner ist als die Zahl selbst. Man schreibt ihre Funktionsgleichung dann so: fx x. Man kann aus Zahl und zugeordnetem Funktionswert auch ein Zahlenpaar bilden: Aus wird das Zahlenpaar fx x x fx f 4 4 f 3 3 f f f 0 f3 f(4) Man kann auch zu Brüchen, Dezimalzahlen usw. Funktionswerte berechnen: 3.4,4 f 3,4,4 f Jedes solche Zahlenpaar kann man als Punkt in einem Koordinatensystem darstellen. Die graphische Darstellung aller Zahlenpaare in einem Achsenkreuz heißt Schaubild der Funktion oder Graph bzw. Funktionsgraph. Das Schaubild einer linearen Funktion wie fx x ist eine Gerade. Weil man dabei die Funktionswerte f(x) als y-koordinaten der Punkte verwendet, schreibt man statt fx x für das Schaubild y x. Dies nennt man die Gleichung des Graphen von f. Die Zuordnungen kann man als abgewinkelte Pfeile in einem solchen Schaubild darstellen: Eingetragen sind: f: 4 Und f: 4, also, also f 4 f 4 Die dünne Gerade veranschaulicht die Lösungsmenge der Gleichung y x. Man sollte verstehen, dass alle Punkte der Geraden Lösungspaare darstellen (die man mit der Funktionsgleichung berechnen kann). Hinweis: Diese Funktion heißt linear, weil man ihr Schaubild mit einem Lineal zeichnen kann. Man kann aber auch sagen: Eine Funktion nennt man linear, wenn in ihrem Funktionsterm x nur mit dem Exponenten auftritt, allgemein: fx mx n.

5 800 Funktionen Grundlagen 5 Beispiel Die Quadratfunktion Eine Funktion nennt man quadratische Funktion, wenn sich ihre Funktionsgleichung auf diese Form bringen lässt: fx ax bx c Beispiel: Die Quadratfunktion: f x x Hier einige Funktionswerte bzw. Zahlenpaare dazu: f f 4 4 f f f f 4 4 f Zum Zeichnen der Kurve sind folgende Punkte wichtig, weil sie dazu helfen, dass man die Parabel hinreichend rund zeichnet: 3 9 d. h d. h. f,5 f 0,5 4 4 Ich habe hier noch gezeigt, wie man abkürzen kann: f x und fx erhalten denselben Funktionswert! Das spiegelt sich in der Symmetrie des Graphen wider. Die Abbildung enthält zwei Zuordnungspfeile der Quadratfunktion: f:,5 6,5 d. h. f,5 6,5 f:,5 6,5 f,5 6,5 d. h. Das verletzt nicht die Eindeutigkeit, denn die Ergebnisse sind ja eindeutig! Hinweis: Zu dieser Parabel und anderen Parabeln, die verschoben oder gestreckt sind, geben die Text 800 bis 803 reichlich Auskunft. Dort lernt man vor allem, wie man Parabeln die eine Gleichung etwa wie y x 6x 7 haben zeichnet, indem man zuerst den Scheitel ermittelt, und dann von da aus einen Grundbestand von 5 Punkten ganz schnell ohne weitere Rechnung einzeichnen kann.

6 800 Funktionen Grundlagen 6.3 Trennung von Algebra und Geometrie Richtig formulieren! Hier vermischen sich Algebra und Geometrie. Daher sollte man folgendes Wissen parat haben: () Eine Funktion ist eine eindeutige Berechnungsvorschrift. Das gehört zur Algebra. f x x mit y, also y x, dann liegt eine Gleichung mit zwei Variablen vor: Algebra. Ihre Lösungen sind nur stückweise berechenbar, und zwar mit einer Art Wertetafel, wie wir es zuvor gesehen haben: f f 4 4 usw. Man kann sich also zu beliebigen x-werten den Funktionswert, also den y-partner berechnen und hat damit ein Lösungspaar der Gleichung y x gefunden. Die Lösungsmenge besteht aus unendlich vielen Paaren, die man also gar nie vollständig aufzählen kann. () Schreibt man die Funktionsgleichung (3) Man kann diese Lösungsmenge graphisch darstellen. Und damit landet man in der Geometrie. Die Lösungsmenge einer Funktionsgleichung nennt man Graph oder Schaubild. Man sagt auch ganz einfach Kurve dazu. Dieser mathematische Begriff Kurve unterscheidet sich vom umgangssprachlichen Begriff der Kurve ganz deutlich. Eine Gerade ist mathematisch gesehen als Schaubild einer Funktion auch eine Kurve, obwohl sie gradlinig verläuft. Es gibt auch mathematische Kurven die Sprünge machen oder einen Knick haben. Hier also Vorsicht mit der Begriffsverwirrung. f x x eine Funktionsgleichung, aber y x eine Kurvengleichung. Da man y als andere Schreibweise für f(x) verwendet, ist es im Grunde das gleiche. Dennoch wird man der Funktionsgleichung keine Lösungsmenge zuordnen, eben weil keine zweite Variable vorhanden ist, wohl aber ist das Schaubild die graphische Form der Lösungsmenge der Gleichung y x. (4) Nimmt man es sehr genau, dann ist also (5) Diese Begriffsunterscheidung setzt sich in der Oberstufe fort: Man wird sagen, dass eine Funktionswerte zunehmen, aber das zugehörige Schaubild steigt. Und wenn die Zunahme der Funktionswerte zunimmt, dann zeigt die Kurve Linkskrümmung, und wenn die Zunahme der Funktionswerte geringer wird, also abnimmt, dann zeigt der Graph Rechtskrümmung. Mehr dazu kann man im Text 40 (ab Seite 0) nachlesen.

7 800 Funktionen Grundlagen 7.4 Definitionsbereiche Es gibt Funktionen, die nicht mehr jeder Zahl einen Funktionswert zuordnen können.