Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom

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1 Mathematik für Informatiker I Mitschrift zur Vorlesung vom In der letzten Vorlesung haben wir gesehen, wie man die einzelnen Zahlenbereiche aufbaut. Uns fehlen nur noch die reellen Zahlen (siehe Übungsaufgabe). Neues Thema 1 Prädikatenlogik Zur Syntax Variablen x 1,..., x n... Prädikate P k 1, P l 2 Z.B. P (2, 3) 2 3 P 2 1 (2, 3) Wahrheitswert 1 P 3 1 (2, 2, 4) 2 2 = 4 Wahrheitswert von P 3 (2, 2, 4) ist 1. Wahrheitswert von P 3 (2, 3, 7) ist 0. Funktionen f k 1, f l 1 z.b. f 1 1 (x) = x + 1 f 1 1 (y) = y + 1 Prädikate und Funktionen haben eine Stelligkeit, welche uns nur die Anzahl der Argumente liefert. Definition Terme: 1. Jede Variable ist ein Term 2. Falls f ein Funktionssymbol mit Stelligkeit k ist, und t 1, t 2... t k Terme sind, dann ist f(t 1, t 2... t k ) auch ein Term. 1 Stelligkeit (Anzahl der Argumente)

2 3. Konstanten f 0 1 sind auch Terme. Definition der n der Prädikatenlogik 1. Falls P ein Prädikat der Stelligkeit k ist, und t 1, t 2... t k Terme sind, so ist P P (t 1, t 2... t k ) eine 2. Falls F eine ist, so ist F auch eine. 3. Für alle n F und G sind F G und F G auch n. 4. Quantoren Falls x eine Variable ist und F eine, so ist F eine ud F eine. Beispiel: x }{{} Terme x P (x, f(x)) } {{ } P (x, f(x)) } {{ } P (x, f(x)) } Terme {{ } f (x) }{{} Term Term Anderes Beispiel: f P (x, f(x)) ist das eine? Nein, da ein Quantor auf eine und nicht auf eine Variable angewendet wird. Interpretation:

3 Grundmenge ist das, worauf sich Variablen und Funktionen beziehen. Beispiel: N ist die Grundmenge für x P (x, f(x)) d.h. für alle x der Grundmenge N ist die P nicht wahr. Identifizierung der Prädikaten und Funktionen P ist die Relation f ist die Funktion Nachfolger für alle x N, ist es nicht wahr, dass x S(x). Ein Modell der Prädikatenlogik ist eine Struktur (U A, I A ), wobei U A eine Grundmenge für die Terme und I A eine Identifizierung der Prädikate und Funktionen ist. Bis jetzt haben wir die Aussagenlogik verallgemeinert. Ein Modell A bestehend aus (U A, I A ) heisst passend, wenn alle Prädikate, Funktionen und freien Variablen definiert sind. Beispiele von freien Variablen (x, y, sind Variable) xp (x, y) gefunden frei (für y gibt es keinen Quantor) Definition: gebundene Variable Eine Variable x ist gebunden in der F falls eine Teilformel von F von der Form xg oder xg existiert. (Alle unterschiedlichen Variable haben unterschiedliche Namen.) Wahrheitswerte und n Wahrheitswerte der F unter dem Modell A (Struktur) mit Grundmenge U A.

4 { 1 falls P 1. A(P (t 1, t 2... t k )) = A (A(t 1 ), A(t 2 )... A(t k )) wahr ist 2. F G{ 1 falls A(G) = 0 A(F ) = { 1 falls A(F ) = A(G) = 1 3. A(F G) = { 1 falls A( ) = 1 oder A(G) = 1 4. A(F G) = 1 falls für alle x U A A [x/d] (G) = 1 5. A( xg) = Substitution Beispiel zu 5: xp (x, x) U A = N P A ist Gleichheit. A( xp (x)x)) A[x/0](P (x/x)) = P (0, 0) A[x/1](P (x/x)) = P (1, 1).. A[x, n](p (x, x)) = P (n, n) ist wahr, wenn das für alle x gilt. 1 falls für ein d U A 6. A( xg) = A[x/d](G) = 1 man ersetzt x durch d Äquivalenz Zwei n F und G heissen äquivalent, falls für alle passenden Modelle A, A(F ) = A(G) 1. x F x F x F x F 2. Falls x in G nicht frei vorkommt:

5 ( x F G) x(f G) ( x F G) x(f G) Assoziativität ( x F ) F x(f G) ( x F ) F x(f G) Assoziativität Die Quantatoren beziehen sich nur auf F. 3. ( x F ) ( x G) x(f G) ( x F ) ( x G) x(f G) Distributivität 4. x y F y x F x y F y x F Assoziativität Beispiel für 3.: x(x = x) x(x + 1 = x + 1) = x((x = x) (x + 1 = x + 1)) Der -Quantor gilt nicht für Disjunktionen. Haben leider keine Gegenbeispiele. ( x F ) ( xg) x(f G) U A = Tiere (die Grundmenge der Tiere) F = kann fliegen G = lebt im Wasser Z.B. Es gibt keine Fische, die fliegen und im Wasser leben können. Der -Quantor gilt nicht für Konjunktionen! Beispiel: Man beweist aber y( x P (x, y)) x( y P (x, y)) x( P (x, y)) y( x P (x, y)) Die beiden Aussagen sind nicht äquivalent zueinander. Dies müssen wir be-

6 weisen. Zeichnung folgt. Beispiel: Man kann aus einer alle Existenzquantoren entfernen. 1. x( y P (x, y)) x( ( y P (x, y))) x( ynegp (x, y))) 2. x( y( z P (x, y, z))) x( y( z P (x, y, z))) x( ( y ( z P (x, y, z)))) 3. x( ( y( z P (x, y, z)))) x( ( x n( z P (x, y, z)))) x( ( y ( z P (x, y, z))) man braucht -Quantoren nicht. Annahme: F hat keine freien Variablen F nennt man eine Aussage Konvention: alle Variablen haben unterschiedliche Namen. Braucht man die All-Quantoren ( )? Beispiel: [ ] x( ( y ( z P (x, y, z)))) xyz ( ( P (x, y, z))) Schematisierung: keine -Quantoren; alle -Quantoren vorne.

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