2 Rationale und reelle Zahlen

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1 2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist wie es bei den rationalen der Fall ist. und führung Fibonacci- reelle rationale

2 2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist wie es bei den rationalen der Fall ist. reellen werden charakterisiert durch folgende Axiome: Vollständigkeitsaxiom und führung Fibonacci- reelle rationale

3 2.1 ist eine Struktur der Form à = (K, 0, 1, +, ) mit einer Grundmenge K, zweistelligen Operationen + und, für die die axiome gelten: und führung Fibonacci- reelle rationale

4 2.1 ist eine Struktur der Form à = (K, 0, 1, +, ) mit einer Grundmenge K, zweistelligen Operationen + und, für die die axiome gelten: (K1) (K, 0, +) ist abelsche Gruppe. (K2) (K \{0}, 1, ) ist abelsche Gruppe. (K3) Es gilt das Distributivgesetz a (b + c) = a b + a c. und führung Fibonacci- reelle rationale

5 2.1 ist eine Struktur der Form à = (K, 0, 1, +, ) mit einer Grundmenge K, zweistelligen Operationen + und, für die die axiome gelten: (K1) (K, 0, +) ist abelsche Gruppe. (K2) (K \{0}, 1, ) ist abelsche Gruppe. (K3) Es gilt das Distributivgesetz a (b + c) = a b + a c. a und a 1 sind die inversen Elemente zu a bzgl. + und. und führung Fibonacci- reelle rationale

6 2.1 ist eine Struktur der Form à = (K, 0, 1, +, ) mit einer Grundmenge K, zweistelligen Operationen + und, für die die axiome gelten: (K1) (K, 0, +) ist abelsche Gruppe. (K2) (K \{0}, 1, ) ist abelsche Gruppe. (K3) Es gilt das Distributivgesetz a (b + c) = a b + a c. a und a 1 sind die inversen Elemente zu a bzgl. + und. Schreibe a b statt a+( b) und ab statt a b. und führung Fibonacci- reelle rationale

7 2.1 ist eine Struktur der Form à = (K, 0, 1, +, ) mit einer Grundmenge K, zweistelligen Operationen + und, für die die axiome gelten: (K1) (K, 0, +) ist abelsche Gruppe. (K2) (K \{0}, 1, ) ist abelsche Gruppe. (K3) Es gilt das Distributivgesetz a (b + c) = a b + a c. a und a 1 sind die inversen Elemente zu a bzgl. + und. Schreibe a b statt a+( b) und ab statt a b. Punktrechnung geht vor Strichrechnung. und führung Fibonacci- reelle rationale

8 Rechenregeln im Satz Sei (K, +,, 0, 1) ein. Dann gilt: (a) neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. und führung Fibonacci- reelle rationale

9 Rechenregeln im Satz Sei (K, +,, 0, 1) ein. Dann gilt: (a) neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (b) Das inverse Element a der Addition und das inverse Element a 1, a 0, der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. und führung Fibonacci- reelle rationale

10 Rechenregeln im Satz Sei (K, +,, 0, 1) ein. Dann gilt: (a) neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (b) Das inverse Element a der Addition und das inverse Element a 1, a 0, der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (c) Es gilt a 0 = 0, ( 1)a = a, ( a)b = ab. und führung Fibonacci- reelle rationale

11 Rechenregeln im Satz Sei (K, +,, 0, 1) ein. Dann gilt: (a) neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (b) Das inverse Element a der Addition und das inverse Element a 1, a 0, der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (c) Es gilt a 0 = 0, ( 1)a = a, ( a)b = ab. (d) Ist a 0, so folgt aus ab = ac, dass b = c. und führung Fibonacci- reelle rationale

12 Rechenregeln im Satz Sei (K, +,, 0, 1) ein. Dann gilt: (a) neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (b) Das inverse Element a der Addition und das inverse Element a 1, a 0, der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (c) Es gilt a 0 = 0, ( 1)a = a, ( a)b = ab. (d) Ist a 0, so folgt aus ab = ac, dass b = c. (e) ist nullteilerfrei, d.h. aus ab = 0 folgt a = 0 oder b = 0. und führung Fibonacci- reelle rationale

13 Rechenregeln im Satz Sei (K, +,, 0, 1) ein. Dann gilt: (a) neutralen Elemente der Addition und der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (b) Das inverse Element a der Addition und das inverse Element a 1, a 0, der Multiplikation sind eindeutig bestimmt. (c) Es gilt a 0 = 0, ( 1)a = a, ( a)b = ab. (d) Ist a 0, so folgt aus ab = ac, dass b = c. (e) ist nullteilerfrei, d.h. aus ab = 0 folgt a = 0 oder b = 0. Beweis Vieles folgt aus der thorie, insbesondere aus der eindeutigen Lösbarkeit von x a = b: (a),(b),(d) und führung Fibonacci- reelle rationale

14 Beweise (c) Es gilt a 0 = 0, ( 1)a = a, ( a)b = ab. und führung Fibonacci- reelle rationale

15 Beweise (c) Es gilt a 0 = 0, ( 1)a = a, ( a)b = ab. Aus a0 = a(0+0) = a0+a0 folgt a0 = 0. und führung Fibonacci- reelle rationale

16 Beweise (c) Es gilt a 0 = 0, ( 1)a = a, ( a)b = ab. Aus a0 = a(0+0) = a0+a0 folgt a0 = 0. Aus 0 = 0a = (1+( 1))a = a+( 1)a folgt ( 1)a = a. und führung Fibonacci- reelle rationale

17 Beweise (c) Es gilt a 0 = 0, ( 1)a = a, ( a)b = ab. Aus a0 = a(0+0) = a0+a0 folgt a0 = 0. Aus 0 = 0a = (1+( 1))a = a+( 1)a folgt ( 1)a = a. Mit ( 1)a = a folgt ( a)b = ( 1)ab = ( 1)(ab) = ab. und führung Fibonacci- reelle rationale

18 Beweise (c) Es gilt a 0 = 0, ( 1)a = a, ( a)b = ab. Aus a0 = a(0+0) = a0+a0 folgt a0 = 0. Aus 0 = 0a = (1+( 1))a = a+( 1)a folgt ( 1)a = a. Mit ( 1)a = a folgt ( a)b = ( 1)ab = ( 1)(ab) = ab. (e) ist nullteilerfrei, d.h. aus ab = 0 folgt a = 0 oder b = 0. und führung Fibonacci- reelle rationale

19 Beweise (c) Es gilt a 0 = 0, ( 1)a = a, ( a)b = ab. Aus a0 = a(0+0) = a0+a0 folgt a0 = 0. Aus 0 = 0a = (1+( 1))a = a+( 1)a folgt ( 1)a = a. Mit ( 1)a = a folgt ( a)b = ( 1)ab = ( 1)(ab) = ab. (e) ist nullteilerfrei, d.h. aus ab = 0 folgt a = 0 oder b = 0. Ist ab = 0 und b 0, so abb 1 = 0b 1 = 0 und a = 0. und führung Fibonacci- reelle rationale

20 Konventionen Sind a 1, a 2,...,a n K, so schreiben wir Summe und Produkt kürzer n a i = a 1 + a a n, i=1 n a i = a 1 a 2...a n. Aufgrund der axiome sind die Werte solcher Ausdrücke unabhängig von Reihenfolge oder Klammerung (Beweis durch über n). i=1 und führung Fibonacci- reelle rationale

21 2.2 Definiere induktiv Potenzen a 0 = 1, a n+1 = a a n. und führung Fibonacci- reelle rationale

22 2.2 Definiere induktiv Potenzen a 0 = 1, a n+1 = a a n. Gesetze a m+n = a m a n, a n b n = (ab) n, (a m ) n = a mn (2) lassen sich leicht durch beweisen. und führung Fibonacci- reelle rationale

23 2.2 Definiere induktiv Potenzen Gesetze a 0 = 1, a n+1 = a a n. a m+n = a m a n, a n b n = (ab) n, (a m ) n = a mn (2) lassen sich leicht durch beweisen. Für a 0 setzen wir a n = (a 1 ) n, (2) bleibt dann richtig für m, n. und führung Fibonacci- reelle rationale

24 Binomische Formel (a+b) n = n ( n i i=0 ( n = a n + 1 ) a n i b i wird durch über n bewiesen. ) ( n ) a n 1 b ab n 1 + b n n 1 und führung Fibonacci- reelle rationale

25 Binomische Formel (a+b) n = n ( n i i=0 ( n = a n + 1 ) a n i b i wird durch über n bewiesen. ) ( n ) a n 1 b ab n 1 + b n n 1 Für n = 0 ist sie richtig (=sanfang). und führung Fibonacci- reelle rationale

26 Binomische Formel (a+b) n = n ( n i i=0 ( n = a n + 1 ) a n i b i wird durch über n bewiesen. ) ( n ) a n 1 b ab n 1 + b n n 1 Für n = 0 ist sie richtig (=sanfang). Sei die Formel für n richtig. und führung Fibonacci- reelle rationale

27 Beweis der binomischen Formel (a+b) n+1 = (a+b) n (a+b) = n ( n i i=0 ) a n i+1 b i + n ( n i i=0 ) a n i b i+1 und führung Fibonacci- reelle rationale

28 Beweis der binomischen Formel (a+b) n+1 = (a+b) n (a+b) = n ( n i i=0 ) a n i+1 b i + Mit Umnummerierung erhalten wir für den ersten Summanden i=0 n ( n ) a n i b i+1 i i=0 n ( n ) n 1 ( n ) a n i+1 b i = a n+1 + a n i b i+1, i i + 1 i=0 und führung Fibonacci- reelle rationale

29 Beweis der binomischen Formel (a+b) n+1 = (a+b) n (a+b) = n ( n i i=0 ) a n i+1 b i + Mit Umnummerierung erhalten wir für den ersten Summanden daher i=0 i=0 n ( n ) a n i b i+1 i i=0 n ( n ) n 1 ( n ) a n i+1 b i = a n+1 + a n i b i+1, i i + 1 n 1 ( ( n ) ( n ) ) (a+b) n+1 = a n a n i b i+1 +b n+1. i + 1 i i=0 und führung Fibonacci- reelle rationale

30 2.3 lautet für q 1 n i=0 q i = 1 qn+1 1 q. und führung Fibonacci- reelle rationale

31 2.3 lautet für q 1 n i=0 q i = 1 qn+1 1 q. Man beweist sie, in dem man den Teleskopeffekt beachtet, n q i (1 q) = i=0 n q i i=0 n q i+1 = 1 q n+1. i=0 und führung Fibonacci- reelle rationale

32 2.4 Sei à ein und < eine zweistellige Relation. und führung Fibonacci- reelle rationale

33 2.4 Sei à ein und < eine zweistellige Relation. à mit der Relation < heißt angeordneter, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind: und führung Fibonacci- reelle rationale

34 2.4 Sei à ein und < eine zweistellige Relation. à mit der Relation < heißt angeordneter, wenn die folgenden Axiome erfüllt sind: (A1) Trichotomiegesetz: Für beliebige a, b à gilt genau eine der Beziehungen a < b, b < a oder a = b. (A2) Transitivitätsgesetz: Ist a < b und b < c, so gilt a < c. (A3) Monotoniegesetze: Ist a < b, so folgt a+c < b + c für jedes c, ac < bc für jedes c > 0. und führung Fibonacci- reelle rationale

35 Rechenregeln im angeordneten Konventionen: Schreibe a > b für b < a, a b für a < b oder a = b. und führung Fibonacci- reelle rationale

36 Rechenregeln im angeordneten Konventionen: Schreibe a > b für b < a, a b für a < b oder a = b. Rechenregeln: (i) a < b b < a (ii) Es gilt ab > 0 a, b > 0 oder a, b < 0. Insbesondere ist a 2 > 0 für a 0 sowie 1 = 1 2 > 0. (iii) Ist a < b, so gilt ac > bc für c < 0. und führung Fibonacci- reelle rationale

37 Rechenregeln im angeordneten Konventionen: Schreibe a > b für b < a, a b für a < b oder a = b. Rechenregeln: (i) a < b b < a (ii) Es gilt ab > 0 a, b > 0 oder a, b < 0. Insbesondere ist a 2 > 0 für a 0 sowie 1 = 1 2 > 0. (iii) Ist a < b, so gilt ac > bc für c < 0. Beweis von (i) (i) Addiere auf beiden Seiten a b und führung Fibonacci- reelle rationale

38 Beweise (ii) Es gilt ab > 0 a, b > 0 oder a, b < 0. Insbesondere ist a 2 > 0 für a 0 sowie 1 = 1 2 > 0. und führung Fibonacci- reelle rationale

39 Beweise (ii) Es gilt ab > 0 a, b > 0 oder a, b < 0. Insbesondere ist a 2 > 0 für a 0 sowie 1 = 1 2 > 0. a, b > 0 ist Axiom, Rest mit ab = ( 1)a( 1)b = ( a)( b). und führung Fibonacci- reelle rationale

40 Beweise (ii) Es gilt ab > 0 a, b > 0 oder a, b < 0. Insbesondere ist a 2 > 0 für a 0 sowie 1 = 1 2 > 0. a, b > 0 ist Axiom, Rest mit ab = ( 1)a( 1)b = ( a)( b). (iii) Ist a < b, so gilt ac > bc für c < 0. und führung Fibonacci- reelle rationale

41 Beweise (ii) Es gilt ab > 0 a, b > 0 oder a, b < 0. Insbesondere ist a 2 > 0 für a 0 sowie 1 = 1 2 > 0. a, b > 0 ist Axiom, Rest mit ab = ( 1)a( 1)b = ( a)( b). (iii) Ist a < b, so gilt ac > bc für c < 0. Nach (i) gilt c > 0 und nach dem Monotoniegesetz daher ac < bc. Wiederum nach (i) folgt ac > bc. und führung Fibonacci- reelle rationale

42 2.5 rationale Im angeordneten Köper gilt 1 = 1 2 > 0. und führung Fibonacci- reelle rationale

43 2.5 rationale Im angeordneten Köper gilt 1 = 1 2 > 0. Nach dem ersten Monotoniegesetz folgt 0 < 1 < 1+1 <..., daher Æ K. und führung Fibonacci- reelle rationale

44 2.5 rationale Im angeordneten Köper gilt 1 = 1 2 > 0. Nach dem ersten Monotoniegesetz folgt 0 < 1 < 1+1 <..., daher Æ K. Mit n K ist auch n K, daher K. und führung Fibonacci- reelle rationale

45 2.5 rationale Im angeordneten Köper gilt 1 = 1 2 > 0. Nach dem ersten Monotoniegesetz folgt 0 < 1 < 1+1 <..., daher Æ K. Mit n K ist auch n K, daher K. Ferner ist m/n K für m und n \{0}, daher É K. und führung Fibonacci- reelle rationale

46 2.5 rationale Im angeordneten Köper gilt 1 = 1 2 > 0. Nach dem ersten Monotoniegesetz folgt 0 < 1 < 1+1 <..., daher Æ K. Mit n K ist auch n K, daher K. Ferner ist m/n K für m und n \{0}, daher É K. Jeder angeornete enthält die rationalen É. Gleichzeitig ist É der minimale angeordnete wie wir gerade gesehen haben. und führung Fibonacci- reelle rationale

47 2 ist irrational Satz Es gibt keine rationale Zahl r mit r 2 = 2. und führung Fibonacci- reelle rationale

48 2 ist irrational Satz Es gibt keine rationale Zahl r mit r 2 = 2. Beweis Angenommen, für teilerfremde m, n Æ wäre ( m n )2 = 2. Dann und führung Fibonacci- reelle rationale

49 2 ist irrational Satz Es gibt keine rationale Zahl r mit r 2 = 2. Beweis Angenommen, für teilerfremde m, n Æ wäre ( m n )2 = 2. Dann m 2 = 2n 2 m = 2k 4k = 2n 2. und führung Fibonacci- reelle rationale

50 2 ist irrational Satz Es gibt keine rationale Zahl r mit r 2 = 2. Beweis Angenommen, für teilerfremde m, n Æ wäre ( m n )2 = 2. Dann m 2 = 2n 2 m = 2k 4k = 2n 2. Daher 2k = n 2 und auch n ist durch 2 teilbar. Widerspruch zur Annahme, dass m und n teilerfremd sind. und führung Fibonacci- reelle rationale

51 2.6 Sei A eine Teilmenge eines angeordneten s. und führung Fibonacci- reelle rationale

52 2.6 Sei A eine Teilmenge eines angeordneten s. A heißt nach unten (oben) beschränkt, wenn es ein ξ K gibt mit ξ a (ξ a) für alle a A. ξ heißt in diesem Fall untere (obere) Schranke von A. und führung Fibonacci- reelle rationale

53 2.6 Sei A eine Teilmenge eines angeordneten s. A heißt nach unten (oben) beschränkt, wenn es ein ξ K gibt mit ξ a (ξ a) für alle a A. ξ heißt in diesem Fall untere (obere) Schranke von A. Ist die Menge A sowohl nach unten als auch nach oben beschränkt, so heißt A beschränkt. und führung Fibonacci- reelle rationale

54 Infimum Sei A eine Teilmenge eines angeordneten s. ξ heißt größte untere Schranke von A oder Infimum von A, wenn für jede andere untere Schranke ξ gilt ξ ξ. und führung Fibonacci- reelle rationale

55 Infimum Sei A eine Teilmenge eines angeordneten s. ξ heißt größte untere Schranke von A oder Infimum von A, wenn für jede andere untere Schranke ξ gilt ξ ξ. ξ heißt kleinste obere Schranke von A oder Supremum von A, wenn für jede andere obere Schranke ξ gilt ξ ξ. und führung Fibonacci- reelle rationale

56 Infimum Sei A eine Teilmenge eines angeordneten s. ξ heißt größte untere Schranke von A oder Infimum von A, wenn für jede andere untere Schranke ξ gilt ξ ξ. ξ heißt kleinste obere Schranke von A oder Supremum von A, wenn für jede andere obere Schranke ξ gilt ξ ξ. In diesen Fällen schreiben wir ξ = inf A beziehungsweise ξ = sup A. und führung Fibonacci- reelle rationale

57 Infimum Sei A eine Teilmenge eines angeordneten s. ξ heißt größte untere Schranke von A oder Infimum von A, wenn für jede andere untere Schranke ξ gilt ξ ξ. ξ heißt kleinste obere Schranke von A oder Supremum von A, wenn für jede andere obere Schranke ξ gilt ξ ξ. In diesen Fällen schreiben wir ξ = inf A beziehungsweise ξ = sup A. Gehört ein Infimum (Supremum) selber zu A, so heißt es Minimum (Maximum). und führung Fibonacci- reelle rationale

58 Infimum Sei A eine Teilmenge eines angeordneten s. ξ heißt größte untere Schranke von A oder Infimum von A, wenn für jede andere untere Schranke ξ gilt ξ ξ. ξ heißt kleinste obere Schranke von A oder Supremum von A, wenn für jede andere obere Schranke ξ gilt ξ ξ. In diesen Fällen schreiben wir ξ = inf A beziehungsweise ξ = sup A. Gehört ein Infimum (Supremum) selber zu A, so heißt es Minimum (Maximum). Infimum einer Menge A sind eindeutig bestimmt, denn wären beispielsweise ξ und η Infima, so würde aufgrund der Definition sowohl ξ η als auch η ξ gelten, was wegen des Trichotomiegesetzes ξ = η impliziert. und führung Fibonacci- reelle rationale

59 2.7 Das Vollständigkeitsaxiom Sei à ein angeordneter. Ist zusätzlich noch (V) Vollständigkeitsaxiom: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum. erfüllt, so heißt à der der reellen und wird mit Ê bezeichnet. und führung Fibonacci- reelle rationale

60 2.7 Das Vollständigkeitsaxiom Sei à ein angeordneter. Ist zusätzlich noch (V) Vollständigkeitsaxiom: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum. erfüllt, so heißt à der der reellen und wird mit Ê bezeichnet. Der Ê wird eindeutig durch die Axiome festgelegt. und führung Fibonacci- reelle rationale

61 2.7 Das Vollständigkeitsaxiom Sei à ein angeordneter. Ist zusätzlich noch (V) Vollständigkeitsaxiom: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum. erfüllt, so heißt à der der reellen und wird mit Ê bezeichnet. Der Ê wird eindeutig durch die Axiome festgelegt. Es ist wie bei den natürlichen : Peanoaxiome braucht man nicht, weil man die natürlichen kennt. und führung Fibonacci- reelle rationale

62 2.7 Das Vollständigkeitsaxiom Sei à ein angeordneter. Ist zusätzlich noch (V) Vollständigkeitsaxiom: Jede nichtleere, nach oben beschränkte Menge besitzt ein Supremum. erfüllt, so heißt à der der reellen und wird mit Ê bezeichnet. Der Ê wird eindeutig durch die Axiome festgelegt. Es ist wie bei den natürlichen : Peanoaxiome braucht man nicht, weil man die natürlichen kennt. Genauso braucht man auch keine Axiome für die reellen nur sind sie ungleich schwerer zu verstehen. und führung Fibonacci- reelle rationale

63 É ist unvollständig In É gilt das Vollständigkeitsaxiom nicht. Wir setzen M = {x : x 2 < 2} und führung Fibonacci- reelle rationale

64 É ist unvollständig In É gilt das Vollständigkeitsaxiom nicht. Wir setzen M = {x : x 2 < 2} M besitzt kein Supremum in É. und führung Fibonacci- reelle rationale

65 É ist unvollständig In É gilt das Vollständigkeitsaxiom nicht. Wir setzen M = {x : x 2 < 2} M besitzt kein Supremum in É. Wie wir später sehen werden, enthält Ê neue wie eben 2, die wir irrationale nennen. und führung Fibonacci- reelle rationale

66 2.8 Das Archimedische Prinzip Archimedes hat als erster den Satz formuliert, dass es zu jeder reellen Zahl a eine natürliche Zahl n mit a < n gibt. und führung Fibonacci- reelle rationale

67 2.8 Das Archimedische Prinzip Archimedes hat als erster den Satz formuliert, dass es zu jeder reellen Zahl a eine natürliche Zahl n mit a < n gibt. Satz (a) Es gibt keine reelle Zahl a mit n a für alle n Æ. und führung Fibonacci- reelle rationale

68 2.8 Das Archimedische Prinzip Archimedes hat als erster den Satz formuliert, dass es zu jeder reellen Zahl a eine natürliche Zahl n mit a < n gibt. Satz (a) Es gibt keine reelle Zahl a mit n a für alle n Æ. (b) Zu reellen a, b mit a > 0 gibt es ein n Æ mit b < an. und führung Fibonacci- reelle rationale

69 2.8 Das Archimedische Prinzip Archimedes hat als erster den Satz formuliert, dass es zu jeder reellen Zahl a eine natürliche Zahl n mit a < n gibt. Satz (a) Es gibt keine reelle Zahl a mit n a für alle n Æ. (b) Zu reellen a, b mit a > 0 gibt es ein n Æ mit b < an. (c) Zu reellen a, b mit a < b gibt es ein n Æ mit a+ 1 n < b. und führung Fibonacci- reelle rationale

70 2.8 Das Archimedische Prinzip Archimedes hat als erster den Satz formuliert, dass es zu jeder reellen Zahl a eine natürliche Zahl n mit a < n gibt. Satz (a) Es gibt keine reelle Zahl a mit n a für alle n Æ. (b) Zu reellen a, b mit a > 0 gibt es ein n Æ mit b < an. (c) Zu reellen a, b mit a < b gibt es ein n Æ mit a+ 1 n < b. (d) Ist a 0 eine reelle Zahl mit a 1/n für alle n Æ, so gilt a = 0. und führung Fibonacci- reelle rationale

71 2.8 Das Archimedische Prinzip Archimedes hat als erster den Satz formuliert, dass es zu jeder reellen Zahl a eine natürliche Zahl n mit a < n gibt. Satz (a) Es gibt keine reelle Zahl a mit n a für alle n Æ. (b) Zu reellen a, b mit a > 0 gibt es ein n Æ mit b < an. (c) Zu reellen a, b mit a < b gibt es ein n Æ mit a+ 1 n < b. (d) Ist a 0 eine reelle Zahl mit a 1/n für alle n Æ, so gilt a = 0. (e) Zu zwei reellen mit a < b gibt es eine rationale Zahl r mit a < r < b. und führung Fibonacci- reelle rationale

72 Beweis des Archimedischen Prinzips Dass a > n nicht möglich ist, wissen wir natürlich. Der Satz enthält aber auch viele Schlussweisen, die häufig in der Analysis vorkommen. und führung Fibonacci- reelle rationale

73 Beweis des Archimedischen Prinzips Dass a > n nicht möglich ist, wissen wir natürlich. Der Satz enthält aber auch viele Schlussweisen, die häufig in der Analysis vorkommen. (a) Es gibt keine reelle Zahl a mit n a für alle n Æ. und führung Fibonacci- reelle rationale

74 Beweis des Archimedischen Prinzips Dass a > n nicht möglich ist, wissen wir natürlich. Der Satz enthält aber auch viele Schlussweisen, die häufig in der Analysis vorkommen. (a) Es gibt keine reelle Zahl a mit n a für alle n Æ. Wäre die Menge der natürlichen beschränkt, so würde nach dem Vollständigkeitsgesetz ξ = sup Æ existieren. Nach Definition des Supremums gibt es ein n Æ mit ξ 1 < n, was wegen ξ < n+1 einen Widerspruch ergibt. und führung Fibonacci- reelle rationale

75 Beweis des Archimedischen Prinzips Dass a > n nicht möglich ist, wissen wir natürlich. Der Satz enthält aber auch viele Schlussweisen, die häufig in der Analysis vorkommen. (a) Es gibt keine reelle Zahl a mit n a für alle n Æ. Wäre die Menge der natürlichen beschränkt, so würde nach dem Vollständigkeitsgesetz ξ = sup Æ existieren. Nach Definition des Supremums gibt es ein n Æ mit ξ 1 < n, was wegen ξ < n+1 einen Widerspruch ergibt. (b) Zu reellen a, b mit a > 0 gibt es ein n Æ mit b < an. und führung Fibonacci- reelle rationale

76 Beweis des Archimedischen Prinzips Dass a > n nicht möglich ist, wissen wir natürlich. Der Satz enthält aber auch viele Schlussweisen, die häufig in der Analysis vorkommen. (a) Es gibt keine reelle Zahl a mit n a für alle n Æ. Wäre die Menge der natürlichen beschränkt, so würde nach dem Vollständigkeitsgesetz ξ = sup Æ existieren. Nach Definition des Supremums gibt es ein n Æ mit ξ 1 < n, was wegen ξ < n+1 einen Widerspruch ergibt. (b) Zu reellen a, b mit a > 0 gibt es ein n Æ mit b < an. Wegen (a) existiert n > b a. und führung Fibonacci- reelle rationale

77 Beweis des Archimedischen Prinzips (c) Zu reellen a, b mit a < b gibt es ein n Æ mit a+ 1 n < b. und führung Fibonacci- reelle rationale

78 Beweis des Archimedischen Prinzips (c) Zu reellen a, b mit a < b gibt es ein n Æ mit a+ 1 n < b. Wegen (a) existiert n > 1 b a. und führung Fibonacci- reelle rationale

79 Beweis des Archimedischen Prinzips (c) Zu reellen a, b mit a < b gibt es ein n Æ mit a+ 1 n < b. Wegen (a) existiert n > 1 b a. (d) Ist a 0 eine reelle Zahl mit a 1/n für alle n Æ, so gilt a = 0. und führung Fibonacci- reelle rationale

80 Beweis des Archimedischen Prinzips (c) Zu reellen a, b mit a < b gibt es ein n Æ mit a+ 1 n < b. Wegen (a) existiert n > 1 b a. (d) Ist a 0 eine reelle Zahl mit a 1/n für alle n Æ, so gilt a = 0. Wäre a > 0, so wäre n < 1 a für alle n Æ im Widerspruch zu (a). und führung Fibonacci- reelle rationale

81 Beweis des Archimedischen Prinzips (e) Zu zwei reellen mit a < b gibt es eine rationale Zahl r mit a < r < b. und führung Fibonacci- reelle rationale

82 Beweis des Archimedischen Prinzips (e) Zu zwei reellen mit a < b gibt es eine rationale Zahl r mit a < r < b. Ist a < 0, so können wir durch Addition einer natürlichen Zahl die Situation a > 0 herstellen. und führung Fibonacci- reelle rationale

83 Beweis des Archimedischen Prinzips (e) Zu zwei reellen mit a < b gibt es eine rationale Zahl r mit a < r < b. Ist a < 0, so können wir durch Addition einer natürlichen Zahl die Situation a > 0 herstellen. Sei also 0 < a < b. Nach (b) gibt es ein n Æ mit n(b a) > 1, also 0 < 1 n < b a. und führung Fibonacci- reelle rationale

84 Beweis des Archimedischen Prinzips (e) Zu zwei reellen mit a < b gibt es eine rationale Zahl r mit a < r < b. Ist a < 0, so können wir durch Addition einer natürlichen Zahl die Situation a > 0 herstellen. Sei also 0 < a < b. Nach (b) gibt es ein n Æ mit n(b a) > 1, also 0 < 1 n < b a. Nach (a) gibt es ein m Æ mit m > na, also m n > a. und führung Fibonacci- reelle rationale

85 Beweis des Archimedischen Prinzips (e) Zu zwei reellen mit a < b gibt es eine rationale Zahl r mit a < r < b. Ist a < 0, so können wir durch Addition einer natürlichen Zahl die Situation a > 0 herstellen. Sei also 0 < a < b. Nach (b) gibt es ein n Æ mit n(b a) > 1, also 0 < 1 n < b a. Nach (a) gibt es ein m Æ mit m > na, also m n > a. Menge { m m Æ : n > a} ist daher nichtleer und besitzt ein kleinstes Element k, für das gilt. a < k n, a k 1 n und führung Fibonacci- reelle rationale

86 Beweis des Archimedischen Prinzips a < k n, a k 1 n und führung Fibonacci- reelle rationale

87 Beweis des Archimedischen Prinzips Wäre k n b, so k 1 n a < k n, a k 1 n b 1 n was einen Widerspruch bedeutet. > b (b a) = a, und führung Fibonacci- reelle rationale

88 É liegt dicht in Ê Nach (e) kann man eine Irrationalzahl a durch rationale beliebig genau approximieren. und führung Fibonacci- reelle rationale

89 É liegt dicht in Ê Nach (e) kann man eine Irrationalzahl a durch rationale beliebig genau approximieren. Auch die Irrationalzahlen liegen dicht in Ê. Zu reellen a < b finden wir nach (e) eine rationale Zahl r mit a < r < b. und führung Fibonacci- reelle rationale

90 É liegt dicht in Ê Nach (e) kann man eine Irrationalzahl a durch rationale beliebig genau approximieren. Auch die Irrationalzahlen liegen dicht in Ê. Zu reellen a < b finden wir nach (e) eine rationale Zahl r mit a < r < b. Für genügen großes n Æ liegt auch die Irrationalzahl r + 2/n zwischen a und b. und führung Fibonacci- reelle rationale

91 2.9 n-te Wurzel y 1 Abbildung: Quadratwurzel Satz Ist a 0 und n Æ, so besitzt die Gleichung x n = a genau eine reelle Lösung x mit x 0. 1 x und führung Fibonacci- reelle rationale

92 2.9 n-te Wurzel y 1 Abbildung: Quadratwurzel Satz Ist a 0 und n Æ, so besitzt die Gleichung x n = a genau eine reelle Lösung x mit x 0. se Lösung wird mit n a bezeichnet und die n-te Wurzel aus a genannt. 1 x und führung Fibonacci- reelle rationale

93 2.9 n-te Wurzel y 1 Abbildung: Quadratwurzel Satz Ist a 0 und n Æ, so besitzt die Gleichung x n = a genau eine reelle Lösung x mit x 0. se Lösung wird mit n a bezeichnet und die n-te Wurzel aus a genannt. Also Ziehe Wurzeln nur aus nichtnegativen. Wurzel ist ebenfalls nichtnegativ. 1 x und führung Fibonacci- reelle rationale

94 Beweis n = 1 oder a = 0 sind klar, setzen daher n 2 und a > 0 voraus. und führung Fibonacci- reelle rationale

95 Beweis n = 1 oder a = 0 sind klar, setzen daher n 2 und a > 0 voraus. Teilmenge von Ê ist M = {x 0 : x n a} und führung Fibonacci- reelle rationale

96 Beweis n = 1 oder a = 0 sind klar, setzen daher n 2 und a > 0 voraus. Teilmenge von Ê ist nichtleer wegen 0 M M = {x 0 : x n a} nach oben beschränkt durch 1+a Sei ξ = sup M. Zeige ξ n = a. und führung Fibonacci- reelle rationale

97 Beweis Angenommen, ξ n < a. Für m Æ wende die binomische Formel an ( 1 ) ( n n ) ξ ξ+ = ξ n n 1 ( n ) ξ n 2 ( n ) 1 + m 1 m + 2 m n m n. und führung Fibonacci- reelle rationale

98 Beweis Angenommen, ξ n < a. Für m Æ wende die binomische Formel an ( 1 ) ( n n ) ξ ξ+ = ξ n n 1 ( n ) ξ n 2 ( n ) 1 + m 1 m + 2 m n m n. Ziehe recht m 1 heraus und schätze die übrigen Potenzen von m 1 durch 1 ab: mit b unabhängig von m. ( ξ + 1 m) n ξ n + b m und führung Fibonacci- reelle rationale

99 Beweis Angenommen, ξ n < a. Für m Æ wende die binomische Formel an ( 1 ) ( n n ) ξ ξ+ = ξ n n 1 ( n ) ξ n 2 ( n ) 1 + m 1 m + 2 m n m n. Ziehe recht m 1 heraus und schätze die übrigen Potenzen von m 1 durch 1 ab: ( ξ + 1 m) n ξ n + b m mit b unabhängig von m. Wegen ξ n < a folgt aus dem Archimedischen Prinzip (ξ + 1 m )n < a für genügend großes m. und führung Fibonacci- reelle rationale

100 Beweis Angenommen, ξ n < a. Für m Æ wende die binomische Formel an ( 1 ) ( n n ) ξ ξ+ = ξ n n 1 ( n ) ξ n 2 ( n ) 1 + m 1 m + 2 m n m n. Ziehe recht m 1 heraus und schätze die übrigen Potenzen von m 1 durch 1 ab: ( ξ + 1 m) n ξ n + b m mit b unabhängig von m. Wegen ξ n < a folgt aus dem Archimedischen Prinzip (ξ + 1 m )n < a für genügend großes m. Daher ξ + 1 M und ξ ist gar nicht das Supremum von M. m und führung Fibonacci- reelle rationale

101 Beweis Angenommen, ξ n > a. Dann folgt für genügend großes m aus der ( 1 ) n ξ = ξ n ( 1 1 ) n ξ n ( 1 n ). m ξm ξm und führung Fibonacci- reelle rationale

102 Beweis Angenommen, ξ n > a. Dann folgt für genügend großes m aus der ( 1 ) n ξ = ξ n ( 1 1 ) n ξ n ( 1 n ). m ξm ξm Für genügend großes m ist daher (ξ 1 m )n > a. und führung Fibonacci- reelle rationale

103 Beweis Angenommen, ξ n > a. Dann folgt für genügend großes m aus der ( 1 ) n ξ = ξ n ( 1 1 ) n ξ n ( 1 n ). m ξm ξm Für genügend großes m ist daher (ξ 1 m )n > a. Daher gibt es noch eine kleinere obere Schranke als ξ, also ist ξ gar nicht das Supremum von M. Widerspruch! und führung Fibonacci- reelle rationale

104 2.10 Vorzeichen und Betrag Zu einer reellen Zahl heißt 1 für a > 0 sgn a = 0 für a = 0 1 für a < 0 Vorzeichen (=Signum) von a. und führung Fibonacci- reelle rationale

105 2.10 Vorzeichen und Betrag Zu einer reellen Zahl heißt 1 für a > 0 sgn a = 0 für a = 0 1 für a < 0 Vorzeichen (=Signum) von a. Ferner heißt a = a sgn a oder { a für a 0 a = a für a < 0 der Betrag von a. und führung Fibonacci- reelle rationale

106 Eigenschaften des Betrags (i) Für a 0 ist a > 0. und führung Fibonacci- reelle rationale

107 Eigenschaften des Betrags (i) Für a 0 ist a > 0. (ii) Es gilt ab = a b. und führung Fibonacci- reelle rationale

108 Eigenschaften des Betrags (i) Für a 0 ist a > 0. (ii) Es gilt ab = a b. (iii) a + b a + b (Dreiecksungleichung). und führung Fibonacci- reelle rationale

109 Eigenschaften des Betrags (i) Für a 0 ist a > 0. (ii) Es gilt ab = a b. (iii) a + b a + b (Dreiecksungleichung). (iv) a b a b (umgekehrte Dreiecksungleichung) und führung Fibonacci- reelle rationale

110 Eigenschaften des Betrags (i) Für a 0 ist a > 0. (ii) Es gilt ab = a b. (iii) a + b a + b (Dreiecksungleichung). (iv) a b a b (umgekehrte Dreiecksungleichung) Beweis von (iv): a = a b+b a b + b, b = b a+a a b + a. und führung Fibonacci- reelle rationale

111 2.11 Intervalle Seien a, b Ê mit a < b. Man nennt [a, b] = {x Ê : a x b} (a, b) = {x Ê : a < x < b} [a, b) = {x Ê : a x < b} (a, b] = {x Ê : a < x b} abgeschlossenes Intervall offenes Intervall (nach rechts) halboffenes Intervall (nach links) halboffenes Intervall und führung Fibonacci- reelle rationale

112 Unbeschränkte Intervalle Unbeschränkte Intervalle werden mit Hilfe der Symbole und definiert. Für a Ê heißen die Mengen (, a) = {x Ê : x < a}, (a, ) = {x Ê : x > a} offene und die Mengen (, a] = {x Ê : x a}, [a, ) = {x Ê : x a} abgeschlossene Intervalle. und führung Fibonacci- reelle rationale

113 Unbeschränkte Intervalle Unbeschränkte Intervalle werden mit Hilfe der Symbole und definiert. Für a Ê heißen die Mengen (, a) = {x Ê : x < a}, (a, ) = {x Ê : x > a} offene und die Mengen (, a] = {x Ê : x a}, [a, ) = {x Ê : x a} abgeschlossene Intervalle. Menge Ê wird auch als Intervall (, ) angesehen und sowohl als offen als auch als abgeschlossen definiert. und führung Fibonacci- reelle rationale

114 Unbeschränkte Intervalle Unbeschränkte Intervalle werden mit Hilfe der Symbole und definiert. Für a Ê heißen die Mengen (, a) = {x Ê : x < a}, (a, ) = {x Ê : x > a} offene und die Mengen (, a] = {x Ê : x a}, [a, ) = {x Ê : x a} abgeschlossene Intervalle. Menge Ê wird auch als Intervall (, ) angesehen und sowohl als offen als auch als abgeschlossen definiert. Ê + = (0, )=positive reelle, Ê = (, 0)=negative reelle. und führung Fibonacci- reelle rationale

115 ε-umgebung Für a Ê bezeichnen wir die Menge als ε-umgebung von a. B ε (a) = (a ε, a+ε), ε > 0, und führung Fibonacci- reelle rationale

116 ε-umgebung Für a Ê bezeichnen wir die Menge als ε-umgebung von a. B ε (a) = (a ε, a+ε), ε > 0, Jede Menge, die ein B ε (a) enthält, wird als Umgebung von a bezeichnet. und führung Fibonacci- reelle rationale

117 ε-umgebung Für a Ê bezeichnen wir die Menge als ε-umgebung von a. B ε (a) = (a ε, a+ε), ε > 0, Jede Menge, die ein B ε (a) enthält, wird als Umgebung von a bezeichnet. Genau die offenen Intervalle haben die Eigenschaft, dass sie Umgebung für jeden ihrer Punkte sind. und führung Fibonacci- reelle rationale

118 ε-umgebung Für a Ê bezeichnen wir die Menge als ε-umgebung von a. B ε (a) = (a ε, a+ε), ε > 0, Jede Menge, die ein B ε (a) enthält, wird als Umgebung von a bezeichnet. Genau die offenen Intervalle haben die Eigenschaft, dass sie Umgebung für jeden ihrer Punkte sind. Das Intervall [a, b) ist nicht offen, weil für jedes ε > 0 gilt B ε (a) [a, b). und führung Fibonacci- reelle rationale

119 2.12 Das Rechnen mit reellen Beispiel 1 Wir bestimmen die Menge M = { x Ê : x + 4 x 2 < x}. und führung Fibonacci- reelle rationale

120 2.12 Das Rechnen mit reellen Beispiel 1 Wir bestimmen die Menge M = { x Ê : x + 4 x 2 < x}. Um den Bruch umzuformen, unterscheiden wir die Fälle x > 2 und x < 2: M = M 1 M 2 mit M 1 = {x > 2 : 0 < x 2 3x 4}, M 2 = {x < 2 : 0 > x 2 3x 4}. und führung Fibonacci- reelle rationale

121 2.12 Das Rechnen mit reellen Beispiel 1 Wir bestimmen die Menge M = { x Ê : x + 4 x 2 < x}. Um den Bruch umzuformen, unterscheiden wir die Fälle x > 2 und x < 2: M = M 1 M 2 mit M 1 = {x > 2 : 0 < x 2 3x 4}, M 2 = {x < 2 : 0 > x 2 3x 4}. Mit x 2 3x 4 = (x + 1)(x 4) folgt dann M 1 = {x > 4}, M 2 = { 1 < x < 2} M = (4, ) ( 1, 2). und führung Fibonacci- reelle rationale

122 Beispiel 2 Für a, b > 0 wollen wir die beweisen. Wie gehen wir hier vor? a b + b a a+ b und führung Fibonacci- reelle rationale

123 Beispiel 2 Für a, b > 0 wollen wir die beweisen. Wie gehen wir hier vor? a b + b a a+ b OBdA sei a > b. Wir teilen durch b teilen. Es entsteht eine in x = a/ b 1 x x + 1, x > 0. x und führung Fibonacci- reelle rationale

124 Beispiel 2 Für a, b > 0 wollen wir die beweisen. Wie gehen wir hier vor? a b + b a a+ b OBdA sei a > b. Wir teilen durch b teilen. Es entsteht eine in x = a/ b 1 x x x + 1, x > 0. oder x 3 x 2 x und führung Fibonacci- reelle rationale

125 Beispiel 2 Für a, b > 0 wollen wir die beweisen. Wie gehen wir hier vor? a b + b a a+ b OBdA sei a > b. Wir teilen durch b teilen. Es entsteht eine in x = a/ b 1 x x x + 1, x > 0. oder x 3 x 2 x Das kann man mit Kurvendiskussion machen. Wir zeigen das elementar: und führung Fibonacci- reelle rationale

126 Beispiel 2 x 3 x 2 x mit x 1. und führung Fibonacci- reelle rationale

127 Beispiel 2 x 3 x 2 x mit x 1. Wir setzen nun x = 1+y mit y 0 und erhalten mit Hilfe der binomischen Formel x 3 x 2 x + 1 = (y 3 + 3y 2 + 3y + 1) (y 2 + 2y + 1) (y + 1)+1 = y 3 + 2y 2 + y 0. und führung Fibonacci- reelle rationale

128 Beispiel 3 Für a, b Ê und ε > 0 gilt ( εa± 1 ) 2 ε b 0 und führung Fibonacci- reelle rationale

129 Beispiel 3 Für a, b Ê und ε > 0 gilt ( εa± 1 ) 2 ε b 0 und es folgt die Youngsche ab ε 2 a ε b2. und führung Fibonacci- reelle rationale

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