Elemente der Algebra. Dr. Theo Overhagen Fakultät IV Dep. Mathematik Universität Siegen

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1 Elemente der Algebra Dr. Theo Overhagen Fakultät IV Dep. Mathematik Universität Siegen

2 I Vorbemerkung In der folgenden Vorlesung werden zunächst die Mengenoperationen und die grundlegenden aussagenlogischen Operationen sowie die verschiedenen grundlegenden Beweismethoden in der Mathematik behandelt. Im nächsten Abschnitt betrachten wir algebraische Gleichungen - lineare (und Systeme), quadratische und höheren Grades und - damit zusammenhängend - Nullstellen von Polynomen. Ausgehend von den als bekannt vorausgesetzten Mengen der natürlichen, ganzen, rationalen und reellen Zahlen werden im 3. Abschnitt die algebraischen Grundstrukturen Ring, Körper und Gruppe eingeführt und ihre Unterschiede und Gemeinsamkeiten an Beispielen verdeutlicht. Dabei führen wir den Körper der komplexen Zahlen ein. Literatur J.Beetz: Algebra für Höhlenmenschen und andere Anfänger. Springer essentials J.Beetz: 1+1=10. Mathematik für Höhlenmenschen. Springer A.Beutelspacher: In Mathe war ich immer schlecht.... Vieweg H.Dittmann: Algebraische Strukturen und Gleichungen. Bayer.Schulbuchverlag, München A.Kirsch: Mathematik wirklich verstehen. Aulis 1987/1994. H.Schichl-R.Steinbauer: Einführung in das mathematische Arbeiten. Springer 2009.

3 1 1 Mengen, Aussagen, Beweise 1.1 Der Mengenbegriff, Schreibweisen, Spezielle Mengen In der Mathematik hat sich eine eigene Sprache entwickelt, die dazu hilft, die zu betrachtenden Objekte und ihre Eigenschaften genauer und unmißverständlicher zu beschreiben, als es die übliche Umgangssprache vermag. Ein wesentliches Element dieser Sprache ist der Begriff der Menge (Georg Cantor, ): Definition (a) Die Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte heißt Menge, die Objekte Elemente der Menge. Will man ausdrücken, dass ein Objekt x Element einer Menge M ist, dann schreibt man x M. Ist x nicht Element von M, dann schreibt man x M. (b) Zwei Mengen M, N heißen gleich (in Zeichen M = N), wenn sie dieselben Elemente haben. Man muß sorgfältig zwischen den Objekten, also den Elementen, und dem neuen Ganzen, der Menge, unterscheiden. Weiter muß von jedem - wie auch gearteten - Objekt (unserer Umgebung oder unseres Denkens) feststehen, ob es zu dieser Menge gehört oder nicht. Wir haben ein natürliches, intuitiv richtiges Verständnis für Mengen. Unsere Definition führt jedoch zu logischen Widersprüchen, wie die Russellsche Antinomie zeigt: Betrachtet man die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, dann kann man nicht entscheiden, ob diese Menge sich selbst enthält oder nicht, denn beide Situationen führen auf einen Widerspruch. Dies war Ausgangspunkt zur Aufspaltung der Mengenlehre in die sog. naive Mengenlehre und die axiomatische Mengenlehre. In der axiomatischen Mengenlehre werden Kalküle entwickelt, die ein Auftreten solcher Antinomien ausschließen, während die naive Mengenlehre im wesentlichen als Grundlage der mathematischen Sprechweise dient. Endliche Mengen können (insbesondere wenn sie relativ wenig Elemente haben) durch Aufzählen ihrer Elemente dargestellt werden: M = {blau,gelb,rot} oder M = {Max,Moritz,WitweBolte}. Dabei kommt es vereinbarungsgemäß nicht auf eine Reihenfolge an oder darauf, ob ein Element mehr als einmal genannt wird. Die Mengen werden als gleich angesehen. {blau, rot, gelb}, {blau, gelb, rot}, {blau, blau, gelb, rot} Mengen mit sehr vielen oder sogar unendlich vielen Elementen beschreibt man durch die Eigenschaften, die die Elemente dieser Menge charakterisieren, d.h. alle Elemente dieser Menge haben diese Eigenschaften und kein anderes Objekt: {x x ist Einwohner Chinas} oder {x x ist Vielfaches von 3 und kleiner als 1000}.

4 1. Mengen, Aussagen, Beweise 2 Für Mengen wie aus dem letzten Beispiel benutzt man auch die aufzählende Schreibweise mit Auslassungspunkten {3,6,9,12,...,996,999}, aber nur, wenn das Bildungsgesetz aus den angeführten Beispielen oder aus dem Zusammenhang klar ersichtlich ist. Entsprechend soll {1, 1 2, 1 3, 1,...} die Menge der Stammbrüche darstellen. 4 Im Zusammenhang mit Zahlen benutzt man oft eine Grundmenge und schränkt diese durch weitere Eigenschaften ein. Beispiele Mit der Grundmenge IN = {1,2,3,4,5,6,...} der natürlichen Zahlen ergeben sich z.b. die Mengen (1) M 1 = {x IN x ist prim} = {2,3,5,7,11,13,17,...}, (2) M 2 = {x IN x ist größer als 10} = {x IN x > 10} = {11,12,13,14,15,...}, (3) M 3 = {x IN x ist Teiler von 30} = {1,2,3,5,6,10,15,30}. Definition Die Menge, die gar keine Elemente hat, heißt leere Menge. Schreibweise:. Manche (nicht alle) Mengen kann man untereinander vergleichen: Definition Es seien M und N Mengen. (a) Ist jedes Element x M von M auch Element der Menge N, dann heißt M Teilmenge von N und umgekehrt heißt N Obermenge von M. Schreibweise: M N. (b) M heißt echte Teilmenge von N (bzw. N echte Obermenge von M), wenn M Teilmenge von N ist, aber von N verschieden. Jedes Element von M ist also auch Element von N, aber es gibt (mindestens) ein Element in N, das nicht in M enthalten ist. Schreibweise: M N. Beispiele (1) Die Teilmengen der Menge M = {0,1,2} sind die Mengen, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}. (2) Die echten Teilmengen der Menge M = {0,1,2} sind die Mengen aus Beispiel (1) außer M = {0,1,2}. (3) Jede Menge M ist Teilmenge von sich selbst, und die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge, d.h. es gilt M M, M.

5 1. Mengen, Aussagen, Beweise 3 Die Teilmengen einer festen Menge kann man wieder als Objekte auffassen und zu einer neuen Menge zusammenfassen: Definition Sei M eine beliebige Menge. Die Menge, deren Elemente die Teilmengen von M sind, heißt Potenzmenge von M. Schreibweise: P(M). Bemerkungen und Beispiele (1) Die Potenzmenge von M enthält immer die leere Menge und die Menge M. (2) Für M = {0,1,2} ist (3) Speziell ist P(M) = {, {0}, {1}, {2}, {0,1}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}}. P( ) = { }, also eine einelementige Menge. Die Potenzmenge einer einelementigen Menge {x} ist P({x}) = {,{x}}, enthält also zwei Elemente. Allgemein gilt: Besitzt M genau n Elemente, so hat P(M) 2 n Elemente. Aus bekannten Mengen kann man durch Mengenoperationen neue Mengen bilden: Definition (a) Die Vereinigung der Mengen M und N ist die Menge M N := {x x M oder x N}. (b) Der Durchschnitt der Mengen M und N ist die Menge M N := {x x M und x N}. (c) Mehrere Mengen ohne gemeinsame Elemente heißen elementfremd oder disjunkt. Ihr Durchschnitt ist die leere Menge. (d) Mehrere Mengen heißen paarweise elementfremd oder paarweise disjunkt, wenn je zwei der Mengen disjunkt sind. Bemerkungen und Beispiele (1) Die Vereinigungs- und Durchschnittsbildung kann auch auf beliebig viele Mengen ausgedehnt werden. Für Mengen M 1,M 2,...,M n schreibt man Vereinigung und Durchschnitt kurz n M i := M 1 M 2... M n, i=1 n M i := M 1 M 2... M n. i=1

6 1. Mengen, Aussagen, Beweise 4 (2) Für die Mengen M 1 := {1,2}, M 2 := {2,3}, M 3 := {1,3} gilt M 1 M 2 = M 1 M 3 = M 2 M 3 = M 1 M 2 M 3 = {1,2,3}, M 1 M 2 = {2}, M 1 M 3 = {1}, M 2 M 3 = {3}, M 1 M 2 M 3 =, die Mengen sind also disjunkt, aber nicht paarweise disjunkt. (3) Ist M 1 Teilmenge von M 2, d.h. gilt M 1 M 2, dann gilt M 1 M 2 = M 2, M 1 M 2 = M 1. Speziell gilt für jede Menge M M = M, M =. Eine Möglichkeit, Beziehungen zwischen Mengen grafisch darzustellen, sind Venn-Diagramme. Dabei werden Mengen z.b. durch Kreise dargestellt. Die Punkte innerhalb der Kreise werden als Elemente der Mengen aufgefasst. Da durch solche Skizzen nicht alle Situationen dargestellt werden können, sind Venn-Diagramme nur zur Veranschaulichung geeignet, Beweise kann man mit ihnen im allgemeinen nicht führen. Für die Teilmengenbeziehung, den Durchschnitt und die Vereinigung zweier Mengen erhält man folgende Darstellungen: X X N M M N M N M N M N M N In gewisser Weise das Gegenstück zu der Vereinigung ist die mengentheoretische Differenz: Definition Seien M 1 und M 2 Mengen. Dann heißt M 1 \M 2 := {x x M 1 und x M 2 }. (mengentheoretische) Differenz der Mengen M 1 und M 2. Bemerkungen und Beispiele (1) Für M 1 = {1,2,3,4,5}, M 2 = {3,4,5,6,7} ist M 1 \M 2 = {1,2}, M 2 \M 1 = {6,7}. Bei der Bildung der Differenz werden aus M 1 nur die Elemente von M 2 entfernt, die auch Element in M 1 sind. M 2 kann weitere Elemente enthalten, die aber keine Rolle spielen. Es gilt M 1 \M 2 = M 1 \(M 1 M 2 ).

7 1. Mengen, Aussagen, Beweise 5 (2) Ist M N, dann nennt man die Differenz N \M auch Komplement von M in N. Dieser Begriff wird vor allem dann verwendet, wenn N eine Grundmenge ist, die Obermenge aller in einer bestimmten Untersuchung in Frage stehenden Mengen ist. N \ M heißt dann einfach das Komplement von M. Übliche Schreibweise: M oder M. Ist Z die Menge der ganzen Zahlen, U der ungeraden und G der geraden ganzen Zahlen, dann gilt Natürlich gilt N = und = N. G = Z\G = U. (3) Mit Venn-Diagrammen stellen sich Mengendifferenz und Komplement folgendermaßen dar: X M N M M M M M \N M Eine weitere Mengenoperation ist das Bilden von Paaren, Tripeln bzw. n-tupeln aus Elementen verschiedener Mengen, wie man sie von Koordinatensystemen kennt: Definition Sind M 1 und M 2 zwei Mengen, dann heißt M 1 M 2 := {(x,y) x M 1 und y M 2 }. (kartesisches) Produkt der Mengen M 1 und M 2. Bemerkungen und Beispiele (1) Das kartesische Produkt M 1 M 2 hat eine andere Gestalt als die Grundmengen M 1 und M 2. Es besteht aus geordneten Paaren. Speziell ist die Reihenfolge der Objekte in (x,y) zu beachten, d.h. in IN IN gilt z.b. (1 2) (2 1). (2) Zieht jede der Personen Albert, Maria und Uwe genau eine Karte aus einem Stapel Karten mit Nummern 1, 2 oder 3, dann ergeben sich als mögliche Konstellationen (Albert,1),(Albert,2),(Albert,3),(Maria,1),(Maria,2),(Maria,3),(Uwe,1),(Uwe,2),(Uwe,3). Die angezeigten Paare bilden das kartesische Produkt M 1 M 2 der Mengen M 1 = {Albert,Maria,Uwe} und M 2 = {1,2,3}. (3) Für endlich viele Mengen M 1,M 2,...,M n lässt sich das kartesische Produkt definieren durch M 1 M 2... M n := {(x 1,x 2,...,x n ) x i M i, 1 i n}.

8 1. Mengen, Aussagen, Beweise 6 (4) Im Fall M 1 = M 2 =... = M n =: M setzt man analog zur Abkürzung der mehrfachen Multiplikation einer Zahl mit sich M n := M } M {{... M }. n mal Beispiele sind die (reelle) Ebene IR 2 und der Raum IR 3. Für M = {1,2,3} ist 1.2 Schaltalgebra M 2 = {(1,1),(1,2),(1.3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}. Elektrische und elektronische Schaltungen bestehen aus Leitungen und Schaltern. In jeder Leitung kann Strom fließen oder nicht, d.h. wir unterscheiden zwei Zustände. Entsprechend sind bei einem Schalter die beiden Stellungen Ein und Aus möglich. In der Mathematik beschreibt man den Zustand einer Leitung bzw. die Stellung eines Schalters mit Hilfe einer (binären) Variablen, die die zwei Werte 0 oder 1 annehmen kann. Mit Schaltern kann man steuern, ob Strom durch eine bestimmte Leitung fließt oder nicht, d.h. die Schalterzustände steuern die Zustände von Leitungen. Bei einer komplizierten Schaltung aus mehreren Schaltern, die durch Leitungen verbunden sind, ist oft auf den ersten Blick nicht zu erkennen, welche Leitungen bei welchen Schalterstellungen Strom führen und welche nicht. Man erhält einen Überblick über die Situation in den Leitungen durch Schaltwerttabellen. Beispiele (1) Bei einer Serienschaltung mit einer Stromquelle, einer Lampe und zwei hintereinanderliegenden Schaltern a und b fließt dann und nur dann Strom, wenn beide Schalter auf Ein stehen. In der Mathematik spricht man von der und -Verknüpfung a b. Die zugehörige Schaltwerttabelle ist Schalter a Serienschaltung Schalter b a b a b

9 1. Mengen, Aussagen, Beweise 7 (2) Bei einer Parallelschaltung von zwei Schaltern a und b reicht es aus, Schalter a oder Schalter b einzuschalten. In der Mathematik spricht man von der oder -Verknüpfung a b. ACHTUNG: Beachten Sie, dass das bedeutet, dass a oder b oder beide eingeschaltet sind. Die Situation a oder b, aber nicht beide, drückt man durch entweder... oder aus. Schalter a Die zugehörige Schaltwerttabelle ist Schalter b Parallelschaltung a b a b (3) Beschriftet man einen Schalter a verkehrt, dann ergibt sich die Negation mit der Schaltwerttabelle a 0 1 a Aussagen, Boolesche Algebra Zu Beginn der Entwicklung einer mathematischen Theorie (wie der Analysis, Geometrie, Algebra) steht immer eine Reihe von Aussagen, die als wahr angenommen werden. Sie heißen Axiome. Von diesen werden durch logische Schlüsse weitere wahre Aussagen abgeleitet, aus diesen weitere usw. Die dazu notwendigen logischen Umformungsschritte nennt man einen mathematischen Beweis. Dabei gilt ein wesentliches Grundprinzip: Eine Aussage ist entweder wahr oder falsch (Tertium non datur). Beispiele für Aussagen sind: - 3 ist größer als 1. - Es gibt 9 Millionen Fahrräder in Peking. - Jede Schwedin hat blonde Haare. Keine Aussagen in diesem Sinn sind - Wer hat heute Geburtstag? Diese Aussage ist nicht wahr.

10 1. Mengen, Aussagen, Beweise 8 Wir bezeichnen im folgenden Aussagen durch große Buchstaben. Weiter bezeichnen wir mit 1 eine Aussage, die immer wahr ist, und mit 0 eine Aussage, die immer falsch ist. Aus mehreren Aussagen kann man eine komplexere Aussage bilden. Da Aussagen zwei mögliche Werte (nämlich wahr oder falsch ) annehmen können, geht das entsprechend zu den Verbindungen von Schalterzuständen in der Schaltalgebra. An Stelle der Schalter treten die Aussagen, wahr kann man durch die Zahl 1 und falsch durch die Zahl 0 darstellen, und die Schaltwerttabelle nennen wir Wahrheitstafel. Definition Gegeben seien zwei beliebige Aussagen A und B. Durch die folgende Wahrheitstafel werden Operationen definiert, die A und B neue Aussagen zuordnen, die Negation (Schreibw. ), die Konjunktion (Schreibw. ) und die Disjunktion (Schreibw. ): A B A A B A B w w f w w w f f f w f w w f w f f w f f Die Symbole, und heißen Junktoren, das Ergebnis der Operation verneinte Aussage, Und- Aussage und Oder-Aussage. So werden aus den Aussagen A := Herbert studiert Mathematik, B := Herbert ist 24 Jahre alt die Aussagen - A B = Herbert studiert Mathematik und er ist 24 Jahre alt, - A B = Herbert studiert Mathematik oder er ist 24 Jahre alt, - B = Herbert ist nicht 24 Jahre alt. Die Aussage Herbert ist 22 Jahre alt ist nicht die Negation von B. Wie in der Umgangssprache wird das starre System, das nicht vor die Aussage zu stellen, oft aufgehoben. Man sagt z.b. es regnet nicht statt nicht es regnet oder x 2 statt (x = 2).

11 1. Mengen, Aussagen, Beweise 9 Stellt man aus mehreren Aussagen durch Benutzung aller dieser Verknüpfungen eine Aussage zusammen, dann gelten folgende Rechenregeln für die Verknüpfungen: Satz (Rechenregeln für logische Operatoren) Für die Operationen, und gelten die folgenden Rechenregeln: (a) A B = B A, A B = B A. Kommutativität (b) A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) C Assoziativität (c) A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), Distributivität (d) A (B A) = A, A (B A) = A, Verschmelzung (e) A A = A, A A = A, Idempotenz (f) A 1 = A, A 0 = A, Neutralität (g) A 1 = 1, A 0 = 0, Absorption (h) A A = 1, A A = 0, Komplementär (i) 0 = 1, 1 = 0, ( A) = A Doppelte Negation (j) (A B) = ( A) ( B), (A B) = ( A) ( B), DeMorgan Bemerkungen und Beispiele (1) Doppelte Verneinungen fallen also weg. (2) Für gilt A := Herbert studiert Mathematik, B := Herbert ist 24 Jahre alt (A B) = Herbert studiert nicht Mathematik oder er ist nicht 24 Jahre alt (A B) = Herbert studiert nicht Mathematik und er ist nicht 24 Jahre alt. (3) Gerade für Widerspruchsbeweise helfen die DeMorgansche Regeln, die zeigen, wie man eine Behauptung, die aus mehreren Aussagen zusammengesetzt ist, verneint. (4) Eine Menge, für deren Elemente drei Operationen, und definiert sind, und für die die Rechenregeln aus Satz gelten, heißt Boolesche Algebra. In der Mathematik, speziell der Algebra, betrachtet man oft sogenannte mathematische Strukturen, die für ganz verschiedene Mengen oder Situationen gleichartige Eigenschaften zusammenfassen. Damit kann man aus den Eigenschaften einer solchen Struktur einmalig Folgerungen ziehen, und muss das nicht für jede einzelne Menge bzw. Situation durchführen. Satz Sei M eine nichtleere Menge. Die Potenzmenge P(M) von M ist mit den Verknüpfungen, und eine Boolesche Algebra.

12 1. Mengen, Aussagen, Beweise Aussageformen, All- und Existenzquantor Wir haben zum Beispiel die Mengen M 1 = {x;x ist Einwohner Chinas} oder M 2 = {x;x ist Vielfaches von 3 und kleiner als 1000}. durch die besondere Eigenschaft beschrieben, die die Elemente der Mengen charakterisiert. Die in der Definition auftretenden Aussagen sind von einer Variablen abhängig und wahr für die Elemente der Menge, falsch für die anderen. Setzt man statt dieser Variablen also ein bestimmtes Element der Grundmenge ein (die Grundmenge ist bei M 1 die Menge der Menschen, bei M 2 die der natürlichen Zahlen), dann erkennt man, ob die Eigenschaft für dieses Element der Grundmenge erfüllt ist oder nicht. Definition Die Zusammenfassung von gleichartigen Aussagen für Elemente einer Grundmenge heißt Aussageform. Zum Beispiel ist x ist eine Primzahl eine Aussageform auf der Grundmenge der natürlichen Zahlen. 3 ist eine Primzahl oder 16 ist eine Primzahl sind entsprechende Aussagen, die entstehen, wenn man für die Variable x bestimmte Elemente der Grundmenge einsetzt. Wie das Beispiel zeigt, kann die entstehende Aussage für bestimmte Variablenwerte wahr und für andere falsch sein. Wir bezeichnen im folgenden Aussageformen durch A(x). Mit Hilfe von Aussageformen A(x) lassen sich nun Teilmengen einer Grundmenge G in der Form M = {x G A(x)} beschreiben. M heißt dann Erfüllungsmenge der Aussageform A(x) über der Grundmenge G. Ist z.b. IQ die Grundmenge, A(x) die Aussageform 4x = 5, dann ist die zugehörige Erfüllungsmenge { 5 M = {x IQ A(x)} = 4} ( 5 und die Aussage A ist wahr, die Aussage A(27) ist falsch. 4) Bemerkungen und Beispiele (1) Das Symbol A(x) soll keinen Funktionswert wie f(x) darstellen. Man kann natürlich jede Aussageform auch als Funktion auf der vorgegebenen Grundmenge und mit Wertebereich {wahr, falsch} auffassen. (2) Dieselbe Aussageform beschreibt i.a. bei verschiedenen Grundmengen auch verschiedene Erfüllungsmengen. Zum Beispiel gilt für A(x) = ( 2 < x < 1) und die Erfüllungsmengen M 1, M 2, M 3 und M 4 bezüglich der Grundmengen IR, IQ, Z bzw. IN M 1 ist das offene Intervall ( 2 1). M 4 = M 3 = { 1,0} M 2 M 1.

13 1. Mengen, Aussagen, Beweise 11 (3) Ausdrücke wie {x IR 1 1} sind problematisch, da nicht entschieden werden kann, ob A(0) x2 wahr oder falsch ist. Daher muss die Grundmenge auf IR\{0} eingeschränkt werden. (4) Man kann endliche Zahlenmengen mit Hilfe von Aussageformen darstellen. Zum Beispiel ist M = {3,5,6,9} = {x IR x = 3 x = 5 x = 6 x = 9} = {x IR (x 3) (x 5) (x 6) (x 9) = 0}. (5) Zur Beschreibung von Mengen in der Ebene oder im Raum verwendet man Aussageformen mit 2 bzw. 3 Variablen, allgemein endlich vielen Variablen. Die Grundmenge ist dann entsprechend IR 2 = IR IR, IR 3 = IR IR IR bzw. IR n. Zum Beispiel beschreibt {(x,y) IR 2 y = 2x+5} {(x,y) IR 2 x 2 +y 2 4} {(x,y) IR 2 x 2 +y 2 = 0} {(x,y) IR 2 y x} {(x,y) IR 2 2y +x = x+2y} {(x,y) IR 2 x } {(x,y,z) IR 3 y = 2x+5} eine Gerade in der Ebene, eine Kreisscheibe in der Ebene, die einpunktige Menge {(0,0)} in der Ebene, eine Halbebene, die ganze Ebene, einen Streifen parallel zur y Achse in der Ebene, eine Ebene im Raum. Verschiedene Aussageformen können dieselbe (Erfüllungs-)Menge beschreiben. Es gilt z.b. {x IR x 2 4} = {x IR x 2 x 2}. Definition Sei G eine Grundmenge. Die Aussageformen A(x) und B(x) heißen äquivalent, wenn gilt {x G A(x)} = {x G B(x)}. Schreibweise: A(x) B(x). Bemerkungen (1) A(x) B(x) ist eine Aussage, die feststellt, ob die entsprechenden Aussageformen äquivalent sind oder nicht. (2) Die Queen ist im Buckingham-Palast anwesend genau dann, wenn dort die englische Fahne gehisst ist. (3) Gleichungen und Ungleichungen sind spezielle Aussageformen. Ihre Erfüllungsmengen heißen Lösungsmengen. Zum Beispiel ist die Lösungsmenge der reellen Gleichung 3x 2 = 10 die Menge L 1 = {x IR 3x 2 = 10}.

14 1. Mengen, Aussagen, Beweise 12 Durch Umformen der Gleichung erhält man eine Beschreibung von L durch eine äquivalente, aber einfachere Aussageform L 1 = {x IR x = 4}. Analog kann man die Lösungsmenge der reellen Ungleichung d.h. die Menge 5(4x 2) < 15x 2(x 16), L 2 = {x IR 5(4x 2) < 15x 2(x 16)}. durch Umformen der Ungleichung durch eine äquivalente, aber einfachere Aussageform darstellen: L 2 = {x IR x < 6}. Erlaubt sind dabei natürlich nur Umformungen, die die Lösungsmenge nicht verändern, d.h Äquivalenzumformungen. Definition Ist bei einer Aussageform A(x) die Erfüllungsmenge gleich der Grundmenge, d.h. A(x 0 ) ist für jedes Element x 0 G wahr, dann heißt A(x) allgemeingültig. Beispiele und Bemerkungen (1) Die Aussageform wenn x < 3, dann x < 5 wird sicher intuitiv in der Grundmenge IR als allgemeingültig erkannt. Das beinhaltet auch wahre Aussagen der Form (2) Die Aussageform 4 < 3 4 < 5 oder 6 < 3 6 < 5. x < 3 x2 < 10 ist in IR nicht allgemeingültig, wie man durch Einsetzen von x = 4 erkennt. Sie hat aber eine nichtleere Erfüllungsmenge. (3) Die Aussageform ist allgemeingültig in IR, denn die Fälle x+2 < 5 x < 3 (x+2 5) (x < 3) und (x+2 < 5) (x 3) können wegen der Monotonieeigenschaft der Addition in IR nicht auftreten. (4) Die Aussageform x < 5 x < 3 ist nicht allgemeingültig in IR, denn z.b. für x = 4 ist die zweite Aussage falsch und die erste wahr. (5) Die Aussageformen und sind in der Grundmenge IR allgemeingültig. A(x) = (x 2 0) B(x) = (1+0 x = 1)

15 1. Mengen, Aussagen, Beweise 13 (6) Man kann die Allgemeingültigkeit durch den Allquantor ausdrücken: Die Aussage ist gleichbedeutend mit {x G A(x)} = G Für alle x G gilt A(x) bzw. A(x) bzw. x G : A(x). (7) Die Allaussage x 2 0 ist wahr, die Allaussage x 2 1 ist falsch. x IR (8) Üblicherweise schreibt man etwas schlampig z.b.: x G x IR Man zeige die Gültigkeit von (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 in IR. Eine Aussageform (hier in den Variablen a und b) kann aber nicht gültig oder ungültig sein. Genauer ist damit gemeint, daß man die Gültigkeit der Allaussage (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 zeigen soll. a,b IR Bei manchen Aussageformen ist die Erfüllungsmenge leer, z.b. bei A(x) = (x 2 = 1) über der Grundmenge IR. Definition Ist bei einer Aussageform A(x) die Erfüllungsmenge gleich der leeren Menge, d.h. A(x 0 ) ist für jedes Element x 0 G falsch, dann heißt A(x) unerfüllbar, sonst heißt sie erfüllbar. Man ist i.a. an erfüllbaren Aussageformen bzw. lösbaren Gleichungen und Ungleichungen interessiert. Die zugehörige Erfüllungs- oder Lösungsmenge muß also mindestens ein Element enthalten. Beispiele und Bemerkungen (1) Man kann die Erfüllbarkeit einer Aussageform durch den Existenzquantor ausdrücken: Die Aussage {x G A(x)} ist gleichbedeutend mit Es gibt ein x G, für das A(x) gilt bzw. A(x) bzw. x G : A(x). (2) Die Existenzaussage x 2 = 2 ist wahr, die Existenzaussage x 2 = 1 ist falsch. x IR x G x IR

16 1. Mengen, Aussagen, Beweise 14 (3) Durch Quantifizierung, d.h. durch Voransetzen eines Quantors vor eine einstellige Aussageform entsteht eine Aussage. Für zweistellige Aussageformen kann man die Variablen unabhängig quantifizieren: (i) Die Aussage x+y = 0 ist wahr, die Aussage x+y = 0 ist ebenfalls wahr. (ii) Die Aussage (iii) Die Aussage x IR y IR y IR x IR y IR x IR x+y = 0 ist falsch, die Aussage x y = 0 ist wahr, die Aussage x IR y IR y IR x IR y IR x IR x+y = 0 ebenfalls. x y = 0 ist falsch. (4) An den ersten beiden vorigen Beispielen erkennt man, daß man die Quantoren nicht vertauschen darf. Dagegen sind die Quantoren y IR x IR und jeweils vertauschbar und das Ergebnis wird auch kurz mit y IR x,y IR x IR und y IR sowie die Quantoren bzw. x,y IR x IR bezeichnet. i.a. und Man kann auch Aussageformen negieren. Die Negation wirkt sich dann bei Einsetzen der speziellen Elemente aus, die die Aussageform zu einer Aussage machen. Will man eine Allaussage negieren, dann darf man nicht einfach die entsprechende Aussageform negieren: Die Verneinung von Alle Schüler sind fleißig ist nicht Alle Schüler sind nicht fleißig, sondern Es gibt (mindestens) einen Schüler, der nicht fleißig ist. Entsprechendes gilt für die Verneinung von Existenzaussagen. Allgemein gilt: Satz Sei A(x) eine Aussageform (mit Grundmenge G). Dann gilt: (a) Negieren einer Allaussage ergibt eine Existenzaussage mit der negierten Aussageform, d.h. ( ) ( ) A(x) ist äquivalent zu A(x). x G (b) Negieren einer Existenzaussage ergibt eine Allaussage mit der negierten Aussageform, d.h. ( ) ( ) A(x) ist äquivalent zu A(x). x G x G x G

17 1. Mengen, Aussagen, Beweise Implikation In der Mathematik werden neue Aussagen aus bereits bekannten, als wahr angenommenen oder bestätigten Aussagen abgeleitet. Die generelle Ausdrucksform ist der mathematische Satz in der Form oder kurz Satz...: Aus den Voraussetzungen folgt die Behauptung Satz...: Voraussetzungen Behauptung. Ein solcher mathematischer Satz stellt für sich als Ganzes wieder eine Aussage dar, die immer wahr ist. Um erkennen zu können, was mit gemeint ist, betrachten wir folgende Aussage: Die Aussage S ist aus den Aussagen zusammengesetzt. S := Es regnet, und daraus folgt: Die Straße ist nass. A := Es regnet und B := Die Straße ist nass S ist offensichtlich wahr, wenn A und B beide wahr oder beide falsch sind. Ist A wahr und B falsch, d.h. es regnet, aber die Straße ist nicht nass, dann ist die Aussage S falsch. Ist A falsch und B wahr, dann ist das aber kein Widerspruch zu S, denn die Straße könnte aus anderen Gründen nass sein. S ist also in diesem Fall auch wahr. Definition Gegeben seien zwei beliebige Aussagen A und B. Durch die folgende Wahrheitstafel wird als Operation die Implikation definiert, die A und B eine neue Aussage zuordnet. A B A B A A B B B A w w w f w f w w f f f f w f f w w w w f w f f w w w w w Bemerkungen (1) Vergleich mit den Werten der Aussage A B zeigt, dass dieser Ausdruck gleichwertig zur Implikation A B ist. (2) Wichtig ist die Feststellung, daß die Implikation A B nur dann falsch ist, wenn A wahr und B falsch ist. Wenn also A falsch ist, dann kann B wahr oder falsch sein. In beiden Fällen ist die Implikation wahr. Beweistechnisch bedeutet das, daß man mit Hilfe einer falschen Voraussetzung alles beweisen kann.

18 1. Mengen, Aussagen, Beweise 16 (3) Die Implikation A B wird auch folgendermaßen ausgedrückt: Aus A folgt B. Wenn A, dann B. A ist hinreichend für B. B ist notwendig für A. Man bezeichnet i.a. A als Voraussetzung, B als Behauptung, wobei eigentlich die Gültigkeit der gesamten Implikation die Behauptung ist. (4) Die Implikation ist nicht symmetrisch, d.h. A B ist i.a. nicht äquivalent zu B A. Die zweite Implikation heißt auch Umkehrung der ersten. Zum Beispiel gilt ( p,q IR aber nicht die Umkehrung. ) (q 0) (die Gleichung x 2 +px+q = 0 ist in IR lösbar), (5) Natürlich kann der Junktor auch auf Aussageformen angewendet werden. Dadurch entsteht eine neue Aussageform A(x) B(x), die nach Einsetzen genau der Werte x falsch wird, für die A(x) wahr und B(x) falsch ist. Allgemein interessiert man sich bei Implikationen von Aussageformen nicht für die zugehörige Erfüllungsmenge, sondern dafür, ob die Aussageform allgemeingültig ist, d.h. ob die Aussage ( ) A(x) B(x) wahr ist. x G (6) Betrachtet man zu zwei Aussageformen A(x) und B(x) die Erfüllungsmengen M A und M B, dann entspricht der Implikation A(x) B(x) die Mengen-Inklusion M A M B, d.h. es gilt die Inklusion genau dann, wenn x M A x M B. x G (7) Für die Negation der Aussage ( A(x) B(x) ) x G ergibt sich ( ( ) ) A(x) B(x) = ( A(x) B(x) ) = ( A(x) B(x) ) = ( ) A(x) B(x) x G x G und damit die logische Grundlage des Verfahrens zur Widerlegung einer Behauptung durch Auffinden eines Gegenbeispiels. x G x G

19 1. Mengen, Aussagen, Beweise 17 Nach Definition sind zwei Aussageformen A(x) und B(x)(mit derselben Grundmenge G) äquivalent, wenn sie dieselbe Erfüllungsmenge M A = M B haben. Wir wählen ein beliebiges x 0 G und betrachten die Wahrheitstafel für folgende Aussagen A(x 0 ) B(x 0 ) A(x 0 ) B(x 0 ) A(x 0 ) B(x 0 ) B(x 0 ) A(x 0 ) (A(x 0 ) B(x 0 )) (B(x 0 ) A(x 0 )) w w w w w w w f f f w f f w f w f f f f w w w w. Offensichtlich ist x 0 Element der Erfüllungsmenge der Aussageform A(x) B(x) genau dann, wenn x 0 Element der Erfüllungsmenge der Aussageform (A(x) B(x)) (B(x) A(x)) ist, d.h. die entsprechenden Aussageformen sind äquivalent. Satz Für zwei Aussageformen A(x) und B(x) gilt A(x) B(x) (A(x) B(x)) (B(x) A(x)). Bemerkungen und Beispiele (1) Die Äquivalenz der Aussagen A(x) und B(x) für ein festes x 0 G wird auch folgendermaßen ausgedrückt: Es gilt A(x 0 ) genau dann, wenn B(x 0 ) gilt. Es gilt A(x 0 ) dann und nur dann, wenn B(x 0 ) gilt. A(x 0 ) ist notwendig und hinreichend für B(x 0 ). (2) Man führt den Nachweis der Äquivalenz zweier Aussageformen oft, indem man die beiden Implikationen A(x) B(x) und B(x) A(x) zeigt. ( ) (3) (n ist teilbar durch 3) (die Quersumme von n ist teilbar durch 3). (4) (5) n IN a,b IR p,q IR ( ) (a = 0 b = 0) (a 2 +b 2 = 0). ( ) (p 2 4q) ( die Gleichung x 2 +px+q = 0 ist in IR lösbar ).

20 1. Mengen, Aussagen, Beweise Beweisverfahren In einer mathematischen Theorie werden aus Aussagen, die als wahr angenommen oder erkannt sind, durch Beweise neue wahre Aussagen hergeleitet. Dabei sollte ein Beweis drei Forderungen erfüllen: Ein Beweis sollte dazu dienen, dass Sie sich selbst von der Wahrheit der Behauptung überzeugen. Ihre Überzeugung muss unbezweifelbar sein, d.h. insbesondere nicht nur auf Intuition beruhen. Formulierungen wie etwas sei offensichtlich, klar, unmittelbar einsichtig usw. sollten Sie misstrauen. Ein Beweis sollte jeden anderen von der Gültigkeit der Behauptung überzeugen. Er muss daher einerseits nachvollziehbar sein, d.h. das rechte Maß an Argumentation und an Details enthalten, so dass der Leser sich von der Richtigkeit der einzelnen Beweisschritte überzeugen kann, aber nicht in Details erstickt. Andererseits muss ein Beweis lesbar sein und nicht durch übertriebene Verwendung von Symbolen oder Formalismen unverständlich werden. Ein Beweis sollte drittens Einsicht darin vermitteln, warum die zu beweisende Aussage stimmt, vielleicht sogar, wie man auf eine solche Aussage gekommen ist. Dadurch wird der Leser des Beweises (und natürlich auch der Verfasser), in die Lage versetzt, eine gewisse mathematische Intuition aufzubauen. Die bezüglich der Beweisstruktur verständlichste Beweisform ist der direkte Beweis in der Form Voraussetzung(en) Behauptung. Bemerkung und Beispiel Im allgemeinen besteht die Implikation aus mehreren einzelnen Schritten. Oft wird die Voraussetzung in eine äquivalente Aussage überführt und daraus die Behauptung gefolgert. ( Wir zeigen: n gerade n 2 gerade ). n IN Beweis: Sei n IN beliebig. Es gilt: n ist gerade k := n 2 IN n2 = 4k 2 = 2 (2k 2 ) ist gerade. Grundlage des indirekten Beweises ist die Äquivalenz (siehe Wahrheitstafel aus Definition 1.5.1) ( ) ( ) A(x) B(x) B(x) A(x). Beispiel ( Wir zeigen: n 2 gerade n gerade ). n IN Beweis: Wir beweisen die Behauptung indirekt: Quadrate ungerader Zahlen sind ungerade. Sei n nicht gerade, also ungerade, d.h. es gibt eine Zahl k IN 0 mit n = 2k +1. Dann ist n 2 = (2k +1) 2 = 4k 2 +4k+1 = 2 (2k 2 +2k)+1 ungerade, also ist n 2 nicht gerade.

21 1. Mengen, Aussagen, Beweise 19 Bei einem Widerspruchsbeweis zeigt man, dass die Aussage A(x) ( B(x) ) für kein x G erfüllt wird. Wegen der Äquivalenz ( ) ( A(x) B(x) ( A(x) B(x) )) ( ) A(x) B(x) heißt das, dass die Aussage A(x) B(x) für alle x G wahr ist. Bemerkung und Beispiel (1) Der Vorteil bei einem Widerspruchsbeweis ist, dass man zusätzlich zu A(x) noch die Voraussetzung B(x) nutzen kann. Psychologisch vorteilhaft ist, dass man einen Anfang hat für den Beweis in der Form Angenommen, es gilt die Voraussetzung und nicht die Behauptung, d.h. es gilt A(x) B(x). (2) Wir zeigen: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis: Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen, die wir mit p 1,p 2,...,p n bezeichnen wollen. Es gibt also nach Widerspruchsannahme keine weitere Primzahl. Dann ist keine dieser Primzahlen Teiler der Zahl m := p 1 p 2... p n +1. Daraus folgt, dass m selbst eine Primzahl ist oder eine weitere Primzahl als Teiler hat, und wir haben doch eine weitere Primzahl gefunden, d.h. die Widerspruchsannahme war falsch. Bei der vollständigen Induktion hat man es mit einer Aussageform A(n) über der Grundmenge G = IN (oder G = {n Z n n 0 }) zu tun, und es soll die Allgemeingültigkeit gezeigt werden. Dabei zerfällt der Beweis in zwei Teile, den Induktionsanfang, bei dem die Gültigkeit der Aussage A(1) (bzw. A(n 0 )) gezeigt wird, und den ( ) Induktionsschluß, bei dem die Gültigkeit der Aussage A(n) A(n+1) gezeigt wird. Insgesamt ergibt sich A(n) (bzw. Bemerkungen und Beispiel n IN n G n Z,n n 0 A(n)). (1) Durch den Induktionsschluß wird die Richtigkeit von A(n + 1) nur für solche n gesichert, für die A(n) wahr ist, sonst kann man über A(n+1) keine Aussagen machen. Dadurch wird deutlich, daß beide Teile sowohl Induktionsanfang als auch Induktionsschluß wesentlich für die korrekte Durchführung des Verfahrens sind. Natürlich ist beim Induktionsschluß darauf zu achten, daß man kein n ausläßt, d.h. daß die Erfüllungsmenge ganz IN (bzw. G) ist.

22 1. Mengen, Aussagen, Beweise 20 (2) Während beim Beweisprinzip des Widerspruchbeweises keine Einschränkung für die Grundmenge der Aussageformen gilt, ist das Beweisprinzip der vollständigen Induktion fest mit der Zahlenmenge IN verbunden. Das Induktionsaxiom Ist X IN, 1 X und ( n IN n X n+1 X ), dann ist X = IN ist ein wesentlicher Teil der Definition der Menge der natürlichen Zahlen mit Hilfe der Peano- Axiome und direkte Grundlage für die Durchführbarkeit des Beweisprinzips. (3) Wir zeigen: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ergibt genau das Quadrat von n. Beweis mit vollständiger Induktion nach n: Induktionsanfang n = 1: Die Summe der ersten ungeraden Zahl 1 ist 1, und das Quadrat von 1 ist auch 1, also ist der Induktionsanfang wahr. Induktionsschluß: Wir betrachten ein n IN, für das A(n) wahr ist, d.h. es gilt Dann ist d.h. A(n+1) ist wahr. n (2k 1) = (2n 1) = n 2. k=1 n+1 (2k 1) = (2n 1) +(2n+1) = } {{ } k=1 n 2 = n 2 +(2n+1) = (n+1) 2, 1.7 Der binomischer Lehrsatz Die binomischen Formeln (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 (a b) 2 = a 2 2ab+b 2 (a+b)(a b) = a 2 b 2 spielen in der Mittelstufenmathematik und bei der Umformung algebraischer Ausdrücke eine große Rolle. Sie sind natürlich nur Zusammenfassungen der Ergebnisse, die beim Ausmultiplizieren entstehen, und gelten für alle reellen a, b. Dabei ist die zweite Gleichung nur eine Abwandlung der ersten. Wir betrachten nun höhere Potenzen. Multipliziert man z.b. (a + b) 5 aus, dann entstehen Ausdrücke der Form a i b j, 0 i 5, j = 5 i, die zusammengefasst werden, also (a+b) 5 = a 0 b 5 +5ab 4 +10a 2 b 3 +10a 3 b 2 +5a 4 b+a 5 b 0. Die entstehenden Koeffizienten der Ausdrücke a i b j geben an, wie oft der entsprechende Ausdruck vorkommt. Sie sind also natürliche Zahlen.

23 1. Mengen, Aussagen, Beweise 21 Definition Sei n IN. Die Koeffizienten der Ausdrücke a i b j, 0 i n, ( j ) = n i, in der n ausmultiplizierten Potenz (a+b) n heißen Binomialkoeffizienten. Bezeichnung. i Bemerkungen und Beispiele (1) Es gilt ( ) ( ) 1 1 = = 1, 0 1 ( ) 3 = 1, 0 ( ) 3 = 3, 1 ( ) 2 = 1, 0 ( ) 3 = 3, 2 ( ) 2 = 2, 1 ( ) 3 = 1. 3 ( ) 2 = 1, 2 (2) Für alle n IN 0 gilt ( ) n = 0 ( ) n = 1. n (3) Die Binomialkoeffizienten sind symmetrisch, d.h. für festes n IN und alle 0 i n gilt ( ) ( ) n n =. i n i (4) Binomialkoeffizienten spielen in der Kombinatorik und damit in der diskreten Wahrscheinlichkeitstheorie eine große Rolle. Betrachtet man speziell (1+x) n = 1+ ( ) n x+ 1 ( ) ( ) n n x x n 1 +x n = 2 n 1 n i=0 ( ) n x i, i dann entsteht eine Potenz x i, wenn i Klammern ausgewählt werden, aus denen der Summand x multipliziert ( ) wird. Aus den restlichen n i Klammern wird der Summand 1 multipliziert. n gibt also an, wie oft man aus n Objekten (hier Klammern) i Objekte auswählen kann. Zum i ( ) 49 Beispiel beschreibt die Anzahl der möglichen Lottotips, nämlich die Anzahl der Möglichkeiten, 6 6 Zahlen aus 49 Zahlen auszuwählen. Kennt man die Koeffizienten zu (a+b) n, dann kann man die Koeffizienten zu (a+b) n+1 berechnen: Satz Für n IN und 1 k n gilt ( ) n+1 = k ( ) n + k 1 ( ) n. k

24 1. Mengen, Aussagen, Beweise 22 Man kann die Binomialkoeffizienten in Dreiecksform, dem Pascalschen Dreieck, darstellen: ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k Mit Bemerkung (2) und der Additionsformel aus Satz ergibt sich In vielen Situationen (auch im Falle des Binomischen Lehrsatzes) ist die rekursive Definition der Binomialkoeffizienten etwas unhandlich. Wir suchen daher nach einer geschlossenen Darstellung derselben. Dazu wollen wir zunächst eine Bezeichnung für das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n einführen: Definition Für n IN heißt (n 1) n Fakultät von n. Bezeichnung: n!. Weiter setzen wir 0! := 1. Bemerkungen und Beispiele (1) Es ist 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24. (2) Für alle n IN 0 gilt (n+1)! = (n+1) (n!). (3) Um möglichst wenig Klammern setzen zu müssen, legen wir fest, dass Fakultätsbildung n! stärker sein soll als die Multiplikation, d.h. (n+1)! = (n+1) n!.

25 1. Mengen, Aussagen, Beweise 23 Wir betrachten nun die aus Fakultäten zusammengesetzten Ausdrücke b(n;k) := n! k! (n k)!. Beispiele Es gilt Die Werte von b(0;0) = 1, b(1;0) = b(1;1) = 1, b(2;0) = 1, b(2;1) = 2, b(2;2) = 1, b(3;0) = 1, b(3;1) = 3, b(3;2) = 3, b(3;3) = 1. ( ) n und b(n;k) stimmen für 0 n 3 und jeweils 0 k n überein. Es gilt allgemein k Satz Für alle n IN und 1 k n gilt (a) (b) b(n+1;k) = b(n;k 1)+b(n;k). ( ) n = b(n;k). k 1.8 Kleiner Exkurs: Was ist Mathematik? Als zukünftiger Mathematiklehrer sollte man auf die Frage vorbereitet sein, was die Mathematik als Wissenschaft und auch als Schulfach ausmacht. Im Gegensatz zur oft geäußerten Meinung gehört Mathematik nicht zu den Naturwissenschaften wie Physik, Chemie, Biologie: Sie beschäftigt sich nicht mit realen Objekten und Vorgängen, sondern mit geistigen Gegenständen wie Zahlen, Punkten, Geraden. Methodisch betrachtet sie ihre Aussagen nicht als gültig auf Grund hinreichend vieler Beobachtungen, sondern leitet sie aus anderen (als gültig erwiesenen oder angenommenen) Aussagen ab. Andererseits unterscheidet sich die Mathematik von den (anderen) Geisteswissenschaften dadurch, dass man nicht über die Gültigkeit der Aussagen diskutieren kann (Gedichtinterpretation, historischer Wahrheitswert der Bibel). In seinem Buch In Mathe war ich immer schlecht... gibt Beutelspacher vier Sichtweisen der Mathematik als Wissenschaft an, die unterschiedliche Aspekte betonen und sich gegenseitig ergänzen. 1. Mathematik ist der Versuch, logische Strukturen zu erkennen Ziel der Mathematik ist, logische Abhängigkeiten zwischen Aussagen zu erkennen. Eine Aussage B wird also auf eine Aussage A zurückgeführt, d.h. man beweist die Implikation A B. Dieser Ansatz führt dazu, daß man versucht, die ganze Mathematik oder Teilgebiete auf wenige Grundaussagen, die Axiome, zurückzuführen.

26 1. Mengen, Aussagen, Beweise 24 Euklid (ca. 300 v.chr.) versuchte als erster, in seinen Elementen die Aussagen der euklidischen Geometrie auf wenige Axiome zurückzuführen. Vollendet hat das David Hilbert 1899 in seinem Buch Grundlagen der Geometrie. Ein weiteres Beispiel sind die Zahlbereiche IN, IQ, IR, IC, die aus den Peano-Axiomen entwickelt werden. Der Nachweis der Implikationen kann prinzipiell mit Hilfe von Wahrheitstafeln geführt werden, d.h. Mathematik wird sehr formalistisch verstanden. Ebenfalls untersucht man Abhängigkeiten zwischen Begriffen, z.b. in der Geometrie ( Jedes Quadrat ist ein Rechteck ) oder der Analysis ( Jede differenzierbare Funktion ist stetig ). Mathematik ist eine Sammlung von Ideen Theoretisch ist Schach ein langweiliges, weil vorhersehbares Spiel: Die Anzahl aller möglichen Partien ist endlich, d.h. wenn beide Spieler alle diese Möglichkeiten kennen, können sie (ohne zu spielen) vorhersagen, ob der Spieler mit weißen Figuren gewinnt, verliert, es ein Remis oder ein Patt gibt. Andererseits ist diese Anzahl so groß, daß niemand alle Spielzüge kennt und praktisch der Spielausgang offen ist. Gute Schachspieler ersetzen diese fehlende Kenntnis durch Strategien. Analog ist es beim Beweis mathematischer Sätze: Theoretisch bedeutet ein Beweis, die entsprechende Implikation mit Hilfe einer Wahrheitstafel nachzuprüfen oder eine Abfolge logischer Schlußregeln zu finden, mit deren Hilfe aus der Voraussetzung A die Behauptung B folgt. Praktisch funktioniert das nur bei wenigen Sätzen. Im allgemeinen braucht man zu dem Beweis eine oder mehrere (manchmal auch viele) Ideen. Man kann aus der Behauptung nicht unbedingt erkennen, ob man zu dem Beweis viele solcher Ideen benötigt, d.h. ob der Beweis schwer ist oder leicht. Ein Beispiel ist der sogenannte große Satz von Fermat ( ), der aussagt, daß für alle natürlichen Zahlen n 3 die Gleichung x n +y n = z n keine Lösung mit natürlichen Zahlen x,y,z hat. Fermat stellte diese Behauptung 1637 auf, der Beweis gelang aber erst 1994 Andrew Wiles (Princeton) und er umfaßt mehrere hundert Seiten schwierigster Mathematik. Natürlich versucht man, Ideen, die bei bestimmten Problemen zum Erfolg geführt haben, auch bei Beweisversuchen anderer Behauptungen zu verwenden. Beispiele sind die Beweismethoden des Widerspruchsbeweises oder der vollständigen Induktion. Eine weitere nützliche Idee vor allem bei kombinatorischen Problemen ist das Schubfachprinzip, das aussagt, daß bei Aufteilung von n Elementen einer Menge in k < n Teilmengen eine dieser Teilmengen mindestens 2 Elemente enthält.

27 1. Mengen, Aussagen, Beweise 25 Beispiele (1) Die Behauptung Es gibt keine rationale Zahl x IQ, die Lösung der Gleichung x 2 = 2 ist, kann man mit Hilfe eines Widerspruchsbeweises zeigen. Als weitere Idee benötigt man die Tatsache, daß das Quadrat einer natürlichen Zahl genau dann gerade ist, wenn die Zahl selbst gerade ist. (2) Formeln für Summen natürlicher Zahlen wie n k := (n 1)+n = n(n+1), 2 n k=1 k=1 k 2 := (n 1) 2 +n 2 = n(n+1)(2n+1), 6 n k 3 := (n 1) 3 +n 3 = ( n) 2 = n2 (n+1) 2 k=1 beweist man mit Hilfe der vollständigen Induktion. Dieses Beweisprinzip ist auch auf andere Problemstellungen anwendbar: Zerlegt man die Zeichenebene durch n Geraden in verschiedene Gebiete ( Länder ), dann läßt sich die entstehende Landkarte mit zwei Farben so färben, daß Länder mit einer gemeinsamen Grenze (die nicht nur aus einem Punkt besteht) verschiedene Farben haben. (3) Mit dem Schubfachprinzip beweist man z.b.: (a) In jeder Gruppe von mindestens 2 Personen gibt es zwei, die die gleiche Anzahl von Bekannten innerhalb dieser Gruppe haben: Wir betrachten als Teilmengen die Menge aller Personen, die dieselbe Anzahl Personen kennen,d.h.k 0 enthältalleeinsiedlerundk n 1 alledernpersonen,diejedeanderederpersonen kennen. Als Zusatzidee benötigt man die Tatsache, daß eine der beiden Mengen K 0 und K n 1 gleich der leeren Menge ist. (b) Unter je sechs natürlichen Zahlen gibt es stets zwei, deren Differenz durch 5 teilbar ist: Hier teilt man die Menge IN der natürlichen Zahlen so in 5 Teilmengen auf, daß zwei Elemente derselben Teilmenge bei Division durch 5 jeweils den gleichen Rest haben. (c) Unter je 5 Punkten, die in einem Quadrat der Seitenlänge 2 liegen, gibt es immer 2, deren Abstand 2 ist: Hier teilt man das Quadrat in 4 Teilquadrate der Seitenlänge 1 auf. Mathematik ist ein Werkzeug, die Welt zu beschreiben Ein wesentlicher Grund für die zentrale Stellung der Mathematik in den Natur- und Ingenieurwissenschaften, aber in neuerer Zeit auch in den Sozialwissenschaften ist, dass sie eine Sprache ist, um die auftretenden Phänomene und Probleme zu formulieren. Im Idealfall ergeben sich aus der Beschreibung auch Ansätze für Lösungen. Natürlich kann man nicht erwarten, daß die Mathematik alle Facetten des zu beschreibenden Vorgangs wiederspiegelt - man erhält i.a. ein mathematisches Modell des realen Problems. Ein Beispiel ist die Darstellung von Musik (oder Texten, Bildern) durch Zahlen in der Kommunikationsindustrie. Natürlich ist ein Ton etwas anderes als eine Folge von Nullen und Einsen und wird nur unvollständig dadurch repräsentiert. Gleichwohl ergeben sich aus der digitalen Codierung hervorragende Möglichkeiten, Musik zu speichern oder über Datenkanäle verlustfrei zu übermitteln. 4

28 1. Mengen, Aussagen, Beweise 26 Mathematik ist eine Weise, die Welt zu erfahren Durch Beschreibung der Welt durch mathematische Begriffe bringen wir nicht nur eine Struktur in unsere Beobachtungen, sondern wir schärfen unser Wahrnehmungsvermögen für bestimmte Phänomene. Macht man sich den Symmetriebegriff bewußt, dann erkennt man viel mehr symmetrische (und asymmetrische) Objekte als zuvor. Man kann z.b. auch schlüssig erklären, warum wir mit Begriffen wie oben - unten und vorn - hinten weniger Schwierigkeiten haben als mit links - rechts. Das Studium der Stetigkeit von Funktionen schärft das Bewusstsein für stetige und unstetige Prozesse in der Umwelt. Die Beschäftigung mit der Wahrscheinlichkeitsrechnung lässt uns abschätzen, wie groß ein eventuelles Bedrohungspotential (Unfallgefahr bei Reisen mit Auto, Bahn, Flugzeug) ist.

29 27 2 Lösungen algebraischer Gleichungen 2.1 Gleichungen Bei vielen mit Mathematik zu lösenden Problemen entstehen nach Umwandlung in mathematische Formulierungen (Modellierung) eine oder mehrere Gleichungen oder Ungleichungen, die die Beziehungen zwischen den zu betrachtenden Größen ausdrücken. Beispiel Eine Gruppe von Männern und Frauen umfasst 36 Personen. Die Zahl der Frauen ist um 2 größer als die Zahl der Männer. Wie viele Männer und wie viele Frauen sind in der Gruppe? Wir bezeichnen zuerst die Anzahl der Männer mit x, die der Frauen mit y. Dann ergeben sich folgende Gleichungen x+y = 36 y = x+2 Jede der beiden Gleichungen stellt offensichtlich eine Aussageform über der Grundmenge IN 2 0 dar, und gesucht sind die Paare (x y), für die beide Aussageformen wahr sind. Bemerkungen (1) Nach der Umwandlung des Problems in z.b. ein System von Gleichungen muss natürlich klar sein, welche Bedeutung die Unbekannten x, y usw. haben, denn nach Lösen der mathematischen Aufgabe muss die Lösung entsprechend interpretiert werden können. Welche Probleme dabei auftreten können zeigt folgendes Beispiel (Quelle: Von der propädeutischen Algebra zur elementaren Algebra, Publikation zu einem Workshop der Fortbildungsveranstaltung zum BLK-Programm SSteigerung der Effizienz im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht vom in Ludwigsfelde, Gregor Wieland, Freiburg/Schweiz) Beispiel: I Interviewer, H Helga (29, Akademikerin), Aufgabe: In einem Saal sind x Männer und y Frauen. Was bedeutet die Formel y = x+2? H: (schweigt minutenlang) I: Vielleicht ist die Aufgabe leichter, wenn wir die Anzahl der Männer mit M und die Anzahl der Frauen mit F bezeichnen. Dann lautet die Formel F = M +2. Was bedeutet das? H: (spontan) Die Frau hat einen Mann und zwei Kinder. I: Muss denn diese 2 unbedingt 2 Kinder bedeuten. Können es nicht zwei Männer oder zwei Frauen sein? H: Nein, denn sonst müsste ja hier stehen: F = M +2M. Oder: F = M +2F. I: Wenn es zwei Kinder sind, dann müsste ja eigentlich F = M +2K hier stehen. H: Ja... richtig. (2) Eine Gleichung oder ein System von Gleichungen muss nicht unbedingt eine Lösung haben. Wäre die Gesamtzahl der Personen in der Gruppe nämlich z.b. 37, dann gäbe es keine Lösung in der Grundmenge IN 2 0. In der Grundmenge IR 2 hat das Gleichungssystem eine Lösung, nämlich (17,5 19,5). Die Frage der Lösbarkeit und die Anzahl der Lösungen hängt also von der betrachteten Grundmenge ab.

30 2. Lösungen algebraischer Gleichungen 28 (3) Algebraische Lösungsverfahren beruhen darauf, zu den zu den Gleichungen bzw. Ungleichungen zugehörigen Aussageformen äquivalente zu finden, aus denen die Lösungen leichter abzulesen sind. In Beispiel sind das die vier folgenden Gleichungssysteme x+y = 36 2x+2 = 36 2x = 34 x = 17 y = x+2 y = x+2 y = x+2 y = 19 und aus dem letzten ergibt sich, dass (x y) = (17 19) die einzige Lösung ist. Wichtig ist aber, dass man Äquivalenzumformungen benutzt, d.h. Umformungen, die die Lösungsmenge nicht verändern. Beispiel 1: x = y x x 2 = xy +x 2 2x 2 = x 2 +xy 2x 2 2xy = x 2 xy 2xy 2(x 2 xy) = x 2 xy : (x 2 xy) 2 = 1 Während offensichtlich die erste Gleichung Lösungen in IR 2 hat, nämlich z.b. (1 1), ist die letzte Gleichung für kein Paar (x y) IR 2 wahr. Die beiden Gleichungen können also nicht äquivalent sein. Natürlich ist die Division durch x 2 xy keine Äquivalenzumformung, denn gerade für die Lösungen der ersten Gleichung dividiert man dann durch Null. Beispiel 2: xy = xy ( 1) xy = xy +0 = x 2 x 2 = y 2 y 2 x 2 x 2 xy = y 2 y 2 xy +( x+y ) 2 2 x 2 x 2 xy +( x+y ) 2 = y 2 y 2 xy +( x+y ) ( x+y) 2 ( x+y) 2 x = y Wurzelziehen 2 2 x x+y = y x+y 2 x = y 2 + x+y 2 Die erste Gleichung gilt für alle (x y) IR 2, die letzte Gleichung nur für spezielle Paare. Auch diese beiden Gleichungen sind also nicht äquivalent. Hier ist die Umformung Wurzelziehen keine Äquivalenzumformung. (4) Ein analytisches Lösungsverfahren wäre die Betrachtung der Funktionen f 1 (x,y) = x+y 36, f 2 (x,y) = y x 2 und Bestimmung des Durchschnitts der Nullstellenmenge von f 1 und f 2.

31 5xy 3 +e 2 z 3 = π 3 2. Lösungen algebraischer Gleichungen 29 (5) Es ist sehr sinnvoll, möglichst vor Anwendung von Lösungsverfahren sich Gedanken zu machen, ob das Problem überhaupt lösbar ist, und wenn, wie viele Lösungen es geben kann. Z.B. ist es nützlich, die Lösungsmengen - wenn möglich - grafisch darzustellen. Beispiel: Das Gleichungssystem x 2 +4y 2 = 1, 2x+3y = 6 hat in IR 2 als Lösungsmenge den Durchschnitt der Lösungsmengen der beiden Gleichungen. Die Lösungsmenge der ersten Gleichung kann man als Punkte einer Ellipse, die der zweiten Gleichung als Punkte einer Geraden darstellen. Da eine Gerade eine Ellipse in 0, 1 oder 2 Punkten schneidet, kann es insgesamt höchstens zwei Lösungen (x y) geben. Wir betrachten im Folgenden nur algebraische Gleichungen: Definition (a) Eine algebraische Gleichung in den Unbekannten x 1,x 2,...,x n ist eine Gleichung, in der nur Summen von Produkten von Potenzen der Unbekannten mit natürlichen Exponenten und Zahlen auftreten. (b) Die maximale Summe der Exponenten der Variablen in den einzelnen Produkten heißt Grad der Gleichung. Ist der Grad 1, dann heißt die Gleichung linear. Ist der Grad 2, dann heißt die Gleichung quadratisch. Ist der Grad 3, dann heißt die Gleichung kubisch. Beispiele und Bemerkungen (1) Die Gleichungen in den Beispielen und (5) sind algebraisch in den beiden Unbekannten x und y und sie haben Grad 1 oder 2. (2) Keine der Gleichungen ist algebraisch, aber die Gleichung sinx+x 2 = e 2x, 3x y 3 = 5x 2, x x = 25 ist algebraisch in den Unbekannten x, y, z und hat Grad 4. (3) Die Lösungsmenge einer algebraischen Gleichung in den Unbekannten x 1,x 2,...,x n mit Grad m stimmt überein mit der Nullstellenmenge eines entsprechenden Polynoms mit den Variablen x 1,x 2,...,x n und Grad m.