Interpolation und Approximation

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1 Interpolation und Approximation Fakultät Grundlagen Mai 2006 Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation

2 Übersicht 1 Problemstellung Polynominterpolation 2 Kubische Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 2

3 Ausgangsproblem Problemstellung Polynominterpolation Ein wichtiges Problem in der numerischen Mathematik ist, eine Funktion oder eine Folge von Messpunkten durch eine Näherungsfunktion zu approximieren. Dabei sind folgende Überlegungen anzustellen: Auswahl einer Grundmenge von Näherungsfunktionen. Gebräuchlich sind folgende Funktionenklassen: 1 Polynome 2 3 Trigonometrische Polynome für periodische Vorgänge 4 Exponentialfunktionen Festlegung eines messbaren Kriteriums für die Auswahl der am besten geeigneten Funktion aus der vorgegebenen Grundmenge. Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 3

4 Approximationsprinzip Problemstellung Polynominterpolation Meist bildet man die Approximationsfunktion ϕ(x) als Linearkombination von charakteristischen Vertretern der Grundmenge {g i (x)} ϕ(x) = n i=1 c i g i (x) und versucht dann, die Koeffizienten c i so zu bestimmen, dass die Differenz zur zu approximierenden Funktion f (x) in irgend einem Sinne häufig wird als Maß die Summe der Abstandquadrate benutzt minimal wird. f ϕ! = Min Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 4

5 Interpolation Problemstellung Polynominterpolation Im Falle von Messpunkten ist es auch möglich, aus einer Grundmenge eine Funktion auszuwählen, die durch alle Punkte geht in diesem Fall spricht man von Interpolation. Interpolationsfunktionen werden benötigt, um an einer beliebigen Stelle einen y-wert bestimmen zu können. um Steigungen (Ableitungen) und Flächen (Integrale) für solche nur durch diskrete Punkte bekannten Zusammenhänge zu bestimmen. Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 5

6 Polynominterpolation Problemstellung Polynominterpolation Aufgabenstellung: zu n + 1 verschiedenen Stützstellen (x k y k ) ein Polynom p n (x) vom Höchstgrad n zu finden, das durch alle Punkte geht. x x 0 x 1... x n y y y 0 y 1... y i = p n (x i ) = n n k=0 a k x k i Die Punktprobe ergibt ein lineares Gleichungssystem für die (n + 1) Koeffizienten des Polynoms. a 0 + a 1 x 0 + a 2 x a n x n 0 = y 0 a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a n x n 1 = y a 0 + a 1 x n + a 2 x 2 n a n x n n = y n Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 6

7 Beispiel Problemstellung Polynominterpolation Zahlenbeispiel: x y mit y = x 2 p 4 (x) = x x x x 4. y f (x) p 4 (x) x Die Graphik zeigt deutlich die Schwäche der Interpolation mit Polynomen. Zwischen 1 und 7 hat die Interpolationskurve p 4 (x) nichts mehr mit der Funktion f (x) gemein. Polynome ab der Ordnung 4, 5 werden stark wellig und eignen sich daher nicht mehr zur globalen Interpolation. Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 7

8 Modellierung Kubische Wir wollen ein Kurvenlineal mathematisch nachbilden und betrachten es idealisiert als dünnen, elastischen Stab. Das Kurvenlineal wird nur in den Stützpunkten festgehalten; darüber hinaus wirken keine Kräfte oder Momente. Die Krümmung s des Lineals ändert sich zwischen den Stützpunkten linear. Dafür gilt: s = f (x) (1 + f (x)) 3/2 f (x) (falls f (x) 1) Folglich muss in jedem Intervall x k < x < x k+1 gelten: f (x) = ax + b f (x) = a 2 x 2 + bx + c f (x) = a 6 x 3 + b 2 x 2 + cx + d Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 8

9 Kubische Eigenschaften der Interpolationsfunktion f : (S1) In jedem Intervall x k < x < x k+1, (k = 0, 1,..., n 1) stimmt f mit einem Polynom vom Grad 3 überein. An den Stützstellen x k muss f die folgenden Bedingungen erfüllen: (S2) f (x k ) = y k, (k = 0, 1,..., n) (Kurvenlineal geht durch die Messpunkte!) (S3) f stetig in x k, (k = 0, 1,..., n) (Kurvenlineal nicht abgebrochen!) (S4) f stetig in x k, (k = 0, 1,..., n) (Kurvenlineal nicht geknickt!) (S5) f stetig in x k, (k = 0, 1,..., n) (Keine äußeren Biegemomente!) Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 9

10 Visualisierung Kubische y S 3 (x) S 4 (x) S 2 (x) S 5 (x) S 0 (x) S 1 (x) 1 S 6 (x) S 7 (x) 1 x Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 10

11 Definition Kubische Das Splinekonzept ist auch der Hintergrund aller CAD-Anwendungen. Bei der Darstellung beliebiger geometrischer Formen sind neben der Interpolationseigenschaft auch noch zusätzliche Modellierungseigenschaften erforderlich. Als Kern dieser Freiformgeometrie entpuppt sich die folgende Problemstellung: Eine Interpolationskurve zwischen zwei Punkten mit vorgegebenen Tangentenrichtungen in den Interpolationspunkten ist zu konstruieren. Zusätzlich soll noch eine weitere Modellierungseigenschaft vorhanden sein. Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 11

12 Visualisierung Bezier Kubische B 2 b2 B 1 b1 b0 b3 B 0 B 3 O Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 12

13 Interpolationsgleichung Kubische Wir geben uns zusätzlich zu den Interpolationspunkten B 0 und B 3 noch zwei Richtungspunkte B 1 und B 2 vor. Sind b 0, b 1, b 2, b 3 die zugehörigen Ortsvektoren, so hat der Interpolationsansatz x(t) = b 0 (1 t) b 1 (1 t) 2 t + 3 b 2 (1 t) t 2 + b 3 t 3 die folgenden Eigenschaften: x(0) = b 0 x(1) = b 3 d.h. die Kurve geht durch die beiden Punkte B 0, B 3. x(t) = 3 b 0 (1 t) b 1 (1 t) 2 6 b 1 (1 t) t + 6 b 2 (1 t) t 3 b 2 t b 3 t 2 x(0) = 3( b 1 b 0 ) Analog ergibt sich für x(1) = 3( b 3 b 2 ). Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 13

14 Gummihauteigenschft Kubische B 2 B 1 B 0 B 3 Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 14

15 Zusammengesetzte Kubische B8 B 7 B 6 B 9 B 0 B 1 B 5 B 2 B 3 B 4 Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 15

16 Datenreduktion Kubische Soll die Interpolationskurve höhere Differentiationseigenschaften haben, so dürfen die Richtungspunkte der Beziersegmente auch wenn benachbarte Punkte kollinear sind nicht mehr beliebig gewählt werden. Fordern wir, dass die Interpolationskurve durch (n + 1) Punkte zweimal stetig differenzierbar ist, so lässt sich zeigen, dass es genügt, für innere Segmente einen Hilfspunkt abzuspeichern, aus dem sich die übrigen Bezierpunkte rekonstruieren lassen. Dies ermöglicht für CAD-Anwendungen eine wichtige Datenreduktion. Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Folie: 16