9.4 Binäre Suchbäume. Xiaoyi Jiang Informatik II Datenstrukturen und Algorithmen

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1 9.4 Binäre Suchbäume Erweiterung: Einfügen an der Wurzel Standardimplementierung: Der neue Schlüssel wird am Ende des Suchpfades angefügt (natürlich, weil zuerst festgestellt werden muss, ob der Schlüssel schon vorhanden ist) Erweiterung: Der eingefügte Schlüssel kann durch sog. Rotationen sukzessiv in Richtung Wurzel verschoben werden (Verbesserung der Baumstruktur) Allgemeines Schema: rekursive Formulierung 43

2 9.4 Binäre Suchbäume Beispiel: Einfügen des Schlüssels G (iterativ; die rekursive Version tut genau dasselbe) 44

3 9.4 Binäre Suchbäume Rotationen: Damit kann man Knoten im Baum verschieben, ohne die Suchbaumeigenschaft des Baumes zu verletzen. Eine lokale Umstrukturierung in einem Binärbaum, an der zwei Schlüssel und drei Teilbäume beteiligt sind. Links- und Rechtsrotation Rotation lässt die Struktur der Teilbäume A, B und C unverändert, ändert aber die Tiefe der Knoten in Teilbäumen A und C 45

4 9.4 Binäre Suchbäume Beispiel: Konstruktion eines binären Suchbaums mit A, S, E, R, C, H, I, N, G, X, M, P, L durch Einfügen an der Wurzel 46

5 9.4 Binäre Suchbäume Vorteil: Zuletzt eingefügte Schlüssel sind in der Nähe der Spitze. Für diese Schlüssel ist der Suchaufwand kleiner als mit dem Standardverfahren. Selbstorganisierender Suchalgorithmus: ordnet Elemente neu an, damit sich häufig angesprochene Elemente mit höherer Wahrscheinlichkeit bereits früh in einer Suchoperation finden lassen Realisierung durch Erweiterung der Suchmethode, um den gefundenen Knoten mithilfe von Rotationen zur Wurzel zu bringen 47

6 9.4 Binäre Suchbäume Weitere Suchbaum-Operationen: Auswahl: des k-kleinsten Elementes (Minimum: k=1). In jedem Knoten einen Zähler size für die Anzahl der Schlüssel vorzusehen, die in dem von diesem Knoten ausgehenden Teilbaum gespeichert sind. Alle Methoden, die den Zustand des Baumes ändern, müssen diesen Zähler aktualisieren. BSTNode<E> select(bstnode<e> t, int k) { if (t == null) return null; int i = (t.left == null)? 0 : node.left.size; if (i >= k) return select(t.left, k); else if (i < k) return select(t.right, k-i); return t.element; } Aufruf: select(root, k); 48

7 9.4 Binäre Suchbäume Zerlegen: Eng verwandt mit Auswählen ist das Zerlegen bezüglich einer Position k. Für k = size/2 kann man damit eine geordnete Menge in linke und rechte Hälfte aufteilen. Man bringt durch mehrfaches Rotieren das Element mit Index k an die Wurzel. Dann enthält der linke Teilbaum die Elemente mit den Indizes 0,..., k 1, der rechte die mit den Indizes k + 1,..., size 1. Die Laufzeit für Auswählen und Zerlegen ist im schlechtesten Fall von der Ordnung O(h) (h = Höhe das Suchbaums), weil immer ein Suchpfad durchlaufen wird. Im Mittel ist h O(log n), eine Garantie für logarithmische Laufzeit haben wir noch nicht. 49

8 9.4 Binäre Suchbäume Beispiel: Baum der Größe size = 9. Element M wird an die Wurzel gebracht. Anschließend enthält der linke Teilbaum Elemente, die kleiner als M sind. 50

9 9.4 Binäre Suchbäume Vereinigung von Suchbäumen: Seien a und b die beiden Bäume a.max < b.min Besonders effizient: Der Schlüssel a.max wird an die Wurzel von a rotiert, mit der Folge, dass a.right leer ist. Dann setzt man a.right = b. Wenn a logarithmische Höhe hat, braucht das O(log n) Zeit. Schlüssel in a und b sind beliebig Dann muss man einen der beiden Bäume traversieren und seine Elemente in den anderen Baum einfügen. Keine lineare Zeit, da jedes Einfügen lineare Zeit beanspruchen kann. 51

10 9.4 Binäre Suchbäume Rekursive Implementierung der Vereingung: Zuerst fügen wir die Wurzel w von a in den Baum b ein (durch Einfügen an der Wurzel) Zwei Teilbäume (a.left und b.left) mit Schlüssseln < w und zwei Teilbäume (a.right und b.right) mit Schlüsseln > w. Eine rekursive Anwendung am ersten (zweiten) Paar liefert den linken (rechten) Teilbaum der Wurzel w. BSTNode<E> joinr(bstnode<e> a, BSTNode<E> b) { if (a == null) return b; if (b == null) return a; insert(a.element, b); // Einfügen an der Wurzel b.left = joinr(a.left, b.left); r.right = joinr(a.right, b.right) return b; } 52

11 9.4 Binäre Suchbäume Beispiel: Zwei Bäume zur Vereinigung (oben); nach Einfügung der Wurzel w = G in den anderen Baum (Mitte); Vereinigung (unten) 53

12 9.5 Balancierte Bäume Mit binären Suchbäumen kann man eine Vielzahl von Anwendungen mit einer Laufzeit realisieren, die von der Höhe der beteiligten Bäume abhängt. Man möchte, dass diese Höhe garantiert logarithmisch ist. Daten sind meistens nicht zufällig verteilt, sondern teilweise geordnet mit langen Läufen monoton aufsteigender (absteigender) Elemente Degenerierung binärer Suchbäume in lineare Listen Idee: Überwache Struktur eines binären Suchbaums und restrukturiere ihn, falls er zu sehr degeneriert Idealfall eines ausgeglichenen Binärbaums hat man, wenn alle Ebenen bis auf die untersten ein bis drei Ebenen voll besetzt sind 54

13 9.5 Balancierte Bäume Es gibt zahlreiche Verfahren, mit denen man einen binären Suchbaum ausgleichen kann. Eine einfache Methode: Bringe den Median an die Wurzel und wiederhole dasselbe rekursiv für die Teilbäume. Laufzeit T(n) = n + 2T(n/2) O(n log n) (vgl. Mergesort) Diese Art des vollständigen Balancierens eines Suchbaums ist nur sinnvoll in Situationen, in denen der Baum wenig geändert wird. Durch weitere Einfüge und Entferne Operationen geht die Balance meistens schnell wieder verloren. 55

14 9.5 Balancierte Bäume Klasse B von Suchbäumen muss die folgenden beiden Bedingungen erfüllen, um praktisch nützlich zu sein Ausgewogenheitsbedingung: c > 0 T B : h T c log 2 n T h T : Höhe, n T : Anzahl Knoten eines Baumes T Restrukturierungsbedingung: Fällt ein Baum T B nach einer Einfüge- oder Löschoperation aus der Klasse B heraus, so muss es möglich sein, T mit Aufwand O(log n T ) so zu restrukturieren, dass er wieder zu B gehört Erfüllt eine Klasse B von Bäumen die Ausgewogenheitsbedingung und die Restrukturierungsbedingung, so lassen sich die Such-, Einfüge- und Löschoperation mit Aufwand O(log n) durchführen 56

15 9.5 Balancierte Bäume Klasse der fast vollständigen binären Bäume erfüllt die Ausgewogenheitsbedingung, aber nicht die Restrukturierungsbedingung, da im schlimmsten Fall O(n) Zeit benötigt wird, um solch einen binären Suchbaum zu restrukturieren C E G O(n) B D F B D F A C E G A 57

16 Die historisch erste Klasse dynamischer balancierbarer Bäume waren die AVL Bäume (1962 von G. M. Adelson Velskii und J. M. Landis eingeführt) AVL Eigenschaft eines Binärbaums: Für jeden Knoten darf sich die Höhe seiner beiden Teilbäume höchstens um 1 unterscheiden höhenbalancierter binärer Suchbaum Durch Rotationen wird unmittelbar nach jedem Einfügen und Entfernen diese Bedingung in logarithmischer Zeit wiederhergestellt Es gilt: Die Klasse der AVL Bäume erfüllt die Balanciertheitsbedingung mit h n log 2 n. Zugriffe auf AVL Bäume sind also höchstens um 44% langsamer als Zugriffe auf optimal ausbalancierte Bäume. Diese Abschätzung ist meistens viel zu pessimistisch. In der Praxis stellt man fest, dass zufällig erzeugte AVL Bäume Höhen h n log 2 n haben. 58

17 Beispiel: höhenbalancierte binäre Bäume Nicht höhenbalancierter Baum; der markierte Knoten verletzt die Höhenbedingung 59

18 Knoten t eines AVL-Baumes erfüllt genau eine der folgenden Ausgewogenheitseigenschaften: / linkslastig, wenn die Höhe des linken Teilbaums von t um 1 größer ist als die Höhe des rechten Teilbaums; - ausgeglichen, wenn beide Teilbäume von t gleiche Höhe haben; \ rechtslastig, wenn die Höhe des rechten Teilbaums von t um 1 größer ist als die Höhe des linken Teilbaums. 60

19 Einfügen: Beim Einfügen von x in einen AVL Baum wird der neue Knoten wie beim natürlichen Suchbaum eingefügt, dann wird rebalanciert. Das unbalancierte Einfügen kann also nur bei Knoten auf dem Suchpfad für x die AVL Bedingung verletzen Beim Rebalancieren wird der Suchpfad rückwärts durchlaufen. Bei jeder AVL-Verletzung wird eine lokale Restrukturierungsoperation durchgeführt, um in diesem Teilbaum die AVL-Bedingung wieder herzustellen. Lokale Restrukturierungsoperationen Rotation und Doppelrotation ermöglichen die Restrukturierung eines durch eine Einfügeoperation gestörten zuvor höhenbalancierten Baumes, indem sie ihn in Teilbäume zerlegen und auf neue Art wieder zusammenfügen 61

20 Die Höhenbedingung ist im roten Knoten verletzt a Rotation b 2 1 X Y b X a Y Z Z a Doppelrotation b c a c 2 1 W X b Z W Y Z X Y Analog spiegelbildliche Transformationen 62

21 Einfügen eines neuen Elementes erfolgt wie beim binären Suchbaum, der neue Knoten erhält die Ausgewogenheitseigenschaft. Dann beginne ausgehend vom neuen Knoten in Richtung Wurzel aufzusteigen und verbreite die Nachricht, dass der zum gegenwärtigen Knoten gehörende Teilbaum in der Höhe um 1 gewachsen ist. In jedem Knoten entlang dieses Weges wird entsprechend einer der folgenden Regeln I1, I2 und I3 eine Operation durchgeführt. 63

22 Regel I1: Knoten hat Ausgewogenheitseigenschaft und wird von seinem linken (bzw. rechten) Kind aus betreten ändere Ausgewogenheitseigenschaft zu / (bzw. \) Knoten = Wurzel breche Aufstieg ab Knoten Wurzel setzeaufstiegfort Regel I2: Knoten hat Ausgewogenheitseigenschaft / oder \ und wird vom zuvor kürzeren Teilbaum aus betreten ändere Ausgewogenheitseigenschaft zu und breche Aufstieg ab, da Höhe des Teilbaums sich nicht geändert hat 64

23 Regel I3: Knoten hat Ausgewogenheitseigenschaft / oder \ und wird vom zuvor schon längeren Teilbaum aus betreten Höhenbedingung im gegenwärtigen Knoten ist verletzt und wird folgendermaßen wiederhergestellt: (a) Erfolgten die letzten zwei Schritte aus der gleichen Richtung (beide von linken Kindern oder beide von rechten Kindern) Rotation (b) Erfolgten die letzten zwei Schritte aus unterschiedlichen Richtungen (einer vom linken Kind, einer vom rechten Kind) Doppelrotation In beiden Fällen ändert sich Höhe des Teilbaums nicht breche Aufstieg ab 65

24 Beispiel: Einfügen von 1, 2, 5, 3, 4, 6, 7 in einen initial leeren AVL-Baum 1 insert 2 1 insert 5 1 Rotation insert

25 insert 4 2 Doppelrotation insert Rotation

26 insert Rotation Insgesamt wird nach dem Einfügen höchstens eine Rotation oder Doppelrotation durchgeführt Aufwand für Einfügen wird bestimmt durch den Abstieg zur Einfügeposition und den Aufstieg, im schlimmsten Fall bis zur Wurzel Aufwand für Einfügen ist im schlimmsten Fall O(h), d.h. O(log n) 68

27 Entfernen: Ein Schlüssel x wird wie bei natürlichen Suchbäumen entfernt (entweder direkt entfernt oder durch seinen Inorder Nachfolger y ersetzt; siehe die Illustration auf der nächsten Folie) Dann beginne ausgehend vom Elternknoten von x oder y zur Wurzel aufzusteigen und verbreite die Nachricht, dass der zum gegenwärtigen Knoten gehörende Teilbaum in der Höhe um 1 geschrumpft ist. In jedem Knoten entlang dieses Wegs wird entsprechend einer der folgenden Regeln eine Operation durchgeführt. 69

28 9.4 Binäre Suchbäume Spezialfälle beim Entfernen in binären Suchbäumen: x ist in einem Knoten k enthalten, der keine Kinder hat: k wird gelöscht von Elternknoten von x=13, 12, zur Wurzel aufsteigen x ist in einem Knoten k enthalten, der ein Kind hat: k wird durch das Kind ersetzt von Elternknoten von x=16, 15, zur Wurzel aufsteigen 70

29 9.4 Binäre Suchbäume x ist in einem Knoten k enthalten, der zwei Kinder hat: Dann bleibt Knoten k erhalten. Das Element x in k wird ersetzt durch das größte Element im linken Teilbaum oder das kleinste Element im rechten Teilbaum von k. Jedes dieser beiden Elemente ist in einem Knoten gespeichert, der höchstens ein Kind besitzt und daher wie in Fall 1 oder 2 entfernt werden kann. von Elternknoten von y=6, 10, zur Wurzel aufsteigen 71

30 Regel D1: Knoten hat Ausgewogenheitseigenschaft und wird von seinem linken (bzw. rechten) Kind aus betreten ändere Ausgewogenheitseigenschaft zu \ (bzw. /) und breche Aufstieg ab, da die Höhe des Teilbaums sich nicht geändert hat Regel D2: Knoten hat Ausgewogenheitseigenschaft / oder \ und wird vom zuvor längeren Teilbaum aus betreten ändere Ausgewogenheitseigenschaft zu und setze Aufstieg fort 72

31 Regel D3: Knoten hat Ausgewogenheitseigenschaft / oder \ und wird vom zuvor schon kürzeren Teilbaum aus betreten Höhenbedingung des gegenwärtigen Knotens b ist verletzt und wird abhängig von der Ausgewogenheitseigenschaft des anderen Kindes a von b folgendermaßen wiederhergestellt: (a) Rotation b a a b Z Z X X Y Y Eine Rotation sorgt für die Einhaltung der Höhenbedingung am gegenwärtigen Knoten, ohne die Höhe des Teilbaums zu verändern breche Aufstieg ab 73

32 (b) X a Y b Z Rotation X a Y b Z Eine geeignete Rotation sorgt für die Einhaltung der Höhenbedingung am gegenwärtigen Knoten setzeaufstiegfort 74

33 (c) W a X c b Y Z Doppelrotation W a X c Y b Z Eine Doppelrotation sorgt für die Einhaltung der Höhenbedingung am gegenwärtigen Knoten setze Aufstieg fort Ähnliche Transformationen, falls X oder Y, aber nicht beide zugleich, um eine Stufe kürzer sind als in obiger Figur gezeigt Modifikation der Ausgewogenheitseigenschaft einiger Knote kein Einfluß auf die Höhe des Teilbaums Betrachte ebenso Spiegelbilder in (a), (b), (c)! 75

34 Im Gegensatz zum Einfügen kann beim Löschen mehr als eine Rotation oder Doppelrotation notwendig sein! Aufwand für eine Rotation oder Doppelrotation ist konstant, d.h. O(1) Kosten für Rebalancierung nur abhängig von der Höhe des Baumes Aufwand für Löschoperation ist im schlimmsten Fall O(log n) 76

35 delete Regel D

36 Regel D3 (c): Doppelrotation Regel D3 (b): Rotation

37 Beispiel: Ein natürlicher Suchbaum mit 200 zufälligen Schlüsseln 79

38 AVL-Baum mit denselben Schlüsseln: 80

39 Beispiel: Ein natürlicher Suchbaum mit Bias, 400 zufällige Schlüssel 81

40 AVL-Baum mit denselben Schlüsseln: 82

41 Ein schiefster höhenbalancierter binärer Baum T h ist ein höhenbalancierter binärer Baum der Höhe h mit einer minimalen Anzahl Knoten. Ausgehend von T 0 und T 1 erhält man T h, indem man T h 1 und T h 2 als Teilbäume an einen neuen Wurzelknoten anfügt: h = 0 h = 1 h = 2 h = 3 h = 4 Anzahl n h der Knoten in einem schiefsten höhenbalancierten binären Baum der Höhe h: n 0 = 1, n 1 = 2 n h = n h 2 + n h

42 Es gilt: Im schlimmsten Fall beträgt die Höhe eines AVL-Baums mit n Knoten etwa 1.44 log 2 n 84

43 Aufwand für die Einfüge- und Löschoperation ist im schlimmsten Fall O(log n) Klasse der AVL-Bäume erfüllt die Restrukturierungsbedingung AVL-Bäume mit ihren kleinen Knoten, die gewöhnlich ein einziges Datenelement enthalten, werden primär für die Verwaltung von Daten im Hauptspeicher eingesetzt G. M. Adelson-Velskii und Y. M. Landis: An algorithm for the organization of information, Soviet Mathematics Doklady 3, (1962) Ein schönes Java-Applet mit Animation: 85

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