Natürliche Zahlen Stellenwertsysteme Zahlen werden in einem Stellenwertsystem mit Hilfe von Ziffern dargestellt.
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- Cornelius Fürst
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1 Natüriche Zahen 1 1 Zahen I N = {1, 2, 3,...} Menge der natürichen Zahen I N 0 = {0, 1, 2,...} Menge der natürichen Zahen mit Nu 1.1 Steenwertsysteme Zahen werden in einem Steenwertsystem mit Hife von Ziffern dargestet. Bsp.: 235 = er-System (Dezimasystem) (101) 2 = Zweiersystem (432) 5 = 4 5² Fünfersystem Zahenwörter für große Zahen: Triionen Biiarden Biionen Miiarden Miionen Tausender HMd ZMd Md HM ZM M HT ZT T H Z E 1.2 Römische Zahenzeichen I = 1 X = 10 C = 100 M = 1000 V = 5 L = 50 D = 500 I, X, C, M dürfen bis zu dreima stehen und werden dann addiert. I vor V und X, X vor L und C, C vor D und M werden abgezogen Bsp.: MCMXCVIII = 1998
2 Natüriche Zahen 2 2 Aussagen und Mengen Eine Aussage ist ein Satz, bei dem man eindeutig entscheiden kann, ob er wahr (w) oder fasch (f) ist. Eine Aussageform ist eine Aussage mit einem Patzhater. In der Grundmenge stehen ae Eemente, die zum Einsetzen in eine Aussageform zur Verfügung stehen. In der Definitionsmenge stehen ae Eemente, die man sinnvoer Weise einsetzen kann. In der Lösungsmenge stehen ae Eemente der Grundmenge, die beim Einsetzen eine wahre Aussage ergeben. Die Schnittmenge A B enthät ae Eemente, die in A und in B vorkommen. Die Vereinigungsmenge A B enthät ae Eemente, die in A oder in B vorkommen. A ist Teimenge von B (A B), wenn A nur Eemente enthät, die auch in B vorkommen. Bsp.: A = {1, 2, 3} B = {2, 3, 4} A B = {2, 3} A B = {1, 2, 3, 4} {1, 2} A 3 Termnamen Termnamen Rechenart Befeh Summe Summenwert = 1. Summand +2.Summand Addition Addiere! Differenz Differenzwert = Minuend - Subtrahend Subtraktion Subtrahiere! Produkt Produktwert = 1. Faktor 2. Faktor Mutipikation Mutipiziere! Quotient Quotientwert = Dividend : Divisor Division Dividiere! Potenz Potenzwert = Basis Exponent Potenzierung Potenziere! Potenz: Bsp.: = heißt Basis, 4 heißt Exponent. 4 Rechengesetze! Kammer vor Hoch vor Punkt vor Strich Kommutativgesetze: a+b = b+a a b = b a Assoziativgesetze: (a+b)+c = a+(b+c) ( a b) c = a (b c) Distributivgesetze: a (b+c) = a b+a c a (b-c) = a b-a c (b-c):a = b:a-c:a
3 Größen 1 1 Größen Eine Größe besteht aus einer Maßzah und einer Einheit, z.b. 3 kg, 3 000g, 34 s Je größer man die Einheit wäht, desto keiner wird die Maßzah. 2 Grundgrößen 2.1 Längen 1 Kiometer 1 km = 10 hm = 1000 m 1 Hektometer 1 hm = 10 dam 1 Dekameter 1 dam = 10 m 1 Meter 1 m = 10 dm 1 Dezimeter 1 dm = 10 cm 1 Zentimeter 1 cm = 10 mm 1 Miimeter 1 mm = 1000 µm µ : mikro 1 Mikrometer 1 µm = 1000 nm = 1000 Nanometer Bemerkung: Die Einheiten Hektometer und Dekameter werden heute nur sehr seten verwendet. Sie hefen uns aber uns fogendes zu merken: 1km 10 m 2.2 Ged 1 Euro 1 = 100 Cent Der Bündeungsfaktor bei Währungen ist 100! 2.3 Gewicht 1 Tonne 1 t = 1000 kg 1 Kiogramm 1 kg = 1000 g 1 Gramm 1 g = 1000 mg 1 Miigramm 1 mg = 1000 µg 1 Mikrogramm 1 µg = 1000 ng = 1000 Nanogramm Der Bündeungsfaktor bei Gewichten ist 1000! 2.4 Zeit 1 Jahr 1 a = 365 d 1 Tag 1 d = 24 h 1 Stunde 1 h = 60 min = 3600 s 1 Minute 1 min = 60 s 1 Sekunde 1 s Der Bündeungsfaktor bei Zeiten ist unregemäßig!
4 Größen 2 3 Rechnen mit Größen 3.1 Addition und Subtraktion Man kann nur Größen mit derseben Maßeinheit addieren und subtrahieren. Dabei werden Maßzahen addiert bzw. subtrahiert; die Maßeinheiten beiben geich. Bsp.: 7km 580m m = 6km 1580m m = 6km 840m 3.2 Mutipikation einer Größe mit einer Zah 1. Mutipiziere die Zah mit der Maßzah! 2. Hänge an den Produktwert die Maßeinheit an und vereinfache wenn mögich! Bsp.: 4 45 min = 180min = 3 h 2 kg 125g 9 = 18 kg 1125 g = 19 kg 125 g 3.3 Division zweier Größen geicher Art: Messung 1. Wande die Größen in Größen mit geicher Maßeinheit um! 2. Teie die eine Maßzah durch die andere Maßzah! 3. Das Ergebnis ist eine Zah! Bsp.: 97 kg : 250 g = g : 250 g = 388 Beachte: Die Division zweier Größen verschiedener Art ist keine Messung! km z.b. Geschwindi gkeit = Strecke : Zeit ; v = 60km : 4h = 15 h 3.4 Division einer Größe durch eine Zah Teien 1. Wande die gemischte Größe in eine Größe mit einer (der keinsten) Maßeinheit um! 2. Teie die Maßzah durch Zah! 3. Hänge an den Quotientwert die Maßeinheit an! (Das Ergebnis ist eine Größe!) Bsp.: 4 20 Cent : 7 = 420 Cent :7 = 60 Cent Beachte! Manchma ist das Umwanden in die keinste Maßeinheit nicht nötig: 169 km 39 m : 13 = 13 km 3 m Beachte! Manchma ist das Umwanden in eine keinere Einheit nötig 2 t 312 kg : 5 = 2312 kg : 5 = g: 5 = g = 462 kg 400 g
5 Geometrische Grundbegriffe 1 1 Vierecke Ein Viereck mit 4 rechten Winken heißt Rechteck. Ein Rechteck mit 4 geich angen Seiten heißt Quadrat. Ein Viereck, bei dem gegenüberiegende Seiten parae sind, heißt Paraeogramm. Ein Viereck mit 4 geich angen Seiten heißt Raute. 2 Umfang und Fächeninhat von Rechtecken Umfang des Rechtecks U R = 2 (+b) b Fächeninhat des Rechtecks A R = b 3 Fächeneinheiten 1 Quadratkiometer 1 km 2 = 100 ha 1 Hektar 1 ha = 100 a 1 Ar 1 a = 100 m 2 1 Quadratmeter 1 m 2 = 100 dm 2 1 Quadratdezimeter 1 dm 2 = 100 cm 2 1 Quadratzentimeter 1 cm 2 = 100 mm 2 1 Quadratmiimeter 1 mm 2 Der Bündeungsfaktor bei Fächen ist 100! 4 Körper Körper sind räumiche Gebide. (3 Dimensionen) 4.1 Körper, die nur ebene Begrenzungsfächen haben: Würfe 6 geiche quadratische Seiten 12 Kanten 8 Ecken Quader Gegenüberiegende Rechtecke sind geich. Prisma Geiche eckige Grund- und Deckfäche. Pyramide Eckige Grundfäche und Spitze
6 Geometrische Grundbegriffe Körper, die ebene und gekrümmte Begrenzungsfächen haben: Zyinder Geiche kreisförmige Grund- und Deckfäche Kege Kreisförmige Grundfäche und Spitze 4.3 Körper, die nur gekrümmte Begrenzungsfächen haben: Kuge Ae Punkte der Oberfäche sind vom Mittepunkt geich weit entfernt. 4.4 Oberfächeninhat des Quaders: 4.5 Netz des Quaders: O Q = 2 ( b+ h+b h). b h b h 5 Punktmengen Strecke [AB] ist die Menge aer Punkte zwischen A und B einschießich A und B. Länge der Strecke AB ist die Entfernung von A nach B. A B Habgerade [AB Gerade AB A B A B 6 Koordinatensystem y Ein Koordinatensystem besteht aus zwei Zahenstrahen, die sich senkrecht im gemeinsamen Nupunkt schneiden. 2 Die x-achse heißt Rechtswertachse, die y-achse Hochwertachse. Ein Punkt P(x y) ist durch seine Koordinaten festgeegt 1 P(3 2) Schreibweise auch: P(x;y) x
7 Teibarkeitsregen 1 Teibarkeit Quersummenrege: Eine Zah ist durch 3 (9) teibar, wenn ihre Quersumme durch 3 (9) teibar ist. Endsteenregen: Eine Zah ist durch 2 teibar, wenn sie auf 0, 2, 4, 6, oder 8 endet. Eine Zah ist durch 5 teibar, wenn sie auf 0 oder 5 endet. Eine Zah ist durch 4 teibar, wenn die aus den etzten zwei Ziffern gebidete Zah durch 4 teibar ist (oder die Zah zwei Endnuen hat) Eine Zah ist durch 8 teibar, wenn die aus den etzten drei Ziffern gebidete Zah durch 8 teibar ist (oder die Zah drei Endnuen hat) Eine Zah ist durch 25 teibar, wenn sie auf 00, 25, 50 oder 75 endet. Die Teiermenge einer Zah enthät ae ihre Teier. Bsp.: T 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} 2 Primzahen Eine Zah, deren Teiermenge genau zwei Eemente enthät, heißt Primzah. Primzahen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, Primfaktordarsteung: Jede Zah ässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahen zeregen. Bsp: 60 = 6 10 = ergibt die Primfaktorzeregung: 60 = kgv und ggt Größter gemeinsamer Teier: ggt Keinstes gemeinsames Viefaches: kgv Bsp.: Primfaktorzeregung 100 = = = 2² 5² 40 = 4 10 = = 2³ 5 60 = 6 10 = = 2² 3 5 ggt(100 ;40; 60) = = 20 kgv(100; 40; 60) = = 600 Für ggt werden die gemeinsamen Primfaktoren genommen, für kgv jede Primzahgruppe dort, wo sie am häufigsten auftritt.
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Währungseinheiten. Mathematische Textaufgaben, Klasse 4 Bestell-Nr. 350-12 Mildenberger Verlag
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Notwendiges Grundwissen am Ende der Klasse 5 für den Übergang in Klasse 6 In dieser Anfangsphase sollen die Schülerinnen und Schüler keine Wiederholung des Grundschulstoffs durchmachen, sondern bereits
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