Binäre Multiplikations- und Divisionswerke

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Binäre Multiplikations- und Divisionswerke"

Transkript

1 Binäre Multiplikations- und Divisionswerke Herleitung, Entwurf und Optimierung 1. Juli 2008 Joscha Drechsler FB Informatik FG Rechnerarchitektur

2 1 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Intention Empfohlene Vorkenntnisse Schaltbilder Links und rechts in Binärzahlen Zahlensysteme Multiplikationswerke Multiplikation durch wiederholte Addition Einfaches wiederholtes Addieren Wiederholtes Addieren in 10er-Potenzen Multiplikation über Teilprodukte Schriftliches Multiplizieren als Schaltnetz Die Carry-Safe-Technik Der Wallace-Tree Ergänzungen zur Multiplikation Weiterführende Multiplikationsmethoden Anpassungen für Zahlen in Zweikomplementdarstellung Anpassungen für Rechenwerke mit gleichen Ein- und Ausgabebitbreiten Booth-Encoding Divisionswerke Vorbereitungen zur Division Themeneinschränkung Fehlerbehandlung Division durch wiederholtes Subtrahieren Einfaches wiederholtes Subtrahieren Die Vergleichsmethode Division mit Rückstellen des Rests Division ohne Rückstellen des Rests Ergänzungen zur Division Schaltwerk zur Division ohne Rückstellen des Rests aus der Vorlesung Weiterführende Divisionsmethoden Anpassungen für Rechenwerke mit gleichen Ein- und Ausgabebitbreiten Verilog-Beschreibungen Multiplikationswerke Division Fehlererkennung Divisionswerke

3 2 1 Vorwort 1.1 Intention Dieses Dokument soll die Entwicklung und Optimierung von Multiplikations- und Divisions-Rechenwerken im Rechnerentwurf verständlich darlegen und demonstrieren. Es werden die gängigsten Multiplikations- und Divisions-Mechanismen hergeleitet und erklärt. Rechenwerke, die aus einem einfachen Schaltnetz bestehen, sind grafisch dargestellt. Seriell arbeitende Rechenwerke sind grafisch abstrahiert dargestellt, in ihrer Funktion durch einen Ablauf einer Berechnung beispielhaft erläutert und jeweils durch eine Verilog-Beschreibung im Anhang beschrieben. In den Texten dieses Dokuments wird bis auf wenige zum Verständnis erforderliche Ausnahmen auf Herleitungen über komplizierte Formeln oder Verfahren so weit wie möglich verzichtet. Vielmehr wird versucht, alltäglich verwendete, mathematische Methoden auf digitale Elektronikschaltungen zu übertragen und von dort aus weiter zu optimieren. Mathematische Beweise und Herleitungen können teilweise auf den Vorlesungsfolien der Veranstaltung Technische Grundlagen der Informatik II sowie in [Hof93]. 1.2 Empfohlene Vorkenntnisse Die zum Verstädnis dieses Dokuments benötigten Vorkenntnisse werden durch die Lehrveranstaltung Technische Grundlagen der Informatik I (TGdI I) und einen Teil der Lehrveranstaltung Technische Grundlagen der Informatik II (TGdI II) abgedeckt. Die Relevanten Themen sind: Funktionsweise einfacher logischer Schaltgatter wie AND, OR, Inverter und Multiplexer (TGdI I) Funktionsweise von Speicherregistern (TGdI I) Zahlendarstellung durch binäre digitale Signale, einschließlich der Zweikomplementdarstellung (TGdI II) Kenntnisse über Additionsschaltungen, insbesondere die Addition mit Übertragsvorausberechnung, der Carry- Look-Ahead-Addierer (TGdI II) Die genannten Themen können in den Skripten/Folien der entsprechenden Lehrveranstaltungen nachgelesen werden. 1.3 Schaltbilder Die in diesem Dokument verwendeten Schaltgatter sind wie folgt angegeben: Einfache Gatter wie AND, OR, Inverter und Multiplexer sind in der üblichen Notation dargestellt. AND-Gatter in Multiplikationsschaltnetzen sind zur besseren Erkennung mit den Namen ihrer Eingangsleitungen gekennzeichnet. Komplexe Gatter und Schaltnetze, von deren Details im entsprechenden Schaltbild abstrahiert werden kann, sind durch einfache Rechtecke repräsentiert und entsprechend ihrer Funktion beschriftet. Mit F bezeichnete Gatter stellen hierbei Volladdierer (Full adder) dar, H bezeichnet Halbaddierer (Half adder). Andere komplexe Elemente sind mit einer erklärenden Beschriftung wie Addierer beschriftet und erfüllen die der Beschriftung entsprechende Funktion. 1.4 Links und rechts in Binärzahlen Wird im Bezug auf Binärzahlen oder Bitregister von links und rechts gesprochen, so wird von der natürlichen Zahlenschreibweise und der in Verilog üblichen Orientierung {MSB,..., LSB} ausgegangen. Die linke Seite meint also die hochwertigen Stellen und die rechte Seite entsprechend die niederwertigen Stellen der Zahlen.

4 3 1.5 Zahlensysteme Bei Beispielrechnungen sind Zahlen durch ein 2 oder ein 10 markiert, entsprechend dem Zahlensystem in dem sie angegeben sind. Ausnahmen hierbei sind 10er-Potenzen welche in allen Zahlensystemen die gleiche Bedeutung im Sinne einer Verlängerung der Zahl um entsprechend viele Nullen haben.

5 4 2 Multiplikationswerke 2.1 Multiplikation durch wiederholte Addition Die einfachste Methode, Zahlen zu multiplizieren ist - im Binärsystem genau wie im Dezimalsystem - wiederholtes Addieren Einfaches wiederholtes Addieren Die folgende Rechnung im Dezimalsystem lässt sich äquivalent im Binärsystem ausdrücken: = } {{ 10 = 15 } mal = } {{ } 2 = =5 10 mal Es lässt sich ein entsprechendes Schaltwerk entwickeln, welches die zwei Eingabefaktoren X und Y erhält, ein Zählregister mit dem Wert von Y sowie ein Ergebnisregister mit initialisiert und anschließend solange das Ergebnisregister mit X addiert und das Zählregister um 1 dekrementiert bis letzteres den Wert erreicht hat (diese Prüfung lässt sich durch ein einfaches NOR-Gatter über alle Zählerbits realisieren). Im Ergebnisregister steht dann das Ergebnis der Multiplikation. Abbildung 2.1 stellt das abstrahierte Schaltwerk für dieses Verfahren grafisch dar, Listing 4.1 ist eine Verilog- Beschreibung des Schaltwerks und in Abbildung 2.2 ist der Ablauf der Berechnung des oben verwendeten Beispiels mit Registerbelegungen dargestellt. Abbildung 2.1: Das abstrahierte Schaltbild zur Multiplikation durch wiederholtes Addieren Wiederholtes Addieren in 10er-Potenzen Statt X Y mal zu addieren - was für große Y sehr lange dauert - kann man, im Binärsystem wie im Dezimalsystem, einen Faktor zunächst in 10er-Potenzen zerlegen, die Teilsummanden in den entsprechenden Potenzen berechnen und diese anschließend einfach um die entsprechenden Stellen nach links verschoben addieren. Die folgende Beispielrechnung im Dezimalsystem:

6 5 Schritte Ergebnisregister Zählregister Aktion Aktion Init Load Load Y X X X X X Ende P[6] Abbildung 2.2: Beispielablauf des wiederholenden Addierers = = = = lässt sich äquivalent im Binärsystem ausdrücken: = = = = Hierbei ist zu beachten, dass dieses Verfahren im Binärsystem einfacher ist als im Dezimalsystem. Wie im Beispiel oben ist es im Dezimalsystem oft noch nötig, die Teilsummanden durch Multiplikation mit einer einstelligen Zahl zu bestimmen. Im Binärsystem ist diese einstellige Zahl jedoch nur entweder 1 2 oder 0 2, also nur eine addieren oder nicht addieren Entscheidung, welche durch jeweils ein AND-Gatter (nur ergibt 1 2, das Produkt aller anderen Faktorkombinationen ist 0 2 ) aus den betreffenden Bitleitungen getroffen wird. Es ist hier keine komplizierte Multiplikation nötig. Dieses Multiplikationsverfahren lässt sich wieder schrittweise abarbeiten. Das Schaltwerk nimmt die Eingabefaktoren X und Y. Es wird zunächst ein Ergebnisregister mit initialisiert und ein temporäres Register mit Y. Auf das Ergebnisregister wird nun am linken Rand ausgerichtet (das entspricht der Verschiebung die durch die entsprechende 10er-Potenz entsteht) X addiert, falls das LSB des temporären Registers 1 2 ist. Anschließend kann das LSB des temporären Registers verworfen werden und das Ergebnisregister muss um ein weiteres Bit nach links erweitert werden. Das Endergebnis liegt vor, sobald alle Bits des temporären Registers verworfen worden sind. Hierfür wird ein Zählregister benötigt, welches mit initialisiert und pro Schritt um 1 inkrementiert wird und das Ende der Berechnung signalisiert sobald sein Wert der Bitbreite von Y entspricht. Da das temporäre Register in jedem Schritt um ein Bit schrumpft und das Ergebnisregister im Gegenzug um ein Bit vergrößert werden muss lassen sich beide Register in ein Arbeitsregister {Ergebnisregister,temporäres Register} (Verilog-Notation) zusammenlegen. Unterzieht man dieses kombinierte Register einem logischen Rechtsshift wird das LSB des temporären Registers verworfen und das Ergebnisregister links um ein Bit erweitert. Diesen Shift kann man festverdrahtet mit dem Addierer auf die Load-Eingänge schalten, auf diese Weise lässt sich das Schaltwerk platz- und ressourcensparend implementieren wie in Abbildung 2.3 dargestellt. In Listing 4.2 ist das Schaltwerk in Verilog HDL beschrieben, Abblidung 2.4 zeigt den Ablauf der Beispielrechnung anhand der Registerbelegungen.

7 6 Abbildung 2.3: Das abstrahierte Schaltbild zur Multiplikation durch Addition in 10er-Potenzen Schritte Ergebnisregister Zählregister Aktion Aktion Init Load {4'b0,Y} Load : shift : shift : shift & add : shift & add Ende P[8] = Abbildung 2.4: Beispielablauf des Serienparallelen Rechenwerks 2.2 Multiplikation über Teilprodukte Da schrittweise arbeitende Schaltwerke meist recht langsam sind, lässt sich die Geschwindigkeit der Multiplikation weiter optimieren, indem man das schrittweise Schaltwerk ausschreibt und auf Kosten zunehmenden Platzes und Gatterverwendung als einfaches Schaltnetz ohne Register und Takt realisiert Schriftliches Multiplizieren als Schaltnetz Die schriftliche Multiplikation aus dem Dezimalsystem lässt sich in derselben Notation genauso im Binärsystem verwenden, Abbildung 2.5 zeigt eine Gegenüberstellung der beiden Methoden. 0 5 x x Abbildung 2.5: Dezimale und binäre schritfliche Multiplikation Die binäre Variante lässt sich nun direkt in ein Gatternetz übernehmen, Abbildung 2.6 zeigt die entsprechenden Gatter an den Positionen, wobei die Summenleitungen jeweils nach unten und die Übertragsleitungen nach links und am linken Rand jeder zeile nach links unten weitergegeben werden. In Abbildung 2.7 ist das daraus entstehende Schaltnetz dargestellt.

8 7 X3 X2 X1 X0 x Y3 Y2 Y1 Y0 (A) (A) (A) (A) H F F H F F F H F F F H P7 P6 P5 P4 P3 P2 P1 P0 Abbildung 2.6: Übersetzung der schritlichen Multiplikation in ein Schaltnetz Abbildung 2.7: Das Schaltnetz zur schriftlichen Multiplikation

9 Die Carry-Safe-Technik Betrachtet man das Schaltnetz, das aus der schriftlichen Multiplikation entstanden ist, fällt auf, dass es eine Hintereinanderschaltung mehrerer Carry-Ripple-Addierer ist - eine grundsätzlich unschöne und insbesondere langsame Lösung. Eine Möglichkeit wäre natürlich, jede Reihe Addierer durch einen Carry-Look-Ahead-Addierer zu ersetzen. Dadurch würde man jedoch nicht viel Zeit einsparen und den Gatteraufwand enorm in die Höhe treiben. Die bessere Lösung zu diesem Problem ist die Carry-Safe-Technik. Die Carry-Safe-Technik ist eine Teiladdition. Sie nimmt drei zu addierende Zahlen und berechnet für jeden Bitwert aus drei Bits mit einem Volladdierer ein Summenbit und ein Übertragsbit welche jeweils beide als Ausgänge ausgegeben werden. Die Teiladdition berechnet nicht die endgültige Summe wie bei einem normalen Addierer, welcher die Übertragsbits jeweils selbst als drittes Bit des nächsthöheren Bitwerts verwendet. Der Vorteil hierbei ist, dass die Zeit, die durch das hintereinanderschalten der Volladdierer an ihren Übertragsausgängen gewartet werden muss, wegfällt. Betrachtet man die Umstellung auf die Carry-Safe-Technik im Schaltnetz zur Schriftlichen Multiplikation, so nimmt man die Übertragsausgänge aller Addierer und schließt diese diagonal auf den Addierer unterhalb des ursprünglichen Zieladdierers an. Das entspricht dem Weitergeben des Übertragsbits an die nächste Reihe Addierer anstatt sie selbst zu verwenden. Da nun auf jeder Ebene eine neue Gruppe Bits aus AND-Gates dazu kommt kann man durch Hintereinanderschaltung mehrerer Carry-Safe-Additionsstufen immer drei Eingangsbits auf zwei Ausgangsbits reduzieren und erhält mit dem neuen Bit aus dem AND-Gatter wieder je drei Bits für die Addierer der folgenden Stufe. Auf der letzten Stufe erfolgt dann eine Abschlussaddition der jeweils übrigen zwei Bits, hier verwendet man nun einem Carry-Look-Ahead-Addierer da dieser hierfür am schnellsten ist. Als Ergebnis erhält man das Carry-Safe- Multiplikationsschaltnetz, welches in Abbildung 2.8 dargestellt ist. Abbildung 2.8: Das Schaltnetz des Carry-Safe-Multiplizierers Der Wallace-Tree Der nächste Schritt in der Optimierung des Multiplikationsschaltnetzes ist der Wallace-Tree. Anstatt die Teilprodukte zu berechnen und zu addieren wenn die Multiplikation bis dort hin abgeschlossen ist, basiert der Wallace-Tree auf der Idee, sämtliche Teilergebnisse so früh wie möglich zu berechnen. Zwar steigen dadurch der Platz- und Gatterver-

10 9 brauch, jedoch steigert sich die Geschwindigkeit der Multiplikation zu einer logarithmischen Abhängigkeit von der Breite der Eingangsfaktoren. Das Konstruieren eines Wallace-Trees für gegebene Eingänge ist deutlich komplizierter als das der bisherigen Schaltnetze, da man es nicht einfach irgendwo abschreiben und dann umverdrahten kann. Ein Schaltnetz kann nach dem folgenden algorithmischen Vorgehen entworfen werden: Zunächst werden alle AND-Teilprodukte sämtlicher Bits berechnet und entsprechend ihrer Wertigkeiten in Gruppen sortiert. Diese Sortierung wurde bisher immer implizit durchgeführt, kann jedoch bei erneutem Ansehen der Schaltbilder gut erkannt werden. Die Wertigkeit eines AND-Gatter-Ausgangs für das AND-Gatter der Eingangsbits a n und b n entspricht dem Wert 2 n 2 m = 2 n+m. a 0 b 0 hat also die Wertigkeit = = 2 0 = 1 und hat damit den Wert 1 10, a 3 b 5 hätte = = 2 8 = 256 und damit den Wert Nun geht man Stufenweise vor. Solange auf der betrachteten Stufe noch eine Wertgruppe an Bitleitungen noch drei oder mehr Leitungen enthält werden alle Gruppen nach dem folgenden Schema zusammengefasst: Enthält die betrachtete Gruppe nur noch eine einzige Leitung, so wird sie lediglich in die nächste Stufe übernommen. Enthält die betrachtete Gruppe noch genau zwei Leitungen, so werden diese beiden Leitungen an einen Halbaddierer geschlossen. Enthält die betrachtete Gruppe noch drei oder mehr Leitungen, so werden zunächst drei Leitungen der Gruppe an einen Volladdierer geschlossen und dann die übrigen Leitungen der Gruppe erneut betrachtet. Für jeden angeschlossenen Addierer wird der Summenausgang in die Gruppe desselben Gewichts der nächsten Stufe eingeordnet und der Übertragsausgang in die Gruppe des nächsthöheren (entspricht dem doppelten) Gewichts der nächsten Stufe eingeordnet. Dieses Anschließen entspricht dem anschließen des Carry-Safe-Addierers, bei dem die Übertragsausgänge nach unten links und die Summenausgänge nach unten weitergegeben wurden. Enthält die aktuelle Stufe nur noch Gruppen mit höchstens zwei Bitleitungen, so werden diese in einem Carry- Look-Ahead-Addierer einer Abschlussaddition unterzogen, ähnlich dem Carry-Safe-Multiplier. Diese Grenze erklärt sich dadurch, dass man die Addition möglichst schnell zu einem Ende bringen möchte und sich das am besten mit einem Carry-Look-Ahead-Addierer durchführen lässt. Der Wallace-Tree reduziert also schnellstmöglich die verbleibenden Additionen auf maximal 2 Leitungen pro Bitwertigkeit, um diese dann in einem Carry-Look-Ahead-Addierer abzuschließen. Das Schaltbild für einen so entstandenen 4-Bit-Wallace-Tree-Multiplier ist in Abbildung 2.9 gezeigt. Hierbei kann man ebenfalls erkennen, dass sich der Wallace-Tree für 4-Bit Eingänge gegenüber dem Carry-Safe-Multiplier noch nicht rentiert im Bezug auf die Geschwindigkeit. Er verwendet mehr Gatter wobei der längste Weg durch das Schaltnetz nicht kürzer wird. Erst bei breiteren Eingangsfaktoren macht sich der Geschwindigkeitsvorteil bemerkbar. Abbildung 2.9: Das Schaltnetz des Wallace-Tree-Multiplizierers

11 Ergänzungen zur Multiplikation Im Folgenden werden ergänzende Themen zu Multiplikationswerken angesprochen und erklärt Weiterführende Multiplikationsmethoden Es gibt eine weitere Optimierung des Wallace-Trees, den Dadda-Tree. Der Dadda-Tree ist dem Wallace-Tree sehr ähnlich, er benutzt jedoch weniger Halbaddierer, da er versucht, die Anzahl an Bitleitungen in den Gruppen möglichst auf einem Vielfachen von 3 zu halten um mit 3:2 Volladdierern (3 Eingänge, 2 Ausgänge) die größtmögliche Effizienz zu erreichen. Der Dadda-Tree zeigt eine leicht bessere Performanz als der Wallace-Tree, dieser Unterschied ist jedoch von der Art der verwendeten Addierer abhängig Anpassungen für Zahlen in Zweikomplementdarstellung Um Multiplikationswerke kompatibel mit Zahlen in Zweikomplementdarstellung zu machen ist eine geringfügige Anpassung nötig. Unter der Annahme, dass man zwei Eingangsfaktoren in 2K-Darstellung von der gleichen Bitbreite multipliziert, gilt: Für jeden der beiden Faktoren muss geprüft werden, ob er negativ ist. Ist ein Faktor negativ, sein MSB hat also den Wert 1, so muss der jeweils andere Faktor (oder beide Faktoren falls beide negativ sind) von den höchstwertigen Bits des Endergebnisses abgezogen (beziehungsweise sein Komplement addiert) werden. In Abbildung 2.10 ist ein Adaptionsschaltnetz für beliebige Multiplikationswerke dargestellt. Die Subtraktion wird hier durch Addition des Komplements durchgeführt, dazu werden wie üblich die Eingangswerte negiert und eine Inkrementierung durch beschalten des Carry-In-Eingangs des Addierers mit 1 statt 0 durchgeführt. Abbildung 2.10: Ein Adapterschaltnetz um 2K-Zahlen zu multiplizieren

12 Anpassungen für Rechenwerke mit gleichen Ein- und Ausgabebitbreiten Für den Fall, dass - wie in den meisten Prozessoren üblich - sowohl die beiden Eingabefaktoren als auch das Ausgabeprodukt dieselbe Bitbreite haben, müssen die Multiplikationswerke um eine Überlaufbehandlung erweitert werden. Bisher war eine solche Behandlung nicht nötig, denn das Ergebnis der Multiplikation wird niemals mehr Bits brauchen als die Summe der Bits der beiden Eingangsfaktoren (Beispielsweise ist = < ). Eine solche Überlaufbehandlung reduziert gleichzeitig den Zeitaufwand der Berechnung, da sämtliche Bitleitungen, deren Wertigkeiten über die des MSBs des Ergebnisses steigen aus der Berechnung entfernt und zum Overflow-Signal verodert werden können. Als Beispiel hierzu ist der Wallace-Tree, der auf eine 4 Bit breite Ausgabe reduziert und um eine Überlauferkennung ergänzt wurde, in Abbildung 2.11 dargestellt. Abbildung 2.11: Der 4-Bit-Wallace-Tree mit gleicher Ein- und Ausgangs-Bitbreite und Überlauferkennung Booth-Encoding Das Booth-Encoding ist eine Möglichkeit, die Multiplikation weiter zu beschleunigen, indem man die Zahl der nötigen Rechenoperationen minimiert. Bisher wurde die Multiplikation nur durch viele Additionen durchgeführt, jedoch kann man eine Rechnung wie abkürzen. Ähnlich dem Addieren in 10er-Potenzen, welches den Faktor in zerlegt, geht das Booth-Encoding vor, jedoch zerlegt es den Faktor ein wenig intelligenter in Hierbei ist offensichtlich, dass weniger Rechenoperationen nötig sind als zuvor, statt vier Additionen bleiben lediglich eine Addition und eine Subtraktion zu erledigen. Zugleich muss man jedoch beachten, dass sich eine solche Zerlegung nicht immer lohnt. So würde beispielsweise eine Zahl durch Booth-Encoding zerlegt werden in statt wie bei der normalen Zerlegung in Betrachtet man eine zufällige Zahlenmenge, benötigt das Rechnen mit Booth-Encoding gegenüber der normalen Zerlegung in die einzelnen 10er-Potenzen gleich viel Zeit. Da jedoch häufiger Zahlen wie beispielsweise verwendet werden, welche in ihrer Binärdarstellung viele gleiche aufeinanderfolgende Stellen haben entsteht hier durch das Booth-Encoding ein Geschwindigkeitsvorteil. Umgekehrt steigt die benötigte Zeit bei Verwendung von Booth-Encoding jedoch wenn mehrere ungünstige Zahlen wie 5 10 verwendet werden, welche in ihrer Binärdarstellung viele alternierende Stellen, also Wechsel zwischen 0 2 und 1 2, haben. Das bestimmen der Booth-Zerlegung ist ein sehr einfacher Prozess. Zunächst erweitert man die Eingangszahl vorne und hinten um jeweils eine 0 2. Danach betrachtet man von links nach rechts immer zwei Stellen zusammen: Bei 01 2

13 12 muss in der entsprechenden Verschiebung eine Addition durchgeführt werden, bei 10 2 eine Subtraktion (Addition des Zwei-Komplements). Bei 00 2 oder 11 2 ist keine Aktion nötig. Ein Beispiel zur Multiplikation mit dem Booth-Encoding ist in Abbildung 2.12 dargestellt. Äquivalent zur bereits behandelten normalen Multiplikation kann ein schrittweise arbeitendes Rechenwerk oder ein Schaltnetz entworfen und optimiert werden. Hierbei muss man jedoch beachten, dass die Zwischenergebnisse negative Werte annehmen können und man daher vorzeichenerhaltend arbeiten muss. Beispiele dafür finden sich unter anderem in den Vorlesungsfolien der Veranstaltung Technische Grundlagen der Informatik II. X = Y +Y' +Y +0 +Y' = Abbildung 2.12: mit Booth-Encoding Unabhängig von der Tatsache, dass der Booth-Encoding mit Zweierkomplementdarstellung arbeitet, sind auch bei einem 2K-Multiplikationswerk, welches mit Booth-Encoding arbeitet die im Abschnitt beschrieben am Ende nötig.

14 13 3 Divisionswerke 3.1 Vorbereitungen zur Division Themeneinschränkung Division ist deutlich komplizierter als Multiplikation, da sich die bei der Division durchzuführenden Aktionen größtenteils erst nach Zwischenergebnissen entscheiden (Subtrahieren nur wenn gerade möglich, Vergleich benötigt) und nicht blind durchgeführt werden können wie bei der Multiplikation (n mal Addieren, nichts weiter zu beachten). Aufgrund dieser Tatsache werden im Folgenden nur schrittweise arbeitende Divisionswerke betrachtet. Auf Schaltnetze wird nicht eingegangen, da diese sehr komplex würden und nur noch schwer zu verstehen sind. Entsprechend den Inhalten der Vorlesung wird auch nicht auf Division von Zahlen in Zweikomplementdarstellung eingegangen Fehlerbehandlung Bei der Division kann im Gegensatz zur Multiplikation sehr leicht ein Überlauf entstehen. Jedoch ist auch die Prüfung dessen sehr einfach. Ist der Divisor n Stellen breit, so müssen die n höchstwertigen Stellen des Dividenden kleiner sein als der Divisor, sonst ensteht ein Überlauf. Dazu kann man entweder einen Vergleicher benutzen oder den Divisor testweise links ausgerichtet vom Dividenden abziehen und prüfen, ob das Ergebnis positiv, Überlauf, oder negativ, kein Überlauf, ist. Eine solche Testsubtraktion lässt sich in einigen der später vorgestellten Divisionswerken sehr leicht Implementieren, da die entsprechenden Bausteine bereits an den benötigten Stellen vorhanden sind. Des Weiteren muss ebenfalls der Divisor auf 0 geprüft werden, da eine Division durch 0 nicht mit einem eindeutigen Ergebnis möglich ist. In diesem Fall muss ein Fehler angegeben werden, bei Gleitkommazahlen beispielsweise durch Rückgabe des entsprechenden Symbols NAN ( not a number, Division von 0 durch 0), INF ( unendlich, Division einer positiven Zahl durch 0) oder INF ( minus unendlich, Division einer negativen Zahl durch 0). Die Überlauf- sowie die Nullprüfungen werden in den folgenden Verfahren sowohl in der Erklärung wie auch in der Verilog-Beschreibung und dem Schaltbild außer Acht gelassen. Jedoch müssen sie immer durchgeführt werden, wenn man beim Entwurf des Rechenwerks keine Annahmen über die Eingangswerte machen kann, was in der Regel der Fall ist. Listing 4.3 beschreibt ein Modul in Verilog, dass eine Fehlererkennung für Divisionswerte durchführt. 3.2 Division durch wiederholtes Subtrahieren Wie bei der Multiplikation ist auch die einfachste Methode der Division wiederholtes Subtrahieren Einfaches wiederholtes Subtrahieren Wie bei der Multiplikation durch wiederholtes Addieren des ersten Faktors kann man zunächst eine Divisionsmethode entwickeln: man subtrahiert den Divisor so lange vom Dividenden bis dieser kleiner als der Divisor geworden ist und zählt dabei die Anzahl der durchgeführten Subtraktionen. Diese entspricht dem Quotienten, der verbleibende Wert des Dividenden ist der Rest der Division. Abbildung 3.1 zeigt ein abstrahiertes Schaltbild des Divisionswerks, Abbildung 3.2 zeigt seine Arbeitsweise anhand der Registerbelegung einer Beispielrechnung und Listing 4.4 stellt eine Verilog-Beschreibung eines solchen Divisionswerks dar.

15 14 Abbildung 3.1: einfachste Division durch wiederholtes Subtrahieren Schritte Ergebnisregister Zählregister Aktion Aktion Init Load X Load Y Y Y Y Y Ende R[3] Q[3] Abbildung 3.2: Registerbelegung bei Division von : = R010 2 durch wiederholtes Subtrahieren Die Vergleichsmethode Die Vergleichsmethode stellt das Äquivalent zur Multiplikation durch Addition in den 10er-Potenzen dar. Wie bei der normalen schriftlichen Division im Dezimalsystem wird zunächst geprüft, ob der Divisor in der entsprechenden Potenz vom Divisor abgezogen werden kann, hierzu wird ein Vergleicher benötigt. Falls ja, so wird er dort abgezogen und die nächst kleinere Potenz betrachtet. An das Ergebnis wird dabei eine 1 2 angehängt. Falls nein, so wird nur direkt die nächst kleinere Potenz betrachtet ohne zu subtrahieren und an das Ergebnis eine 0 2 angehängt. Da bei hier in jedem Schritt die höchstwertige Stelle des Dividenden verworfen wird und das Ergebnis um eine Stelle wächst kann man auch hier wie bei der Multiplikation durch Addition in 10er-Potenzen beide Werte in ein Register speichern, das mit einem Linksshift pro Schritt beschaltet wird. Wie bei der Multiplikation muss auch hier in einem Zählregister mitgezählt werden, wie viele Stellen bereits bearbeitet sind. Die Berechnung ist abgeschlossen, sobald die Bitbreite des ursprünglichen Dividenden um die Anzahl der Bits des Divisors reduziert wurde, die Berechnung der Division eines n Bit breiten Dividenden durch einen m Bit breiten Divisor ist also nach n m Schritten abgeschlossen. Ein abstrahiertes Schaltbild des Divisionswerks zur Vergleichsmethode ist in Abbildung 3.3 dargestellt, in Abbildung 3.4 die Registerbelegung der Bearbeitung einer Beispielrechnung und in Listing 4.5 ist eine entsprechende Verilog- Beschreibung zu finden Division mit Rückstellen des Rests Die Division mit Rückstellen des Rests entspricht genau der Vergleichsmethode mit dem einzigen Unterschied, dass statt des Vergleichers der Übertragsausgang des Subtrahierers als Subtraktionsentscheidung verwendet wird und so der Vergleicher eingespart wird.

16 15 Abbildung 3.3: Division mit der Vergleichsmethode Schritte Ergebnisregister Zählregister Aktion Aktion Init load X[8] load inshift sub, inshift sub, inshift Inshift Ende {R[4],Q[4]} = = Abbildung 3.4: Registerbelegung bei Division von : = R mit der Vergleichsmethode

17 16 Statt einen Vergleich durchzuführen, werden einfach die beiden Werte subtrahiert und das Ergebnis betrachtet - falls die Subtraktion gepasst hat, ist das Ergebnis positiv, der fünfte Bitausgang also 0 2, falls die Subtraktion nicht hätte durchgeführt werden dürfen, ist das Ergebnis negativ, der fünfte Bitausgang also 1 2 und die Subtraktion wird verworfen. Abbildung 3.5 zeigt das entsprechend angepasste Schaltbild, Listing 4.6 die angepasste Verilog-Beschreibung. Die Registerbelegungen dieses Divisionswerks entsprechen denen der Vergleichsmethode, als Beispiel kann also ebenfalls Abbildung 3.4 betrachtet werden. Abbildung 3.5: Division mit Rückstellen des Restes Division ohne Rückstellen des Rests Die Divison ohne Rückstellen des Rests macht von der Eigenschaft des binären Zahlensystems gebrauch, dass eine 10er-Potenz Verschiebung genau einer Verdopplung beziehungsweise Halbierung des Wertes entspricht. In der Division mit Rückstellen des Rests wurde immer zunächst das Ergebnis der Testsubtraktion betrachtet. War es negativ, so wurde die Subtraktion rückgängig gemacht und eine Stelle weiter links fortgefahren. Die Division ohne Rückstellen des Rests nutzt nun die oben genannte Eigenschaft aus und macht die Subtraktion im Falle eines negativen Ergebnisses nicht rückgängig. Stattdessen addiert sie in einem solchen Falle den Divisor an der nächsten Stelle und betrachtet das dadurch entstehende Ergebnis, welches dem Ergebnis der Testsubtraktion der Methode mit Rückstellen des Rests an dieser Stelle entspricht. Abbildung 3.6 zeigt eine kleine Beispielrechnung, welche die Anwendung dieser Technik verdeutlicht. Da man diese Schritte verketten kann (auch wenn nach einer Addition das Zwischenergebnis wieder negativ ist kann man an der nächsten Stelle einfach nochmal addieren und erhält erneut dasselbe Ergebnis, welches man bei der entsprechenden Testsubtraktion erhalten würde) kann man daraus folgendes einfaches algorithmisches Verhalten herleiten: Ist das Zwischenergebnis negativ, so wird der Quotient um eine 0 2 ergänzt, denn die Subtraktion hat nicht gepasst. Im nächsten Schritt muss, um die falsche Subtraktion wieder auszugleichen, dafür addiert werden. Ist das Zwischenergebnis positiv, so wird der Quotient um eine 1 2 ergänzt, denn die Subtraktion war erfolgreich. Im nächsten Schritt muss dann wie üblich subtrahiert werden. Ist die Berechnung des Quotienten beendet und der Rest negativ (sprich das LSB des Quotienten 0 2 ), so wäre die letzte Subtraktion ungültig gewesen und muss rückgängig gemacht werden, da es keinen nächsten Schritt zum ausgleichen gibt. Der Divisor muss also einmal auf noch negativen Rest addiert werden um den richtigen Rest zu erhalten. Um nun zu vermeiden, dass sowohl ein Addierer als auch ein Subtrahierer verwendet werden müssen kann man, wie oft, die Subtraktion durch eine Addition des Komplements durchführen. Dann muss man nur noch je nach Vorzeichen des Zwsichenergebnisses zwischen dem eigentlichen Divisor und dessen Komplement umschalten.

bereits in A,3 und A.4: Betrachtung von Addierschaltungen als Beispiele für Schaltnetze und Schaltwerke

bereits in A,3 und A.4: Betrachtung von Addierschaltungen als Beispiele für Schaltnetze und Schaltwerke Rechnerarithmetik Rechnerarithmetik 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II Übersicht bereits in A,3 und A.4: Betrachtung von Addierschaltungen als Beispiele für Schaltnetze und Schaltwerke in diesem

Mehr

FH Jena Prüfungsaufgaben Prof. Giesecke FB ET/IT Binäre Rechenoperationen WS 09/10

FH Jena Prüfungsaufgaben Prof. Giesecke FB ET/IT Binäre Rechenoperationen WS 09/10 FB ET/IT Binäre Rechenoperationen WS 9/ Name, Vorname: Matr.-Nr.: Zugelassene Hilfsmittel: beliebiger Taschenrechner eine selbst erstellte Formelsammlung Wichtige Hinweise: Ausführungen, Notizen und Lösungen

Mehr

Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik*

Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik* Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik* 1. Darstellung positiver ganzer Zahlen 2. Darstellung negativer ganzer Zahlen 3. Brüche und Festkommazahlen 4. binäre Addition 5. binäre Subtraktion *Die Folien

Mehr

Arithmetik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck

Arithmetik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Arithmetik Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Übersicht Zahlendarstellung Addition und Subtraktion Multiplikation Division Fest- und Gleitkommazahlen

Mehr

BSZ für Elektrotechnik Dresden. Zahlenformate. Dr.-Ing. Uwe Heiner Leichsenring www.leichsenring-homepage.de

BSZ für Elektrotechnik Dresden. Zahlenformate. Dr.-Ing. Uwe Heiner Leichsenring www.leichsenring-homepage.de BSZ für Elektrotechnik Dresden Zahlenformate Dr.-Ing. Uwe Heiner Leichsenring www.leichsenring-homepage.de Gliederung 1 Überblick 2 Grundaufbau der Zahlensysteme 2.1 Dezimalzahlen 2.2 Binärzahlen = Dualzahlen

Mehr

21.10.2013. Vorlesung Programmieren. Agenda. Dezimalsystem. Zahlendarstellung. Zahlendarstellung. Oder: wie rechnen Computer?

21.10.2013. Vorlesung Programmieren. Agenda. Dezimalsystem. Zahlendarstellung. Zahlendarstellung. Oder: wie rechnen Computer? Vorlesung Programmieren Zahlendarstellung Prof. Dr. Stefan Fischer Institut für Telematik, Universität zu Lübeck http://www.itm.uni-luebeck.de/people/pfisterer Agenda Zahlendarstellung Oder: wie rechnen

Mehr

Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik. 1. Zahlensysteme

Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik. 1. Zahlensysteme Grundlagen der Informatik 2 Grundlagen der Digitaltechnik 1. Zahlensysteme Prof. Dr.-Ing. Jürgen Teich Dr.-Ing. Christian Haubelt Lehrstuhl für Hardware-Software Software-Co-Design Grundlagen der Digitaltechnik

Mehr

Information in einem Computer ist ein

Information in einem Computer ist ein 4 Arithmetik Die in den vorhergehenden Kapiteln vorgestellten Schaltungen haben ausschließlich einfache, Boole sche Signale verarbeitet. In diesem Kapitel wird nun erklärt, wie Prozessoren mit Zahlen umgehen.

Mehr

Einführung in die Informatik I

Einführung in die Informatik I Einführung in die Informatik I Das Rechnen in Zahlensystemen zur Basis b=2, 8, 10 und 16 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Zahlensysteme Neben dem üblichen dezimalen Zahlensystem zur Basis 10 sind in der Informatik

Mehr

Technische Informatik - Eine Einführung

Technische Informatik - Eine Einführung Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Fachbereich Mathematik und Informatik Lehrstuhl für Technische Informatik Prof. P. Molitor Ausgabe: 2005-02-21 Abgabe: 2005-02-21 Technische Informatik - Eine

Mehr

Binäre Division. Binäre Division (Forts.)

Binäre Division. Binäre Division (Forts.) Binäre Division Umkehrung der Multiplikation: Berechnung von q = a/b durch wiederholte bedingte Subtraktionen und Schiebeoperationen in jedem Schritt wird Divisor b testweise vom Dividenden a subtrahiert:

Mehr

Zahlensysteme. Digitale Rechner speichern Daten im Dualsystem 435 dez = 1100110011 binär

Zahlensysteme. Digitale Rechner speichern Daten im Dualsystem 435 dez = 1100110011 binär Zahlensysteme Menschen nutzen zur Angabe von Werten und zum Rechnen vorzugsweise das Dezimalsystem Beispiel 435 Fische aus dem Teich gefischt, d.h. 4 10 2 + 3 10 1 +5 10 0 Digitale Rechner speichern Daten

Mehr

Zahlensysteme. Zahl 0 0 0 0 0 5 5. Stellenwert Zahl 0 0 0 0 0 50 5. Zahl = 55 +50 +5

Zahlensysteme. Zahl 0 0 0 0 0 5 5. Stellenwert Zahl 0 0 0 0 0 50 5. Zahl = 55 +50 +5 Personal Computer in Betrieb nehmen 1/6 Weltweit setzen die Menschen alltäglich das Zehnersystem für Zählen und Rechnen ein. Die ursprüngliche Orientierung stammt vom Zählen mit unseren 10 Fingern. Für

Mehr

Computerarithmetik (1)

Computerarithmetik (1) Computerarithmetik () Fragen: Wie werden Zahlen repräsentiert und konvertiert? Wie werden negative Zahlen und Brüche repräsentiert? Wie werden die Grundrechenarten ausgeführt? Was ist, wenn das Ergebnis

Mehr

N Bit binäre Zahlen (signed)

N Bit binäre Zahlen (signed) N Bit binäre Zahlen (signed) n Bit Darstellung ist ein Fenster auf die ersten n Stellen der Binär Zahl 0000000000000000000000000000000000000000000000000110 = 6 1111111111111111111111111111111111111111111111111101

Mehr

FH Jena Prüfungsaufgaben Prof. Giesecke FB ET/IT Binäre Rechenoperationen WS 11/12

FH Jena Prüfungsaufgaben Prof. Giesecke FB ET/IT Binäre Rechenoperationen WS 11/12 FB ET/IT Binäre Rechenoperationen WS /2 Name, Vorname: Matr.-Nr.: Zugelassene Hilfsmittel: beliebiger Taschenrechner eine selbsterstellte Formelsammlung Wichtige Hinweise: Ausführungen, Notizen und Lösungen

Mehr

1. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis 10 darstellen:

1. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis 10 darstellen: Zahlensysteme. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis darstellen: n n n n z a a... a a a Dabei sind die Koeffizienten a, a, a,... aus der

Mehr

Jede Zahl muss dabei einzeln umgerechnet werden. Beginnen wir also ganz am Anfang mit der Zahl,192.

Jede Zahl muss dabei einzeln umgerechnet werden. Beginnen wir also ganz am Anfang mit der Zahl,192. Binäres und dezimales Zahlensystem Ziel In diesem ersten Schritt geht es darum, die grundlegende Umrechnung aus dem Dezimalsystem in das Binärsystem zu verstehen. Zusätzlich wird auch die andere Richtung,

Mehr

2 Darstellung von Zahlen und Zeichen

2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 2.1 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f

Mehr

Die Mikroprogrammebene eines Rechners

Die Mikroprogrammebene eines Rechners Die Mikroprogrammebene eines Rechners Das Abarbeiten eines Arbeitszyklus eines einzelnen Befehls besteht selbst wieder aus verschiedenen Schritten, z.b. Befehl holen Befehl dekodieren Operanden holen etc.

Mehr

Grundlagen der Betriebssysteme

Grundlagen der Betriebssysteme Grundlagen der Betriebssysteme [CS2100] Sommersemester 2014 Heiko Falk Institut für Eingebettete Systeme/Echtzeitsysteme Ingenieurwissenschaften und Informatik Universität Ulm Kapitel 2 Zahlendarstellungen

Mehr

Von der Aussagenlogik zum Computer

Von der Aussagenlogik zum Computer Von der Aussagenlogik zum Computer Markus Koch Gymnasium in der Glemsaue Ditzingen Januar 2012 Inhaltsverzeichnis Einleitung...3 Der Computer...3 Grundlagen...4 Wahrheitstabellen...4 Aussagenlogik...4

Mehr

Einführung in die Programmierung

Einführung in die Programmierung Technische Universität Carolo Wilhelmina zu Brauschweig Institut für rechnergestützte Modellierung im Bauingenierwesen Prof. Dr.-Ing. habil. Manfred Krafczyk Pockelsstraße 3, 38106 Braunschweig http://www.irmb.tu-bs.de

Mehr

Daten, Informationen, Kodierung. Binärkodierung

Daten, Informationen, Kodierung. Binärkodierung Binärkodierung Besondere Bedeutung der Binärkodierung in der Informatik Abbildung auf Alphabet mit zwei Zeichen, in der Regel B = {0, 1} Entspricht den zwei möglichen Schaltzuständen in der Elektronik:

Mehr

Binäre Gleitkommazahlen

Binäre Gleitkommazahlen Binäre Gleitkommazahlen Was ist die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung der binären Gleitkommazahl zur dezimalen Gleitkommazahl 0,625? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 72

Mehr

Repräsentation von Daten Binärcodierung ganzer Zahlen

Repräsentation von Daten Binärcodierung ganzer Zahlen Kapitel 3: Repräsentation von Daten Binärcodierung ganzer Zahlen Einführung in die Informatik Wintersemester 2007/08 Prof. Bernhard Jung Übersicht Repräsentation von Daten im Computer (dieses und nächstes

Mehr

Das Maschinenmodell Datenrepräsentation

Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Darstellung von Zahlen/Zeichen in der Maschine Bit (0/1) ist die kleinste Informationseinheit Größere Einheiten durch Zusammenfassen mehrerer Bits, z.b. 8 Bit =

Mehr

Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 8. Prof. Dr. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik TU Darmstadt

Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 8. Prof. Dr. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik TU Darmstadt Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 8 Prof. Dr. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik TU Darmstadt Kapitel 8: Themen Zahlensysteme - Dezimal - Binär Vorzeichen und Betrag Zweierkomplement Zahlen

Mehr

Inhalt: Binärsystem 7.Klasse - 1 -

Inhalt: Binärsystem 7.Klasse - 1 - Binärsystem 7.Klasse - 1 - Inhalt: Binärarithmetik... 2 Negative Zahlen... 2 Exzess-Darstellung 2 2er-Komplement-Darstellung ( two s complement number ) 2 Der Wertebereich vorzeichenbehafteter Zahlen:

Mehr

Lösung 1. Übungsblatt

Lösung 1. Übungsblatt Fakultät Informatik, Technische Informatik, Professur für Mikrorechner Lösung 1. Übungsblatt Konvertierung von Zahlendarstellungen verschiedener Alphabete und Darstellung negativer Zahlen Stoffverteilung

Mehr

Zahlensysteme. von Christian Bartl

Zahlensysteme. von Christian Bartl von Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... 2 1. Einleitung... 3 2. Umrechnungen... 3 2.1. Dezimalsystem Binärsystem... 3 2.2. Binärsystem Dezimalsystem... 3 2.3. Binärsystem Hexadezimalsystem... 3 2.4.

Mehr

Rechnerorganisation 2 TOY. Karl C. Posch. co1.ro_2003. Karl.Posch@iaik.tugraz.at 16.03.2011

Rechnerorganisation 2 TOY. Karl C. Posch. co1.ro_2003. Karl.Posch@iaik.tugraz.at 16.03.2011 Technische Universität Graz Institut tfür Angewandte Informationsverarbeitung und Kommunikationstechnologie Rechnerorganisation 2 TOY Karl C. Posch Karl.Posch@iaik.tugraz.at co1.ro_2003. 1 Ausblick. Erste

Mehr

1 : Die Rechnungsarten

1 : Die Rechnungsarten 1 von 22 23.10.2006 14:08 0 : Inhalt von Kapitel DAT 1 : Die Rechnungsarten 2 : Die Worte 3 : Hilfsprozessoren 4 : Binäre Zahlendarstellung 5 : Interpretationen 6 : Division mit Rest 7 : Horner Schema

Mehr

Technische Informatik. Der VON NEUMANN Computer

Technische Informatik. Der VON NEUMANN Computer Technische Informatik Der VON NEUMANN Computer Inhalt! Prinzipieller Aufbau! Schaltkreise! Schaltnetze und Schaltwerke! Rechenwerk! Arbeitsspeicher! Steuerwerk - Programmausführung! Periphere Geräte! Abstraktionsstufen

Mehr

Alexander Halles. Zahlensysteme

Alexander Halles. Zahlensysteme Stand: 26.01.2004 - Inhalt - 1. Die verschiedenen und Umwandlungen zwischen diesen 3 1.1 Dezimalzahlensystem 3 1.2 Das Dualzahlensystem 4 1.2.1 Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl 4 1.2.2 Umwandlung

Mehr

Binärdarstellung von Fliesskommazahlen

Binärdarstellung von Fliesskommazahlen Binärdarstellung von Fliesskommazahlen 1. IEEE 754 Gleitkommazahl im Single-Format So sind in Gleitkommazahlen im IEEE 754-Standard aufgebaut: 31 30 24 23 0 S E E E E E E E E M M M M M M M M M M M M M

Mehr

1. 4-Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen 2. 4-Bit Binärzahlen mit Vorzeichen 3. 4-Bit Binärzahlen im 2er Komplement 4. Rechnen im 2er Komplement

1. 4-Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen 2. 4-Bit Binärzahlen mit Vorzeichen 3. 4-Bit Binärzahlen im 2er Komplement 4. Rechnen im 2er Komplement Kx Binäre Zahlen Kx Binäre Zahlen Inhalt. Dezimalzahlen. Hexadezimalzahlen. Binärzahlen. -Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen. -Bit Binärzahlen mit Vorzeichen. -Bit Binärzahlen im er Komplement. Rechnen im

Mehr

Werkstatt Multiplikation Posten: 8-Bit Multiplikation. Informationsblatt für die Lehrkraft. 8-Bit Multiplikation

Werkstatt Multiplikation Posten: 8-Bit Multiplikation. Informationsblatt für die Lehrkraft. 8-Bit Multiplikation Informationsblatt für die Lehrkraft 8-Bit Multiplikation Informationsblatt für die Lehrkraft Thema: Schultyp: Vorkenntnisse: Bearbeitungsdauer: 8-Bit Multiplikation (im Binärsystem) Mittelschule, technische

Mehr

Kapitel 2 Grundlegende Konzepte. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung

Kapitel 2 Grundlegende Konzepte. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung Kapitel 2 Grundlegende Konzepte 1 2.1 Zahlensysteme Römisches System Grundziffern I 1 erhobener Zeigefinger V 5 Hand mit 5 Fingern X 10 steht für zwei Hände L 50 C 100 Centum heißt Hundert D 500 M 1000

Mehr

Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik

Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik Institut für Computerphysik Universität Stuttgart Wintersemester 2012/13 Wie rechnet ein Computer? Ein Mikroprozessor ist ein Netz von Transistoren,

Mehr

Wer in der Grundschule ein wenig aufgepasst hat, sollte in der Lage sein schriftlich eine Zahl durch eine zweite zu teilen.

Wer in der Grundschule ein wenig aufgepasst hat, sollte in der Lage sein schriftlich eine Zahl durch eine zweite zu teilen. Teilen binär Teil 1 - Vorzeichenlose Ganzzahlen ============ Irgendwann steht jeder Programmieren vor diesem Problem. Wie teile ich eine Binärzahl durch eine zweite? Wer in der Grundschule ein wenig aufgepasst

Mehr

Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird.

Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. Zahlensysteme Definition: Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. In der Informatik spricht man auch von Stellenwertsystem,

Mehr

Rechnen mit Dualzahlen

Rechnen mit Dualzahlen Konrad-Zuse-Museum: Die frühen Computer (Z-Z) Einführung in die moderne Rechentechnik Rechnen mit Dualzahlen Das Z-Addierermodell 3 Rechnerarchitektur Halblogarithmische Zahlendarstellung Rechnen mit Dualzahlen

Mehr

Zahlensysteme Seite -1- Zahlensysteme

Zahlensysteme Seite -1- Zahlensysteme Zahlensysteme Seite -- Zahlensysteme Inhaltsverzeichnis Dezimalsystem... Binärsystem... Umrechnen Bin Dez...2 Umrechnung Dez Bin...2 Rechnen im Binärsystem Addition...3 Die negativen ganzen Zahlen im Binärsystem...4

Mehr

Zur Universalität der Informatik. Gott ist ein Informatiker. Die Grundordnung der Welt läßt sich mathematisch formulieren:

Zur Universalität der Informatik. Gott ist ein Informatiker. Die Grundordnung der Welt läßt sich mathematisch formulieren: Daten und ihre Codierung Seite: 1 Zur Universalität der Informatik Gott ist ein Informatiker Die Grundordnung der Welt läßt sich mathematisch formulieren: Naturgesetze, wie wir sie in der Physik, Chemie

Mehr

Kap 4. 4 Die Mikroprogrammebene eines Rechners

Kap 4. 4 Die Mikroprogrammebene eines Rechners 4 Die Mikroprogrammebene eines Rechners Das Abarbeiten eines Arbeitszyklus eines einzelnen Befehls besteht selbst wieder aus verschiedenen Schritten (Befehl holen, Befehl dekodieren, Operanden holen etc.).

Mehr

Technische Informatik I

Technische Informatik I Technische Informatik I Vorlesung 2: Zahldarstellung Joachim Schmidt jschmidt@techfak.uni-bielefeld.de Übersicht Geschichte der Zahlen Zahlensysteme Basis / Basis-Umwandlung Zahlsysteme im Computer Binärsystem,

Mehr

Im Original veränderbare Word-Dateien

Im Original veränderbare Word-Dateien Binärsystem Im Original veränderbare Word-Dateien Prinzipien der Datenverarbeitung Wie du weißt, führen wir normalerweise Berechnungen mit dem Dezimalsystem durch. Das Dezimalsystem verwendet die Grundzahl

Mehr

A.1 Schaltfunktionen und Schaltnetze

A.1 Schaltfunktionen und Schaltnetze Schaltfunktionen und Schaltnetze A. Schaltfunktionen und Schaltnetze 22 Prof. Dr. Rainer Manthey Informatik II Bedeutung des Binärsystems für den Rechneraufbau Seit Beginn der Entwicklung von Computerhardware

Mehr

Leitung 1 Leitung 2 0 0 0 1 1 0 1 1

Leitung 1 Leitung 2 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 Vorbetrachtungen Wie könnte eine Codierung von Zeichen im Computer realisiert werden? Der Computer arbeitet mit elektrischem Strom, d. h. er kann lediglich zwischen den beiden Zuständen Strom an und

Mehr

1. Grundlagen der Informatik Zahlensysteme und interne Informationsdarstellung

1. Grundlagen der Informatik Zahlensysteme und interne Informationsdarstellung 1. Grundlagen der Informatik Zahlensysteme und interne Informationsdarstellung Inhalt Grundlagen digitaler Systeme Boolesche Algebra / Aussagenlogik Organisation und Architektur von Rechnern Algorithmen,

Mehr

Ein bisschen Theorie Dezimal, hexadezimal, oktal und binär.

Ein bisschen Theorie Dezimal, hexadezimal, oktal und binär. Seite 1 von 9 Ein bisschen Theorie Dezimal, hexadezimal, oktal und binär. Wenn man als Neuling in die Digitalelektronik einsteigt, wird man am Anfang vielleicht etwas unsicher, da man viele Bezeichnungen

Mehr

Theoretische Informatik SS 04 Übung 1

Theoretische Informatik SS 04 Übung 1 Theoretische Informatik SS 04 Übung 1 Aufgabe 1 Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine natürliche Zahl n zu codieren. In der unären Codierung hat man nur ein Alphabet mit einem Zeichen - sagen wir die

Mehr

Noch für heute: primitive Datentypen in JAVA. Primitive Datentypen. Pseudocode. Dezimal-, Binär- und Hexadezimalsystem. der logische Typ boolean

Noch für heute: primitive Datentypen in JAVA. Primitive Datentypen. Pseudocode. Dezimal-, Binär- und Hexadezimalsystem. der logische Typ boolean 01.11.05 1 Noch für heute: 01.11.05 3 primitie Datentypen in JAVA Primitie Datentypen Pseudocode Name Speichergröße Wertgrenzen boolean 1 Byte false true char 2 Byte 0 65535 byte 1 Byte 128 127 short 2

Mehr

2. Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern

2. Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie. Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern. Zahlensysteme Dezimales Zahlensystem: Darstellung der Zahlen durch Ziffern 0,,,..., 9.

Mehr

Mikro-Controller-Pass 1

Mikro-Controller-Pass 1 MikroControllerPass Lernsysteme MC 805 Seite: (Selbststudium) Inhaltsverzeichnis Vorwort Seite 2 Addition Seite 3 Subtraktion Seite 4 Subtraktion durch Addition der Komplemente Dezimales Zahlensystem:Neunerkomplement

Mehr

BITte ein BIT. Vom Bit zum Binärsystem. A Bit Of Magic. 1. Welche Werte kann ein Bit annehmen? 2. Wie viele Zustände können Sie mit 2 Bit darstellen?

BITte ein BIT. Vom Bit zum Binärsystem. A Bit Of Magic. 1. Welche Werte kann ein Bit annehmen? 2. Wie viele Zustände können Sie mit 2 Bit darstellen? BITte ein BIT Vom Bit zum Binärsystem A Bit Of Magic 1. Welche Werte kann ein Bit annehmen? 2. Wie viele Zustände können Sie mit 2 Bit darstellen? 3. Gegeben ist der Bitstrom: 10010110 Was repräsentiert

Mehr

Gleitkomma-Arithmetik führt zu ungenauen Ergebnissen in Excel

Gleitkomma-Arithmetik führt zu ungenauen Ergebnissen in Excel 1 von 5 26.09.2008 13:03 Gleitkomma-Arithmetik führt zu ungenauen Ergebnissen in Excel Produkte anzeigen, auf die sich dieser Artikel beziehtdieser Artikel wurde zuvor veröffentlicht unter D38732 Artikel

Mehr

3 Zahlensysteme in der Digitaltechnik

3 Zahlensysteme in der Digitaltechnik 3 Zahlensysteme in der Digitaltechnik System Dezimal Hexadezimal Binär Oktal Basis, Radix 10 16 2 8 Zahlenwerte 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 0 1 10 11 100

Mehr

0 Im folgenden sei die Wortlänge gleich 8 (d. h.: es wird mit Bytes gearbeitet).

0 Im folgenden sei die Wortlänge gleich 8 (d. h.: es wird mit Bytes gearbeitet). Aufgabe 0 Im folgenden sei die Wortlänge gleich 8 (d. h.: es wird mit Bytes gearbeitet). 1. i) Wie ist die Darstellung von 50 im Zweier =Komplement? ii) Wie ist die Darstellung von 62 im Einer =Komplement?

Mehr

Übung -- d001_7-segmentanzeige

Übung -- d001_7-segmentanzeige Übung -- d001_7-segmentanzeige Übersicht: Der Steuerungsablauf für die Anzeige der Ziffern 0 bis 9 mittels einer 7-Segmentanzeige soll mit einer speicherprogrammierbaren Steuerung realisiert werden. Lehrziele:

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Hans Delfs Helmut Knebl Christian Schiedermeier Grundlagen der Informatik nhtw Nürnberger Hochschulskripten für Technik und Wirtschaft Prof. Dr. Hans Delfs Prof. Dr. Helmut Knebl Prof. Dr. Christian Schiedermeier

Mehr

Musterlösung 2. Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1

Musterlösung 2. Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1 Musterlösung 2 Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1 WS2014/2015 Hinweis: Die folgenden Aufgaben erheben nicht den Anspruch, eine tiefergehende Kenntnis zu vermitteln; sie sollen lediglich den Einstieg

Mehr

Einführung (0) Erster funktionsfähiger programmgesteuerter Rechenautomat Z3, fertiggestellt 1941 Bild: Nachbau im Deutschen Museum München

Einführung (0) Erster funktionsfähiger programmgesteuerter Rechenautomat Z3, fertiggestellt 1941 Bild: Nachbau im Deutschen Museum München Einführung (0) Erster funktionsfähiger programmgesteuerter Rechenautomat Z3, fertiggestellt 1941 Bild: Nachbau im Deutschen Museum München Einführung (1) Was ist ein Rechner? Maschine, die Probleme für

Mehr

4 Binäres Zahlensystem

4 Binäres Zahlensystem Netzwerktechnik achen, den 08.05.03 Stephan Zielinski Dipl.Ing Elektrotechnik Horbacher Str. 116c 52072 achen Tel.: 0241 / 174173 zielinski@fh-aachen.de zielinski.isdrin.de 4 inäres Zahlensystem 4.1 Codieren

Mehr

Programmierung von ATMEL AVR Mikroprozessoren am Beispiel des ATtiny13

Programmierung von ATMEL AVR Mikroprozessoren am Beispiel des ATtiny13 Programmierung von ATMEL AVR Mikroprozessoren am Beispiel des ATtiny13 Eine Einführung in Aufbau, Funktionsweise, Programmierung und Nutzen von Mikroprozessoren Teil II: Wat iss ene Bit, Byte un Word?

Mehr

Mikro-Controller-Pass 1

Mikro-Controller-Pass 1 Seite: 1 Zahlensysteme im Selbststudium Inhaltsverzeichnis Vorwort Seite 3 Aufbau des dezimalen Zahlensystems Seite 4 Aufbau des dualen Zahlensystems Seite 4 Aufbau des oktalen Zahlensystems Seite 5 Aufbau

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Mag. Christian Gürtler Programmierung Grundlagen der Informatik 2011 Inhaltsverzeichnis I. Allgemeines 3 1. Zahlensysteme 4 1.1. ganze Zahlen...................................... 4 1.1.1. Umrechnungen.................................

Mehr

Lektion 1: Von Nullen und Einsen _ Die binäre Welt der Informatik

Lektion 1: Von Nullen und Einsen _ Die binäre Welt der Informatik Lektion 1: Von Nullen und Einsen _ Die binäre Welt der Informatik Helmar Burkhart Departement Informatik Universität Basel Helmar.Burkhart@unibas.ch Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1:

Mehr

Fehler in numerischen Rechnungen

Fehler in numerischen Rechnungen Kapitel 1 Fehler in numerischen Rechnungen Analyse numerischer Rechnungen: - Welche möglichen Fehler? - Einfluss auf Endergebnis? - Nicht alles in der Comp.Phys./Numerical Analysis dreht sich um Fehler

Mehr

C:\WINNT\System32 ist der Pfad der zur Datei calc.exe führt. Diese Datei enthält das Rechner - Programm. Klicke jetzt auf Abbrechen.

C:\WINNT\System32 ist der Pfad der zur Datei calc.exe führt. Diese Datei enthält das Rechner - Programm. Klicke jetzt auf Abbrechen. . Das Programm- Icon Auf dem Desktop deines Computers siehst du Symbolbildchen (Icons), z.b. das Icon des Programms Rechner : Klicke mit der rechten Maustaste auf das Icon: Du siehst dann folgendes Bild:

Mehr

MGI Exkurs: Rechnen. Prof. Dr. Wolfram Conen Version 1.0a2. Prof. Dr. W. Conen, FH Gelsenkirchen, Version 1.0a2 1

MGI Exkurs: Rechnen. Prof. Dr. Wolfram Conen Version 1.0a2. Prof. Dr. W. Conen, FH Gelsenkirchen, Version 1.0a2 1 MGI Exkurs: Rechnen Prof. Dr. Wolfram Conen Version 1.0a2 Version 1.0a2 1 Schauen Sie sich um Computer und Netzwerke sind überall! Sie ermöglichen ein feingesponnenes Geflecht komplexer menschlicher Aktivitäten:

Mehr

Programmierung mit NQC: Kommunikation zwischen zwei RCX

Programmierung mit NQC: Kommunikation zwischen zwei RCX Programmierung mit NQC: Kommunikation zwischen zwei RCX Teil : Grundlagen Martin Schmidt 7. Februar 24 Teil : Grundlagen Zahlensysteme : Binärsystem Ziffern: und Bit = binary digit (Binärziffer) Einfach

Mehr

Die Umwandlung einer Dualzahl in eine Dezimalzahl ist ein sehr einfacher Vorgang.

Die Umwandlung einer Dualzahl in eine Dezimalzahl ist ein sehr einfacher Vorgang. 2. Zahlensysteme und Codes 2.1 Dualzahlen Bereits in den Anfängen der Datenverarbeitung hat es sich gezeigt, daß das im Alltagsleben verwendete Zahlensystem auf der Basis der Zahl 10 (Dezimalsystem) für

Mehr

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens Mathematische Grundlagen der Kryptographie 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe Stefan Brandstädter Jennifer Karstens 18. Januar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Ganze Zahlen 1 1.1 Grundlagen............................

Mehr

Grundlagen der Computertechnik

Grundlagen der Computertechnik Grundlagen der Computertechnik Aufbau von Computersystemen und Grundlagen des Rechnens Walter Haas PROLOG WS23 Automation Systems Group E83- Institute of Computer Aided Automation Vienna University of

Mehr

Binär- und Hexadezimal-Zahl Arithmetik.

Binär- und Hexadezimal-Zahl Arithmetik. Binär- und Hexadezimal-Zahl Arithmetik. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, MuPAD 4, http://haftendorn.uni-lueneburg.de Aug.06 Automatische Übersetzung aus MuPAD 3.11, 24.04.02 Version vom 12.10.05 Web: http://haftendorn.uni-lueneburg.de

Mehr

Leseprobe. Taschenbuch Mikroprozessortechnik. Herausgegeben von Thomas Beierlein, Olaf Hagenbruch ISBN: 978-3-446-42331-2

Leseprobe. Taschenbuch Mikroprozessortechnik. Herausgegeben von Thomas Beierlein, Olaf Hagenbruch ISBN: 978-3-446-42331-2 Leseprobe Taschenbuch Mikroprozessortechnik Herausgegeben von Thomas Beierlein, Olaf Hagenbruch ISBN: 978-3-446-4331- Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/978-3-446-4331-

Mehr

2. Aufgabenblatt mit Lösungen

2. Aufgabenblatt mit Lösungen Problem 1: (6*1 = 6) TI II 2. Aufgabenblatt mit Lösungen Geben Sie für jede der folgenden Zahlen deren Ziffernschreibweisen im Dezimal-, Dual-, Oktal- und Hexadezimal-System an. a) (2748) 10 b) (1010011011)

Mehr

Darstellung von Informationen

Darstellung von Informationen Darstellung von Informationen Bit, Byte, Speicherzelle und rbeitsspeicher Boolesche Operationen, Gatter, Schaltkreis Bit Speicher (Flipflop) Binär- Hexadezimal und Dezimalzahlensystem, Umrechnungen Zweierkomplement

Mehr

2.2 Rechnerorganisation: Aufbau und Funktionsweise

2.2 Rechnerorganisation: Aufbau und Funktionsweise 2.2 Rechnerorganisation: Aufbau und Funktionsweise é Hardware, Software und Firmware é grober Aufbau eines von-neumann-rechners é Arbeitsspeicher, Speicherzelle, Bit, Byte é Prozessor é grobe Arbeitsweise

Mehr

5.0 Kombinatorische Schaltkreise, Schaltnetze

5.0 Kombinatorische Schaltkreise, Schaltnetze 5.0 Kombinatorische Schaltkreise, Schaltnetze Ziel des Kapitels ist es Kenntnisse über folgendes zu erwerben: Synthese von Schaltnetzen Analyse von Schaltnetzen - Logische Analyse - Laufzeiteffekte in

Mehr

DIGITALTECHNIK 04 ZAHLEN CODES

DIGITALTECHNIK 04 ZAHLEN CODES Seite 1 von 22 DIGITALTECHNIK 04 ZAHLEN CODES Inhalt Seite 2 von 22 1 CODIERUNG... 3 1.1 NUMERISCHE CODES... 4 1.2 WORTCODES... 4 1.3 DER DUALCODE... 5 1.4 DER GRAY-CODE... 5 1.5 ZIFFERNCODES (BCD-CODES)...

Mehr

9 Codes. Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg FACHBEREICH ELEKTROTECHNIK UND INFORMATIK DIGITALTECHNIK 9-1

9 Codes. Hochschule für Angewandte Wissenschaften Hamburg FACHBEREICH ELEKTROTECHNIK UND INFORMATIK DIGITALTECHNIK 9-1 9 Codes 9.1 Charakterisierung und Klassifizierung Definition: Das Ergebnis einer eindeutigen Zuordnung zweier Zeichen- bzw. Zahlenmengen wird Code genannt. Die Zuordnung erfolgt über eine arithmetische

Mehr

TEAM GENESYS. Wie arbeitet ein PC? Sein Aufbau und die Verarbeitung von Zahlen. Intel Leibnitz Challenge 08. Aufgabe

TEAM GENESYS. Wie arbeitet ein PC? Sein Aufbau und die Verarbeitung von Zahlen. Intel Leibnitz Challenge 08. Aufgabe TEAM GENESYS Aufgabe Intel Leibnitz Challenge 08 Wie arbeitet ein PC? Sein Aufbau und die Verarbeitung von Zahlen Inhalt INHALT... AUFGABE A: EVA-PRINZIP... 3 A) Beschreibung des EVA-Prinzips... 3 A) Beispiele

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

11/2/05. Darstellung von Text. ASCII-Code. American Standard Code for Information Interchange. Parity-Bit. 7 Bit pro Zeichen genügen (2 7 = 128)

11/2/05. Darstellung von Text. ASCII-Code. American Standard Code for Information Interchange. Parity-Bit. 7 Bit pro Zeichen genügen (2 7 = 128) Darstellung von Text ASCII-Code 7 Bit pro Zeichen genügen (2 7 = 128) 26 Kleinbuchstaben 26 Großbuchstaben 10 Ziffern Sonderzeichen wie '&', '!', ''' nicht druckbare Steuerzeichen, z.b. - CR (carriage

Mehr

Projekt Nr. 15: Einen elektronischen Würfel erstellen

Projekt Nr. 15: Einen elektronischen Würfel erstellen Nun wissen Sie, wie Sie Zufallszahlen erzeugen können. Als Nächstes wollen wir diese neuen Kenntnisse gleich in die Tat umsetzen, indem wir einen elektronischen Würfel konstruieren. Projekt Nr. 15: Einen

Mehr

Einführung in die Informatik I

Einführung in die Informatik I Einführung in die Informatik I Algorithmen und deren Programmierung Prof. Dr. Nikolaus Wulff Definition Algorithmus Ein Algorithmus ist eine präzise formulierte Handlungsanweisung zur Lösung einer gleichartigen

Mehr

Musterlösung 2. Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1

Musterlösung 2. Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1 Musterlösung 2 Mikroprozessor & Eingebettete Systeme 1 WS2013/2014 Hinweis: Die folgenden Aufgaben erheben nicht den Anspruch, eine tiefergehende Kenntnis zu vermitteln; sie sollen lediglich den Einstieg

Mehr

1. Musterlösung. Problem 1: Average-case-Laufzeit vs. Worst-case-Laufzeit

1. Musterlösung. Problem 1: Average-case-Laufzeit vs. Worst-case-Laufzeit Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner Musterlösung Problem : Average-case-Laufzeit vs Worst-case-Laufzeit pt (a) Folgender Algorithmus löst das Problem der

Mehr

Übungen zu Architektur Eingebetteter Systeme. Teil 1: Grundlagen. Blatt 5 1.1: VHDL 28./29.05.2009

Übungen zu Architektur Eingebetteter Systeme. Teil 1: Grundlagen. Blatt 5 1.1: VHDL 28./29.05.2009 Übungen zu Architektur Eingebetteter Systeme Blatt 5 28./29.05.2009 Teil 1: Grundlagen 1.1: VHDL Bei der Erstellung Ihres Softcore-Prozessors mit Hilfe des SOPC Builder hatten Sie bereits erste Erfahrungen

Mehr

Zahlensysteme und Logische Schaltungen

Zahlensysteme und Logische Schaltungen Zahlensysteme und Begleitmaterial für den Informatikunterricht Differenzierungskurs Informatik 2014 Dipl.-Inform. Klaus Milzner www.milzners.de Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Zahlensysteme...

Mehr

Informationsdarstellung im Rechner

Informationsdarstellung im Rechner Informationsdarstellung im Rechner Dr. Christian Herta 15. Oktober 2005 Einführung in die Informatik - Darstellung von Information im Computer Dr. Christian Herta Darstellung von Information im Computer

Mehr

Mikrocomputertechnik

Mikrocomputertechnik Mikrocomputertechnik Thema: Grundlage Informationseinheiten Zahlensysteme Zahlendarstellung im Computer Digitaltechnikgrundlagen Halbleiterspeicher Rechnerarchitektur Informationseinheiten BIT NIBBLE MSB

Mehr

Daten verarbeiten. Binärzahlen

Daten verarbeiten. Binärzahlen Daten verarbeiten Binärzahlen In Digitalrechnern werden (fast) ausschließlich nur Binärzahlen eingesetzt. Das Binärzahlensystem ist das Stellenwertsystem mit der geringsten Anzahl von Ziffern. Es kennt

Mehr

Sequentielle Logik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck

Sequentielle Logik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Sequentielle Logik Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck Übersicht Schaltwerke Flip-Flops Entwurf eines Schaltwerks Zähler Realisierung Sequentielle

Mehr

Rechnerstrukturen WS 2012/13

Rechnerstrukturen WS 2012/13 Rechnerstrukturen WS 2012/13 Repräsentation von Daten Repräsentation natürlicher Zahlen (Wiederholung) Repräsentation von Texten Repräsentation ganzer Zahlen Repräsentation rationaler Zahlen Repräsentation

Mehr

3 FORMELN. 3.1. Formeln erzeugen

3 FORMELN. 3.1. Formeln erzeugen Formeln Excel effektiv 3 FORMELN 3.1. Formeln erzeugen Übungen: Quittung... 136 Kalkulation... 138 Bestellung... 128 Kassenbuch.. 132 Aufmaß... 152 Zum Berechnen verwendet Excel Formeln. Diese sind in

Mehr

D A T E N... 1 Daten Micheuz Peter

D A T E N... 1 Daten Micheuz Peter D A T E N.....! Symbole, Alphabete, Codierung! Universalität binärcodierter Daten! Elementare Datentypen! Speicherung binärcodierter Daten! Befehle und Programme! Form und Bedeutung 1 Daten Micheuz Peter

Mehr