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1 VU Grundlagen digitaler Systeme Übung 2: Numerik, Boolesche Algebra , WS2012 Übungsgruppen: Mo., Aufgabe 1: Binäre Gleitpunkt-Arithmetik Addition & Subtraktion Gegeben sind die Zahlen: A = ( ) 8 und B = ( ) 8 a) Stellen Sie A und B im Gleitpunkt-Zahlensystem F(2, 11, 14, 15, true) mit Formatbreite 16 Bit und impliziter Darstellung der führenden 1 dar. Mit Ausnahme der kleineren Formatbreite ist dieses Gleitpunktformat analog zum IEEE 754 Single Precision-Format aufgebaut. Verwenden Sie wie bei IEEE 754 auch Guard- und Round-Digit sowie das Sticky-Bit zur Vermeidung von numerischen Ungenauigkeiten (vgl. Informatik Grundlagen, 5. Auflage, Kapitel 8.6.4). Runden Sie mittels round to nearest zusammen mit round away from zero. b) Berechnen Sie A+B sowie B A und stellen Sie das Ergebnis wieder als Gleitpunktzahl in dem angegebenen System dar. Runden Sie die Ergebnisse wieder mittels round to nearest in Kombination mit round away from zero. A = ( ) 8 = ( ) A = g {}}{ 1 r {}}{ 1 s= Wegen g = 1 und r = 1 wird aufgerundet, die codierte Zahl lautet daher: B = ( ) 8 = ( ) B = g {}}{ 1 r {}}{ 0 s= Wegen g = 1 und r = 0 und s = 0 liegt das Ergebnis genau am Grenzpunkt. Laut zweiter Rundungsvorschrift wird von 0 weggerundet, daher wird die Mantisse aufgerundet. Die codierte Zahl lautet: A + B: Da B negativ ist, ist die Rechnung eigentlich eine Subtraktion. Gleichzeitig ist B größer als A, das Ergebnis muss daher wieder negativ sein. Angleichen des Exponenten von A (an den größeren Exponenten von B): A : A : s = 1 Subtraktion der Mantissen: B : A : s = 1 B A : s = 1 Ergebnis + 1 B A : Codiert:

2 B A: Da B negativ und A positiv ist, ist die Rechnung eigentlich eine Addition (zweier negativer Zahlen). Das Ergebnis muss wieder negativ sein. Wie zuvor Angleichen des Exponenten von A: A : A : s = 1 Addition der Mantissen: B : A : s = 1 B + A : B + A : s = 1 Ergebnis unverändert Codiert:

3 Aufgabe 2: Binäre Gleitpunkt-Arithmetik Multiplikation & Division Gegeben sind die Zahlen A, B und C, codiert im 16 Bit-Gleitpunktformat aus Aufgabe 1: A = B = C = Führen Sie die nachfolgenden Berechnungen durch. Verwenden Sie Guard- und Round-Digit sowie das Sticky-Bit zur Vermeidung von numerischen Ungenauigkeiten (vgl. Informatik Grundlagen, 5. Auflage, Kapitel 8.6.4). Runden Sie mittels round to nearest zusammen mit round to even. Hinweis: Vergessen Sie nicht auf das implizite erste Bit! a) A B b) A C Lösung a) Mantisse: A B = = ( ) Exponenten: E 1 + E 2 E = = Vorzeichen: ( ) (+) = ( ) Rundung: Ergebnis unverändert GRS Ergebnis: (implizites erstes Bit!) Lösung b) Mantisse: A/C = / = ( ) Exponenten: e + E 1 E 2 = = Vorzeichen: ( )/( ) = (+) Normalisiert: Exponent-1 Rundung: Ergebnis unverändert GRS Ergebnis:

4 Aufgabe 3: Binäre Gleitpunkt-Arithmetik Sonderfälle Gegeben sind die folgenden Zahlen, codiert im 16 Bit-Gleitpunktformat aus Aufgabe 1: A = B = C = D = Führen Sie mit den Zahlen folgende Berechnungen durch und codieren Sie das Ergebnis wieder im angegebenen Gleitpunktformat. Runden Sie die Ergebnisse mittels round to nearest zusammen mit round away from zero: a) A B b) A + D c) B/C A = B = C = D = Mantisse A B = Exponent A B = 17 < e min (De-)Normalisierung: g gerundet: Codiert: r 001 s= Mantisse A + D = g Aufrunden (g = 1 r = 1) Ergebnis (nachnormalisieren) Codiert: r (2 5 ) Lösung c): Mantisse B/C 1.01/ 1.0 = 1.01 Exponent B/C ( 12) 15 = 27 << e min Ergebnis: 0 Codiert:

5 Aufgabe 4: Dezimale Gleitpunkt-Arithmetik Rundungsfehler Entwerfen Sie jeweils ein konkretes Beispiel, das zeigt, dass a) das Assoziativgesetz b) das Distributivgesetz für eine Gleitpunktarithmetik mit optimalem Runden nicht immer gilt. Benutzen Sie ein dezimales Gleitpunktsystem Ihrer Wahl. Falls ein Zwischenergebnis beim optimalen Runden auf den Grenzpunkt fällt, bestimmen Sie selbst eine zweite Rundungsmethode. Benutze beispielsweise ein Gleitpunktformat mit 3 Stellen und optimales Runden mit round away from zero: Es sind drei Zahlen x 1, x 2, x 3 anzugeben, sodass gilt: (x 1 + x 2 ) + x 3 x 1 + (x 2 + x 3 ) Wähle beispielsweise folgende Zahlen: x 1 = 1.23; x 2 = 0.042, x 3 = Linke Seite: x 1 + x 2 = = 1.272, gerundet x 3 = = 1.603, gerundet 1.60 Rechte Seite: x 2 + x 3 = = 0.375, gerundet x = = 1.605, gerundet 1.61 Es sind drei Zahlen x 1, x 2, x 3 anzugeben, sodass x 1 (x 2 + x 3 ) x 1 x 2 + x 1 x 3 Wähle dieselben Zahlen wie bei a). Linke Seite: x 2 + x 3 = = 0.375, gerundet x = = , gerundet Rechte Seite: x 1 x 2 = = , gerundet x 1 x 3 = = , gerundet = , gerundet 0.462

6 Aufgabe 5: Wahrheitstabellen Gegeben ist folgende Boolesche Funktion: f(a, b, c) = (a c) b a) Stellen Sie die Wahrheitstabelle der gegebenen Funktion auf. a b c c a c (a c) f(a, b, c) b) Lesen Sie die Funktion einmal in Disjunktiver- und einmal in Konjunktiver Normalform aus. DNF: f(a, b, c) = ( a b c) ( a b c) (a b c) (a b c) KNF: f(a, b, c) = (a b c) (a b c) ( a b c) ( a b c)

7 Aufgabe 6: Umformen von Gleichungen Bringen Sie die folgende Funktion durch Umformen in die Disjunktive Normalform (DNF): f(a, b, c, d) = { [a ( c d)] (a c d)} ( a c) Hinweis: Benutzen Sie die Regel x = (x y) (x y) um unvollständige Terme zu erweitern. Lösung: Schritt 1: Regel von demorgan anwenden. (a c d) ( a c d) (a c) Schritt 2: Unvollständige Terme erweitern (siehe Lösungshinweis). = (a b c d) (a b c d) ( a b c d) ( a b c d) (a b c) (a b c) = (a b c d) (a b c d) ( a b c d) ( a b c d) (a b c d) (a b c d) (a b c d) (a b c d) Schritt 3: Terme die mehrfach auftreten herauskürzen. = (a b c d) (a b c d) ( a b c d) ( a b c d) (a b c d) (a b c d)

8 Aufgabe 7: Funktionale Vollständigkeit Unter funktionaler Vollständigkeit versteht man die Eigenschaft einer Menge Boolescher Funktionen, alle möglichen Logikoperationen darstellen zu können. So ist beispielsweise die Menge {, } funktional vollständig, weil sich durch die Funktionen selbst oder durch Kombination der Funktionen alle denkbaren Logikoperationen darstellen lassen. Zeigen Sie für die nachfolgenden Mengen von Booleschen Funktionen, dass sie eine funktional vollständige Menge logischer Operationen ergeben. a) {1,, } b) {,,, } Hinweis: Bei handelt es sich um die Antivalenz (XOR). Um funktionale Vollständigkeit zu erreichen muss die Negation und entweder die UND- oder die ODER-Funktion nachgebildet werden können (die jeweils andere Funktion ergibt sich über das Gesetz von de Morgan). Die Negation ergibt sich durch 1 x = x. Zusammen mit ergibt sich die funktionale Vollständigkeit. und zusammen sind funktional vollständig. Die restlichen Operatoren sind Beiwerk.

9 Aufgabe 8: KV-Diagramm Minimale Disjunktive Form Gegeben sind die nachfolgenden KV-Diagramme. Lesen Sie die Funktion jeweils in minimaler disjunktiver Form aus (Minterm-Methode). Gibt es weitere, ebenfalls minimale Lösungen? a) e 2 e 2 e 1 e 1 e 1 X 1 X X X } {{ } } {{ } e 3 e 3 b) e 3 { e 3 e 3 e 4 e 4 e X 1 0 X 0 X 0 X X } {{ } } {{ } e 1 e 1 e 2 e 2 c) e 4 { e 4 e 4 e 3 e 3 e 3 X X X X X } {{ } } {{ } e 2 e 2 e 1 e 1 Hinweis: Bei X handelt es sich um das sogenannte Don t-care. Das entsprechende Feld kann bei der Vereinfachung entweder mit 0 oder mit 1 belegt werden. Geplanter Lösungsaufwand: 15min (1) e 1 e 2 (1) ( e 3 e 4 ) ( e 1 e 3 ) (2) (e 1 e 4 ) ( e 1 e 3 ) Lösung c): (1) e 4 ( e 1 e 3 ) (e 1 e 2 e 3 )

10 Aufgabe 9: KV-Diagramm Minimale Konjunktive Form Gegeben sind die KV-Diagramme aus Aufgabe 8. Lesen Sie die Funktion jeweils in minimaler konjunktiver Form aus (Maxterm-Methode). Gibt es weitere, ebenfalls minimale Lösungen? Geplanter Lösungsaufwand: 20min (1) e 1 e 2 (1) e 3 ( e 1 e 4 ) Lösung c): (1) ( e 1 e 3 ) ( e 1 e 2 ) (e 1 e 3 e 4 )

11 Aufgabe 10: Entwurf einer Booleschen Funktion Entwerfen Sie eine Boolesche Funktion f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) die logisch 1 ist, wenn das Bitmuster x 1 x 2 x 3 x 4 der Eingangsvariablen nicht symmetrisch ist. Ansonsten soll die Funktion den Wert logisch 0 annehmen. Beispiel: x 1 x 2 x 3 x 4 = 0000 ist symmetrisch, der Funktionswert ist daher logisch 0. x 1 x 2 x 3 x 4 = 0001 ist nicht symmetrisch, der Funktionswert ist daher logisch 1. Stellen Sie die Wahrheitstabelle auf und ermitteln Sie anschließend mittels KV-Diagramm eine minimale konjunktive Form. x 1 x 2 x 3 x 4 f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) x 1 { x 1 x 1 x 2 x 2 x } {{ } } {{ } x 4 x 4 x 3 x 3 Lösung: Minimale konjunktive Form f(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) ( x 1 x 2 x 3 x 4 ) (x 1 x 2 x 3 x 4 ) (x 1 x 2 x 3 x 4 )

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