2 Algebraische Grundstrukturen

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "2 Algebraische Grundstrukturen"

Transkript

1 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 1 8. November Algebraische Grundstrukturen Definitionen. Eine binäre Operation (binary operation) oder zweistellige Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung M M M, (m, n) mn(= m n = m + n). Eine binäre Operation auf der Menge M heißt assoziativ, wenn für alle m, n, p M gilt: kommutativ, wenn für alle m, n M gilt: Bezeichnungen. Eine binäre Operation wird (mn)p = m(np) ; mn = nm ; additiv genannt, wenn sie kommutativ ist und durch das Pluszeichen symbolisiert wird: mn = m + n ; multiplikativ genannt, wenn sie durch ein Malzeichen symbolisiert wird: mn = m n = m n. Eine Halbgruppe ist eine Menge H zusammen mit einer assoziativen binären Operation. Eine Halbgruppe ist abelsch, wenn die Operation kommutativ ist, benannt nach Niels Henrik Abel, Findø (bei Stavanger) 5. Februar 1802, Froland (bei Arundal) 6. April 1823; Statue von Vigeland im Fogner Park in Oslo. Bezeichnungen. Eine Halbgruppe ist additiv, wenn die Operation additiv ist; multiplikativ, wenn die Operation multiplikativ ist. Beispiele. Die Menge N der natürlichen Zahlen bildet zusammen mit der üblichen Addition eine additive Halbgruppe, Bezeichnung (N, +).

2 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 2 Die Menge N der natürlichen Zahlen bildet zusammen mit der üblichen Multiplikation eine multiplikative abelsche Halbgruppe, Bezeichnung (N, ). Ebenso bildet die Menge Z der ganzen Zahlen zusammen mit der üblichen Multiplikation eine multiplikative abelsche Halbgruppe, Bezeichnung (Z, ). Auch die zweielementige Menge {1, 1} zusammen mit der üblichen Multiplikation bildet eine Halbgruppe. Im Fall endlicher Mengen verwendet man zur Darstellung der binären Operation die sogenannte Verknüpfungstafel: Die Menge der stochastischen Matrizen der Dimension n bildet zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine nichtkommutative Halbgruppe: ( ) ( ) ( ) 0, 8 0, 2 0, 1 0, 9 0, 18 0, 82 = 0, 7 0, 3 0, 5 0, 5 0, 22 0, 78 ( ) ( ) ( ) 0, 1 0, 9 0, 8 0, 2 0, 71 0, 29 = 0, 5 0, 5 0, 7 0, 3 0, 75 0, 25 Die Menge N der natürlichen Zahlen bildet zusammen mit der üblichen Potenzbildung keine Halbgruppe. Es gilt zwar (2 2 ) 2 = 4 2 = 16 = 2 4 = 2 (22 ) aber (3 3 ) 3 = = 3 (33). Das allgemeine Assoziativgesetz. Jede binäre Operation läßt sich zu einer n-ären Operation erweitern (2 < n N): m 1 m 2 m 3... m n = (... ((m 1 m 2 )m 3 )...)m n. Satz. In den abgeleiteten n-ären Operationen einer Halbgruppe dürfen beliebig Klammern gesetzt werden: m 1 m 2 m 3... m n = (m 1 m 2... m k )(m k+1... m n ). Demonstration eines Spezialfalles: (m 1 m 2 )(m 3 m 4 ) = m 12 (m 3 m 4 ) = (m 12 m 3 )m 4 = ((m 1 m 2 )m 3 )m 4 = m 1 m 2 m 3 m 4. Das allgemeine Kommutativgesetz. Satz. In den abgeleiteten n-ären Operationen einer abelschen Halbgruppe dürfen die Element beliebig vertauscht werden: m 1... m i... m j... m n = m 1... m j... m i... m n.

3 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 3 Demonstration eines Spezialfalles: m 1 m 4 m 3 m 2 = m 1 (m 4 (m 3 m 2 )) = m 1 ((m 3 m 2 )m 4 ) = m 1 ((m 2 m 3 )m 4 ) = m 1 m 2 m 3 m 4. Wenn immer man eine mathematische Struktur untersucht, interessiert sich nicht nur für die einzelnen Objekte dieser Struktur, sondern man setzt die Objekte mit einander in Verbindung. Im Falle von algebraischen Strukturen geschieht dies durch sogenannte strukturerhaltende Abbildungen. Definition. Es seien G und H Halbgruppen. Eine Abbildung f : G H (genau genommen handelt es sich um eine Abbildung zwischen den zugehörigen Mengen) heißt Homomorphismus, wenn sie mit den binären Operationen verträglich ist, das heißt, wenn für alle x, y G gilt: f(xy) = f(x)f(y). Wortstamm griechisch: oµo ιoς = ähnlich, gleichartig, µoρϕή = Gestalt, Form Die Halbgruppe G ist die Quelle oder der Definitionsbereich (englisch: source oder domain) des Homomorphismusses f, die Halbgruppe H das Ziel oder der Wertevorrat (englisch: target oder codomain). Beispiele. Die Multiplikation mit einer festen natürlichen Zahl ist wegen des Distributivgesetzes ein Homomorphismus der additiven Halbgruppe der natürlichen Zahlen in sich selbst. Sei a N festgegeben. Für die Abbildung berechnen wir f : N N, x a x f(x + y) = a (x + y) = a x + a y = f(x) + f(y). Damit ist diese Abbildung ein Homomorphismus. Die Potenzbildung mit fester ganzzahliger Basis ist aufgrund der Potenzgesetze ein Homomorphismus von der additiven Halbgruppe der natürlichen Zahlen in die multiplikative Halbgruppe der ganzen Zahlen. Sei dazu eine ganze Zahl a Z fest gegeben. Für die Abbildung f : N Z, x a x berechnen wir f(x + y) = a x+y = a x a y = f(x) f(y). Damit ist die Abbildung f ein Homomorphismus der beschriebenen Art. Hierbei interessieren einige Sonderfälle a = 0: Die Abbildung f ist konstant, das heißt, sie nimmt nur einen Wert an, den Wert 0. a = 1: Die Abbildung f ist ebenfalls konstant mit dem Wert 1.

4 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 4 a = 1: Die Abbildung f nimmt nur die Werte 1 und -1 an. Sie läßt sich als Homomorphismus (N, +) ({1, 1}, ) auffassen. Die geraden Zahlen werden auf 1, die ungeraden auf -1 abgebildet. Definitionen und Bezeichnungen. 1. Ein neutrales Element für eine binäre Operation auf einer Menge M ist ein Element e M, derart dass für alle m M gilt: em = m = me. Im Fall einer additiven Verknüpfung spricht man von einen Nullelement, bezeichnet durch 0, im Fall einer multiplikativen Verknüpfung vom Einselement, bezeichnet durch Eine Halbgruppe heißt Monoid, wenn ein neutrales Element existiert. Satz. Zu einer binären Operation gibt es höchstens ein neutrales Element. Beweis. Es sei e 1 und e 2 neutrale Elemente für eine binäre Operation auf der Menge M. Dann gilt: Beispiele. e 1 = e 1 e 2 wegen der Neutralität von e 2 = e 2 wegen der Neutralität von e November 2002 Die Halbgruppe (N, +) ist kein Monoid, die Null fehlt. Durch Hinzunahme der Zahl 0 erhält man das additive Monoid (N 0, +). Die Halbgruppe (N, ) ist ein abelsches Monoid mit der 1 als neutralem Element. Die Halbgruppe (Z, ) ist ein abelsches Monoid mit der 1 als neutralem Element. Die Halbgruppe ({1, 1}, ) ist ein Monoid. Die Halbgruppe der stochastischen Matrizen der Dimension n ist ein nichtabelsches Monoid mit dem Einselement E n. Es sei M eine beliebige Menge. Die Menge aller Abbildungen f : M M zusammen mit der Verkettung ist ein (im allgemeinen nichtabelsches) Monoid mit der Identität als neutralem Element. id M : M M, m m

5 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 5 Für den Vergleich von Monoiden hat man den folgenden Begriff. Definition. Es seien G und H Monoide mit den neutralen Elementen e G und e H. Eine Abbildung f : G H (genau genommen handelt es sich um eine Abbildung zwischen den zugehörigen Mengen) heißt (Monoid)-Homomorphismus, wenn sie mit der binären Operation verträglich ist und das neutrale Element erhält, das heißt, wenn zusätzlich gilt: f(e G ) = e H. Beispiele. Für jedes a N 0 ist die Multiplikation mit a als Abbildung (N 0, +) (N 0, +) ein Monoidhomomorphismus: f : N 0 N 0, x a x. Es gilt ja immer a 0 = 0. Durch die Festsetzung a 0 = 1 für alle a Z wird die Potenzbildung mit der Basis a zu einem Monoidhomomorphismus (N 0, +) (Z 0, ) Die Abbildung ist ein Monoidhomomorphismus. f : (Z, +) ({1, 1}, ), z { 1, z gerade, 1, z ungerade Gegenbeispiel. Die einelementige Menge {0} zusammen mit der Operation 0 0 = 0 lässt sich als Monoid mit dem neutralen Element 0 auffassen. Die Einbettung in (N 0, ) ist ein Homomorphismus, aber kein Monoidhomomorphismus. Definitionen und Bezeichnungen. 1. Es sei M ein Monoid mit neutralem Element e. Ein Element b M heißt invers zu dem Element a M, wenn gilt: ab = e = ba. In diesem Fall ist auch a invers zu b. 2. Ein Monoid heißt Gruppe, falls zu jedem Element ein Inverses existiert. 3. Eine Gruppe heißt abelsch, wenn die zugehörige Operation kommutativ ist. 4. Bezeichnungen: Eine Gruppe wird als multiplikativ bezeichnet, wenn die zugehörige Operation als Multiplikation geschrieben wird, und als additiv, wenn die zugehörige Operation als Addition geschrieben wird (nur bei abelschen Gruppen).

6 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 6 5. Eine Gruppe heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Elemente enthält. In diesem Fall nennt man die Anzahl der Elemente die Ordnung der Gruppe. Beispiele. Die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null zusammen mit der Addition, also (N 0, +), ist keine Gruppe. Die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null zusammen mit der Multiplikation, also (N 0, ), ist keine Gruppe. Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition, also (N 0, +) ist eine Gruppe. Die Menge B = { z z, n N} der Bruchzahlen (ohne Null) zusammen mit der Multiplikation, also (B, ) ist eine n Gruppe. Die Menge Q = { z z Z, n N} der rationalen Zahlen zusammen mit der Addition, n also (Q, +) ist eine Gruppe. Die Menge der rationalen Zahlen zusammen mit der Multiplikation ist keine Gruppe. Zur Null gibt es kein inverses Element; durch Null kann nicht dividiert werden. Die Menge Q = Q \ {0} der von Null verschiedenen rationalen Zahlen zusammen mit der Multiplikation ist eine Gruppe. Analog hat man die additive Gruppe der reellen Zahlen und multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen. Die Menge der Kongruenzabbildungen der Ebene auf sich (Achsenspiegelungen, Drehung, Verschiebungen, Schubspiegelungen) zusammen mit der Verkettung ist eine Gruppe. Jede einelementige Menge lässt sich auf genau eine Weise zu einer Gruppe machen. Das Paar ({1, 1}, ) ist eine Gruppe mit zwei Elementen. Die Frage nach einer Gruppe mit drei Elementen e, a, b führt wie wir gleich sehen werden auf die folgende notwendigerweise auf die folgende Verknüpfungstafel: e a b e e a b a a b e b b e a. Das diese Operation assoziativ ist, kann man in endlich vielen Schritten (27 Gleichungen) nachrechnen, ergibt sich aber auch aus einem allgemeinen Zusammenhang. Im wesentlichen gibt es nur eine Gruppe der Ordnung 3. Zunächst einige Begriffe im Zusammenhang mit Abbildungen. Es seien M und N beliebige Mengen. Eine Abbildung f : M N heißt

7 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 7 injektiv, wenn verschiedene Argumente verschiedene Werte haben: m 1 m 2 = f(m 1 ) f(m 2 ), das bedeutet ein Element des Zieles höchstens ein Urbild hat; surjektiv, wenn jedes Element des Zieles mindestens ein Urbild hat; bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist; dann hat jedes Element des Zieles genau ein Urbild, es gibt damit eine Umkehrabbildung f 1 : N M mit den Eigenschaften f 1 f = id M, f f 1 = id N. Eine bijektive Abbildung einer Menge in sich selbst heißt Permutation. Die Permutationen einer festen Menge bilden eine Gruppe mit der Identität als neutralem Element und den Umkehrabbildungen als Inversen. Für eine natürliche Zahl n betrachtet man die Gruppe der Permutationen der Menge {1, 2,..., n}; sie heißt symmetrische Gruppe auf n Elementen und hat die Ordnung n!. Diese Gruppe wird durch S n bezeichnet und ihre Elemente werden häufig als Wertetabelle in Form eine 2 n-matrix angegeben: ( ) n π =. π(1) π(2)... π(n) Die Operation für S n definieren wir definieren wir etwas abweichend vom üblichen, wir nehmen die Verkettung in der umgekehrten Reihenfolge. Für π, ϱ S n setzen wir πϱ = π ϱ. Das Symbol bedeutet nach den DIN-Normen, dass erst die links davon stehende Abbildung ausgeführt wird, und danach die rechts stehende: Beispiel: ( π ϱ = ϱ π. ) ( ) = ( ). Satz. Es sei M ein Monoid. Dann gilt: 1. Das neutrale Element ist zu sich selbst invers. 2. Zu jedem Element gibt es höchstens ein inverses Element. Beweis. 1. ee = e nach der Definition des neutralen Elements. 2. Es seien b und c invers zu a. Dann berechnen wir: b = be = bac = ec = c.

8 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 8 Bezeichnungen. Im multiplikativen Fall schreibt man für das zu a inverse Element b = a 1 dann hat man auch a = b 1 im additiven Fall b = a, a = b. Bei Verwendung der multiplikativen Schreibweise für ein abelsches Monoid verwendet man auch die Bruchschreibweise: b = 1 b, cb 1 = b 1 c = c a. Bemerkungen. Eine Menge von geordneten Paaren aus Elementen einer Menge M heißt zweistellige Relation auf M. Ein bekanntes Beispiel ist die Größer-Relation auf R: Bei einem Monoid M bildet die Menge {(a, b) R 2 a > b}. {(a, b) M b invers zu a} eine zweistellige Relation auf M, und zwar eine symmetrische Relation: Wenn ein Paar (a, b) zu der Relation gehört, dann gehört auch das Paar (b, a) zu der Relation. Eine wichtige Eigenschaft für Relationen ist außerdem die Reflexivität. Sie besagt, dass jedes Element zu sich selbst in Relation steht. Die Relation invers zu bei einer Gruppe ist im allgemeinen nicht reflexiv. Sie würde bedeuten, dass jedes Element zu sich selbst invers ist. Das ist bei der angegebenen Gruppe aus zwei Elementen zwar der Fall, aber nicht bei der Gruppe aus drei Elementen. 15. November 2002 Es gibt jedoch eine Gruppe der Ordnung 4, deren Elemente alle zu sich selbst invers sind: G = {(±1, ±1)} zusammen mit der komponentenweisen Multiplikation. Die Verknüpfungstafel läßt sich leicht berechnen. (1, 1) (1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) (1, 1) (1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) (1, 1) ( 1, 1) (1, 1). Allgemein kann man beweisen, dass die Ordnung einer endlichen Gruppe, in der jedes Element zu sich selbst invers ist, eine Potenz von 2 ist. Allgemein heißt ein zu sich selbst inverses Element in einem Monoid Involution. In der Gruppe der Kongruenzabbildungen der euklidischen Ebene sind die Achsenspiegelungen und die Punktspiegelungen (= Drehung um 180 ) Involutionen. Da sich jede Kongruenzabbildung als Verkettung von höchstens drei Achsenspiegelungen darstellen lässt, wird die Gruppe der Kongruenzabbildungen von ihren Involutionen erzeugt. In der Gruppe der Permutationen einer Menge sind die Transpositionen, die Permutationen, die genau zwei Elemente vertauschen, Involutionen. Ist die Menge endlich, so ist jede Permutation als Verkettung von Transpositionen darstellbar, das heißt, die symmetrische Gruppe S n wird ebenfalls von Involutionen erfolgt.

9 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 9 Der Satz besagt, dass man bei einer Gruppe G neben der definierenden binären Operation noch eine einstellige Operation, die Inversenbildung zur Verfügung hat: G G, a a 1 in der multiplikativen Schreibweise. In diesem Zusammenhang kann man die Existenz des eindeutig bestimmten neutralen Elements auch noch als nullstellige Operation auffassen. Als Rechenregel halten wir noch fest: (a 1 ) 1 = 1. Da der Gruppenbegriff eine der wichtigsten Strukturen der Mathematik überhaupt beschreibt, soll er im folgenden noch genauer analysiert werden. Dabei verwenden wir, wenn nichts anderes explizit gesagt wird, die multiplikative Schreibweise. Satz. In einer Gruppe haben alle Gleichungen eine eindeutige Lösung. Genauer: Sind a, b, c beliebige Elemente einer Gruppe, so gibt es eindeutig bestimmte Elemente x, y in der Gruppe, derart dass gilt: ay = c, xb = c. Beweis. Es sind Existenz und Eindeutigkeit von x und y zu zeigen. x: Zur Existenzbeweis machen wir den Ansatz: x = c b 1 und berechnen (c b 1 ) b = c (b 1 b) = c 1 = c ; also ist diese x tatsächlich eine Lösung. Ist d eine weitere Lösung der zweiten Gleichung, gilt also auch d b = c, so berechnen wir: das ergibt die Eindeutigkeit. d = d 1 = d (b b 1 ) = (d b) b 1 = c b 1 ; Analog beweist man, dass a 1 c die eindeutig bestimmte Lösung der ersten Gleichung ist. Als Folgerung aus diesem ergeben sich die Kürzungsregeln. Für Elemente a, b 1, b 2 einer Gruppe gilt: ab 1 = ab 2 = b 1 = b 2 (Linkskürzungsregel), b 1 a = b 2 a = b 1 = b 2 (Rechtskürzungsregel). Beweis. Wir setzen im ersten Fall c = ab 1 = ab 2. Da die Gleichung ay = c nur eine Lösung hat, ist b 1 = b 2. Der zweite Fall lässt sich analog behandeln. Daraus erhält man auch eine wichtige Rechenregel: Für Elemente a, b einer Gruppe gilt: (a b) 1 = b 1 a 1.

10 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 10 Beweis. Wir berechnen (a b) (a b) 1 = 1 = a a 1 = a 1 a 1 = a b b 1 a 1 = (a b) (b 1 a 1 ). Aus der Linkskürzungsregel folgt die Behauptung. Bemerkung. Ein Element eines Monoids heißt invertierbar, wenn es ein Inverses besitzt. Die eben durchgeführte Rechnung zeigt, dass das Produkt von invertierbaren Elementen in einem Monoid auch invertierbar ist. Damit bilden die invertierbaren Elemente eines Monoid bezüglich der induzierten Operation eine Gruppe. So bilden die invertierbaren quadratischen Matrizen eine Gruppe in dem multiplikativen Monoid der quadratischen Matrizen der Dimension n. Diese Gruppe heißt allgemeine lineare Gruppe und wird durch GL(n; R) bezeichnet. Homomorphismen zwischen Gruppen haben eine besonders schöne Eigenschaft. Satz. Es seien G und H Gruppen und f : G H ein Homomorphismus, das heißt, eine mit der Operation verträgliche Abbildung. Dann ist f auch mit dem neutralen Element und der Inversenbildung verträglich. Beweis. Wir verwenden die multiplikative Schreibweise für die Operation und berechnen in H: f(1) f(1) = f(1 1) = f(1) = 1 f(1). Aus der Rechtskürzungsregel folgt nun: f(1) = 1. Weiter berechnen wir für beliebiges a G: f(a) f(a 1 ) = f(a a 1 ) = f(1) = 1 = f(a) (f(a)) 1. Aus der Linkskürzungsregel folgt nun: f(a 1 ) = (f(a)) 1. Beispiele. Eine Matrix A R m,n als Abbildung R n R m aufgefasst ist ein Homomorphismus zwischen den zugehörigen additiven Gruppen. Die Exponentialfunktion lässt sich als Homomorphismus von der additiven Gruppe R in die multiplikative Gruppe R auffassen: Die schon betrachtete Abbildung ist ein Homomorphismus. exp : (R, +) (R, ), x e x. f : (Z, +) ({1, 1}, ), z { 1, z gerade, 1, z ungerade Definition. Eine Teilmenge U einer Gruppe G heißt Untergruppe von G, wenn sie gegenüber den Operationen abgeschlossen ist, das heißt, wenn gilt: a, b U = a b U, U ist eine Unterhalbgruppe;

11 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 11 1 U, wenn dies zusätzlich zu der ersten Eigenschaft gilt, ist U ein Untermonoid; a U = a 1 U. Eine Untergruppe bildet mit den induzierten Operationen selbst eine Gruppe. Beispiele. Die Menge, die nur aus dem neutralen Element besteht, ist immer Untergruppe der zugehörigen Gruppe. Ebenso ist die ganze Gruppe Untergruppe von sich selbst. Diese beiden Untergruppen, die es zu jeder Gruppe gibt, heißen triviale Untergruppen. Die Menge 2Z der geraden Zahlen ist einer Untergruppe der additiven Gruppe Z. Allgemeiner ist für jedes n N die Menge nz der durch n teilbaren ganzen Zahlen eine Untergruppe der additiven Gruppe Z. Dabei gilt 1Z = Z. Die Menge B der Bruchzahlen ist eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe Q. Die Menge R + der positiven reellen Zahlen ist eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe R. Die Mengen der Diagonalmatrizen, der oberen und unteren Dreiecksmatrizen sind Untergruppen der additiven Gruppe der quadratischen Matrizen der Dimension n (für alle n N). 19. November 2002 Die Menge der Diagonalmatrizen, deren Diagonalelemente alle von Null verschieden sind, ist eine Untergruppe der allgemeine linearen Gruppe GL(n; R) (für alle n N). Die Menge der Verschiebungen (Translationen) ist eine Untergruppe der Gruppe der Kongruenzabbildungen der euklidischen Ebene. Die Menge der Vielfachen eines n-tupels reeller Zahlen ist ein Untervektorraum von R n : für festes (r 1, r 2,..., r n ) R n. {t (r 1, r 2,..., r n ) t R} Die Untergruppen der symmetrischen Gruppe S 3. Die Elemente einer symmetrischen Gruppe S n können abgekürzt durch die Zykelschreibweise angegeben werden: Ein k-tupel (k n) (a 1, a 2,..., a k ) von paarweise verschiedenen Elementen der Menge {1, 2,..., n} beschreibt die Permutation, die gegeben ist durch a j a j+1 für j {1, 2,... k 1} a k a 1 p p für p {a 1, a 2,..., a k }

12 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 12 Eine solche Permutation heißt Zykel, man sagt, dass die Elemente a 1, a 2,..., a k zyklisch vertauscht werden. Die Zahl k N heißt Länge des Zykels. Zykel der Länge 1 beschreiben die Identität, das neutrale Element der symmetrischen Gruppe S n. Zykel der Länge 2 sind gerade die Transpositionen. Jede Permutation lässt sich in eine Verkettung paarweise disjunkter Zykel zerlegen. Diese Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. Das Produkt paarweise disjunkter Zykel hängt nicht von der Reihenfolge ab. Zykel der Länge 1 werden dabei normalerweise nicht mit angeschrieben. Ausnahme: die Identität wird in der Zykelschreibweise durch (1) symbolisiert. Für die Elemente der symmetrischen Gruppe S 3 haben wir die folgende Zykeldarstellung: ( ( ) =(1), ) =(12), ( ( Man findet die folgenden Untergruppen Ordnung Untergruppen 1 {(1)} ) =(123), ) =(13), ( ( {(1), (12)}, {(1), (13)}, {(1), (23)} 3 {(1), (123), (132)} 6 S 3 ) =(132), ) =(23). Definitionen und Bezeichnungen. Es seien G eine Gruppe und U ein Untergruppe von G. Für beliebiges g G heißt die Menge Linksnebenklasse von U in G, die Menge gu = {gu u U} Ug = {ug u U} Rechtsnebenklasse von U in G. Ist G abelsch, so stimmen Links- und Rechtsnebenklassen überein. Im additiven Fall schreibt man dann auch g+u. Wir bemerken, dass auch die Untergruppe U selbst eine Nebenklasse ist: für g U ist gu = Ug = U. Beispiele. Wir nehmen G = (R 2, +) und U = {(r, r) r R}; geometrisch ist G eine Ebene mit einem kartesischen Koordinatensystem und U die Winkelhalbierende des ersten Quadraten. Mit Hilfe von g = (0, 1) erhalten wir die Nebenklasse g + U = {(r, r + 1) r R}, das ist die Parallele zu U durch den Punkt (0,1), das heißt, die Gerade mit der Gleichung y = x + 1. Die Menge aller Nebenklassen von U ist gerade die Menge aller Parallelen zu der Winkelhalbierenden.

13 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 13 Wir nehmen G = S 3 und zunächst U = {(1), (12)}. Wir finden die folgenden Nebenklassen: g gu Ug (1) (1) (12) (123) {(123), (23)} {(123), (13)}, (132) {(132), (13)} {(132), (23)}. Nehmen wir als U jedoch die einzige Untergruppe der Ordnung 3, das heißt, U = {(1), (123), (132)}, so führt jedes g U zu derselben (Rechts- und Links-) Nebenklasse: gu = Ug = {(12), (13), (23)}. Definition. Eine Menge T von Teilmengen einer Menge M heißt Zerlegung oder Partition (englisch: partition) von M, wenn aus lauter nichtleeren Teilmengen besteht und jedes Element von M zu genau einer Teilmenge in T gehört, formaler: 1. A für alle A T ; 2. M = T ; 3. Für alle A, B T mit A B gilt A B =. Die Bedingung 3. lässt sich auch folgendermaßen formulieren: 3. Für alle A, B T mit A B gilt A = B. Satz. Es seien G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Die Menge der Linksnebenklassen von U bildet eine Partition von G, ebenso die Menge der Linksnebenklassen. Beweis. Wir verifizieren die Bedingungen 1., 2. und 3. für die Menge der Linksnebenklassen. 1. Wegen g = g 1 gu ist gu, für alle g G. 2. Wegen g = g 1 gu für alle g G ist G = g G gu. 3. Es sei g 1 U g 2 U. Wir finden und wählen ein g 0 g 1 U g 2 U. Aus g 0 g 1 U folgt g 0 = g 1 u 1 für ein u 1 U. Aus g 0 g 2 U folgt g 0 = g 2 u 2 für ein u 2 U. Beides zusammen ergibt: g 1 u 1 = g 2 u 2, g 1 = g 2 u 2 u 1 1, g 2 = g 1 u 1 u 1 2.

14 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 14 Zu zeigen ist: g 1 U = g 2 U. : Sei g = g 1u g 1 U gegeben. Dann berechnen wir: g = g 2 u 2 u 1 1 u = g 2 (u 2 u 1 1 u) g 2 U, denn U ist Untergruppe und gehört das aus Elementen von U gebildete Element u 2 u 1 1 u auch zu U. : Sei g = g 2u g 2 U gegeben. Dann berechnen wir: g = g 1 u 1 u 1 2 u = g 1 (u 1 u 1 2 u) g 1 U, denn U ist Untergruppe und gehört das aus Elementen von U gebildete Element u 1 u 1 2 u auch zu U. Satz. Es seien G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Alle (Links- und Rechts-) Nebenklassen von U in G sind gleichmächtig zu U. Ist U endlich, so haben alle Nebenklassen die gleiche Zahl von Elementen. Beweis. Zwei Mengen sind bekanntlich gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt. Für jedes g G besitzt die Abbildung f : U gu, u gu eine Umkehrabbildung. Um das einzusehen, bemerken wir, dass für jedes v = gu gu gilt: g 1 v = g 1 gu = u U. Damit definiert die Zuordnung v g 1 v eine Abbildung h : gu U. Wir berechnen: h f(u) = h(gu) = g 1 gu = u für alle u U, also h f = id U, und f h(v) = f(g 1 v) = gg 1 v = v für alle v gu, also f h = id gu. Damit ist h Umkehrabbildung zu f und folglich ist f bijektiv. Folgerung. Satz von Lagrange oder Euler-Lagrange. Joseph Louis Lagrange, Turin , Paris , Professor für Geometrie an der Königlichen Artillerieschule in Turin, Präsident der Preußischen Akademie der Wissenschaften in Berlin, Mitglied der Französischen Akademie der Wissenschaften, in der Revolutionszeit Mitglied der Belohnungskommission für nützliche Erfindungen und Mitvorsteher der Münze 1. Leonhard Euler, Basel , St. Petersburg , sowie Professor für Mathematik an der Akademie in St. Petersburg, Mitglied der Preußischen Akademie der Wissenschaften, aber 1759 amtierender Präsident, der wohl produktivste Mathematiker aller Zeiten, die vielbändige Gesamtausgabe seiner Schriften ist noch lange nicht abgeschlossen. Die Ordnung einer Untergruppe U einer endlichen Gruppe G ist ein Teiler der Ordnung der Gruppe G: G / U N. 1 siehe: Fritz Schmidt: 200 Jahre französische Revolution Problem und Satz von Napoleon mit Variationen, Seiten in: Didaktik der Mathematik, Band 18, Heft 1 (1990).

15 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 15 Beweis. Wir wählen g 1 U. Dann gilt U = g 1 U. Ist U = G, so sind wir fertig, dann ist auch U = G und G / U = 1 N. Andernfalls wählen wir der Reihe nach g 2 G \ g 1 U, g 3 G \ (g 1 U g 2 ), g 4 G \ (g 1 U g 2 g 3 ),... Da die Gruppe G endlich ist, muss das Verfahren nach endlich vielen Schritten abbrechen, mit der Wahl eines Elementes g k, k N, derart dass gilt Graphisch: G = k g j U. j=1 U = g k U g 3 U g 2 U g 1 U U k G Da die Mengen, die diese Vereinigung bilden, paarweise disjunkt sind, ist die Anzahl der Elemente der Vereinigung gleich der Summe der Anzahlen der einzelnen Teilmengen: G = k j=1 g j U Satz = k U = k U, j=1 woraus sich die Behauptung: unmittelbar ergibt. G / U = k N 22. November 2002 Die Zahl k im Beweis des Satzes von Lagrange ist sowohl die Anzahl der Linksnebenklassen als auch die Anzahl der Rechtsnebenklassen. Sie berechnet sich als Quotient aus den Ordnungen der Gruppe und der betrachteten Untergruppe. Dies motiviert die folgenden Bezeichnungen und Sprechweisen. Es seien G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Wir bezeichnen die Menge der Linksnebenklassen von U in G mit G/U, die Menge der Rechtsnebenklassen mit U\G. Für endliches G gilt dann G/U = G / U = U\G. Jede Nebenklasse V ist die Angabe eines ihrer Elemente g festgelegt, sie wird durch das Element g repräsentiert. Ein Element g V heißt Repräsentant für V = gu.

16 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 16 Ist die Gruppe G abelsch und damit die Unterscheidung zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unnötig, so bezeichnen wir die von einem Gruppenelement g repräsentierte Nebenklasse, auch kürzer mit [g] oder ḡ. Es stellt sich die Frage, wann zwei Elemente die gleiche (Links- oder Rechts-) Nebenklasse repräsentieren. Lemma. Es seien G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann gilt für alle g 1, g 2 G: g 1 U = g 2 U g2 1 g 1 U ( g1 1 g 2 U), Ug 1 = Ug 2 g 1 g2 1 U ( g 2 g1 1 U). Beweis. Wir weisen die Behauptung für die Linksnebenklassen nach, für die Rechtsnebenklassen ergibt sie sich analog. = : Aus g 1U = g 2 U folgt zunächst g 1 g 2 U, das heißt, g 1 = g 2 u für ein u U. Multiplikation von links mit g2 1 ergibt g2 1 g 1 = g2 1 g 2 u = u U. = : Es sei g 1 2 g 1 = u 1 U, das heißt, g 1 = g 2 u 1 mit u 1 U. Dann gilt für ein beliebiges Element g 1 u g 1 U auch g 1 u = g 2 u 1 u = g 2 (u 1 u) g 2 U. Also haben wir g 1 U g 2 U. Für die umgekehrte Inklusion setzen wir u 2 = u 1 1 = g 1 1 g 2 und erhalten g 2 = g 1 u 2 mit u 2 U. Der Rest folgt analog. bf Bemerkung. Im den additiven Fall liegen zwei Elemente genau dann in der gleichen Nebenklasse, wenn ihre Differenz zu U gehört: a 1 + U = a 2 + U a 1 a 2 = a 1 + ( a 2 ) U. Vorbemerkung zum nächsten Satz. Selbstverständlichkeiten für endliche Mengen sind im unendlichen Fall nicht allgemein richtig. Ist etwa eine Teilmenge U einer endlichen Menge M gleichmächtig zu der ganzen Menge, so ist die Teilmenge gleich der ganzen Menge: U = M. Im unendlichen Fall ist etwa 2Z, die Menge der geraden Zahlen, gleichmächtig zur Menge Z aller ganzen Zahlen, aber nicht gleich der Menge Z. So folgt der nächste Satz für endliche Gruppen aus der Tatsache, dass die Anzahl der Linksnebenklassen nach dem bisher bewiesenen gleich dem Quotienten aus Ordnung der Gruppe und der Ordnung der Untergruppe ist, und dass dasselbe auch für die Anzahl der Rechtsnebenklassen gilt. Satz. Es seien G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Die Mengen der Linksnebenklassen und der Rechtsnebenklassen sind gleichmächtig. Beweis. Wir zeigen, dass die Abbildung f : G/U U\G, gu Ug 1 wohldefiniert ist und eine Umkehrabbildung besitzt. wohldefiniert : g 1 U = g 2 U = g 1 2 g 1 U = g 1 2 (g 1 1 ) 1 U = Ug 1 1 = Ug 1 2.

17 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 17 Offensichtlich definiert nun die Zuordnung Ug g 1 U eine Umkehrabbildung zu f. Damit ist f auch als bijektiv erkannt. Folgerung und Definition. Es seien G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Ist G/U eine endliche Menge, so auch U\G und umgekehrt. In diesem Fall haben beide Mengen die gleiche Anzahl von Elementen. Diese Anzahl heißt Index von U in G. Dabei braucht die Gruppe G selbst nicht endlich zu sein. Beispiel. Für n N \ {1} hat die Untergruppe U = nz in der additvien Gruppe G = (Z, +) den Index n. Das folgt aus den Regeln für die Division mit Rest: Zu jeder ganzen Zahl z gibt es genau ein Paar (q, r) mit q Z, r {0, 1,..., n 1} und z = n q + r, das heißt, z r + U. Das bedeutet, die Nebenklassen von U in G sind die n Mengen U, 1 + U, 2 + U,..., n 1 + U. Die Nebenklasse r + U besteht genau aus den Zahlen, die bei der Division mit Rest den Rest r ergeben. Deshalb spricht man in diesem Zusammenhang auf häufig von Restklassen anstelle von Nebenklassen. Zur Erkennung von Untergruppen dient häufig das Untergruppenkriterium. Eine Menge U von Elementen einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe, wenn U nicht leer und abgeschlossen gegenüber Quotienten ist, das heißt, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: U, a, b U = a b 1 U. Beweis. : Ist U Untergruppe von G, so haben wir 1 U, also U. Weiter gilt für a, b U wegen der Abgeschlossenheit von U gegenüber der Inversenbildung b 1 U und wegen der Abgeschlossenheit gegenüber der Multiplikation auch a b 1 U. : Da U nach Voraussetzung nicht leer ist, finden wir ein Element a 0 H. Die angegebene Bedingung liefert dann zunächst 1 = a 0 a 1 0 U, dann b 1 = 1 b 1 U für alle b H und schließlich a b = a (b 1 ) 1 U für alle a, b H. Also ist H abgeschlossen gegenüber der Multiplikation. Definitionen und Bezeichnungen. Es seien G und H Gruppen, sowie f : G H ein Homomorphismus. Die Menge heißt Kern von f, die Menge heißt Bild von f. ker f = {a G f(a) = 1} im f = {c H es gibt ein a G mit f(a) = c} Satz. Kerne und Bilder von Homomorphismen sind Untergruppen der Quelle beziehungsweise des Zieles des jeweiligen Homomorphismus. Beweis. Es seien G und H Gruppen, sowie f : G H ein Homomorphismus. Wir verwenden das Untergruppenkriterium. f(1) = 1 1 ker f ker f,

18 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 18 a, b ker f a b 1 ker f. f(a b 1 ) = f(a) f(b 1 ) = 1 (f(b)) 1 = 1 1 = 1 Also ist ker f Untergruppe der Gruppe G. f(1) = 1 1 im f im f, c, d im f Wir finden Elemente a, b G mit f(a) = c und f(b) = d. Damit berechnen wir f(a b 1 ) = f(a) f(b 1 ) = c (f(b)) 1 = c d 1 c d 1 im f. Damit ist im f Untergruppe der Gruppe H. Beispiele. Der Kern des zu einer Matrix A R m,n gehörenden Homomorphismus ist die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Gleichungssystems; diese ist wie im 1. Kapitel festgestellt eine Untergruppe der additiven Gruppe R n. Das inhomogene Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn b zum Bild der Abbildung gehört. ker exp = {0}, im exp = R +. Für die Abbildung f : (Z, +) ({1, 1}, ), z { 1, z gerade, 1, z ungerade gilt: Die Abbildung ist surjektiv. ker f = 2Z, im f = {1, 1}. Ist U eine Untergruppe der Gruppe G, so ist U zusammen mit der induzierten Operation selbst eine Gruppe. Die Einbettung U G, a a ist ein Homorphismus, dessen Kern nur aus dem neutralen Element besteht und dessen Bild die Menge U selbst ist. Damit ist jede Untergruppe Bild eines Homomorphismus. Die Bedeutung des Kerns liegt zum Teil in der folgenden Aussage. Lemma. Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn sein Kern nur aus dem neutralen Element besteht. Beweis. Es seien G und H Gruppen, sowie f : G H ein Homomorphismus. Es ist f injektiv ker f = {1} zu zeigen.

19 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 19 = : Da f injektiv ist, ergibt sich für g G aus f(g) = 1 = f(1) unmittelbar g = 1, also ker f = {1} = : Wir berechnen für g 1, g 2 G mit f(g 1 ) = f(g 2 ): f(g 1 g 1 2 ) = f(g 1 ) (f(g 2 )) 1 = f(g 1 ) (f(g 1 )) 1 = 1, also g 1 g2 1 ker f. Da nach Voraussetzung ker f = {1} ist, folgt g 1 g2 1 = 1, das heißt, g 1 = g 2. Das liefert die Injektivität des Homomorphismus f. 26. November 2002 Das Lemma besagt, dass ein Homomorphismus bereits dann injektiv ist, wenn das Urbild des neutralen Elements nur ein Element enthält. Dann enthält das Urbild jedes Elements des Zieles (des Wertevorrats) höchstens ein Element. Diese Tatsache wird durch Bezeichnungen und ein weiteres Lemma präzisiert. Bezeichnungen. Für eine Abbildung f : g H schreiben wir f 1 (h) = {g G f(g) = h} für alle h H und f 1 (V ) = {g G f(g) V } für alle V H. Ist f ein Homomorphismus zwischen Gruppen, so ist in dieser Symbolik ker f) = f 1 (1). Lemma. Es seien G und H Gruppen, sowie f : G H ein Homomorphismus. Dann gilt für alle h H: f 1 (h) = f 1 (h) (Links- und Rechts-) Nebenklasse von ker f. Beweis. Es sei für ein h H das Urbild f 1 (h). Wir wählen ein g 0 f 1 (h) und behaupten: g 0 ker f = f 1 (h) = ker fg 0. Zum Nachweis genügt aus Symmetriegründen die erste Gleichung zu beweisen. : Für alle u ker f berechnen wir: f(g 0 u) = f(g 0 ) f(u) = h 1 = h, also g 0 u ker f. Das bedeutet g 0 ker f f 1 (h). : Für alle g f 1 (h) berechnen wir: f(g 1 0 g) = f(g 0 ) 1 f(g) = h 1 h = 1, also g 1 0 g = u ker f und damit g = g 0 u g 0 ker f. An dieser Stelle sind einige Vokabeln zu lernen. Definitionen. Es seien G und H Gruppen. Ein Homomorphismus f : G H heißt Monomorphismus, falls f injektiv ist ( ker f = {1});

20 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 20 Epimorphismus, falls f surjektiv ist ( im f = H); Isomorphismus, falls er Mono- und Epimorphismus ist; Endomorphisus, falls G = H; Automorphismus, falls er ein Endo- und Isomorphismus ist. Nun stellt sich die Frage treten alle Untergruppen einer Gruppe auch als Kerne von Homomorphismen auf? Diese Frage ist nicht so einfach zu beantworten. Sie lautet auch nicht allgemein ja. Beispiel. Wir betrachten die additive Gruppe (Z, +) der ganzen Zahlen. Ihre Untergruppen sind die Mengen nz, für alle n N 0, wobei 0Z = {0} und 1Z = Z die trivialen Untergruppen sind. Nachweis, dass (Z, +) keine weiteren Untergruppen besitzt, das heißt, dass jede Untergruppe von der Form nz für ein n N 0 ist. Es sei U eine beliebige Untergruppe von (Z, +). O.B.d.A. können wir annehmen, dass U keine triviale Untergruppe ist. Dann enthält U von Null verschiedene Elemente. Da U Untergruppe, also abgeschlossen gegenüber der Inversenbildung ist, muss U auch positive Elemente, also natürliche Zahlen enthalten. Wir setzen und behaupten: n = min U N = min{m N m U} nz = U! : Zunächst beweisen wir durch vollständige Induktion: n q U für alle q N: Induktionsanfang bei q = 1: Nach der Definition von n ist n 1 = n U. Induktionsschluss: Ist n q U, so ist wegen der Abgeschlossenheit von U bezüglich der Addition auch n (q + 1) = n q + n 1 = n q + n U. Da U das neutrale Element enthält, folgt weiter n 0 = 0 U, und, da U abgeschlossen gegenüber der Inversenbildung ist, haben wir schließlich auch n ( q) = n q U für alle q N. : Es sei u U gegeben. Die Division mit Rest liefert ein Paar (q, r) Z {0, 1, 2,..., n 1} mit u = n q + r. Aufgrund des bereits bewiesenen ist n q U. Da U Untergruppe ist, ist dann auch r = u n q U. Nach der Definition von n gilt aber {1, 2,..., n 1} U =, also ist r = 0 und damit u = n q nz. Damit ist gezeigt, dass die additive Gruppe (Z, +) der ganzen Zahlen nur die angegebenen Untergruppen besitzt. Die triviale Untergruppe {0} ist Kern des durch die Identität id Z beschriebenen Homomorphismus. Die triviale Untergruppe Z ist Kern des konstanten Homomorphismus Z {0}, z 0. Für n > 1 ist nz Kern des in den Übungen betrachteten Homomorphismus Z Z/nZ = Z n, z z, der jeder ganzen Zahl z ihre Restklasse modulo n zuordnet.

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe

7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe 7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe und Homomorfismen Wir verallgemeinern den Übergang von Z zu Z/m. Sei im folgenden G eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe, H eine Untergruppe.

Mehr

Halbgruppen, Gruppen, Ringe

Halbgruppen, Gruppen, Ringe Halbgruppen-1 Elementare Zahlentheorie Einige Bezeichnungen Halbgruppen, Gruppen, Ringe Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen 0, 1, 2, Die Menge N = N 1 der von Null verschiedenen natürlichen Zahlen Die

Mehr

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49

7. Ringe und Körper. 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper 49 7. Ringe und Körper In den bisherigen Kapiteln haben wir nur Gruppen, also insbesondere nur Mengen mit lediglich einer Verknüpfung, untersucht. In der Praxis gibt es aber natürlich

Mehr

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de

Ringe und Moduln. ausgearbeitet von. Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Ringe und Moduln ausgearbeitet von Corinna Dohle Matrikelnummer 6299128 corinna@math.upb.de Seminar Darstellungstheorie Prof. Dr. H. Krause, PD Dr. D. Kussin Wintersemester 2007/2008 Grundlagen 1 Grundlagen

Mehr

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe

Kapitel 4. Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform. 4.1 Euklidische Ringe Kapitel 4 Euklidische Ringe und die Jordansche Normalform 4.1 Euklidische Ringe Die Ringe der ganzen Zahlen, Z, sowie Polynomringe über Körpern, K[X], wobei K ein Körper ist, haben die folgenden Gemeinsamheiten:

Mehr

2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen

2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen Algebra I c Rudolf Scharlau, 2002 2012 61 2.2 Nebenklassen, Normalteiler und Faktorgruppen Bei der Konstruktion der Restklassengruppe Z/mZ hatten wir auf der Gruppe Z mit Hilfe einer Untergruppe mz eine

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1

Vorlesung. Funktionen/Abbildungen 1 Vorlesung Funktionen/Abbildungen 1 1 Grundlagen Hinweis: In dieser Vorlesung werden Funktionen und Abbildungen synonym verwendet. In der Schule wird eine Funktion häufig als eindeutige Zuordnung definiert.

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

11. Primfaktorzerlegungen

11. Primfaktorzerlegungen 78 Andreas Gathmann 11 Primfaktorzerlegungen Euch ist sicher aus der Schule bekannt, dass sich jede positive ganze Zahl a als Produkt a = p 1 p n von Primzahlen schreiben lässt, und dass diese Darstellung

Mehr

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten

Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Leitfaden Lineare Algebra: Determinanten Die symmetrische Gruppe S n. Eine Permutation σ der Menge S ist eine bijektive Abbildung σ : S S. Ist S eine endliche Menge, so reicht es zu verlangen, dass σ injektiv

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

Lineare Algebra - alles was man wissen muß

Lineare Algebra - alles was man wissen muß Statistik für Bioinformatiker SoSe 3 Rainer Spang Lineare Algebra - alles was man wissen muß Der Titel ist natürlich gelogen, aber was wir hier zusammengetragen haben ist zumindest ein Anfang. Weniger

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik für die Studiengänge Ingenieur-Informatik berufsbegleitendes Studium Lehramt Informatik (Sekundar- und Berufsschule) http://theo.cs.uni-magdeburg.de/lehre04s/ Lehrbeauftragter:

Mehr

KAPITEL 0. Einführung

KAPITEL 0. Einführung Lineare Algebra KAPITEL 0 Einführung Dieses Skript zur Vorlesung Lineare Algebra an der Goethe Universität Frankfurt im Sommersemester 2011 befindet sich noch in der Entstehung und wird fortlaufend aktualisiert

Mehr

Lösungen zum 2. Aufgabenblatt

Lösungen zum 2. Aufgabenblatt SS 2012, Lineare Algebra 1 Onlineversion, es werden keine Namen angezeigt. Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar. Insgesamt 3255 Wörter

Mehr

Zusatztutorium, 25.01.2013

Zusatztutorium, 25.01.2013 Zusatztutorium, 25.01.2013 David Müßig muessig[at]mi.fu-berlin.de http://page.mi.fu-berlin.de/def/tutorium/ WiSe 12/13 1 Der Homomorphiesatz Der Homomorphiesatz scheint für viele eine Art rotes Tuch zu

Mehr

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich.

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich. 3.5 Ringe und Körper Gehen wir noch mal zu den ganzen Zahlen zurück. Wir wissen: (Z, + ist eine Gruppe, es gibt aber als Verknüpfung noch die Multiplikation, es gibt ein neutrales Element bezüglich, es

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V

Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Übungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS

Übungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Doz.Dr. Norbert Koksch TU DRESDEN Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Übungsaufgaben LAAG I für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Logik: Übungsaufgabe 1. Begründen Sie, ob es sich um eine Aussage

Mehr

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Stefan Kühnlein Dipl.-Math. Jochen Schröder Einführung in Algebra und Zahlentheorie Übungsblatt 2 Aufgabe 1 (4 Punkte) Seien

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14. Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse UNIVERSITÄT DES SAARLANDES FACHRICHTUNG 6.1 MATHEMATIK Dipl.-Math. Kevin Everard Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Wintersemester 2013/14 Auswahl vorausgesetzter Vorkenntnisse

Mehr

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.

Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33

Mehr

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie

Minimale Darstellungen, Kommutator- und Fixräume, projektive Geometrie Notation Die in dieser Arbeit verwendete Notation ist im Wesentlichen Standard, so wie sie beispielsweise in [As] zu nden ist. Einige Abweichungen hiervon, Klarstellungen und zusätzliche Notationen (sofern

Mehr

(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.)

(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.) 3. Untergruppen 19 3. Untergruppen Nachdem wir nun einige grundlegende Gruppen kennengelernt haben, wollen wir in diesem Kapitel eine einfache Möglichkeit untersuchen, mit der man aus bereits bekannten

Mehr

Lineare Abhängigkeit

Lineare Abhängigkeit Lineare Abhängigkeit Vorbemerkung. Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung I X, i x i. I heißt dabei Indexmenge. Man verwendet dabei oft die Schreibweise (x i ) oder (x

Mehr

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität

Algebraische Kurven. Vorlesung 26. Die Schnittmultiplizität Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2012 Algebraische Kurven Vorlesung 26 Die Schnittmultiplizität Es seien zwei ebene algebraische Kurven C,D A 2 K gegeben, die keine Komponente gemeinsam haben. Dann besteht

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Kapitel III. Lineare Abbildungen

Kapitel III. Lineare Abbildungen Kapitel III. Lineare Abbildungen Beispiele: 1 Lineare Abbildungen a) Seien c 1,..., c n K vorgegeben. Betrachte die Funktion F (x 1,..., x n ) = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n in den Variablen x 1,...,

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.

u + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u. Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume

Mehr

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt

Mathematik 1. Lösungsvorschläge zum 2. Übungsblatt Hochschule Regensburg Fakultät Informatik/Mathematik Christoph Böhm Wintersemester 0/0 Wirtschaftsinformatik Bachelor IW Informatik Bachelor IN Vorlesung Mathematik Mathematik Lösungsvorschläge zum Übungsblatt

Mehr

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15

Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN. Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik Prof. Dr. Friedrich Roesler Ralf Franken, PhD Max Lein Lineare Algebra 1 WS 26/7 en Blatt 4 13.11.26 Abzählbarkeit, Injektivität, Sürjektivität und Bijektivität

Mehr

2 Mengen und Abbildungen

2 Mengen und Abbildungen 2.1 Mengen Unter einer Menge verstehen wir eine Zusammenfassung von Objekten zu einem Ganzen. Die Objekte heiÿen Elemente. Ist M eine Menge und x ein Element von M so schreiben wir x M. Wir sagen auch:

Mehr

4 Einige Grundstrukturen. Themen: Abbildungen und Relationen Gruppen Die natürlichen Zahlen Körper

4 Einige Grundstrukturen. Themen: Abbildungen und Relationen Gruppen Die natürlichen Zahlen Körper 4 Einige Grundstrukturen Themen: Abbildungen und Relationen Gruppen Die natürlichen Zahlen Körper Abbildungen Seien X und Y Mengen. Eine (einstellige) Abbildung f : X Y ordnet jedem x X genau ein Element

Mehr

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen

2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen 2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )

Mehr

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln...

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln... Kongruenzrechnung Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen 2 1.1 Einige Beispiele aus dem Alltag..................... 2 1.2 Kongruenzrechnung im Alltag und Rechenproben........... 3 1.3 Kongruenzen

Mehr

Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen

Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen Peter Feigl JKU Linz peter.feigl@students.jku.at 0055282 Claudia Hemmelmeir JKU Linz darja@gmx.at 0355147 Zusammenfassung Wir möchten in diesem Artikel die ganzen

Mehr

Didaktik der Zahlbereiche 4. Die Menge der ganzen Zahlen. Mathematikunterricht in der Jahrgangsstufe 7. Zahlbereichserweiterungen in der Hauptschule

Didaktik der Zahlbereiche 4. Die Menge der ganzen Zahlen. Mathematikunterricht in der Jahrgangsstufe 7. Zahlbereichserweiterungen in der Hauptschule Zahlbereichserweiterungen in der Hauptschule Didaktik der Zahlbereiche 4 Dr. Christian Groß Lehrstuhl Didaktik der Mathematik Universität Augsburg Wintersemester 2006/07 Natürliche Zahlen, : Klasse 5 positive

Mehr

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k.

Q(n) = n 0 +n 1 +n 2 +...+n k. 25 2 Kongruenzen Mit Hilfe der hier definierten Kongruenz können Aussagen über Teilbarkeit einfacher formuliert und bewiesen werden, und man erhält eine Differenzierung der Zahlen, die bezüglich einer

Mehr

Optimalitätskriterien

Optimalitätskriterien Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen

Mehr

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie

Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Seminararbeit für das SE Reine Mathematik- Graphentheorie Der binäre Rang, der symplektische Graph, die Spektralzerlegung und rationale Funktionen Vortrag am 24.01.2012 Heike Farkas 0410052 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Mathematische Strukturen

Mathematische Strukturen Mathematische Strukturen Lineare Algebra I Kapitel 3 18. April 2012 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/ holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung

3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung 3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.

Mehr

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen

Invariantentheorie. Vorlesung 5. Invariantenringe zu Untergruppen Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2012/2013 Invariantentheorie Vorlesung 5 Invariantenringe zu Untergruppen Proposition 5.1. Es sei R G R eine Operation einer Gruppe G auf einem kommutativen Ring durch

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

Skript zur Vorlesung Ringe und Moduln. gehalten von Peter Maier an der TU Darmstadt im Wintersemester 2000/2001

Skript zur Vorlesung Ringe und Moduln. gehalten von Peter Maier an der TU Darmstadt im Wintersemester 2000/2001 Skript zur Vorlesung Ringe und Moduln gehalten von Peter Maier an der TU Darmstadt im Wintersemester 2000/2001 Inhaltsverzeichnis 1 Ringe und Moduln 1 1.1 Ringe und Schiefkörper.............................

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer.

Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer. karin.melzer@hs-esslingen.de http://www.hs-esslingen.de/de/mitarbeiter/karin-melzer. Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende http://wwwhs-esslingende/de/mitarbeiter/karin-melzerhtml Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen

Mehr

9. Anwendungen der Fundamentalgruppe

9. Anwendungen der Fundamentalgruppe 76 Andreas Gathmann 9. Anwendungen der Fundamentalgruppe Nachdem wir mit Hilfe von Überlagerungen nun in der Lage sind, Fundamentalgruppen zu berechnen, wollen wir in diesem abschließenden Kapitel noch

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 19 Algebraisch abgeschlossene Körper Wir haben zuletzt erwähnt, dass ein lineares Polynom X a über einem Körper stets irreduzibel

Mehr

1 Mengen und Abbildungen

1 Mengen und Abbildungen 1 MENGEN UND ABBILDUNGEN 1 1 Mengen und Abbildungen Wir starten mit einigen einführenden Definitionen und Ergebnissen aus der Theorie der Mengen und Abbildungen, die nicht nur Grundlage der Linearen Algebra

Mehr

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist?

Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? Wie kann man beweisen, dass (H, ) eine Gruppe ist? (zb wenn die Multiplikation mit Hilfe einer Tabelle gegeben ist) Wie kann man beweisen, dass (H, )

Mehr

Geometrische Mannigfaltigkeiten

Geometrische Mannigfaltigkeiten Geometrische Mannigfaltigkeiten Thilo Kuessner Abstract Kurzfassung der Vorlesung: Definitionen, Beispiele und Sätze, keine Beweise. Definition 1. Ein topologischer Raum ist eine Menge X mit einer Familie

Mehr

Kapitel II Ringe. 1 Grundbegriffe. 1.1 Definition eines Rings

Kapitel II Ringe. 1 Grundbegriffe. 1.1 Definition eines Rings Kapitel II Ringe Eine zentrale Aufgabe der Algebra ist es, Aussagen über die Nullstellen von Polynomen zu machen. Für den Umgang mit Polynomen ist es nützlich, die abstrakten Hintergründe der Addition

Mehr

Ringe. Kapitel 3. 3.1 Abelsche Gruppen, Ringe und Moduln

Ringe. Kapitel 3. 3.1 Abelsche Gruppen, Ringe und Moduln Kapitel 3 Ringe Gruppen- und Ringstrukturen sind uns schon in den verschiedensten Zusammenhängen begegnet. In diesem Kapitel wollen wir einige wichtige Klassen von Ringen im Hinblick auf Anwendungen in

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DRESDEN. Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik Institut für Algebra

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DRESDEN. Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik Institut für Algebra TECHNISCHE UNIVERSITÄT DRESDEN Fakultät Mathematik und Naturwissenschaften, Fachrichtung Mathematik Institut für Algebra Halbgruppen binärer Relationen auf einer 3-elementigen Menge Arbeit im Rahmen des

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow

LINEARE ALGEBRA Ferienkurs. Hanna Schäfer Philipp Gadow LINEARE ALGERA Ferienkurs Hanna Schäfer Philipp Gadow INHALT Eigenwerte und Eigenvektoren. asiswechsel.2 Eigenwertgleichung 2.3 Diagonalisierbarkeit 5.4 Trigonalisierung 8.5 Zusatzmaterial 8 Aufgaben 9

Mehr

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen

Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:

Mehr

Lineare Algebra I. HP Butzmann. Vorlesung im HWS 09

Lineare Algebra I. HP Butzmann. Vorlesung im HWS 09 Lineare Algebra I HP Butzmann Vorlesung im HWS 09 Inhaltsverzeichnis 1 Mengen und Abbildungen 2 2 Körper 15 3 Vektorräume 40 4 Basis und Dimension 53 5 Lineare Abbildungen 67 6 Matrizen 80 7 Lineare Gleichungssysteme

Mehr

Kap 1: VEKTORRÄUME. (c) (λµ) v = λ (µ v) (b) λ (v + w) = (λ v) + (λ w) (d) 1 v = v

Kap 1: VEKTORRÄUME. (c) (λµ) v = λ (µ v) (b) λ (v + w) = (λ v) + (λ w) (d) 1 v = v Kap 1: VEKTORRÄUME Es sei X eine Menge. Eine Familie von Elementen von X ist eine Abbildung ϕ : I X, i ϕ(i) = x i, wobei die Menge I in diesem Zusammenhang auch Indexmenge genannt wird. Man schreibt vereinfacht

Mehr

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr!

Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Frohe Weihnachten und ein gutes neues Jahr! Die mit dem Stern * gekennzeichneten Übungen sind nicht verpflichtend, aber sie liefern zusätzliche Punkte. Unten wird immer mit I das reelle Intervall [0, 1]

Mehr

Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen

Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen Einführung in die Zahlentheorie und algebraische Strukturen Wintersemester 2012/2013 Universität Bayreuth Michael Stoll Inhaltsverzeichnis 1. Wiederholung: Gruppen, Ringe, Körper 2 2. Teilbarkeitslehre

Mehr

3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper

3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper 32 Andreas Gathmann 3. Die Eigenschaften der reellen Zahlen II: Geordnete Körper Wir haben bisher von den reellen Zahlen nur die Körpereigenschaften, also die Eigenschaften der vier Grundrechenarten ausgenutzt

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

2. Universelle Algebra

2. Universelle Algebra 2. Universelle Algebra Die Theorie der universellen Algebra verallgemeinert die Theorien der klassischen Algebren. Obwohl ursprünglich nur eine Sorte betrachtet wurde, werden wir hier gleich den mehrsortigen

Mehr

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013

Algebra. Patrik Hubschmid. 8. Oktober 2013 Algebra Patrik Hubschmid 8. Oktober 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Fortführung der Gruppentheorie 7 1.1 Sylowsätze.................................... 7 3 Vorwort Dieses Skript zur Vorlesung Algebra im Wintersemester

Mehr

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2

w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba a = 2 1 2 Notation für Wörter Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg w a is die Anzahl der Vorkommen von a in w Beispiel: abba

Mehr

Reelle Zahlen. Mathematische Grundlagen Lernmodul 4. Stand: Oktober 2010

Reelle Zahlen. Mathematische Grundlagen Lernmodul 4. Stand: Oktober 2010 Mathematische Grundlagen Lernmodul 4 Reelle Zahlen Stand: Oktober 200 Autoren: Prof. Dr. Reinhold Hübl, Professor Fakultät für Technik, Wissenschaftliche Leitung ZeMath, E-Mail: huebl@dhbw-mannheim.de

Mehr

Algebra. Professor Walter Gubler

Algebra. Professor Walter Gubler Algebra Professor Walter Gubler 29. April 2010 2 Inhaltsverzeichnis I Algebra I 11 I Gruppentheorie 13 I.1 Gruppen................................... 13 I.1.1 Denition einer Gruppe.......................

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

Ringe, Algebren und Körper

Ringe, Algebren und Körper KAPITEL 3 Ringe, Algebren und Körper Wir kommen nun zu Strukturen mit zwei verträglichen Operationen, wobei wir etwas Hintergrund aus der linearen Algebra voraussetzen werden. Wir werden oft auf die Analogie

Mehr

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens

Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens Mathematische Grundlagen der Kryptographie 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe Stefan Brandstädter Jennifer Karstens 18. Januar 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Ganze Zahlen 1 1.1 Grundlagen............................

Mehr

Mathematik wirklich verstehen

Mathematik wirklich verstehen Mathematik wirklich verstehen Eine Einführung in ihre Grundbegriffe und Denkweisen Von Arnold Kirsch 3. verbesserte Auflage Aulis Verlag Deubner & Co KG Köln Inhaltsverzeichnis Vorwort 11 Teil A Zahlen

Mehr

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik

Höhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren

1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren .9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..

Mehr

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund

Lineare Algebra 1. Detlev W. Hoffmann. WS 2013/14, TU Dortmund Lineare Algebra 1 Detlev W. Hoffmann WS 2013/14, TU Dortmund 1 Mengen und Zahlen 1.1 Mengen und Abbildungen Eine Menge ist eine Zusammenfassung wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung/unseres Denkens/unserer

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

Mathematik für Informatiker: Algebraische Strukturen

Mathematik für Informatiker: Algebraische Strukturen Mathematik für Informatiker: Algebraische Strukturen Vorlesungsskript 2009/205 Klaus Wirthmüller http://www.mathematik.uni-kl.de/ wirthm/de/mfi.html K. Wirthmüller Mathematik für Informatiker: Algebraische

Mehr

Diskrete Mathematik für Informatiker

Diskrete Mathematik für Informatiker Diskrete Mathematik für Informatiker Markus Lohrey Universität Siegen Wintersemester 2014/2015 Lohrey (Universität Siegen) Diskrete Mathematik Wintersem. 2014/2015 1 / 344 Organisatorisches zur Vorlesung

Mehr

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft:

Projektive Moduln. Lemma/Definition 1.1. Folgende Aussagen für einen R-Modul P sind äquivalent: (i) P erfüllt folgende Liftungseigenschaft: Seminar Summen von Quadraten und K-Theorie Projektive Moduln Im Folgenden sei R ein assoziativer Ring mit Eins, nicht notwendigerweise kommutativ. R-Modul ist im Folgenden stets ein Rechts-R-Modul. Ein

Mehr

4 Kongruenz und Modulorechnung

4 Kongruenz und Modulorechnung 4 Kongruenz und Modulorechnung 39 4 Kongruenz und Modulorechnung In unserer Zeitrechnung haben wir uns daran gewöhnt, nur mit endlich vielen Zahlen zu rechnen. Es ist gerade 3 Uhr und in 50 Stunden muss

Mehr

1 Gruppen: Definition und erste Eigenschaften

1 Gruppen: Definition und erste Eigenschaften 1 Gruppen: Definition und erste Eigenschaften Von allen algebraischen Strukturen, die man in der linearen Algebra kennenlernt, haben Gruppen die einfachste Definition. In der Tat sind viele andere algebraische

Mehr

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung

Mehr

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat

Mehr

Siegfried Bosch. Lineare Algebra. Vierte, überarbeitete Auflage

Siegfried Bosch. Lineare Algebra. Vierte, überarbeitete Auflage Springer-Lehrbuch Siegfried Bosch Lineare Algebra Vierte, überarbeitete Auflage 123 Prof. Dr. Siegfried Bosch Mathematisches Institut Universität Münster Einsteinstraße 62 48149 Münster bosch@math.uni-muenster.de

Mehr