2 Algebraische Grundstrukturen

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1 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 1 8. November Algebraische Grundstrukturen Definitionen. Eine binäre Operation (binary operation) oder zweistellige Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung M M M, (m, n) mn(= m n = m + n). Eine binäre Operation auf der Menge M heißt assoziativ, wenn für alle m, n, p M gilt: kommutativ, wenn für alle m, n M gilt: Bezeichnungen. Eine binäre Operation wird (mn)p = m(np) ; mn = nm ; additiv genannt, wenn sie kommutativ ist und durch das Pluszeichen symbolisiert wird: mn = m + n ; multiplikativ genannt, wenn sie durch ein Malzeichen symbolisiert wird: mn = m n = m n. Eine Halbgruppe ist eine Menge H zusammen mit einer assoziativen binären Operation. Eine Halbgruppe ist abelsch, wenn die Operation kommutativ ist, benannt nach Niels Henrik Abel, Findø (bei Stavanger) 5. Februar 1802, Froland (bei Arundal) 6. April 1823; Statue von Vigeland im Fogner Park in Oslo. Bezeichnungen. Eine Halbgruppe ist additiv, wenn die Operation additiv ist; multiplikativ, wenn die Operation multiplikativ ist. Beispiele. Die Menge N der natürlichen Zahlen bildet zusammen mit der üblichen Addition eine additive Halbgruppe, Bezeichnung (N, +).

2 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 2 Die Menge N der natürlichen Zahlen bildet zusammen mit der üblichen Multiplikation eine multiplikative abelsche Halbgruppe, Bezeichnung (N, ). Ebenso bildet die Menge Z der ganzen Zahlen zusammen mit der üblichen Multiplikation eine multiplikative abelsche Halbgruppe, Bezeichnung (Z, ). Auch die zweielementige Menge {1, 1} zusammen mit der üblichen Multiplikation bildet eine Halbgruppe. Im Fall endlicher Mengen verwendet man zur Darstellung der binären Operation die sogenannte Verknüpfungstafel: Die Menge der stochastischen Matrizen der Dimension n bildet zusammen mit der Matrizenmultiplikation eine nichtkommutative Halbgruppe: ( ) ( ) ( ) 0, 8 0, 2 0, 1 0, 9 0, 18 0, 82 = 0, 7 0, 3 0, 5 0, 5 0, 22 0, 78 ( ) ( ) ( ) 0, 1 0, 9 0, 8 0, 2 0, 71 0, 29 = 0, 5 0, 5 0, 7 0, 3 0, 75 0, 25 Die Menge N der natürlichen Zahlen bildet zusammen mit der üblichen Potenzbildung keine Halbgruppe. Es gilt zwar (2 2 ) 2 = 4 2 = 16 = 2 4 = 2 (22 ) aber (3 3 ) 3 = = 3 (33). Das allgemeine Assoziativgesetz. Jede binäre Operation läßt sich zu einer n-ären Operation erweitern (2 < n N): m 1 m 2 m 3... m n = (... ((m 1 m 2 )m 3 )...)m n. Satz. In den abgeleiteten n-ären Operationen einer Halbgruppe dürfen beliebig Klammern gesetzt werden: m 1 m 2 m 3... m n = (m 1 m 2... m k )(m k+1... m n ). Demonstration eines Spezialfalles: (m 1 m 2 )(m 3 m 4 ) = m 12 (m 3 m 4 ) = (m 12 m 3 )m 4 = ((m 1 m 2 )m 3 )m 4 = m 1 m 2 m 3 m 4. Das allgemeine Kommutativgesetz. Satz. In den abgeleiteten n-ären Operationen einer abelschen Halbgruppe dürfen die Element beliebig vertauscht werden: m 1... m i... m j... m n = m 1... m j... m i... m n.

3 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 3 Demonstration eines Spezialfalles: m 1 m 4 m 3 m 2 = m 1 (m 4 (m 3 m 2 )) = m 1 ((m 3 m 2 )m 4 ) = m 1 ((m 2 m 3 )m 4 ) = m 1 m 2 m 3 m 4. Wenn immer man eine mathematische Struktur untersucht, interessiert sich nicht nur für die einzelnen Objekte dieser Struktur, sondern man setzt die Objekte mit einander in Verbindung. Im Falle von algebraischen Strukturen geschieht dies durch sogenannte strukturerhaltende Abbildungen. Definition. Es seien G und H Halbgruppen. Eine Abbildung f : G H (genau genommen handelt es sich um eine Abbildung zwischen den zugehörigen Mengen) heißt Homomorphismus, wenn sie mit den binären Operationen verträglich ist, das heißt, wenn für alle x, y G gilt: f(xy) = f(x)f(y). Wortstamm griechisch: oµo ιoς = ähnlich, gleichartig, µoρϕή = Gestalt, Form Die Halbgruppe G ist die Quelle oder der Definitionsbereich (englisch: source oder domain) des Homomorphismusses f, die Halbgruppe H das Ziel oder der Wertevorrat (englisch: target oder codomain). Beispiele. Die Multiplikation mit einer festen natürlichen Zahl ist wegen des Distributivgesetzes ein Homomorphismus der additiven Halbgruppe der natürlichen Zahlen in sich selbst. Sei a N festgegeben. Für die Abbildung berechnen wir f : N N, x a x f(x + y) = a (x + y) = a x + a y = f(x) + f(y). Damit ist diese Abbildung ein Homomorphismus. Die Potenzbildung mit fester ganzzahliger Basis ist aufgrund der Potenzgesetze ein Homomorphismus von der additiven Halbgruppe der natürlichen Zahlen in die multiplikative Halbgruppe der ganzen Zahlen. Sei dazu eine ganze Zahl a Z fest gegeben. Für die Abbildung f : N Z, x a x berechnen wir f(x + y) = a x+y = a x a y = f(x) f(y). Damit ist die Abbildung f ein Homomorphismus der beschriebenen Art. Hierbei interessieren einige Sonderfälle a = 0: Die Abbildung f ist konstant, das heißt, sie nimmt nur einen Wert an, den Wert 0. a = 1: Die Abbildung f ist ebenfalls konstant mit dem Wert 1.

4 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 4 a = 1: Die Abbildung f nimmt nur die Werte 1 und -1 an. Sie läßt sich als Homomorphismus (N, +) ({1, 1}, ) auffassen. Die geraden Zahlen werden auf 1, die ungeraden auf -1 abgebildet. Definitionen und Bezeichnungen. 1. Ein neutrales Element für eine binäre Operation auf einer Menge M ist ein Element e M, derart dass für alle m M gilt: em = m = me. Im Fall einer additiven Verknüpfung spricht man von einen Nullelement, bezeichnet durch 0, im Fall einer multiplikativen Verknüpfung vom Einselement, bezeichnet durch Eine Halbgruppe heißt Monoid, wenn ein neutrales Element existiert. Satz. Zu einer binären Operation gibt es höchstens ein neutrales Element. Beweis. Es sei e 1 und e 2 neutrale Elemente für eine binäre Operation auf der Menge M. Dann gilt: Beispiele. e 1 = e 1 e 2 wegen der Neutralität von e 2 = e 2 wegen der Neutralität von e November 2002 Die Halbgruppe (N, +) ist kein Monoid, die Null fehlt. Durch Hinzunahme der Zahl 0 erhält man das additive Monoid (N 0, +). Die Halbgruppe (N, ) ist ein abelsches Monoid mit der 1 als neutralem Element. Die Halbgruppe (Z, ) ist ein abelsches Monoid mit der 1 als neutralem Element. Die Halbgruppe ({1, 1}, ) ist ein Monoid. Die Halbgruppe der stochastischen Matrizen der Dimension n ist ein nichtabelsches Monoid mit dem Einselement E n. Es sei M eine beliebige Menge. Die Menge aller Abbildungen f : M M zusammen mit der Verkettung ist ein (im allgemeinen nichtabelsches) Monoid mit der Identität als neutralem Element. id M : M M, m m

5 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 5 Für den Vergleich von Monoiden hat man den folgenden Begriff. Definition. Es seien G und H Monoide mit den neutralen Elementen e G und e H. Eine Abbildung f : G H (genau genommen handelt es sich um eine Abbildung zwischen den zugehörigen Mengen) heißt (Monoid)-Homomorphismus, wenn sie mit der binären Operation verträglich ist und das neutrale Element erhält, das heißt, wenn zusätzlich gilt: f(e G ) = e H. Beispiele. Für jedes a N 0 ist die Multiplikation mit a als Abbildung (N 0, +) (N 0, +) ein Monoidhomomorphismus: f : N 0 N 0, x a x. Es gilt ja immer a 0 = 0. Durch die Festsetzung a 0 = 1 für alle a Z wird die Potenzbildung mit der Basis a zu einem Monoidhomomorphismus (N 0, +) (Z 0, ) Die Abbildung ist ein Monoidhomomorphismus. f : (Z, +) ({1, 1}, ), z { 1, z gerade, 1, z ungerade Gegenbeispiel. Die einelementige Menge {0} zusammen mit der Operation 0 0 = 0 lässt sich als Monoid mit dem neutralen Element 0 auffassen. Die Einbettung in (N 0, ) ist ein Homomorphismus, aber kein Monoidhomomorphismus. Definitionen und Bezeichnungen. 1. Es sei M ein Monoid mit neutralem Element e. Ein Element b M heißt invers zu dem Element a M, wenn gilt: ab = e = ba. In diesem Fall ist auch a invers zu b. 2. Ein Monoid heißt Gruppe, falls zu jedem Element ein Inverses existiert. 3. Eine Gruppe heißt abelsch, wenn die zugehörige Operation kommutativ ist. 4. Bezeichnungen: Eine Gruppe wird als multiplikativ bezeichnet, wenn die zugehörige Operation als Multiplikation geschrieben wird, und als additiv, wenn die zugehörige Operation als Addition geschrieben wird (nur bei abelschen Gruppen).

6 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 6 5. Eine Gruppe heißt endlich, wenn sie nur endlich viele Elemente enthält. In diesem Fall nennt man die Anzahl der Elemente die Ordnung der Gruppe. Beispiele. Die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null zusammen mit der Addition, also (N 0, +), ist keine Gruppe. Die Menge der natürlichen Zahlen einschließlich der Null zusammen mit der Multiplikation, also (N 0, ), ist keine Gruppe. Die Menge der ganzen Zahlen zusammen mit der Addition, also (N 0, +) ist eine Gruppe. Die Menge B = { z z, n N} der Bruchzahlen (ohne Null) zusammen mit der Multiplikation, also (B, ) ist eine n Gruppe. Die Menge Q = { z z Z, n N} der rationalen Zahlen zusammen mit der Addition, n also (Q, +) ist eine Gruppe. Die Menge der rationalen Zahlen zusammen mit der Multiplikation ist keine Gruppe. Zur Null gibt es kein inverses Element; durch Null kann nicht dividiert werden. Die Menge Q = Q \ {0} der von Null verschiedenen rationalen Zahlen zusammen mit der Multiplikation ist eine Gruppe. Analog hat man die additive Gruppe der reellen Zahlen und multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen. Die Menge der Kongruenzabbildungen der Ebene auf sich (Achsenspiegelungen, Drehung, Verschiebungen, Schubspiegelungen) zusammen mit der Verkettung ist eine Gruppe. Jede einelementige Menge lässt sich auf genau eine Weise zu einer Gruppe machen. Das Paar ({1, 1}, ) ist eine Gruppe mit zwei Elementen. Die Frage nach einer Gruppe mit drei Elementen e, a, b führt wie wir gleich sehen werden auf die folgende notwendigerweise auf die folgende Verknüpfungstafel: e a b e e a b a a b e b b e a. Das diese Operation assoziativ ist, kann man in endlich vielen Schritten (27 Gleichungen) nachrechnen, ergibt sich aber auch aus einem allgemeinen Zusammenhang. Im wesentlichen gibt es nur eine Gruppe der Ordnung 3. Zunächst einige Begriffe im Zusammenhang mit Abbildungen. Es seien M und N beliebige Mengen. Eine Abbildung f : M N heißt

7 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 7 injektiv, wenn verschiedene Argumente verschiedene Werte haben: m 1 m 2 = f(m 1 ) f(m 2 ), das bedeutet ein Element des Zieles höchstens ein Urbild hat; surjektiv, wenn jedes Element des Zieles mindestens ein Urbild hat; bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist; dann hat jedes Element des Zieles genau ein Urbild, es gibt damit eine Umkehrabbildung f 1 : N M mit den Eigenschaften f 1 f = id M, f f 1 = id N. Eine bijektive Abbildung einer Menge in sich selbst heißt Permutation. Die Permutationen einer festen Menge bilden eine Gruppe mit der Identität als neutralem Element und den Umkehrabbildungen als Inversen. Für eine natürliche Zahl n betrachtet man die Gruppe der Permutationen der Menge {1, 2,..., n}; sie heißt symmetrische Gruppe auf n Elementen und hat die Ordnung n!. Diese Gruppe wird durch S n bezeichnet und ihre Elemente werden häufig als Wertetabelle in Form eine 2 n-matrix angegeben: ( ) n π =. π(1) π(2)... π(n) Die Operation für S n definieren wir definieren wir etwas abweichend vom üblichen, wir nehmen die Verkettung in der umgekehrten Reihenfolge. Für π, ϱ S n setzen wir πϱ = π ϱ. Das Symbol bedeutet nach den DIN-Normen, dass erst die links davon stehende Abbildung ausgeführt wird, und danach die rechts stehende: Beispiel: ( π ϱ = ϱ π. ) ( ) = ( ). Satz. Es sei M ein Monoid. Dann gilt: 1. Das neutrale Element ist zu sich selbst invers. 2. Zu jedem Element gibt es höchstens ein inverses Element. Beweis. 1. ee = e nach der Definition des neutralen Elements. 2. Es seien b und c invers zu a. Dann berechnen wir: b = be = bac = ec = c.

8 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 8 Bezeichnungen. Im multiplikativen Fall schreibt man für das zu a inverse Element b = a 1 dann hat man auch a = b 1 im additiven Fall b = a, a = b. Bei Verwendung der multiplikativen Schreibweise für ein abelsches Monoid verwendet man auch die Bruchschreibweise: b = 1 b, cb 1 = b 1 c = c a. Bemerkungen. Eine Menge von geordneten Paaren aus Elementen einer Menge M heißt zweistellige Relation auf M. Ein bekanntes Beispiel ist die Größer-Relation auf R: Bei einem Monoid M bildet die Menge {(a, b) R 2 a > b}. {(a, b) M b invers zu a} eine zweistellige Relation auf M, und zwar eine symmetrische Relation: Wenn ein Paar (a, b) zu der Relation gehört, dann gehört auch das Paar (b, a) zu der Relation. Eine wichtige Eigenschaft für Relationen ist außerdem die Reflexivität. Sie besagt, dass jedes Element zu sich selbst in Relation steht. Die Relation invers zu bei einer Gruppe ist im allgemeinen nicht reflexiv. Sie würde bedeuten, dass jedes Element zu sich selbst invers ist. Das ist bei der angegebenen Gruppe aus zwei Elementen zwar der Fall, aber nicht bei der Gruppe aus drei Elementen. 15. November 2002 Es gibt jedoch eine Gruppe der Ordnung 4, deren Elemente alle zu sich selbst invers sind: G = {(±1, ±1)} zusammen mit der komponentenweisen Multiplikation. Die Verknüpfungstafel läßt sich leicht berechnen. (1, 1) (1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) (1, 1) (1, 1) (1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) (1, 1) (1, 1) ( 1, 1) ( 1, 1) (1, 1) ( 1, 1) (1, 1). Allgemein kann man beweisen, dass die Ordnung einer endlichen Gruppe, in der jedes Element zu sich selbst invers ist, eine Potenz von 2 ist. Allgemein heißt ein zu sich selbst inverses Element in einem Monoid Involution. In der Gruppe der Kongruenzabbildungen der euklidischen Ebene sind die Achsenspiegelungen und die Punktspiegelungen (= Drehung um 180 ) Involutionen. Da sich jede Kongruenzabbildung als Verkettung von höchstens drei Achsenspiegelungen darstellen lässt, wird die Gruppe der Kongruenzabbildungen von ihren Involutionen erzeugt. In der Gruppe der Permutationen einer Menge sind die Transpositionen, die Permutationen, die genau zwei Elemente vertauschen, Involutionen. Ist die Menge endlich, so ist jede Permutation als Verkettung von Transpositionen darstellbar, das heißt, die symmetrische Gruppe S n wird ebenfalls von Involutionen erfolgt.

9 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 9 Der Satz besagt, dass man bei einer Gruppe G neben der definierenden binären Operation noch eine einstellige Operation, die Inversenbildung zur Verfügung hat: G G, a a 1 in der multiplikativen Schreibweise. In diesem Zusammenhang kann man die Existenz des eindeutig bestimmten neutralen Elements auch noch als nullstellige Operation auffassen. Als Rechenregel halten wir noch fest: (a 1 ) 1 = 1. Da der Gruppenbegriff eine der wichtigsten Strukturen der Mathematik überhaupt beschreibt, soll er im folgenden noch genauer analysiert werden. Dabei verwenden wir, wenn nichts anderes explizit gesagt wird, die multiplikative Schreibweise. Satz. In einer Gruppe haben alle Gleichungen eine eindeutige Lösung. Genauer: Sind a, b, c beliebige Elemente einer Gruppe, so gibt es eindeutig bestimmte Elemente x, y in der Gruppe, derart dass gilt: ay = c, xb = c. Beweis. Es sind Existenz und Eindeutigkeit von x und y zu zeigen. x: Zur Existenzbeweis machen wir den Ansatz: x = c b 1 und berechnen (c b 1 ) b = c (b 1 b) = c 1 = c ; also ist diese x tatsächlich eine Lösung. Ist d eine weitere Lösung der zweiten Gleichung, gilt also auch d b = c, so berechnen wir: das ergibt die Eindeutigkeit. d = d 1 = d (b b 1 ) = (d b) b 1 = c b 1 ; Analog beweist man, dass a 1 c die eindeutig bestimmte Lösung der ersten Gleichung ist. Als Folgerung aus diesem ergeben sich die Kürzungsregeln. Für Elemente a, b 1, b 2 einer Gruppe gilt: ab 1 = ab 2 = b 1 = b 2 (Linkskürzungsregel), b 1 a = b 2 a = b 1 = b 2 (Rechtskürzungsregel). Beweis. Wir setzen im ersten Fall c = ab 1 = ab 2. Da die Gleichung ay = c nur eine Lösung hat, ist b 1 = b 2. Der zweite Fall lässt sich analog behandeln. Daraus erhält man auch eine wichtige Rechenregel: Für Elemente a, b einer Gruppe gilt: (a b) 1 = b 1 a 1.

10 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 10 Beweis. Wir berechnen (a b) (a b) 1 = 1 = a a 1 = a 1 a 1 = a b b 1 a 1 = (a b) (b 1 a 1 ). Aus der Linkskürzungsregel folgt die Behauptung. Bemerkung. Ein Element eines Monoids heißt invertierbar, wenn es ein Inverses besitzt. Die eben durchgeführte Rechnung zeigt, dass das Produkt von invertierbaren Elementen in einem Monoid auch invertierbar ist. Damit bilden die invertierbaren Elemente eines Monoid bezüglich der induzierten Operation eine Gruppe. So bilden die invertierbaren quadratischen Matrizen eine Gruppe in dem multiplikativen Monoid der quadratischen Matrizen der Dimension n. Diese Gruppe heißt allgemeine lineare Gruppe und wird durch GL(n; R) bezeichnet. Homomorphismen zwischen Gruppen haben eine besonders schöne Eigenschaft. Satz. Es seien G und H Gruppen und f : G H ein Homomorphismus, das heißt, eine mit der Operation verträgliche Abbildung. Dann ist f auch mit dem neutralen Element und der Inversenbildung verträglich. Beweis. Wir verwenden die multiplikative Schreibweise für die Operation und berechnen in H: f(1) f(1) = f(1 1) = f(1) = 1 f(1). Aus der Rechtskürzungsregel folgt nun: f(1) = 1. Weiter berechnen wir für beliebiges a G: f(a) f(a 1 ) = f(a a 1 ) = f(1) = 1 = f(a) (f(a)) 1. Aus der Linkskürzungsregel folgt nun: f(a 1 ) = (f(a)) 1. Beispiele. Eine Matrix A R m,n als Abbildung R n R m aufgefasst ist ein Homomorphismus zwischen den zugehörigen additiven Gruppen. Die Exponentialfunktion lässt sich als Homomorphismus von der additiven Gruppe R in die multiplikative Gruppe R auffassen: Die schon betrachtete Abbildung ist ein Homomorphismus. exp : (R, +) (R, ), x e x. f : (Z, +) ({1, 1}, ), z { 1, z gerade, 1, z ungerade Definition. Eine Teilmenge U einer Gruppe G heißt Untergruppe von G, wenn sie gegenüber den Operationen abgeschlossen ist, das heißt, wenn gilt: a, b U = a b U, U ist eine Unterhalbgruppe;

11 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 11 1 U, wenn dies zusätzlich zu der ersten Eigenschaft gilt, ist U ein Untermonoid; a U = a 1 U. Eine Untergruppe bildet mit den induzierten Operationen selbst eine Gruppe. Beispiele. Die Menge, die nur aus dem neutralen Element besteht, ist immer Untergruppe der zugehörigen Gruppe. Ebenso ist die ganze Gruppe Untergruppe von sich selbst. Diese beiden Untergruppen, die es zu jeder Gruppe gibt, heißen triviale Untergruppen. Die Menge 2Z der geraden Zahlen ist einer Untergruppe der additiven Gruppe Z. Allgemeiner ist für jedes n N die Menge nz der durch n teilbaren ganzen Zahlen eine Untergruppe der additiven Gruppe Z. Dabei gilt 1Z = Z. Die Menge B der Bruchzahlen ist eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe Q. Die Menge R + der positiven reellen Zahlen ist eine Untergruppe der multiplikativen Gruppe R. Die Mengen der Diagonalmatrizen, der oberen und unteren Dreiecksmatrizen sind Untergruppen der additiven Gruppe der quadratischen Matrizen der Dimension n (für alle n N). 19. November 2002 Die Menge der Diagonalmatrizen, deren Diagonalelemente alle von Null verschieden sind, ist eine Untergruppe der allgemeine linearen Gruppe GL(n; R) (für alle n N). Die Menge der Verschiebungen (Translationen) ist eine Untergruppe der Gruppe der Kongruenzabbildungen der euklidischen Ebene. Die Menge der Vielfachen eines n-tupels reeller Zahlen ist ein Untervektorraum von R n : für festes (r 1, r 2,..., r n ) R n. {t (r 1, r 2,..., r n ) t R} Die Untergruppen der symmetrischen Gruppe S 3. Die Elemente einer symmetrischen Gruppe S n können abgekürzt durch die Zykelschreibweise angegeben werden: Ein k-tupel (k n) (a 1, a 2,..., a k ) von paarweise verschiedenen Elementen der Menge {1, 2,..., n} beschreibt die Permutation, die gegeben ist durch a j a j+1 für j {1, 2,... k 1} a k a 1 p p für p {a 1, a 2,..., a k }

12 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 12 Eine solche Permutation heißt Zykel, man sagt, dass die Elemente a 1, a 2,..., a k zyklisch vertauscht werden. Die Zahl k N heißt Länge des Zykels. Zykel der Länge 1 beschreiben die Identität, das neutrale Element der symmetrischen Gruppe S n. Zykel der Länge 2 sind gerade die Transpositionen. Jede Permutation lässt sich in eine Verkettung paarweise disjunkter Zykel zerlegen. Diese Zerlegung ist bis auf die Reihenfolge eindeutig. Das Produkt paarweise disjunkter Zykel hängt nicht von der Reihenfolge ab. Zykel der Länge 1 werden dabei normalerweise nicht mit angeschrieben. Ausnahme: die Identität wird in der Zykelschreibweise durch (1) symbolisiert. Für die Elemente der symmetrischen Gruppe S 3 haben wir die folgende Zykeldarstellung: ( ( ) =(1), ) =(12), ( ( Man findet die folgenden Untergruppen Ordnung Untergruppen 1 {(1)} ) =(123), ) =(13), ( ( {(1), (12)}, {(1), (13)}, {(1), (23)} 3 {(1), (123), (132)} 6 S 3 ) =(132), ) =(23). Definitionen und Bezeichnungen. Es seien G eine Gruppe und U ein Untergruppe von G. Für beliebiges g G heißt die Menge Linksnebenklasse von U in G, die Menge gu = {gu u U} Ug = {ug u U} Rechtsnebenklasse von U in G. Ist G abelsch, so stimmen Links- und Rechtsnebenklassen überein. Im additiven Fall schreibt man dann auch g+u. Wir bemerken, dass auch die Untergruppe U selbst eine Nebenklasse ist: für g U ist gu = Ug = U. Beispiele. Wir nehmen G = (R 2, +) und U = {(r, r) r R}; geometrisch ist G eine Ebene mit einem kartesischen Koordinatensystem und U die Winkelhalbierende des ersten Quadraten. Mit Hilfe von g = (0, 1) erhalten wir die Nebenklasse g + U = {(r, r + 1) r R}, das ist die Parallele zu U durch den Punkt (0,1), das heißt, die Gerade mit der Gleichung y = x + 1. Die Menge aller Nebenklassen von U ist gerade die Menge aller Parallelen zu der Winkelhalbierenden.

13 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 13 Wir nehmen G = S 3 und zunächst U = {(1), (12)}. Wir finden die folgenden Nebenklassen: g gu Ug (1) (1) (12) (123) {(123), (23)} {(123), (13)}, (132) {(132), (13)} {(132), (23)}. Nehmen wir als U jedoch die einzige Untergruppe der Ordnung 3, das heißt, U = {(1), (123), (132)}, so führt jedes g U zu derselben (Rechts- und Links-) Nebenklasse: gu = Ug = {(12), (13), (23)}. Definition. Eine Menge T von Teilmengen einer Menge M heißt Zerlegung oder Partition (englisch: partition) von M, wenn aus lauter nichtleeren Teilmengen besteht und jedes Element von M zu genau einer Teilmenge in T gehört, formaler: 1. A für alle A T ; 2. M = T ; 3. Für alle A, B T mit A B gilt A B =. Die Bedingung 3. lässt sich auch folgendermaßen formulieren: 3. Für alle A, B T mit A B gilt A = B. Satz. Es seien G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Die Menge der Linksnebenklassen von U bildet eine Partition von G, ebenso die Menge der Linksnebenklassen. Beweis. Wir verifizieren die Bedingungen 1., 2. und 3. für die Menge der Linksnebenklassen. 1. Wegen g = g 1 gu ist gu, für alle g G. 2. Wegen g = g 1 gu für alle g G ist G = g G gu. 3. Es sei g 1 U g 2 U. Wir finden und wählen ein g 0 g 1 U g 2 U. Aus g 0 g 1 U folgt g 0 = g 1 u 1 für ein u 1 U. Aus g 0 g 2 U folgt g 0 = g 2 u 2 für ein u 2 U. Beides zusammen ergibt: g 1 u 1 = g 2 u 2, g 1 = g 2 u 2 u 1 1, g 2 = g 1 u 1 u 1 2.

14 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 14 Zu zeigen ist: g 1 U = g 2 U. : Sei g = g 1u g 1 U gegeben. Dann berechnen wir: g = g 2 u 2 u 1 1 u = g 2 (u 2 u 1 1 u) g 2 U, denn U ist Untergruppe und gehört das aus Elementen von U gebildete Element u 2 u 1 1 u auch zu U. : Sei g = g 2u g 2 U gegeben. Dann berechnen wir: g = g 1 u 1 u 1 2 u = g 1 (u 1 u 1 2 u) g 1 U, denn U ist Untergruppe und gehört das aus Elementen von U gebildete Element u 1 u 1 2 u auch zu U. Satz. Es seien G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Alle (Links- und Rechts-) Nebenklassen von U in G sind gleichmächtig zu U. Ist U endlich, so haben alle Nebenklassen die gleiche Zahl von Elementen. Beweis. Zwei Mengen sind bekanntlich gleichmächtig, wenn es eine bijektive Abbildung zwischen ihnen gibt. Für jedes g G besitzt die Abbildung f : U gu, u gu eine Umkehrabbildung. Um das einzusehen, bemerken wir, dass für jedes v = gu gu gilt: g 1 v = g 1 gu = u U. Damit definiert die Zuordnung v g 1 v eine Abbildung h : gu U. Wir berechnen: h f(u) = h(gu) = g 1 gu = u für alle u U, also h f = id U, und f h(v) = f(g 1 v) = gg 1 v = v für alle v gu, also f h = id gu. Damit ist h Umkehrabbildung zu f und folglich ist f bijektiv. Folgerung. Satz von Lagrange oder Euler-Lagrange. Joseph Louis Lagrange, Turin , Paris , Professor für Geometrie an der Königlichen Artillerieschule in Turin, Präsident der Preußischen Akademie der Wissenschaften in Berlin, Mitglied der Französischen Akademie der Wissenschaften, in der Revolutionszeit Mitglied der Belohnungskommission für nützliche Erfindungen und Mitvorsteher der Münze 1. Leonhard Euler, Basel , St. Petersburg , sowie Professor für Mathematik an der Akademie in St. Petersburg, Mitglied der Preußischen Akademie der Wissenschaften, aber 1759 amtierender Präsident, der wohl produktivste Mathematiker aller Zeiten, die vielbändige Gesamtausgabe seiner Schriften ist noch lange nicht abgeschlossen. Die Ordnung einer Untergruppe U einer endlichen Gruppe G ist ein Teiler der Ordnung der Gruppe G: G / U N. 1 siehe: Fritz Schmidt: 200 Jahre französische Revolution Problem und Satz von Napoleon mit Variationen, Seiten in: Didaktik der Mathematik, Band 18, Heft 1 (1990).

15 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 15 Beweis. Wir wählen g 1 U. Dann gilt U = g 1 U. Ist U = G, so sind wir fertig, dann ist auch U = G und G / U = 1 N. Andernfalls wählen wir der Reihe nach g 2 G \ g 1 U, g 3 G \ (g 1 U g 2 ), g 4 G \ (g 1 U g 2 g 3 ),... Da die Gruppe G endlich ist, muss das Verfahren nach endlich vielen Schritten abbrechen, mit der Wahl eines Elementes g k, k N, derart dass gilt Graphisch: G = k g j U. j=1 U = g k U g 3 U g 2 U g 1 U U k G Da die Mengen, die diese Vereinigung bilden, paarweise disjunkt sind, ist die Anzahl der Elemente der Vereinigung gleich der Summe der Anzahlen der einzelnen Teilmengen: G = k j=1 g j U Satz = k U = k U, j=1 woraus sich die Behauptung: unmittelbar ergibt. G / U = k N 22. November 2002 Die Zahl k im Beweis des Satzes von Lagrange ist sowohl die Anzahl der Linksnebenklassen als auch die Anzahl der Rechtsnebenklassen. Sie berechnet sich als Quotient aus den Ordnungen der Gruppe und der betrachteten Untergruppe. Dies motiviert die folgenden Bezeichnungen und Sprechweisen. Es seien G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Wir bezeichnen die Menge der Linksnebenklassen von U in G mit G/U, die Menge der Rechtsnebenklassen mit U\G. Für endliches G gilt dann G/U = G / U = U\G. Jede Nebenklasse V ist die Angabe eines ihrer Elemente g festgelegt, sie wird durch das Element g repräsentiert. Ein Element g V heißt Repräsentant für V = gu.

16 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 16 Ist die Gruppe G abelsch und damit die Unterscheidung zwischen Links- und Rechtsnebenklassen unnötig, so bezeichnen wir die von einem Gruppenelement g repräsentierte Nebenklasse, auch kürzer mit [g] oder ḡ. Es stellt sich die Frage, wann zwei Elemente die gleiche (Links- oder Rechts-) Nebenklasse repräsentieren. Lemma. Es seien G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Dann gilt für alle g 1, g 2 G: g 1 U = g 2 U g2 1 g 1 U ( g1 1 g 2 U), Ug 1 = Ug 2 g 1 g2 1 U ( g 2 g1 1 U). Beweis. Wir weisen die Behauptung für die Linksnebenklassen nach, für die Rechtsnebenklassen ergibt sie sich analog. = : Aus g 1U = g 2 U folgt zunächst g 1 g 2 U, das heißt, g 1 = g 2 u für ein u U. Multiplikation von links mit g2 1 ergibt g2 1 g 1 = g2 1 g 2 u = u U. = : Es sei g 1 2 g 1 = u 1 U, das heißt, g 1 = g 2 u 1 mit u 1 U. Dann gilt für ein beliebiges Element g 1 u g 1 U auch g 1 u = g 2 u 1 u = g 2 (u 1 u) g 2 U. Also haben wir g 1 U g 2 U. Für die umgekehrte Inklusion setzen wir u 2 = u 1 1 = g 1 1 g 2 und erhalten g 2 = g 1 u 2 mit u 2 U. Der Rest folgt analog. bf Bemerkung. Im den additiven Fall liegen zwei Elemente genau dann in der gleichen Nebenklasse, wenn ihre Differenz zu U gehört: a 1 + U = a 2 + U a 1 a 2 = a 1 + ( a 2 ) U. Vorbemerkung zum nächsten Satz. Selbstverständlichkeiten für endliche Mengen sind im unendlichen Fall nicht allgemein richtig. Ist etwa eine Teilmenge U einer endlichen Menge M gleichmächtig zu der ganzen Menge, so ist die Teilmenge gleich der ganzen Menge: U = M. Im unendlichen Fall ist etwa 2Z, die Menge der geraden Zahlen, gleichmächtig zur Menge Z aller ganzen Zahlen, aber nicht gleich der Menge Z. So folgt der nächste Satz für endliche Gruppen aus der Tatsache, dass die Anzahl der Linksnebenklassen nach dem bisher bewiesenen gleich dem Quotienten aus Ordnung der Gruppe und der Ordnung der Untergruppe ist, und dass dasselbe auch für die Anzahl der Rechtsnebenklassen gilt. Satz. Es seien G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Die Mengen der Linksnebenklassen und der Rechtsnebenklassen sind gleichmächtig. Beweis. Wir zeigen, dass die Abbildung f : G/U U\G, gu Ug 1 wohldefiniert ist und eine Umkehrabbildung besitzt. wohldefiniert : g 1 U = g 2 U = g 1 2 g 1 U = g 1 2 (g 1 1 ) 1 U = Ug 1 1 = Ug 1 2.

17 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 17 Offensichtlich definiert nun die Zuordnung Ug g 1 U eine Umkehrabbildung zu f. Damit ist f auch als bijektiv erkannt. Folgerung und Definition. Es seien G eine Gruppe und U eine Untergruppe von G. Ist G/U eine endliche Menge, so auch U\G und umgekehrt. In diesem Fall haben beide Mengen die gleiche Anzahl von Elementen. Diese Anzahl heißt Index von U in G. Dabei braucht die Gruppe G selbst nicht endlich zu sein. Beispiel. Für n N \ {1} hat die Untergruppe U = nz in der additvien Gruppe G = (Z, +) den Index n. Das folgt aus den Regeln für die Division mit Rest: Zu jeder ganzen Zahl z gibt es genau ein Paar (q, r) mit q Z, r {0, 1,..., n 1} und z = n q + r, das heißt, z r + U. Das bedeutet, die Nebenklassen von U in G sind die n Mengen U, 1 + U, 2 + U,..., n 1 + U. Die Nebenklasse r + U besteht genau aus den Zahlen, die bei der Division mit Rest den Rest r ergeben. Deshalb spricht man in diesem Zusammenhang auf häufig von Restklassen anstelle von Nebenklassen. Zur Erkennung von Untergruppen dient häufig das Untergruppenkriterium. Eine Menge U von Elementen einer Gruppe G ist genau dann eine Untergruppe, wenn U nicht leer und abgeschlossen gegenüber Quotienten ist, das heißt, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: U, a, b U = a b 1 U. Beweis. : Ist U Untergruppe von G, so haben wir 1 U, also U. Weiter gilt für a, b U wegen der Abgeschlossenheit von U gegenüber der Inversenbildung b 1 U und wegen der Abgeschlossenheit gegenüber der Multiplikation auch a b 1 U. : Da U nach Voraussetzung nicht leer ist, finden wir ein Element a 0 H. Die angegebene Bedingung liefert dann zunächst 1 = a 0 a 1 0 U, dann b 1 = 1 b 1 U für alle b H und schließlich a b = a (b 1 ) 1 U für alle a, b H. Also ist H abgeschlossen gegenüber der Multiplikation. Definitionen und Bezeichnungen. Es seien G und H Gruppen, sowie f : G H ein Homomorphismus. Die Menge heißt Kern von f, die Menge heißt Bild von f. ker f = {a G f(a) = 1} im f = {c H es gibt ein a G mit f(a) = c} Satz. Kerne und Bilder von Homomorphismen sind Untergruppen der Quelle beziehungsweise des Zieles des jeweiligen Homomorphismus. Beweis. Es seien G und H Gruppen, sowie f : G H ein Homomorphismus. Wir verwenden das Untergruppenkriterium. f(1) = 1 1 ker f ker f,

18 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 18 a, b ker f a b 1 ker f. f(a b 1 ) = f(a) f(b 1 ) = 1 (f(b)) 1 = 1 1 = 1 Also ist ker f Untergruppe der Gruppe G. f(1) = 1 1 im f im f, c, d im f Wir finden Elemente a, b G mit f(a) = c und f(b) = d. Damit berechnen wir f(a b 1 ) = f(a) f(b 1 ) = c (f(b)) 1 = c d 1 c d 1 im f. Damit ist im f Untergruppe der Gruppe H. Beispiele. Der Kern des zu einer Matrix A R m,n gehörenden Homomorphismus ist die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Gleichungssystems; diese ist wie im 1. Kapitel festgestellt eine Untergruppe der additiven Gruppe R n. Das inhomogene Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn b zum Bild der Abbildung gehört. ker exp = {0}, im exp = R +. Für die Abbildung f : (Z, +) ({1, 1}, ), z { 1, z gerade, 1, z ungerade gilt: Die Abbildung ist surjektiv. ker f = 2Z, im f = {1, 1}. Ist U eine Untergruppe der Gruppe G, so ist U zusammen mit der induzierten Operation selbst eine Gruppe. Die Einbettung U G, a a ist ein Homorphismus, dessen Kern nur aus dem neutralen Element besteht und dessen Bild die Menge U selbst ist. Damit ist jede Untergruppe Bild eines Homomorphismus. Die Bedeutung des Kerns liegt zum Teil in der folgenden Aussage. Lemma. Ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn sein Kern nur aus dem neutralen Element besteht. Beweis. Es seien G und H Gruppen, sowie f : G H ein Homomorphismus. Es ist f injektiv ker f = {1} zu zeigen.

19 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 19 = : Da f injektiv ist, ergibt sich für g G aus f(g) = 1 = f(1) unmittelbar g = 1, also ker f = {1} = : Wir berechnen für g 1, g 2 G mit f(g 1 ) = f(g 2 ): f(g 1 g 1 2 ) = f(g 1 ) (f(g 2 )) 1 = f(g 1 ) (f(g 1 )) 1 = 1, also g 1 g2 1 ker f. Da nach Voraussetzung ker f = {1} ist, folgt g 1 g2 1 = 1, das heißt, g 1 = g 2. Das liefert die Injektivität des Homomorphismus f. 26. November 2002 Das Lemma besagt, dass ein Homomorphismus bereits dann injektiv ist, wenn das Urbild des neutralen Elements nur ein Element enthält. Dann enthält das Urbild jedes Elements des Zieles (des Wertevorrats) höchstens ein Element. Diese Tatsache wird durch Bezeichnungen und ein weiteres Lemma präzisiert. Bezeichnungen. Für eine Abbildung f : g H schreiben wir f 1 (h) = {g G f(g) = h} für alle h H und f 1 (V ) = {g G f(g) V } für alle V H. Ist f ein Homomorphismus zwischen Gruppen, so ist in dieser Symbolik ker f) = f 1 (1). Lemma. Es seien G und H Gruppen, sowie f : G H ein Homomorphismus. Dann gilt für alle h H: f 1 (h) = f 1 (h) (Links- und Rechts-) Nebenklasse von ker f. Beweis. Es sei für ein h H das Urbild f 1 (h). Wir wählen ein g 0 f 1 (h) und behaupten: g 0 ker f = f 1 (h) = ker fg 0. Zum Nachweis genügt aus Symmetriegründen die erste Gleichung zu beweisen. : Für alle u ker f berechnen wir: f(g 0 u) = f(g 0 ) f(u) = h 1 = h, also g 0 u ker f. Das bedeutet g 0 ker f f 1 (h). : Für alle g f 1 (h) berechnen wir: f(g 1 0 g) = f(g 0 ) 1 f(g) = h 1 h = 1, also g 1 0 g = u ker f und damit g = g 0 u g 0 ker f. An dieser Stelle sind einige Vokabeln zu lernen. Definitionen. Es seien G und H Gruppen. Ein Homomorphismus f : G H heißt Monomorphismus, falls f injektiv ist ( ker f = {1});

20 2 ALGEBRAISCHE GRUNDSTRUKTUREN 20 Epimorphismus, falls f surjektiv ist ( im f = H); Isomorphismus, falls er Mono- und Epimorphismus ist; Endomorphisus, falls G = H; Automorphismus, falls er ein Endo- und Isomorphismus ist. Nun stellt sich die Frage treten alle Untergruppen einer Gruppe auch als Kerne von Homomorphismen auf? Diese Frage ist nicht so einfach zu beantworten. Sie lautet auch nicht allgemein ja. Beispiel. Wir betrachten die additive Gruppe (Z, +) der ganzen Zahlen. Ihre Untergruppen sind die Mengen nz, für alle n N 0, wobei 0Z = {0} und 1Z = Z die trivialen Untergruppen sind. Nachweis, dass (Z, +) keine weiteren Untergruppen besitzt, das heißt, dass jede Untergruppe von der Form nz für ein n N 0 ist. Es sei U eine beliebige Untergruppe von (Z, +). O.B.d.A. können wir annehmen, dass U keine triviale Untergruppe ist. Dann enthält U von Null verschiedene Elemente. Da U Untergruppe, also abgeschlossen gegenüber der Inversenbildung ist, muss U auch positive Elemente, also natürliche Zahlen enthalten. Wir setzen und behaupten: n = min U N = min{m N m U} nz = U! : Zunächst beweisen wir durch vollständige Induktion: n q U für alle q N: Induktionsanfang bei q = 1: Nach der Definition von n ist n 1 = n U. Induktionsschluss: Ist n q U, so ist wegen der Abgeschlossenheit von U bezüglich der Addition auch n (q + 1) = n q + n 1 = n q + n U. Da U das neutrale Element enthält, folgt weiter n 0 = 0 U, und, da U abgeschlossen gegenüber der Inversenbildung ist, haben wir schließlich auch n ( q) = n q U für alle q N. : Es sei u U gegeben. Die Division mit Rest liefert ein Paar (q, r) Z {0, 1, 2,..., n 1} mit u = n q + r. Aufgrund des bereits bewiesenen ist n q U. Da U Untergruppe ist, ist dann auch r = u n q U. Nach der Definition von n gilt aber {1, 2,..., n 1} U =, also ist r = 0 und damit u = n q nz. Damit ist gezeigt, dass die additive Gruppe (Z, +) der ganzen Zahlen nur die angegebenen Untergruppen besitzt. Die triviale Untergruppe {0} ist Kern des durch die Identität id Z beschriebenen Homomorphismus. Die triviale Untergruppe Z ist Kern des konstanten Homomorphismus Z {0}, z 0. Für n > 1 ist nz Kern des in den Übungen betrachteten Homomorphismus Z Z/nZ = Z n, z z, der jeder ganzen Zahl z ihre Restklasse modulo n zuordnet.

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