Demoseiten für

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Demoseiten für"

Transkript

1 Lineare Ungleichungen mit Variablen Anwendung (Vorübungen für das Thema Lineare Optimierung) Datei Nr. 90 bzw. 500 Stand 0. Dezember 009 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen Inhalt Lineare Ungleichungen mit Variablen. Wiederholung: Lineare Gleichungen mit Variablen. Lineare Ungleichungen mit Variablen 6 Lineare Ungleichungssysteme mit Variablen 0. Zwei Ungleichungen 0. Drei und mehr Ungleichungen. Weitere Trainingsaufgaben 6 Lösungen aller Trainingsaufgaben 7-6 Vorwort Dieser Text dient der Vorübung für Aufgaben der linearen Optimierung. Er tritt für die Oberstufe noch einmal unter der Nummer 500 in Erscheinung. Die Texte für lineare Optimierung haben die Nummern 9 (Sek ) bzw. 50 (Sek ). Und zusätzlich für Abiturienten ein Text für das Simplexverfahren 5 (März 00)

3 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen Lineare Ungleichungen mit Variablen. Wiederholung: Lineare Gleichungen mit Variablen wie y = x Grundlage : Wenn eine Gleichung wie x + = gelöst werden soll, sucht man diejenigen Zahlen, die man in die Gleichung einsetzen kann, so dass damit eine wahre Aussage entsteht. Man nennt das die Probe machen. Hier gibt es nur eine einige Lösung, das ist die Zahl 4. Die Probe sieht so aus: 4 + =. Das Ergebnis der linken Seite stimmt mit der Zahl rechts überein. Durch dieses Einsetzen ist eine wahres Aussage entstanden. Für die Zahl 5 stimmt die Probe nicht: 5 + = ist eine falsche Aussage, denn links steht als Ergebnis, und = ist eben falsch. Die Zahlen, die durch Einsetzen zu einer wahre Aussage führen, bilden die Lösungsmenge: L= { 4}. Nicht immer ist jede Zahl als Lösung brauchbar! Daher gehört zu jeder Gleichung eine Grundmenge, welche angibt, welche Zahlen der Rechnung zugrunde liegen. In einer Klasse 5 kennt in der man in der Regel weder Bruchrechnen noch negative Zahlen. Dort verwendet man als Grundmenge G=N O = { 0; ; ; ;...}. Bezüglich dieser Grundmenge haben beispielsweise die Gleichungen x = 7 und 4x + 0 = keine Lösung. Lösung der ersten Gleichung wäre die Bruchzahl 7, denn 7 = 7 ist eine wahre Aussage. Und Lösung der. Gleichung wäre -, denn man erhält 4 ( ) + 0 =. Aber beides Zahlen stehen nicht zur Vewrfügung. Auch in manchen Anwendungsbereichen muss man den Definitionsbereich einschränken und kann nicht alle Zahlen zulassen. Dies ist dann zu beachten. Grundlage : Eine Gleichung mit Variablen wie y = x ist anders zu behandeln. Zunächst ist zu beachten, dass es Variable gibt. Daher ist jede Lösung ein Zahlenpaar: ( ) ( ) ( ) 8 ist ein Lösungspaar, denn die Probe liefert die wahre Aussage: = 8 ist ein Lösungspaar, denn die Probe lautet: = 4 ist keine Lösung, denn die Probe liefert die falsche Aussage: 4 =. WISSEN: Eine lineare Gleichung mit Unbekannten hat, wenn man für x und y jeweils die Grundmenge G = R verwendet, unendlich viele Lösungspaare, die man in einem Koordinatensystem als Punkte darstellen kann, die auf einer Geraden liegen. Hat diese Gleichung die Form y = m x+ n, dann nennt man m die Steigung der Geraden und n ihren y-achsenabschnitt.

4 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen 4 Stellt man die Gleichung y = x als Gerade dar, dann ist dies die geometrische Veranschaulichung der Lösungsmenge: Ihre Steigung ist m =. Das bedeutet, wenn man x um vergrößert, nimmt y um zu. Steigungsdreiecke, deren Katheten und sind, bzw. Vielfache davon, verwenden dies. Der y-achsenabschnitt ist -. Das bedeutet, dass die Gerade die y-achse bei y = - S 0, schneidet, also im Punkt ( ) y S y Δ y = Δ x = Δ x = Δ y = WISSEN: Diese Gerade stellt geometrisch die Lösungsmenge der Gleichung y = x dar. Das heißt: Alle Punkte der Geraden sind im Grunde Zahlenpaare, welche die Lösung der Gleichung bilden! Die Grundmenge für die Gleichung mit Variablen schreibt man so auf: G= R R oder auch G = R. Das erste R ist die Grundmenge für x, das zweite R für y. Und die Angabe G= R R besagt, dass für x und y zunächst einmal beliebige reelle Zahlen zur Verfügung stehen. Schränkt man den Definitionsbereich für beide Variablen auf die Menge Z der ganzen Zahlen ein, verwendet also D=Z Z, dann bleiben nur die Punkte mit ganzzahligen Koordinaten übrig. In der folgenden Darstellung gehören also nur die mit A bis G bezeichneten Punkte zur Lösungsmenge der Gleichung, und natürlich auch die anderen, die nicht mehr ins Koordinatensystem passen.

5 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen 5 Gleich dazu eine Anwendungsaufgabe: Hans erhält 0 und will sich davon in der Tierhandlung Mäuse kaufen. Eine weiße Maus kostet, eine Springmaus. Wie viele kann er sich denn kaufen, wenn er das ganze Geld dafür ausgeben will. Lösung: Wir bezeichnen mit x die Anzahl der weißen Mäuse, mit y die der Springmäuse. Dann lautet die Abrechnung für seinen Einkauf: x + y Will er die ganzen0 ausgeben, gilt: x + y = 0 Ohne die -Zeichen: x + y = 0 () Zum Zeichnen der Lösungsgeraden stellen wir die Gleichung um: Wir rechnen -x: y = x + 0 und dividieren dann durch : 0 y = x+ () Die Gleichungen () und () sind gleichwertig (das heißt: Sie besitzen dieselbe Lösungsmenge). Die Gleichung () ist zum Anfertigen einer Zeichnung besser geeignet. Doch das Problem sind hier die Brüche mit dem Nenner. Also berechnet sich Hans einige Punkte der Geraden. 0 0 Zu x = 0: y 0 0 = + = : P ( 0 ) Zu x = : y 8 = + = + = P ( ) Zu x = : y = + = + = = P ( ) Zu x = : y 4 = + = + = P ( ) Zu x = 4: y 4 4 = + = + = P ( 4 ) Zu x = 5: y 5 0 Weil für Anzahlen nur die Zahlen aus N O = { 0 ; ; ;...} möglich sind, also G = NO N O gilt, gibt es nur zwei Paare, die für die Lösungsmenge brauchbar sind: 4 = + = + = P ( 5 0 ) 6 {( ),( 5 0) } L =. Als kauft er entweder von jeder Sorte oder nur 5 weiße Mäuse!

6 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen 6. Lineare Ungleichungen mit Variablen Beispiel : y x Es gibt 4 Arten von Ungleichungen, die hier denkbar sind: y < x y x y > x y x. Wenn man die Lösungsmenge der zugehörigen Gleichung darstellen kann, also die Gerade mit der Gleichung y = x, dann kann man auch sofort die Lösungsmengen dieser vier Ungleichungen angeben: () Betrachte diese Punkte: A( 4 ) liegt auf der Geraden, AO denn y = 4 = ( ) A 4 liegt über der Geraden, denn yao = > ya AU ( 4 4) liegt unter der Geraden, denn yau = 4 < ya () Betrachte diese Punkte. B (,5) liegt auf der Geraden, denn y = =,5 B BO ( ) liegt über der Geraden, denn ybo = > y BU (,4) liegt unter der Geraden, denn y Bu =,4 < y B B () Für die Punkte C schreibe ich das anders auf: Sie haben alle drei die x-koordinate -, aber für ihre y-koordinaten gilt: ycu < yc < yco. Das heißt: C liegt auf der Geraden g, Co darüber und Cu darunter. Beobachtung: Man kann anhand der y-koordinaten erkennen, ob ein Punkt oberhalb der Geraden liegt oder unterhalb y = x gilt für alle Punkte auf der Geraden, y < x gilt für alle Punkte unterhalb der Geraden, y > x gilt für alle Punkte oberhalb der Geraden.

7 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen 7 Nun drücken wir uns etwas professioneller aus: Die Ungleichung y < x hat als Lösung Zahlenpaare, die als Punkte in einer Halbebene (ohne Rand) unterhalb der Geraden y = x liegen. Man sagt daher auch: Die Ungleichung y < x beschreibt eine untere Halbebene (ohne den Rand, also ohne die Randgerade). Siehe linke Abbildung. Die gestrichelte Linie bedeutet, dass die Punkte dieser Randgeraden nicht mehr zur Ebene dazu gehören. Die Ungleichung y > x hat als Lösung Zahlenpaare, die als Punkte in einer Halbebene (ohne Rand) unterhalb der Geraden y = x liegen. Man sagt daher auch: Die Ungleichung y > x beschreibt eine untere Halbebene (ohne den Rand, also ohne die Randgerade). Siehe Abbildung rechts. Was ändert sich, wenn wir zur Ungleichung noch das Gleichheitszeichen dazuschreiben? y x heißt, dass y kleiner oder gleich groß sein darf. Dann haben wir die y < x y > x untere Halbebene zusammen mit der Randgeraden y = x. y x heißt, dass y größer oder gleich groß sein darf. Dann haben wir die obere Halbebene zusammen mit der Randgeraden y = x.

8 90 / 500 Lineare Ungleichungen mit Variablen 8 Beispiel : y x+ Man darf nicht so argumentieren: y > x+ Die rote Fläche liegt links von der Geraden y = x+. Anschaulich ist dies in diesem Beispiel richtig (weil die Gerade fällt). Die Ungleichungen y < oder y > haben jedoch mit links bzw. rechts nichts zu tun, sondern mit unter und über. Entsprechend dazu liegt die blaue Halbebene oberhalb der Geraden und nicht rechts von ihr, auch wenn dies umgangssprachlich in diesem Beispiel richtig ist. Beide Ungleichungen definieren eine Halbebene ohne Randgerade. Erst wenn das Gleichheitszeichen zusätzlich dasteht, gehört die Randgerade y = x+ zur Halbebene dazu, also in den Fällen y x+ bzw. y x+! Beispiel y x+ Hier liegt eine steigende Gerade vor. Die obere Halbebene liegt jetzt links von der Geraden, oben lag sie rechts davon. Dies soll zeigen, dass die Begriffe links und rechts nichts mit y > oder y < zu tun haben. Beispiel 4 Für welche Paare ist die Summe ihrer Koordinaten a) kleiner als bzw. b) größer als -? Lösung: y < x+ y > x+ Die Bedingung heißt in a) x+ y < bzw. y < x+ und in b) x+ y > bzw. y > x. y < x+ y = x+ y = x x+ y > x+ y <

Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme. Lineare Algebra 5. Ein Trainingsheft für Schüler

Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme. Lineare Algebra 5. Ein Trainingsheft für Schüler Lineare Gleichungen Lineare Gleichungssysteme Lineare Algebra Ein Trainingsheft für Schüler Manuelle Lösungen ohne Rechnerhilfen und (hier) ohne Determinanten Datei Nr. 600 Stand 8. September 04 FRIEDRICH

Mehr

Geradengleichungen und lineare Funktionen

Geradengleichungen und lineare Funktionen Demo für Geradengleichungen und lineare Funktionen Geraden zeichnen Geradengleichungen aufstellen Schnittpunkte berechnen Lotgeraden Neue kompakte Fassung zum Wiederholen und Lernen. Ein Lese- und Übungsheft

Mehr

DEMO für www.mathe-cd.de

DEMO für www.mathe-cd.de (1) Rechnen mit Paaren und Tripeln () Eine Gleichung mit oder 3 Unbekannten (3) Zwei Gleichungen mit 3 Unbekannten Datei Nr. 61 011 Stand 19. Oktober 010 Friedrich W. Buckel INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

Mehr

Funktionen. Funktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen. Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts

Funktionen. Funktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen. Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts Funktionen Allgemeines Funktionsbegriff Einführende Beispiele und Erklärungen Grundwissen Beispiele zu den wichtigen Funktionsarten des Mathematikunterrichts Ein Lesetext Datei Nr. 800 Stand: 5. Juli 0

Mehr

Lineare Funktionen Geraden zeichnen Lage von Geraden Geradengleichung aufstellen

Lineare Funktionen Geraden zeichnen Lage von Geraden Geradengleichung aufstellen Geradengleichungen und lineare Funktionen Lese- und Lerntext für Anfänger Lineare Funktionen Geraden zeichnen Lage von Geraden Geradengleichung aufstellen Geraden schneiden Auch über lineare Gleichungssystem

Mehr

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1 III. Funktionen und Gleichungen ================================================================== 3.1. Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Zuordnungvorschrift f : x y = mx + t und m, t R heißt lineare

Mehr

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen

Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Lineare Gleichungen mit 2 Variablen Lineare Gleichungen mit 2 Variablen sind sehr eng verwandt mit linearen Funktionen. Die Funktionsgleichung einer linearen Funktion f(x) = m x+q m: Steigung, q: y Achsenabschnitt

Mehr

Terme, Rechengesetze, Gleichungen

Terme, Rechengesetze, Gleichungen Terme, Rechengesetze, Gleichungen Ein Junge kauft sich eine CD zu 15 und eine DVD zu 23. Er bezahlt mit einem 50 - Schein. Wie viel erhält er zurück? Schüler notieren mögliche Rechenwege: (1) 15 + 23 =

Mehr

4 Gleichungen und Ungleichungen

4 Gleichungen und Ungleichungen In diesem Kapitel werden Techniken zur Bestimmung der Lösungsmengen von Gleichungen und Ungleichungen rekapituliert. 4.1 Eindimensionale Gleichungen und Ungleichungen Eine Gleichung oder Ungleichung ohne

Mehr

Übungsaufgaben zur Linearen Funktion

Übungsaufgaben zur Linearen Funktion Übungsaufgaben zur Linearen Funktion Aufgabe 1 Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden mit den Funktionsgleichungen f 1 (x) = 3x + 7 und f (x) = x 13! Aufgabe Bestimmen Sie den Schnittpunkt der

Mehr

Kapitel I. Lineare Gleichungssysteme

Kapitel I. Lineare Gleichungssysteme Kapitel I Lineare Gleichungsssteme Lineare Gleichungen in zwei Unbestimmten Die Grundaufgabe der linearen Algebra ist das Lösen von linearen Gleichungssstemen Beispiel : Gesucht sind alle Lösungen des

Mehr

In Arbeit! Bruchungleichungen. Aufgaben mit Lösungsweg zur Webseite 2008 by Josef Raddy. 1

In Arbeit! Bruchungleichungen. Aufgaben mit Lösungsweg zur Webseite  2008 by Josef Raddy.  1 In Arbeit! Bruchungleichungen Aufgaben mit Lösungsweg zur Webseite www.mathematik.net 8 by Josef Raddy Version:..8 6.5 Uhr www.mathematik.net Aufgaben. Bruchungleichungen mit einem Bruch: Lösen durch Fallunterscheidung

Mehr

Lineare Funktionen. Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem. Funktionen

Lineare Funktionen. Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem. Funktionen Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem Funktionen Funktion: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem x D wird genau eine reelle Zahl zugeordnet. Schreibweise: Funktion: f: x f (x)

Mehr

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. ausmultiplizieren. Anwenden von Potenzgesetzen, Wurzelgesetzen, Logarithmengesetzen

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. ausmultiplizieren. Anwenden von Potenzgesetzen, Wurzelgesetzen, Logarithmengesetzen 3. Algebraische Grundlagen 3.1. Termumformungen Begriff Term: mathematischer Ausdruck, der aus Zahlen, Variablen, Rechenzeichen oder Klammern besteht Termumformungen dienen der Vereinfachung von komplexen

Mehr

Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung

Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Franz Pauer Institut für Mathematik Universität Innsbruck Lehrer/innen/fortbildungstag Wien 2010 9. April 2010 Eine Maximumsaufgabe Eine Firma stellt aus

Mehr

Lineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag,

Lineare Funktionen. Klasse 8 Aufgabenblatt für Lineare Funktionen Datum: Donnerstag, Lineare Funktionen Aufgabe 1: Welche der folgenden Abbildungen stellen eine Funktion dar? Welche Abbildungen stellen eine lineare Funktion dar? Ermittle für die linearen Funktionen eine Funktionsgleichung.

Mehr

1. Mathematikschulaufgabe

1. Mathematikschulaufgabe Klasse 8 / I I 1.0 Gib in Mengenschreibweise an: 1.1 Zur Menge M gehören alle Punkte, deren Abstand von parallelen Geraden g und h gleich ist, oder die von einem Punkt A mehr als 4 cm entfernt sind. 1.

Mehr

(1) Werte berechnen und Definitionsbereich finden. (2) Kürzen und Erweitern von Bruchtermen

(1) Werte berechnen und Definitionsbereich finden. (2) Kürzen und Erweitern von Bruchtermen () Werte berechnen und Definitionsbereich finden () Kürzen und Erweitern von Bruchtermen Die Aufgaben dieses Tetes findet man auch als reine Aufgabensammlung mit Lösungen im Tet zum Einsatz im Unterricht

Mehr

Vektorgeometrie Ebenen 1

Vektorgeometrie Ebenen 1 Vektorgeometrie Ebenen 1 Parametergleichung von Ebenen Punkte und Geraden in Ebenen. Spezielle Lagen von Punkten in Bezug auf ein Parallelogramm oder Dreieck. Datei Nr. 63021 Stand 1. Juli 2009 INTERNETBIBLIOTHEK

Mehr

Lösen einer Gleichung

Lösen einer Gleichung Zum Lösen von Gleichungen benötigen wir: mindestens einen Term eine Definition der in Frage kommenden Lösungen (Grundmenge) Die Grundmenge G enthält all jene Zahlen, die als Lösung für eine Gleichung in

Mehr

Parabeln und quadratische. Gleichungen. 3.1 Die Gleichung y = ax 2

Parabeln und quadratische. Gleichungen. 3.1 Die Gleichung y = ax 2 Parabeln und quadratische Gleichungen In Klasse 7 hast du schon Geraden und Hperbeln als Funktionsgraphen kennen gelernt. Jetzt lernst du eine weitere Kurve kennen, und zwar die Parabel, zunächst aber

Mehr

Die gleiche Lösung erhält man durch Äquivalenzumformung:

Die gleiche Lösung erhält man durch Äquivalenzumformung: R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 3..0 Quadratische Gleichungen Reinquadratische Gleichung Lösen Sie die Gleichung x = 5 Durch probieren erhält man die Lösung: x = 5 oder x = 5 Denn x = 5 = 5 oder

Mehr

Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten:

Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten: Aussagen Aussagen Eine Aussage kann eine Eigenschaft für ein einzelnes, konkretes Objekt behaupten: verbale Aussage formale Aussage Wahrheitswert 1) 201 ist teilbar durch 3 3 201 wahre Aussage (w.a.) 2)

Mehr

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient.

Die Steigung m ist ein Quotient zweier Differenzen und heißt daher Differenzenquotient. Seite Definition lineare Funktion Eine Funktion f mit dem Funktionsterm f(x) = m x + b, also der Funktionsgleichung y = m x + b, heißt lineare Funktion. Ihr Graph G f ist eine Gerade mit der Steigung m

Mehr

1.7 lineare Gleichungen und Ungleichungen mit 2 Unbekannten

1.7 lineare Gleichungen und Ungleichungen mit 2 Unbekannten 1.7 lineare Gleichungen und Ungleichungen mit 2 Unbekannten Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Gleichungen mit 2 Unbekannten 2 1.1 Was ist eine lineare Gleichung mit 2 Unbekannten?..................... 2 1.2

Mehr

Die folgende Abbildung zeigt dir, wie man mit Hilfe des Brennstrahls und des Parallelstrahls das Bild bestimmen kann.

Die folgende Abbildung zeigt dir, wie man mit Hilfe des Brennstrahls und des Parallelstrahls das Bild bestimmen kann. Begleitmaterial zum Modul Bruchgleichungen Die folgende Abbildung zeigt dir, wie man mit Hilfe des Brennstrahls und des Parallelstrahls das Bild bestimmen kann.. Führe eine entsprechende Konstruktion selbst

Mehr

Relationen / Lineare Funktionen

Relationen / Lineare Funktionen Relationen / Lineare Funktionen Relationen Werden Elemente aus einer Menge X durch eine Zuordnungsvorschrift anderen Elementen aus einer Menge Y zugeordnet, so wird durch diese Zuordnungsvorschrift eine

Mehr

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002

Demo: Mathe-CD. Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur. Analysis. Teilbereich 1: Ganzrationale Funktionen 1. März 2002 Prüfungsaufgaben Mündliches Abitur Analysis Teilbereich : Ganzrationale Funktionen Hier nur Aufgaben als Demo Datei Nr. 9 März 00 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Vorwort Die in dieser Reihe von

Mehr

Demoseiten für www.mathe-cd.de

Demoseiten für www.mathe-cd.de ANALYSIS Näherungsweises Lösen von Gleichungen mit speziellen Methoden für CAS-Rechner TI Nspire und CASIO ClassPad Viele Musteraufgaben und Trainingsaufgaben Datei Nr. 41 150 Theorieteil neu geschrieben!

Mehr

Geradengleichungen. Anna Heynkes. 21.9.2005, Aachen

Geradengleichungen. Anna Heynkes. 21.9.2005, Aachen Geradengleichungen Anna Heynkes 21.9.2005, Aachen Wegen des Überspringens einer Jahrgangsstufe habe ich den Mathematik- Unterricht verpasst, in dem die Geradengleichungen behandelt wurden. Deshalb musste

Mehr

x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1 2. Die Quadratfunktion ist für x 0 streng monoton fallend und für x 0 streng monoton steigend.

x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1 2. Die Quadratfunktion ist für x 0 streng monoton fallend und für x 0 streng monoton steigend. Quadratische Funktionen ================================================================= 1. Die Normalparabel Die Funktion f : x y = x 2, D = R, heißt Quadratfunktion. Ihr Graph heißt Normalparabel. Wertetabelle

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Binomialverteilung und Bernoulli- Experiment

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Binomialverteilung und Bernoulli- Experiment Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Binomialverteilung und Bernoulli- Experiment Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de TOSSNET Der persönliche

Mehr

Wertetabelle : x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1. y = f(x) = x 2 0 0,25 1 4 9 16 0,25 1. Graph der Funktion :

Wertetabelle : x 0 0,5 1 2 3 4 0,5 1. y = f(x) = x 2 0 0,25 1 4 9 16 0,25 1. Graph der Funktion : Quadratische Funktionen ================================================================= 1. Die Normalparabel Die Funktion f : x y = x, D = R, heißt Quadratfunktion. Wertetabelle : x 0 0,5 1 3 4 0,5 1

Mehr

Mathematikarbeit Klasse 8 03.06.03

Mathematikarbeit Klasse 8 03.06.03 Mathematikarbeit Klasse 8 0.06.0 Name: A. Aufgabe Bestimme bei der folgenden Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge in. z z = 4 z z. Aufgabe In dieser Aufgabe geht es um ganz normale zylindrische

Mehr

Wie löst man eine Gleichung?

Wie löst man eine Gleichung? Wie löst man eine Gleichung? Eine Gleichung wird gelöst, indem man sie, ohne dass sich die Lösungsmenge ändert, Schritt für Schritt in eine sog. unmittelbar auflösbare Gleichung umwandelt. Unter einer

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik 00 Baden-Württemberg (ohne CAS) Haupttermin Pflichtteil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit Aufgabe : ( VP) f() e =. Bestimmen Sie eine Stammfunktion

Mehr

ALGEBRA UND MENGENLEHRE

ALGEBRA UND MENGENLEHRE ALGEBRA UND MENGENLEHRE EINE EINFÜHRUNG GRUNDLAGEN DER ALGEBRA 1 VARIABLE UND TERME In der Algebra werden für Grössen, mit welchen gerechnet wird, verallgemeinernd Buchstaben eingesetzt. Diese Platzhalter

Mehr

ALGEBRA Lineare Gleichungen Teil 1. Klasse 8. Datei Nr Friedrich W. Buckel. Dezember 2005 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

ALGEBRA Lineare Gleichungen Teil 1. Klasse 8. Datei Nr Friedrich W. Buckel. Dezember 2005 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK ALGEBRA Lineare Gleichungen Teil Klasse 8 Lineare Gleichungen mit einer Variablen Datei Nr. 40 Friedrich W. Buckel Dezember 005 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Inhalt DATEI 40 Grundlagen und ein

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen

Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Funktionen Zusammengestellt von Irina Bayer-Krakvina, KSR Lernziele: - Wissen, was ein Steigungsdreieck einer Geraden ist und wie die Steigungszahl

Mehr

Arithmetik und Algebra

Arithmetik und Algebra Willkommen Gliederung "Hallo Welt!" für Fortgeschrittene Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg Institut für Informatik Lehrstuhl 2 7. Juni 2005 Willkommen Gliederung Gliederung 1 Repräsentation

Mehr

Eingangstest Mathematik Jgst.11

Eingangstest Mathematik Jgst.11 SINUS-Set Projekt Name: Hilfsmittel: Formelsammlung der ZP10 und Taschenrechner A1 Welche der jeweils angegebenen Zahlen sind Lösungen der Gleichungen? Kreuzen Sie an. a) x + 4 = -1 7-7 1 b) x + 4 = 1

Mehr

Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge

Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge Venndiagramm, Grundmenge und leere Menge In späteren Kapitel wird manchmal auf die Mengenlehre Bezug genommen. Deshalb sollen hier die wichtigsten Grundlagen und Definitionen dieser Disziplin kurz zusammengefasst

Mehr

Regel Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind.

Regel Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind. Funktionen Station 1 Bestimmung der Steigung einer Geraden durch zwei Punkte Die Steigung einer Funktion kann rechnerisch ermittelt werden, wenn mindestens zwei Punkte gegeben sind. m = f(x 2 ) f(x 1 )

Mehr

Formelsammlung Mathematik 9

Formelsammlung Mathematik 9 I Lineare Funktionen... 9.) Funktionen... 9.) Proportionale Funktionen... 9.) Lineare Funktionen... 9.4) Bestimmung von linearen Funktionen:... II) Systeme linearer Gleichungen... 9.5) Lineare Gleichungen

Mehr

Grundwissen Mathematik JS 11

Grundwissen Mathematik JS 11 GYMNASIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math-naturw u neusprachl Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRASSE 7 957 PEGNITZ FERNRUF 94/48 FAX 94/564 Grundwissen Mathematik JS Was versteht man allgemein unter einer

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f(x) = x sin( x + ) Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral

Mehr

Aufgaben zu Lambacher Schweizer 6 Hessen

Aufgaben zu Lambacher Schweizer 6 Hessen Aufgaben zu Kapitel I Erweitern und Kürzen Erweitere im Kopf. a) mit ; 6; b) å mit ; 6; 7 c) mit ; ; d) å mit ; ; e) mit ; ; 7 f) mit ; ; Erweitere auf den angegebenen Nenner. a) 0: ; ; ; 0 ; 0 ; 0 b)

Mehr

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Anna Heynkes 4.11.2005, Aachen Enthält eine Gleichung mehr als eine Variable, dann gibt es unendlich viele mögliche Lösungen und jede Lösung besteht aus so

Mehr

Terme sind beliebige (sinnvolle) Zusammenstellungen von Zahlen, Platzhaltern, Rechenzeichen und Klammern.

Terme sind beliebige (sinnvolle) Zusammenstellungen von Zahlen, Platzhaltern, Rechenzeichen und Klammern. Terme sind beliebige (sinnvolle) Zusammenstellungen von Zahlen, Platzhaltern, Rechenzeichen und Klammern. Beispiele: 7 110 13 (42 + 15) 2 4 + 1 1. Rechne aus. (Zahlenwert der Terme ermitteln) 420 + 105

Mehr

Zusammenfassung: Stichworte: Stellen Sie Ihre optimale Schriftgröße ein: Größere Schriftzeichen. 2x + 3 = 7. (1)

Zusammenfassung: Stichworte: Stellen Sie Ihre optimale Schriftgröße ein: Größere Schriftzeichen. 2x + 3 = 7. (1) 1 von 5 21.05.2015 14:30 Zusammenfassung: Eine Ungleichung ist die "Behauptung", dass ein Term kleiner, größer, kleiner-gleich oder größer-gleich einem andereren Term ist. Beim Auffinden der Lösungsmenge

Mehr

Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok

Kurs über Lineare Gleichungssysteme. PD Dr. Karin Halupczok Kurs über Lineare Gleichungssysteme PD Dr. Karin Halupczok Mathematisches Institut Albert-Ludwigs-Universität Freiburg http://home.mathematik.unifreiburg.de/halupczok/diverses.html karin.halupczok@math.uni-freiburg.de

Mehr

Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert.

Über die Bedeutung der zwei Zahlen m und x 1 für das Aussehen des Graphen wird an anderer Stelle informiert. Lineare Funktionen - Term - Grundwissen Woran erkennt man, ob ein Funktionsterm zu einer Linearen Funktion gehört? oder Wie kann der Funktionsterm einer Linearen Funktion aussehen? Der Funktionsterm einer

Mehr

Termumformungen. ALGEBRA Terme 2. Binomische Formeln. INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Datei Nr. 12102. Friedrich W.

Termumformungen. ALGEBRA Terme 2. Binomische Formeln.  INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Datei Nr. 12102. Friedrich W. ALGEBRA Terme Termumformungen Binomische Formeln Meistens in Klasse 8 Datei Nr. 0 Friedrich W. Buckel Stand: 4. November 008 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Inhalt DATEI 0 Was sind und was leisten

Mehr

2.6 Stetigkeit und Grenzwerte

2.6 Stetigkeit und Grenzwerte 2.6 Stetigkeit und Grenzwerte Anschaulich gesprochen ist eine Funktion stetig, wenn ihr Graph sich zeichnen lässt, ohne den Stift abzusetzen. Das ist natürlich keine präzise mathematische Definition und

Mehr

Rechnen mit Brüchen (1) 6

Rechnen mit Brüchen (1) 6 Rechnen mit Brüchen (). Erweitern und Kürzen Der Wert eines Bruches ändert sich nicht, wenn entweder Zähler und Nenner mit derselben natürlichen Zahl multipliziert werden: a a m ( a, b, m ) ERWEITERN,

Mehr

8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8 Funktionen verstehen 1

8. Klasse TOP 10 Grundwissen 8 Funktionen verstehen 1 8. Klasse TOP 0 Grundwissen 8 Funktionen verstehen Wesentliches Kennzeichen einer Funktion ist: Zu jedem -Wert gehört genau ein -Wert. Meistens gibt es einen Funktionsterm (eine Formel), die angibt, wie

Mehr

Bruchterme. Klasse 8

Bruchterme. Klasse 8 ALGEBRA Terme Bruchterme Teil Noch ohne Korrekturlesung! Klasse Datei Nr. Friedrich W. Buckel November 00 Geändert: Oktober 00 Internatsgymnasium Schloß Torgelow Inhalt DATEI. Werte berechnen. Definitionsbereiche

Mehr

5 Kontinuierliches Wachstum

5 Kontinuierliches Wachstum 5 Kontinuierliches Wachstum Kontinuierlich meßbare Größe Wir betrachten nun eine Größe a, die man kontinuierlich messen kann. Den Wert von a zum Zeitpunkt t schreiben wir nun als a(t). Wir können jedem

Mehr

Lösungen zum Arbeitsblatt: y = mx + b Alles klar???

Lösungen zum Arbeitsblatt: y = mx + b Alles klar??? I. Zeichnen von Funktionen a) Wertetabelle x -4-3 - -1 0 1 3 4 y =,5x -10-7,5-5 -,5 0,5 5 7,5 10 y = - x,7 1,3 0,7 0-0,7-1,3 - -,7 3 y = x 1,5-9,5-7,5-5,5-3,5-1,5 0,5,5 4,5 6,5 y = - 1 x + 4 3,5 3,5 1,5

Mehr

Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung

Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Lineare (Un-)Gleichungen und lineare Optimierung Franz Pauer Institut für Mathematik, Universität Innsbruck Technikerstr. 13/7, A-6020 Innsbruck, Österreich franz.pauer@uibk.ac.at 1 Einleitung In der linearen

Mehr

Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV.

Lineare Funktionen y = m x + n Sekundarstufe I u. II Funktion ist monoton fallend, verläuft vom II. in den IV. LINEARE FUNKTIONEN heißt Anstieg oder Steigung heißt y-achsenabschnitt Graphen linearer Funktionen sind stets Geraden Konstante Funktionen Spezialfall Graphen sind waagerechte Geraden (parallel zur x-achse)

Mehr

3 Lineare und quadratische Funktionen

3 Lineare und quadratische Funktionen 3 Lineare und quadratische Funktionen 31 Lineare Funktion Eine Funktion der Art f : mx + t, sind reelle Zahlen) x D heißt lineare Funktion (m und t Man kann die Funktionsgleichung auf zwei verschiedene

Mehr

Ableitung einer Betragsfunktion Differenzierbarkeit

Ableitung einer Betragsfunktion Differenzierbarkeit Ableitung einer Betragsfunktion Differenzierbarkeit 1-E Differenzierbarkeit einer Funktion Eine Funktion y = f (x) heißt an der Stelle x differenzierbar, wenn der Grenzwert f ' ( x) = lim Δ x 0 Δ y Δ x

Mehr

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme

Bruchterme und gebrochen rationale Funktionen ================================================================== Der Quotient zweier Terme Bruchterme und gebrochen rtionle Funktionen Der Quotient zweier Terme Es ist ist 3 : 4 3 und. 4 : 3 4 3 4 Dehnt mn die Bruchschreibweise uf Terme us, dnn erhält mn sog. Bruchteme. ² ( + ) : (3 + 4) + 3

Mehr

Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen

Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen Lösungen zum Aufgabenblatt Nr. 1: Konstruktion der reellen Zahlen Aufgabe 1: Es sei D die Menge aller rationalen Dedekind-Mengen, also D := { M 2 Q M is Dedekind-Menge }. Auf der Menge D definieren wir

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische

Mehr

Brückenkurs Elementarmathematik

Brückenkurs Elementarmathematik Brückenkurs Elementarmathematik IV. Ungleichungen November 13, 2013 Inhalt 1 Ungleichungen 2 Umformungen von Ungleichungen 2.1 Äquivalenzumformungen 2.2 Addition und Multiplikation von Ungleichungen 3

Mehr

Lineare Funktion Aufgaben und Lösungen

Lineare Funktion Aufgaben und Lösungen Lineare Funktion Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. November 0 Inhaltsverzeichnis Ursprungsgerade. y = m x...................................................... Aufgaben.................................................

Mehr

Lineare Funktionen. Die lineare Funktion

Lineare Funktionen. Die lineare Funktion 1 Die lineare Funktion Für alle m, t, aus der Zahlenmenge Q heißt die Funktion f: x m x + t lineare Funktion. Die Definitionsmenge ist Q (oder je nach Zusammenhang ein Teil davon). Der Graph der linearen

Mehr

Kegelschnitte. Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007

Kegelschnitte. Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007 Workshops zur VO Einfu hrung in das mathematische Arbeiten im SS 2007 Kegelschnitte Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007 Denken wir uns einen Drehkegel, der nach oben als auch nach unten unbegrenzt ist.

Mehr

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten Wie beginnen mit einem Beispiel: Gesucht ist die Lösung des folgenden Gleichungssystems: (I) 2x y = 4 (II) x + y = 5 Hier stehen eine Reihe von Verfahren

Mehr

Grundwissen 8 - Lösungen

Grundwissen 8 - Lösungen Grundwissen 8 - Lösungen Bereich 1: Proportionalität 1) Die in den Tabellen dargestellten Größen sind in beiden Fällen proportional. Entscheide, welche Art von Proportionalität jeweils vorliegt und vervollständige

Mehr

1. Mathematikschulaufgabe

1. Mathematikschulaufgabe . Mathematikschulaufgabe. Stelle die folgende Produktmenge im Koordinatensystem dar: M = [ -2; +2 ] Q x [ -2; + ] Q 2.0 Gegeben ist die Funktion f: y = 2 + x G= Q x Q 2. Zeichne die Funktion in ein Koordinatensystem.

Mehr

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen

Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Einzelne lineare Gleichungen mit zwei Variablen Bis jetzt haben wir nur lineare Gleichungen mit einer Unbekannten (x)

Mehr

Diskrete Optimierungsverfahren zur Lösung von Sudokus

Diskrete Optimierungsverfahren zur Lösung von Sudokus Diskrete Optimierungsverfahren zur Lösung von Sudokus Seminarvortrag von Daniel Scholz am 6. Dezember 2006 Am Beispiel der Lösung von Sudokurätseln mit Hilfe der linearen Optimierung werden verschiedenen

Mehr

MATHEMATIK G10. (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte

MATHEMATIK G10. (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte (c) A( 1 1 ) geht. 1 MATHEMATIK G10 GERADEN (1) Bestimme die Gleichung der Geraden durch die beiden Punkte P und Q: a) P ( 5), Q(4 7) b) P (3 11), Q(3, 1) c) P (3 5), Q( 1 7) d) P ( 0), Q(0 3) e) P (3

Mehr

Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge

Im gesamten Kapitel sei Ω eine nichtleere Menge. Wir bezeichnen die Potenzmenge 1 Mengensysteme Ein Mengensystem ist eine Familie von Teilmengen einer Grundmenge und damit eine Teilmenge der Potenzmenge der Grundmenge. In diesem Kapitel untersuchen wir Mengensysteme, die unter bestimmten

Mehr

Körper- und Galoistheorie

Körper- und Galoistheorie Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2011 Körper- und Galoistheorie Vorlesung 23 Unter den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik versteht man (1) die Quadratur des Kreises, (2) die Dreiteilung

Mehr

Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt

Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt f 1 : W D, y wobei D mit f() = y die Umkehrfunktion zu f. Der Graph G f 1 = {(y,

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1 M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

+ 2. Bruchgleichungen

+ 2. Bruchgleichungen Bruchgleichungen Gleichungen mit einer Lösungsvariablen im Nenner eines Bruchs heißen Bruchgleichungen. Definitionsmenge: Nenner 0 Lösungsweg: 1. Multiplikation mit dem Hauptnenner 2. Äquivalenzumformungen

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

Aufgabensammlung zum Üben Blatt 1

Aufgabensammlung zum Üben Blatt 1 Aufgabensammlung zum Üben Blatt 1 Seite 1 Lineare Funktionen ohne Parameter: 1. Die Gerade g ist durch die Punkte A ( 3 4 ) und B( 2 1 ) festgelegt, die Gerade h durch die Punkte C ( 5 3 ) und D ( -2-2

Mehr

Mathematik-Dossier 7 Gleichungen (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 3)

Mathematik-Dossier 7 Gleichungen (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 3) Name: Mathematik-Dossier 7 Gleichungen (angepasst an das Lehrmittel Mathematik 3) Inhalt: Quadratische Gleichungen Gleichungen und Ungleichungen Lineare Gleichungssysteme Lineare Ungleichungssysteme Verwendung:

Mehr

λ(a n ) n 1 = (λa n ) n 1. Abbildung 1: Graph einer Folge. b n = arctan(n), f n = cos(nπ), g n = n 2, h n = ( 1) n n.

λ(a n ) n 1 = (λa n ) n 1. Abbildung 1: Graph einer Folge. b n = arctan(n), f n = cos(nπ), g n = n 2, h n = ( 1) n n. Folgen Es sei X eine beliebige Menge. Eine Folge mit Werten in X ist eine Abbildung von N nach X. Es wird also jeder natürlichen Zahl n (dem Index) ein Element a n aus X zugeordnet (das n-te Folgenglied).

Mehr

Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen von Ungleichungen):

Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen von Ungleichungen): Prof. U. Stephan WiIng 1. Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Bitte lösen Sie die folgenden Aufgaben und prüfen Sie, ob Sie Lücken dabei haben. Bestimmen Sie jeweils die

Mehr

Mathematik für Klasse 6 Rechnen mit Dezimalzahlen

Mathematik für Klasse 6 Rechnen mit Dezimalzahlen Mathematik für Klasse 6 Rechnen mit Dezimalzahlen 16 Trainingseinheiten zum Unterricht Dazu gehört auch eine Einführung in die Anfänge der Prozentrechnung. Datei Nr. 10310 Friedrich W. Buckel Stand: Stand

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Skript Beispiele Musteraufgaben 4 y f(x)=-2x +9 f(x)=x 3 2 1-4 -3-2 -1 1 2 3 4 x -1-2 -3-4 6x + 3y = 27 3y = 3x Seite 1 Impressum Mathefritz Verlag Jörg Christmann Pfaffenkopfstr.

Mehr

7. KOMPLEXE ZAHLEN. und die. KOMPLEXE e-funktion

7. KOMPLEXE ZAHLEN. und die. KOMPLEXE e-funktion 7. KOMPLEXE ZAHLEN und die KOMPLEXE e-funktion 1 Wir gehen aus von der Ebene, versehen mit einem Koordinatensystem und x, y-koordinaten. Dann entsprechen Punkte z in der Ebene Zahlenpaaren: z = (x, y)

Mehr

LAF Mathematik. Näherungsweises Berechnen von Nullstellen von Funktionen

LAF Mathematik. Näherungsweises Berechnen von Nullstellen von Funktionen LAF Mathematik Näherungsweises Berechnen von Nullstellen von Funktionen von Holger Langlotz Jahrgangsstufe 12, 2002/2003 Halbjahr 12.1 Fachlehrer: Endres Inhalt 1. Vorkenntnisse 1.1 Nicht abbrechende Dezimalzahlen;

Mehr

Mathematik - 1. Semester. folgenden Zahlenpaare die gegebene Gleichung erfüllen:

Mathematik - 1. Semester. folgenden Zahlenpaare die gegebene Gleichung erfüllen: Mathematik -. Semester Wi. Ein Beispiel Lineare Funktionen Gegeben sei die Gleichung y x + 3. Anhand einer Wertetabelle sehen wir; daß die folgenden Zahlenpaare die gegebene Gleichung erfüllen: x 0 6 8

Mehr

Mathematik Einführungsphase. Plenum Lineare Funktionen. Lineare Funktionen. Eine kurze Wiederholung

Mathematik Einführungsphase. Plenum Lineare Funktionen. Lineare Funktionen. Eine kurze Wiederholung Lineare Funktionen Eine kurze Wiederholung Mathematik Einführungsphase Eine lineare Funktion ist zunächst einmal eine Funktion, d.h. eine eindeutige Zuordnung, bei der jedem x-wert aus einem Definitionsbereich

Mehr

Rechnen mit rationalen Zahlen

Rechnen mit rationalen Zahlen Rechnen mit rationalen Zahlen a ist die Gegenzahl von a und ( a) a Subtraktionsregel: Statt eine rationale Zahl zu subtrahieren, addiert man ihre Gegenzahl. ( 8) ( ) ( 8) + ( + ) 8 + 7, (,6) 7, + ( +,6)

Mehr

Matura2016-Lösung. Problemstellung 1

Matura2016-Lösung. Problemstellung 1 Matura-Lösung Problemstellung. Die Funktion f( = + 9k + müsste bei = den Wert annehmen, also gilt + 9k + = k =. Wir betrachten den Bereich mit positiven Werten. Dann gilt: f ( = 8 + 8 = = ; = Bei liegt

Mehr

Test 1: Grundrechenarten incl. Bruchrechnung und Vorzeichenregeln

Test 1: Grundrechenarten incl. Bruchrechnung und Vorzeichenregeln Test 1: Grundrechenarten incl. Bruchrechnung und Vorzeichenregeln 1. a) Welche algebraischen "Vorfahrtsregeln" müssen Sie bei der Berechnung des folgenden Terms T beachten? T = 12x + 3 7x - 2 (x + 3) +

Mehr

Skript Prozentrechnung. Erstellt: 2015/16 Von: www.mathe-in-smarties.de

Skript Prozentrechnung. Erstellt: 2015/16 Von: www.mathe-in-smarties.de Skript Prozentrechnung Erstellt: 2015/16 Von: www.mathe-in-smarties.de Inhaltsverzeichnis Vorwort... 2 1. Einführung... 3 2. Berechnung des Prozentwertes... 5 3. Berechnung des Prozentsatzes... 6 4. Berechnung

Mehr

Lineare Optimierung Lehrbuch mit Aufgaben und Lösungen

Lineare Optimierung Lehrbuch mit Aufgaben und Lösungen Lineare Optimierung Lehrbuch mit Aufgaben und Lösungen Dipl.-Math. Alexander Schwarz E-Mail: aschwarz@mathe-aufgaben.com Homepage: www.mathe-aufgaben.com Wichtiger Hinweis: Ich bitte den Eigentümer dieser

Mehr