Methoden der unscharfen Optimierung

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1 Methoden der unscharfen Optimierung Mike Hüftle Juli 2005 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Unscharfe Mengen Unscharfe Mengen Zugehörigkeit Zugehörigkeitsfunktion Linguistische Variable Operationen auf unscharfen Mengen Nebenpfad: Operationen auf unscharfen Mengen Defuzzifizierung Defuzzifizierungs-Verfahren Anwendungen unscharfer Mengen Literatur

2 1 Einleitung 1.1 Unscharfe Mengen Theorie unscharfer Mengen Die Theorie unscharfer Mengen ist ein Versuch, vage natürlichsprachliche Äußerungen mathematisch zu repräsentieren und für den Computer verarbeitbar zu machen. Eindeutige Äußerungen sind z.b.: x gehört zu B Mit solchen Aussagen wird die Zugehörigkeit von Elementen zu Mengen beschrieben. Aussagen dieser Art können durch die klassische Mengenlehre oder die Prädikatenlogik formalisiert werden. Hierbei muss jedoch immer eine eindeutige Aussage getroffen werden, d.h. x gehört zu B oder x gehört nicht zu B. Natürlichsprachliche Aussagen z.b. der Form x gehört fast nicht zu B sind jedoch meist nicht eindeutig, so dass hierfür eine andere Möglichkeit der Formalisierung notwendig ist. Die Theorie der unscharfen Mengen kann solche vagen Aussagen formalisieren. Unsicherheitstheorien Die Theorie unscharfer Mengen gehört zu den Unsicherheitstheorien. Weitere solche Theorien, welche die Unsicherheit beschreiben, sind u.a. die Wahrscheinlichkeitstheorie, die Evidenztheorie, die Theorie der grauen Mengen und die Theorie der rauhen Mengen. Die in der Praxis bedeutsamsten sind die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Theorie der unscharfen Mengen. 2

3 2 Unscharfe Mengen 2.1 Zugehörigkeit Schätzung der Zugehörigkeit zu einer unscharfen Menge Wenn X eine Grundmenge von Elementen ist, dann ist eine unscharfe Menge A eine Teilmenge von X, für deren Elemente jeweils durch eine Zugehörigkeitsfunktion angegeben wird, bis zu welchem Grad sie zu A gehören. Diese Angabe beruht auf einer Schätzung. Diese Schätzung hat die folgenden charakteristischen Eigenschaften: 1. Der Zugehörigkeitsgrad zu einer unscharfen Menge ist kein objektiver Wert, sondern wird einem Element subjektiv zugeordnet. Er ist insofern eine relative Angabe. 2. Der Zugehörigkeitsgrad zu einer unscharfen Menge ist kontextabhängig. Z.B. kann die Zugehörigkeit stark zugehörig in zwei verschiedenen Anwendungen einen anderen Grad an Zugehörigkeit ausdrücken. 3. Im Gegensatz zu einer unvollständig beschriebenen Menge kann die unscharfe Menge durchaus vollständig beschreiben werden. Definition der unscharfen Menge Ist X eine Menge von Objekten, so heißt A := {(x, µ A (x)), x X} (1) eine unscharfe Menge auf X. Hierbei ist µ A : X R die Zugehörigkeitsfunktion (oder auch Grad der Zugehörigkeit) von x in A. Normalisierte unscharfe Menge Der Bereich der Zugehörigkeitsfunktion ist eine Untermenge der reellen Zahlen. Wenn diese auf das Intervall [0,1] beschränkt ist, so wird die unscharfe Menge als normalisiert bezeichnet. Sonderfall scharfe Menge Ist der Wertebereich von µ A die zweielementige Menge {0,1}, so steht A für die gewöhnliche, scharfe Menge. Diese ist somit ein Sonderfall der unscharfen Menge. 3

4 2.2 Zugehörigkeitsfunktion Konvexe unscharfe Mengen In der Anwendung wichtige unscharfe Mengen sind die, deren Zugehörigkeitsfunktion entweder monoton steigend, monoton fallend oder glockenförmig ist. Die hierdurch beschriebenen unscharfen Mengen heißen konvexeunscharfe Mengen. Wichtige Zugehörigkeitsfunktionen Die Abbildung zeigt Beispiele für die wichtigsten Zugehörigkeitsfunktionen. Hier wird die Zugehörigkeit einer gefühlten Temperatur für die drei unscharfen Mengen heiß, kalt und temperiert beschrieben. 4

5 2.3 Linguistische Variable Linguistische Variablen Linguistische Variablen unterscheiden sich von numerischen Variablen dadurch, daß ihre Werte nicht Zahlen sind, sondern Ausdrücke einer natürlichen Sprache. Da solche Ausdrücke im allgemeinen nicht präzise sind, werden die Werte der linguistischen Variablen durch unscharfe Mengen dargestellt. Beispiel Ein Beispiel soll die Verwendung linguistischer Variablen deutlich machen. Definiert sei eine linguistische Variable Temperatur. Als interessierender Bereich werden Temperaturen zwischen 15 und 27C festgelegt. Die Variable Temperatur selbst soll als Werte die natürlichsprachlichen Ausdrücke {kalt, kühl, temperiert, warm, heiß} annehmen können. Diese Ausdrücke stehen für die in der Abbildung dargestellten unscharfen Mengen. Eine linguistische Variable beinhaltet also mehrere zusammengehörige unscharfe Mengen, die als eine Variable mit einem Variablennamen aufgefaßt werden, wobei die einzelnen Mengen die verschiedenen Werte darstellen. 5

6 2.4 Operationen auf unscharfen Mengen Genauso wie mit den klassischen, scharfen Mengen können mit unscharfen Mengen eine Reihe von Operationen durchgeführt werden, die jedoch anders definiert sind als die Operationen auf klassischen Mengen. Die wichtigsten sind: Das Der Die Das Die Enthaltensein Durchschnitt Vereinigung Produkt Summe Nebenpfad: Operationen auf unscharfen Mengen Enthaltensein Eine unscharfe Menge A ist genau dann in B enthalten, wenn gilt: µ A (x) µ B (x) x X (2) Ist A in B und B in A enthalten, so heißen die beiden Mengen gleich scharf. Durchschnitt Eine Zugehörigkeit der Schnittmenge zweier unscharfer Mengen A und B ist punktweise definiert durch: µ A B (x) = min(µ A (x), µ B (x)) x X (3) Produkt Die Zugehörigkeitsfunktion des Produktes zweier unscharfer Mengen A und B ist definiert als: µ AB (x) = µ A (x) µ B (x) x X (4) Vereinigung Die Zugehörigkeitsfunktion der Vereinigung zweier unscharfer Mengen A und B ist definiert als: µ A B (x) = max(µ A (x), µ B (x)) x X (5) 6

7 Summe Die Zugehörigkeitsfunktion der Summe zweier unscharfer Mengen A und B ist definiert als: µ A+B (x) = µ A (x) + µ B (x) µ A (x) µ B (x) x X (6) 7

8 3 Defuzzifizierung 3.1 Defuzzifizierungs-Verfahren Für viele Anwendungen, insbesondere für die Fuzzy-Regelung, muss das unscharfe Ergebnis auf eine reelle Zahl abgebildet werden. Defuzzifizierungsverfahren In der Literatur gibt es eine Vielzahl von Defuzzifizierungsverfahren. Die bekanntesten sind: Die Maximum-Mittel-Methode, bei der nur die Werte mit der höchsten Zugehörigkeit berücksichtigt werden. Kommen mehrere solche Werte vor, so wird das arithmetisches Mittel aus diesen Werten als scharfer Ersatzwert ā M gewählt. Die Schwerpunkt-Methode (Center of Gravity Method), nach der die Abszisse x s des Schwerpunktes der Fläche unter der Zugehörigkeitsfunktion als scharfer, reeller Wert gewählt wird. x s = + x µ(x)dx + µ(x)dx (7) Die Flächenhalbierungsmethode (Center of Area Method), gemäß der ein mittlerer x-wert so auszuwählen ist, daß das in x F errichtete Lot die Fläche unter der Zugehörigkeitsfunktion halbiert. xf µ(x)dx = + x F µ(x)dx (8) 8

9 4 Anwendungen unscharfer Mengen 4.1 Die Theorie unscharfer Mengen (Fuzzy Sets) findet in fast allen Bereichen Anwendung, in denen auch die klassischen scharfen Mengen eingesetzt werden. Fuzzy- Bei Fuzzy-Entscheidungen werden die Entscheidungsalternativen durch unscharfe Mengen ausgedrückt. Problematisch ist die Konstruktion von Zu- Entscheidungstheorie gehörigkeitsfunktionen, die diese Alternativen repräsentieren. Ein Operator faßt sie zur Gesamtentscheidung zusammen. Fuzzy- Optimierung Die Fuzzy-Optimierung überführt das unscharfe Modell durch Variablensubstitution, Dekomposition usw. in scharfe Teilmodelle, deren Lösungen die Fuzzy- Lösung bestimmen. Fuzzy- Datenanalyse Dazu gehören Fuzzy-Regressionsanalyse, Fuzzy-Diskriminanzanalyse, Fuzzy-Clusteranalyse und Fuzzy-Fuzzy-Musterklassifikation. Fuzzy-Control Fuzzy-Verfahren eignen sich besonders für Regelungsaufgaben, weil sie sprachlich formuliertes Expertenwissen direkt - also ohne Umweg über die Regelungstheorie - in Automatisierungskonzepte umsetzen. Vor allem für Prozesse mit nichtlinearem Systemverhalten, die mathematisch nur schwer zu beschreiben sind, sichern sie stabile Lösungen mit einem ausreichend hohen Grad an Genauigkeit. Es existieren schon viele mit Fuzzy Control ausgestattete Systeme, z.b. Waschmaschinen, Fotoapparate oder U- Bahnen. 9

10 5 Literatur 5.1 Literaturverzeichnis [] Naumann, Tino: Wissensbasierte Optimierungsstrategien für elektronische Steuergeräte an Common-Rail-Dieselmotoren. Dissertation an der Fakultät Verkehrs- und Maschinensysteme der TU Berlin, Berlin 2002, auf URL: tino.htm [] Tilli, T.: Fuzzy-Logik. Franzis, München [] Zimmermann, H.-J.: Unscharfe Entscheidungen und Multi-Criteria- Analyse, in: Proceedings in OR, Würzburg 1976, pp [] Zimmermann, H.-J.: Fuzzy-Technologien. VDI-Verlag, Düsseldorf