1 Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie

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1 H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap Oktober Elemente der Wahrscheinlichkeitstheorie 1.1 Messbare Räume Gegeben seien eine nichtleere Menge Ω und eine Menge A von Teilmengen von Ω. Definition 1 A heißt σ Algebra auf Ω falls (i) Ω A; (ii) A n A, n N A n A und A n A; (iii) A A Ω \ A A. In diesem Fall heißt (Ω, A) ein messbarer Raum oder Messraum und die Elemente der σ Algebra A heißen messbare Mengen oder (zufällige) Ereignisse. Es gibt eine ganze Reihe unterschiedlicher Formulierungen der Definition einer σ Algebra auf Ω, die zueinander äquivalent sind, insbesondere braucht man nicht beide Forderungen in (ii) zu stellen, sondern nur eine. Es folgen einige Beispiele für σ Algebren, bei denen die messbaren Mengen direkt charakterisiert werden können. Beispiele 2 (i) Ω nichtleer, A = {, Ω}. (ii) Ω nichtleer, A = {A : A Ω} Potenzmenge, Menge aller Teilmengen. (iii) Ω = R, A = {A R : A symmetrisch, d.h. A = A}. (iv) Ω nichtleer, A = {A Ω : A oder Ω \ A ist höchstens abzählbar}. (v) Ω nichtleer, Γ nichtleere Indexmenge, Ω = Ω γ disjunkte Zerlegung der Grundmenge, A = {A Ω : A Ω γ Ω γ A γ Γ}. Häufiger werden jedoch σ Algebren verwendet, bei denen keine einfachen Charakterisierungen aller Elemente der σ Algebra angebbar sind und die (nur) durch eine erzeugende Menge bestimmt werden. Grundlage dazu ist die folgende Behauptung. Behauptung 3 Es seien Ω und Γ nichtleere Mengen und für jedes γ Γ sei A γ σ Algebra auf Ω. Dann ist der Durchschnitt A γ eine σ Algebra auf Ω. eine Folgerung 4 Ist A 0 eine beliebige Menge von Teilmengen der nichtleeren Menge Ω, dann existiert eine kleinste σ Algebra auf Ω, die A 0 enthält. Diese σ Algebra heißt die von A 0 erzeugte σ Algebra und sie wird mit σ(a 0 ) bezeichnet. Beweis Die gesuchte σ Algebra ist der Durchschnitt aller σ Algebren auf Ω, die A 0 enthalten. Dabei gibt es mindestens eine σ Algebra auf Ω, die A 0 enthält und zwar die Potenzmenge der Grundmenge Ω. Ist A 0 schon eine σ Algebra auf Ω, dann fällt natürlich die von A 0 erzeugte σ Algebra mit A 0 zusammen, d. h. es gilt σ(a 0 ) = A 0.

2 H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap Oktober Beispiele 5 (i) Ω nichtleer, A 0 = σ(a 0 ) = {, Ω}. (ii) Ω = R, A 0 = {0} σ(a 0 ) = {, {0}, R \ {0}, R}. (iii) Ω nichtleer, A 0 = {{ω} : ω Ω} (die Menge aller einelementigen Teilmengen) σ(a 0 ) = {A Ω : A oder Ω \ A ist höchstens abzählbar}. Ein wichtigeres konkretes Beispiel einer σ Algebra auf der Menge der reellen Zahlen R ist die σ Algebra der Borel-Mengen auf R. Definition 6 Die σ Algebra auf der Menge der reellen Zahlen, die vom System der offenen Teilmengen der reellen Zahlengeraden erzeugt wird, heißt die Borelsche σ Algebra auf R oder die σ Algebra der Borel-Mengen auf R, sie wird mit B(R) bezeichnet. Ein und diesselbe σ Algebra auf einer Grundmenge Ω kann von ganz unterschiedlichen Mengen A 0 erzeugt werden, relevante Beispiele dazu werden im Kontext der Vorlesung später behandelt. Für die σ Algebra der Borel-Mengen auf R sei schon jetzt die folgende einfache Behauptung angegeben. Behauptung 7 Jedes der folgenden Teilmengensysteme der Menge der reellen Zahlen erzeugt die Borelsche σ Algebra: 1. die Menge aller abgeschlossenen Teilmengen von R; 2. die Menge aller offenen Intervalle; 3. die Menge aller endlichen offenen Intervalle; 4. die Menge aller endlichen offenen Intervalle mit rationalen Endpunkten; 5. die Menge aller offenen Intervalle der Form (, a) mit a R; 6. die Menge aller offenen Intervalle der Form (, a) mit a Q, d.h. die Menge der halbunendlichen Intervalle mit rationalen Endpunkten; 7. die Menge aller abgeschlossenen Intervalle der Form (, a] mit a R; 8. die Menge aller abgeschlossenen Intervalle der Form (, a] mit a Q. Definition 8 Es sei (Ω, A) ein messbarer Raum. Die σ Algebra A heißt höchstens abzählbar erzeugt, falls ein höchstens abzählbares Mengensystem A 0 mit σ(a 0 ) = A existiert. Behauptung 9 Die Kardinalzahl einer höchstens abzählbar erzeugten σ Algebra ist nicht größer als die Kardinalzahl der Menge der reellen Zahlen. Der Beweis dieser Behauptung ist z.b. in Michel[1] Nr. 4.10, S.31, zu finden. Folgerung 10 Es gibt nicht Borel-messbare Teilmengen in der Menge der reellen Zahlen. Beweis Die Menge aller endlichen offenen Intervalle in R mit rationalen Endpunkten bilden ein Erzeugendensystem für die σ Algebra der Borel-Mengen auf R. Diese Menge ist abzählbar unendlich, folglich ist die Mächtigkeit der σ Algebra der Borel-Mengen auf R gleich der Mächtigkeit von R. (Da jede einelementige Menge eine abgeschlossene Menge und folglich ein Element von B(R) ist, kann die Mächtigkeit von B(R) nicht kleiner als die Mächtigkeit von R sein.) Die Potenzmenge von R besitzt aber eine größere Mächtigkeit als R selbst, also muss es Teilmengen von R geben, die nicht in B(R) liegen.

3 H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap Oktober Maßräume Definition 1 Gegeben sei ein messbarer Raum (Ω, A). Die Abbildung µ : A [0, ] heißt Maß auf (Ω, A), wenn die folgenden Bedingungen gelten: (i) µ( ) = 0 and (ii) (A n ) A ( mit A ) i A j = für i j ist die Eigenschaft der σ Additivität erfüllt, d.h. µ A n = µ(a n ). In diesem Fall heißt das Tripel (Ω, A, µ) Maßraum. Das Maß µ heißt σ endlich, wenn eine Folge (A n ) von messbaren Mengen existiert mit Ω = A n und µ(a n ) < für alle n N. Das Maß µ heißt endlich, falls µ(ω) < gilt. Gilt sogar µ(ω) = 1, dann heißt das Maß ein normiertes Maß oder Wahrscheinlichkeitsmaß oder kurz Wahrscheinlichkeit und das Tripel (Ω, A, µ) Wahrscheinlichkeitsraum. Wahrscheinlichkeitsmaße werden häufig (so auch hier) durch P bezeichnet. Gelten für eine Abbildung µ : A R (oder µ : A [, ) oder µ : A (, ]) die obigen Eigenschaften (i) und (ii), dann heißt µ ein signiertes Maß. Beispiel 2 Ein äußerst wichtiges Beispiel für einen konkreten Wahrscheinlichkeitsraum ist die Menge der reellen Zahlen zwischen 0 und 1, d.h. Ω = (0, 1), ausgestattet mit der σ Algebra der Borel-Mengen B((0, 1)) und dem Lebesgue-Maß P = λ als Wahrscheinlichkeitsmaß. Bei Bedarf kann natürlich auch eine der Mengen (0, 1], [0, 1) oder [0, 1] betrachtet werden. Im Folgenden werden wir Stetigkeitseigenschaften von Wahrscheinlichkeitsmaßen benötigen, die zur σ Additivität des Maßes äquivalent sind. Die entsprechende Behauptung sei hier ohne Beweis angeführt (der Beweis ist in den Lehrbüchern der Maß-und Integrationstheorie zu finden), eine entsprechende Aussage gilt auch für allgemeine endliche Maße und unter geeigneten Zusatzbedingungen für unendliche Maße. Behauptung 3 Es sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. (i) Ist (A n ) eine monoton fallende Folge von messbaren Mengen, d.h. es gelten A n A und A n+1 A n n N, dann folgt daraus ( ) lim P(A n) = P A n. n (ii) Ist (A n ) eine monoton wachsende Folge von messbaren Mengen, d.h. es gelten A n A und A n A n+1 n N, dann folgt daraus ( ) lim P(A n) = P A n. n Bei bestimmten Fragestellungen ist es bequem mit vollständigen Wahrscheinlichkeitsräumen zu arbeiten. Die dazu notwendigen Begriffe und grundlegenden Aussagen sollen nun folgen.

4 H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap Oktober Definition 4 Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Eine Teilmenge B von Ω (die nicht in A liegen muss) heißt P Nullmenge oder Nullmenge bezüglich P, falls es eine Menge A A mit B A und P(A) = 0 gibt. Die Menge aller P Nullmengen werde mit N P bezeichnet. Mit A P werde die folgende Menge von Teilmengen Ω bezeichnet: A P := A N P := { A Ω : A = A 1 B mit A 1 A und B N P}. Behauptung 5 Die Menge A P ist eine σ Algebra auf Ω mit A A P und das Wahrscheinlichkeitsmaß P auf A kann zu einem Wahrscheinlichkeitsmaß P auf A P durch die Definition P(A) = P(A 1 ) falls A = A 1 B mit A 1 A und B N P fortgesetzt werden. Behauptung 6 Die σ Algebra A P und das Wahrscheinlichkeitsmaß P lassen sich auch folgendermaßen charakterisieren: A P = σ ( A N P) oder A P = {A Ω : A 1, A 2 A mit A 1 A A 2 und P(A 1 ) = P(A 2 ) } P(A) = P(A 1 ) = P(A 2 ) falls A 1 A A 2 mit A 1, A 2 A und P(A 1 ) = P(A 2 ) Definition 7 Die σ Algebra A in einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) heißt vollständig, wenn A = A P und folglich auch P = P gelten. Genau in diesem Fall heißt auch der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) vollständig. Nicht jeder Wahrscheinlichkeitsraum ist automatisch vollständig, aber es gilt die folgende Aussage. Behauptung 8 Jeder Wahrscheinlichkeitsraum kann vervollständigt werden. Wir werden im Folgenden immer angeben, wenn wir einen vollständigen Wahrscheinlichkeitsraum voraussetzen. 1.3 Messbare Abbildungen Es gibt verschiedene Möglichkeiten, messbare Abbildungen zu definieren. Wir wählen hier die üblichste und behandeln später den Zusammenhang zu anderen Varianten in speziellen Situationen. Zuerst vermerken wir einige grundlegende Eigenschaften von inversen Abbildungen (als Abbildungen von Mengensystemen). Definition 1 Gegeben seien zwei nichtleere Mengen Ω, X und eine Abbildung ξ : Ω X, d.h. für jedes ω Ω ist ξ(ω) X eindeutig definiert. Dann heißt für eine beliebige Teilmenge B X von X die Menge ξ 1 (B) := {ω Ω : ξ(ω) B} das (volle) Urbild von B unter der Abbildung ξ. Behauptung 2 Gegeben seien nichtleere Mengen Ω, X und eine Abbildung ξ : Ω X.

5 H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap Oktober (i) Wird ξ 1 als Abbildung der Potenzmenge von X in die Potenzmenge von Ω betrachtet, erhält sie alle mengentheoretischen Operationen, d.h. für beliebige nichtleere Indexmengen Γ und Mengen B X, B γ X, γ Γ, gelten ( ) ξ 1 B γ = ξ 1 (B γ ) ; ξ 1 ( B γ ) = ξ 1 (B γ ) ; ξ 1 (X \ B) = Ω \ ξ 1 (B). (ii) Ist auf Ω eine σ Algebra A gegeben, so ist das Mengensystem { B X : ξ 1 (B) A } eine σ Algebra auf X. (iii) Ist auf X eine σ Algebra A X gegeben, so das Mengensystem ξ 1 (A X ) := { A Ω : A = ξ 1 (B) für ein B A X } = {ξ 1 (B) : B A X } eine σ Algebra auf Ω. Die beiden letzten Punkte obiger Behauptung geben Wege an, wie mit Hilfe einer Abbildung eine gegebene σ Algebra in einen anderen Raum transportiert werden kann. Definition 3 Gegeben seien eine nichtleere Menge Ω, ein messbarer Raum (X, A X ) und eine Abbildung ξ : Ω X. Die in obiger Behauptung (iii) definierte σ Algebra ξ 1 (A X ) wird die von ξ erzeugte σ Algebra genannt und mit σ(ξ) bezeichnet: σ(ξ) = ξ 1 (A X ). Nun kommen wir zum grundlegenden Begriff einer messbaren Abbildung. Man vergleiche diese Definition mit der Definition einer stetigen Funktion eines metrischen (oder topologischen) Raumes in einen metrischen (oder topologischen) Raum. Definition 4 Gegeben seien zwei messbare Räume (Ω, A) und (X, A X ) und eine Abbildung ξ : Ω X. Die Abbildung ξ heißt messbar oder X-wertige Zufallsvariable oder Zufallsvariable in X oder Zufallselement in X falls ξ 1 (A X ) = σ(ξ) A gilt. Genauer kann die Messbarkeit auch als A A X Messbarkeit charakterisiert werden. Häufig genutzt werden die folgenden Eigenschaften. Behauptung 5 Gegeben seien die messbaren Räume (Ω, A), (X, A X ) und (Y, A Y ), sowie die Abbildungen ξ : Ω X und f : X Y. Ist die Abbildung ξ A A X messbar und die Abbildung f A X A Y messbar, dann ist die Komposition η : Ω Y, η(ω) := f(ξ(ω)) eine A A Y messbare Abbildung. Behauptung 6 Gegeben seien die messbaren Räume (Ω, A) und (X, A X ), wobei A X durch eine Menge A 0 erzeugt werde, d.h. A X = σ(a 0 ). Dann ist eine Abbildung ξ : Ω X genau dann A A X messbar, wenn für jede Menge B A 0 gilt: ξ 1 (B) A.

6 H.-J. Starkloff Unendlichdimensionale Stochastik Kap Oktober Behauptung 7 Gegeben seien die messbaren Räume (Ω, A), (X, A X ) und (Y γ, A γ ), γ Γ, wobei die σ Algebra A X durch die Menge von Abbildungen f γ : X Y γ, γ Γ, erzeugt werde, d.h. A X = σ(f γ, γ Γ). Dann ist eine Abbildung ξ : Ω X genau dann A A X messbar, wenn für jedes γ Γ die Abbildung ω f γ (ξ(ω)) A A γ messbar ist. Ein weiteres fundamentales mathematisches Objekt, welches bei der Untersuchung von Zufallsvariablen in einer Menge X eigentlich immer eine Rolle spielt, ist die Verteilung der X-wertigen Zufallsvariablen. Definition 8 Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P), ein messbarer Raum (X, A X ) und eine X-wertige Zufallsvariable ξ : Ω X. Die Abbildung Pξ 1 : A X [0, 1], Pξ 1 (B) = P ( ξ 1 (B) ) = P (ω Ω : ξ(ω) B) =: P(ξ B) ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf dem messbaren Raum (X, A X ), welches Verteilung oder Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariable ξ genannt und mit P ξ bezeichnet wird, d.h. P ξ (B) = P(ξ B), B A X. Die nächste Behauptung zeigt, dass jedes Wahrscheinlichkeitsmaß auf einem messbaren Raum als die Verteilung einer entsprechenden Zufallsvariable aufgefasst werden kann (obwohl dieses Maß auch direkt gegeben sein kann, d.h. ohne Bezug auf eine Zufallsvariable). Andererseits haben im Allgemeinen viele unterschiedliche Zufallsvariablen ein und dieselbe Verteilung, d.h. durch die Verteilung wird eine erzeugende Zufallsvariable nicht eindeutig definiert. Behauptung 9 Gegeben seien ein messbarer Raum (X, A X ) und ein Wahrscheinlichkeitsmaß P X auf (X, A X ). Dann existiert ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) und darauf eine X-wertige Zufallsvariable ξ : Ω X, so dass P X die Verteilung von ξ ist, d.h. P ξ = P X. Beweis Man nehme (Ω, A, P) = (X, A X, P X ) und die X-wertige Zufallsvariable ξ, welche durch ξ(x) = x, x X = Ω definiert wird. Für Integrale von reellwertigen messbaren Abbildungen gilt die bekannte Substitutionsformel. Behauptung 10 Gegeben seien ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P), ein messbarer Raum (X, A X ), eine X-wertige Zufallsvariable ξ : Ω X und eine messbare reellwertige Abbildung f : (X, A X ) (R, B(R)). Dann gilt Ef(ξ) := f(ξ(ω))p(dω) = f(x)p X (dx) Ω in dem Sinne, dass wenn eines der Integrale existiert auch das andere existiert (jeweils als abstraktes Lebesgue-Integral auf dem entsprechenden Maßraum) und deren Werte übereinstimmen. X Literatur [1] H. Michel. Maß- und Integrationstheorie. Dt. Verl. d. Wissenschaften, Berlin, 1978.