Zufallsversuche. Christine Hartmann

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1 Zufallsversuche Christine Hartmann Ausarbeitung zum Vortrag im Seminar Mathematische Modellierung (Wintersemester 2008/09, Leitung PD Dr. Gudrun Thäter) Zusammenfassung: Der Vortrag zum Thema Zufallsversuche beschäftigt sich mit den verschiedenen grundlegenden Überlegungen, die nötig sind um in der Wirklichkeit vorkommende Ereignisse, die rein zufällig scheinen, mathematisch zu betrachten. Das heiÿt man hat versucht diverse Modelle zu bilden, die es einem ermöglichen, die tatsächlichen Vorgänge auf einfache Zufallsversuche zurückzuführen, welche zum Beispiel durch das Ziehen von Kugeln aus Urnen modelliert werden können. Dabei kommt es vor allem darauf an das jeweils richtige der Urnenmodelle auszuwählen, indem gewisse Tatsachen des reellen Problems vernachlässigt werden und man die Ausgänge eines Versuches erst einmal sinnvoll zu einer Menge ergänzt, die man mit den hier vorgestellten Modellen überhaupt erfassen kann. Dies werden vor allem die vier wichtigen Urnenmodelle der Kombinatorik sein. Es wird von keinerlei Vorwissen auf dem Gebiet der Zufallsversuche ausgegangen, daher werden darüber hinaus vor allem elementare Grundüberlegungen und Begrisbildungen der Wahrscheinlichkeitsrechnung vorgestellt und erarbeitet. Zum Beispiel geht es darum, wie man sich den Begri der Wahrscheinlichkeit in mathematischem Sinne vorstellen kann und welche Eigenschaften ein Wahrscheinlichkeitsverteilung hat.

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 2 Einstuge Zufallsversuche Relative Häugkeit und Wahrscheinlichkeit Laplace-Experimente Endliche Wahrscheinlichkeitsräume Mehrstuge Zufallsversuche Bäume und Pfade Unabhängige Versuche und unabhängige Ereignisse Kombinatorik Geordnete Stichproben mit Zurücklegen Geordnete Stichproben ohne Zurücklegen Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen Ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen Überblick der Stichprobenräume Resümee 17 6 Anhang Matlab-Code zur Modellierung der Urne aus Abbildung Matlab-Code zur Berechnung der Funktion aus Abbildung

3 Abbildungsverzeichnis 2.1 Urne mit zwölf Kugeln rel. Häugkeit mit zunehmendem n Pierre Simon Laplace Baumdiagramm zur Urne aus Abb Ausschnitt aus dem Baumdiagramm in Abb Tabellenverzeichnis 1 Überblick Stichprobenräume

4 1 Einleitung Wenn man sich mit der Frage beschäftigt, wie man Zufallsversuche mathematisch erklären kann, sollte man sich vielleicht erst noch einmal kurz in Erinnerung rufen, was eigentlich genau der Begri Zufall zu bedeuten hat. Um Zufall handelt es sich immer dann, wenn es zu einem Übergang von einer Ausgangssituation, die mehrere Endsituationen ermöglichen würde, zu einer ganz bestimmten dieser Endsituation kommt, ohne dass man einen bestimmten Grund erkennen kann, warum es jetzt gerade zu dieser einen Endsituation gekommen ist und bei nochmaligem Vorliegen der gleichen Ausgangssituation das ganze auch anders enden könnte. Das heiÿt umgangssprachlich verwendet man den Begri Zufall immer dann, wenn ein Ereignis nicht kausal erklärbar ist. Diese Überlegungen führen uns zu unserer ersten Denition. Denition 1.1 Unter einem Zufallsversuch oder auch Zufallsexperiment versteht man einen Versuch, dessen Ausgänge nicht durch logische oder andere Gründe durch die Versuchsbedingungen determiniert sind. Das heiÿt das Experiment sollte unter gleichen Bedingungen wiederholbar sein, und zwar so, dass der Versuchsausgang nicht notwendig immer der gleiche ist, sondern nur statistischen Regelmäÿigkeiten folgt. 2 Einstuge Zufallsversuche Die einfachsten Beispiele für konkrete Zufallsversuche sind sicherlich das Werfen eines Würfels oder einer Münze, oder auch das Drehen eines Glücksrades. Aber auch beim Ziehen von Losen oder Kugeln aus einer Urne handelt es sich um einen Zufallsversuch. Werden die Experimente mit nur einer Wiederholung durchgeführt, also der Würfel nur einmal geworfen oder das Glücksrad nur einmal gedreht, spricht man von einstu- gen Zufallsversuchen. Die dazu jeweils verwendeten Hilfsmittel wie Münze, Würfel oder Urne mit Kugeln, nennt man Zufallsgeräte. Die mathematische Analyse von Zufallsversuchen hängt direkt zusammen mit der genauen Beschreibung und Analyse der entsprechenden Zufallsgeräte. Betrachten wir eine mit Kugeln gefüllte Urne wie sie in Abbildung 2.1 dargestellt ist. Der zu untersuchende Zufallsversuch besteht dabei im Ziehen einer Kugel aus dieser Urne. Es handelt sich also speziell um einen einstugen Zufallsversuch. Bei jedem Ziehen sind die Ergebnisse 1 bis 6 möglich. Statt Ergebnis werden für den Ausgang eines Zufallsversuchs auch oft die Begrie Ausfall oder Stichprobe verwendet und man bezeichnet ein beliebiges Ergebnis mit ω. Die Menge aller möglichen Ergebnisse nennt Grundmenge oder Stichprobenraum Ω. Führt man den Versuch immer wieder durch und notiert seine Ergebnisse erhält man eine Folge von Ziern, welche lokal und auf den ersten Blick völlig regellos erscheint. 4

5 Abbildung 2.1: Urne mit zwölf Kugeln 2.1 Relative Häugkeit und Wahrscheinlichkeit Durch 200maliges Durchführen des oben beschriebenen Versuches könnte sich zum Beispiel diese Folge ergeben Betrachtet man die Folge nicht nur lokal sondern global so lässt sich doch eine gewisse Regelmäÿigkeit beobachten, welche sich darauf bezieht, wie oft eine bestimmte Zier vorkommt. Diese Beobachtung lässt sich mit Hilfe der relativen Häugkeit präziser beschreiben. Denition 2.1 Wird ein Zufallsversuch n-mal durchgeführt und dabei tritt das Ergebnis ω m-mal auf, dann versteht man unter der relativen Häugkeit von ω das folgende Verhältnis: H n (ω) = m n Analysiert man die relative Häugkeit einer bestimmten Zier innerhalb der Zahlenfolge stellt man fest, dass diese zu Beginn noch sehr schwankt, sich mit steigendem n aber immer mehr an einen festen Wert p annähert und sich dort einpendelt. Dies veranschaulicht die Abbildung 2.2. Dieser Wert p wird jedem Ergebnis ω des Versuches zugeordnet. Man bezeichnet ihn als Wahrscheinlichkeit p(ω) und er steht für den Grenzwert der relativen Häugkeit 5

6 relative Häufigkeit der Ziffer Anzahl der Ziffern Abbildung 2.2: rel. Häugkeit mit zunehmendem n des Ergebnisses ω bei (theoretisch) unendlich vielen Wiederholungen. Der Wert kann wie hier in unserem Beispiel näherungsweise bestimmt werden. Man hätte ihn allerdings aus Symmetriegründen auch direkt angeben können. Mit diesen Überlegungen kann man unser Zufallsgerät auch durch folgende Tabelle beschreiben: Ergebnis ω Wahrscheinlichkeit p(ω) Bei vielen Versuchen wie zum Beispiel beim Werfen eines Reiÿnagels, der entweder auf der achen oder auf der spitzen Seite aufkommen kann, ist es allerdings nicht möglich nur aufgrund von Symmetrieüberlegungen die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ergebnisse anzugeben. Hier bleibt einem nur die Möglichkeit diese anhand eines Experiments näherungsweise zu bestimmen. Beschäftigt man sich genauer mit einem Zufallsversuch wird es einem bald nicht mehr genügen nur direkte Ergebnisse, wie zum Beispiel ω = 5 zu untersuchen sondern man interessiert sich auch für kompliziertere Ereignisse. Diese könnten dann etwa sein: 1 12 ω ist gerade ω < 3 ω ist eine Primzahl 6

7 Diese Ereignisse beinhalten jeweils mehrere Elemente der Grundmenge Ω. Dies führt zu folgender Denition: Denition 2.2 Ein Ereignis A ist eine Teilmenge von Ω. Man sagt das Ereignis A ist eingetreten, wenn für das Ergebnis ω gilt: ω A. In diesem Zusammenhang gibt es noch ein paar weitere Begrie zu klären: Gilt ω / A dann sagt man das Ereignis Ā ist eingetreten oder A ist nicht eingetreten. Die Grundmenge Ω bezeichnet man als das sichere Ereignis, da immer gilt: ω Ω. Entsprechend nennt man das unmögliche Ereignis. Gilt ω A B dann sagt man A und B sind eingetreten. ω A B bedeutet, dass A oder B eingetreten ist Zwei Ereignisse A und B heiÿen unvereinbar, wenn sie disjunkt sind, d.h. es gilt: A B = Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignis A berechnet sich als Summe der Wahrscheinlichkeiten, der in A enthaltenen Ergebnisse. p(a) = ω A P ({ω}) 2.2 Laplace-Experimente Von einem Laplace-Experiment spricht man immer dann, wenn aufgrund von Symmetrieüberlegungen davon ausgegangen werden kann, dass alle endlich viele möglichen Ergebnisse ω Ω die gleiche Wahrscheinlichkeit besitzen. Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses lässt sich in diesem Fall besonders einfach berechnen: p(ω) = 1 Ω Auÿerdem berechnet sich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A Ω mit folgender Vereinfachung: p(a) = 1 Ω + 1 Ω Ω = A Ω = Anzahl der für A günstigen Fälle Anzahl der möglichen Fälle Spricht man im Zusammenhang mit Zufallsexperimenten von einer zufälligen Auswahl oder Ziehung, so bedeutet dies, dass alle ω gleich wahrscheinlich sein sollen. 7

8 Abbildung 2.3: Der französische Mathematiker Pierre Simon Laplace lebte von 1749 bis Sein Werk umfasst neben einigen Erkenntnissen im Bereich der Astronomie vor allem Errungenschaften in der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Hier hat er sich besonders mit gleich wahrscheinlichen Ausfällen beschäftigt und hatte sich zum Ziel gesetzt die verbreitete Meinung, dass Wahrscheinlichkeit nicht mathematisch zu behandeln sei, zu widerlegen. In seinem 1814 erschienenen Werk Philosophischer Versuch über die Wahrscheinlichkeiten schrieb er: Die Theorie des Zufalls (des hasards) besteht darin, alle Ereignisse derselben Art auf eine gewisse Anzahl gleich möglicher Fälle zurückzuführen, d. h. auf solche, über deren Existenz wir in gleicher Weise im Unklaren sind, und dann die Zahl der Fälle zu bestimmen, die dem Ereigniss, dessen Wahrscheinlichkeit man sucht, günstig sind. Das Verhältniss dieser Zahl zu der aller möglichen Fälle ist das Maass dieser Wahrscheinlichkeit, die also nur ein Bruch ist, dessen Zähler die Zahl der günstigen Fälle, und dessen Nenner die Zahl aller möglichen Fälle ist. 2.3 Endliche Wahrscheinlichkeitsräume Will man jedem Ereignis A Ω eine Wahrscheinlichkeit P (A) zuordnen, so bedient man sich einer axiomatisch denierten Abbildung P von der Menge der Teilmengen von Ω in [0, 1]. Die Menge der Teilmengen von Ω, also alle möglichen Ereignisse ist mengentheoretisch die Potenzmenge P(Ω). Eine solche Abbildung P : P(Ω) [0, 1] nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsmaÿ, wenn sie folgende Eigenschaften hat: 1. P ist normiert, d.h. P (Ω) = 1 2. P ist positiv, d.h. P (A) 0 A Ω 3. P ist additiv, d.h. P (A B) = P (A) + P (B) für alle A, B mit A B = (A, B disjunkt) Denition 2.3 Das Paar (Ω, P ) bezeichnet man als den, dem Experiment zugeordneten endlichen Wahscheinlichkeitsraum 1 (W-Raum), falls Ω endlich viele Elemente hat. 1 Von einem unendlichen Wahrscheinlichkeitsraum spricht man dann, wenn der Stichprobenraum Ω unendlich viele Elemente enthält. Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten benötigt man dabei unendliche Summen. Oft man kann man diese aber vermeiden indem man die Eigenschaft des Corollars 2.4 benutzt. 8

9 Im Falle eines Laplace-Experiments mit gleich wahrscheinlichen Ergebnissen spricht man auch auch von einem Laplaceschen Wahrscheinlichkeitsraum. Lemma 2.4 Für A Ω gilt: P (Ā) = 1 P (A) und speziell: P ( ) = 0 Beweis: Es gilt: A Ā = und A Ā = Ω. Damit folgt: 1 (1) (2) = P (Ω) = P (A Ā) = P (A) + P (Ā) = P (Ā) = 1 P (A) und wegen Ω = folgt direkt die zweite Behauptung Als weitere wichtige Eigenschaften, der Abbildung P könnte man folgende nennen: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) für A, B nicht notwendig disjunkt (2.1) A B = P (A) P (B) (2.2) ( n ) n P A i = P (A i ) falls A 1,...,A n paarweise disjunkt sind (2.3) i=1 i=1 ( n ) P A i i=1 n P (A i ) für beliebige A 1,...,A n ; (2.4) i=1 Beweis: (der Eigenschaft (2.1)) Die Menge A B kann man als folgende disjunkte Vereinigung auassen: Auÿerdem gilt: A B = (A B) (A\(A B)) (B\(A B)) P (A B) = P (A B) + P (A\(A B)) + P (B\(A B)) A = (A B) (A\(A B)) P (A) = P (A B) + P (A\(A B)) P (A\(A B)) = P (A) P (A B) Und analog: P (B\(A B)) = P (B) P (A B) Dies ergibt zusammen P (A B) = P (A B) + P (A\(A B)) + P (B\(A B)) = P (A B) + P (A) P (A B) + P (B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 9

10 3 Mehrstuge Zufallsversuche Bei den mehrstugen Zufallsversuchen handelt es sich um Folgen der bisher betrachteten einstugen Versuche. Das heiÿt man betrachtet Versuche, bei denen es darum geht mit mehr als einem Würfel zu würfeln oder mehrere Kugeln aus einer Urne zu ziehen. 3.1 Bäume und Pfade Um die mehreren einzelnen Stufen einer solchen Folge von Versuchen gut und übersichtlich veranschaulichen zu können benutzt man Baumdiagramme. Betrachten wir wieder unsere schon vorgestellte Urne (aus Abb. 2.1) und befassen uns nun mit dem Versuch, dass aus dieser nacheinander zwei Kugeln gezogen werden. Wobei nach der ersten Kugel das Ergebnis notiert und die Kugel vor der nächsten Ziehung wieder zurückgelegt wird. Damit ergibt sich ein etwas veränderter Stichprobenraum Ω in dem jedes Ergebnis aus einer Folge von zwei Zahlen besteht. Veranschaulicht man diese Ziehung mit einem Baumdiagramm, dann entspricht jedem Abbildung 3.1: Baumdiagramm zur Urne aus Abb. 2.1 Ergebnis jeweils ein Pfad durch diesen Baum. Jeder Zweig erhält eine Wahrscheinlichkeit, die der des einstugen Zufallsversuches entspricht (Veranschaulicht in Abb. 3.2). Man muss nun eine Möglichkeit nden, aus den Wahrscheinlichkeiten der Zweige eines Pfades, die Wahrscheinlichkeit für den ganzen Pfad zu berechnen. Mit Hilfe der Überlegungen über die relative Häugkeit eines Ergebnisses kommt man hier zu folgendem Schluss: Bei der ersten Stufe liegt die Wahrscheinlichkeit für die Ziehung einer 5 bei 1 12, d.h., dass bei 1 12 aller Ziehungen eine 5 gezogen wird. Von die- beim zweiten Ziehen noch eine 1 dazubekommen. Also aller Ziehungen mit dem Ergebnis 51 enden. Dies führt sen 1 12 Fünfen werden jetzt 1 3 werden am Ende wohl zu folgender Denition: Denition 3.1 Pfadregel: Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten längs des Pfades multipliziert. 10

11 1/12 1/12 1/ /3 1/4 1/6 1/12 1/12 1/ Abbildung 3.2: Ausschnitt aus dem Baumdiagramm in Abb Unabhängige Versuche und unabhängige Ereignisse Man unterscheidet unabhängige und abhängige Zufallsversuche. Von unabhängigen Versuchen spricht man immer dann, wenn alle Stufen eines Versuches unabhängig voneinander durchgeführt werden können. Das heiÿt, dass der Ausgang der ersten Stufe beim Erstellen des Baumzweiges für die zweite Stufe nicht relevant ist. Zieht man zum Beispiel zwei Kugeln nacheinander aus einer Urne und legt die Kugeln dabei immer vorher wieder zurück, haben alle Ergebnisse in der ersten und er zweiten Stufe der Ziehung jeweils die gleiche Wahrscheinlichkeit. Beide Stufen können mit dem gleichen Baum beschrieben werden. Legt man jedoch vor der nächsten Ziehung die Kugel nicht wieder zurück, ändern sich im Baum der zweiten Stufe die Wahrscheinlichkeiten. Die zweite Stufe hängt also vom Ausgang der ersten Stufe ab. In einem solchen Fall spricht man abhängigen Zufallsversuchen. Ähnlich kann man auch zwei Ereignisse betrachten und sich überlegen ob sie voneinander abhängig sind oder nicht. Denition 3.2 Zwei Ereignisse heiÿen unabhängig, wenn gilt: P (A B) = P (A) P (B) In Worten könnte man dies so erklären, dass das Eintreten des einen Ereignisses die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des anderen Ereignisses nicht beeinusst. Die oben gegebene Denition nimmt jedoch keinen Bezug auf die Unabhängigkeit der Versuche und es wird nicht so recht ersichtlich, warum beim Würfeln eines Würfels die beiden Ereignisse A = {2, 3, 5} und B = {2, 4} unabhängig aber die Ereignisse C = {2, 4, 5, 6} und B abhängig sein sollen. Hier erhält man aber tatsächlich: P (A B) = 1 6 = P (B C) = = P (A) P (B) = P (B) P (C) 11

12 Aus diesem Grund sollte man die Denition an dieser Stelle zu folgender Aussage verfeinern: Lemma 3.3 Gegeben ist eine Folge von n unabhängigen Versuchen und die Ereignisse A 1, A 2,..., A n, wobei die A i jeweils nur vom Ausgang des i-ten Teilversuchs abhängen (i = 1, 2,..., n). Dann gilt das Multiplikationsgesetz: P (A 1 A 2 A n ) = P (A 1 ) P (A 2 ) P (A n ) Beweis: Seien Ω 1 = {x 1, x 2,..., x m }, Ω 2 = {y 1, y 2,..., y m },...,Ω n = {z 1, z 2,..., z m } die Stichprobenräume voneinander unabhängiger Urnen. Die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse x i, y j,..., z k seien dabei p i, q j,..., r k. Auÿerdem seien A 1 = {x 1, x 2, x 3 }, A 2 = {y 4, y 5 },..., A n = {z 6 } Ereignisse aus Ω 1, Ω 2,..., Ω n. Werden die n Versuche hintereinander ausgeführt ergibt sich ein Stichprobenraum Ω = Ω 1 Ω 2 Ω n. Auf diesem denieren wir eine Wahrscheinlichkeit P durch: (x i, y j,..., z k ) p ij...k. Mit p ij...k = p i r k (Pfadregel). Wir betrachten nun in Ω die Ereignisse B 1 = A 1 Ω 2 Ω n, B 2 = Ω 1 A 2 Ω n,..., B n = Ω 1 Ω 2 A n, dann hängt B 1 nur von der ersten Stufe ab und die anderen analog nur von einer Stufe. Und es gilt: P (B 1 ) = m j,...,k=1 = p 1 p 1 q j r k + m j,...,k=1 = (p 1 + p 2 + p 3 ) = p 1 + p 2 + p 3 = P (A 1 ) m j,...,k=1 q j r k + p 2 m j,...,k=1 p 2 q j r k + m j,...,k=1 q j r k } {{ } =1 wg. m j=1 q j=1 m j,...,k=1 q j r k + p 3 p 3 q j r k m j,...,k=1 q j r k Ebenso zeigt man P (B 2 ) = q 4 + q 5 = P (A 2 ),..., P (B n ) = P (A n ). Auÿerdem gilt:b 1 B 2 B n = A 1 A 2 A n und damit: P (B 1 B 2 B n ) = p 1 q 4 r 6 + p 1 q 5 r 6 + p 2 q 4 r 6 + p 2 q 5 r 6 + p 3 q 4 r 6 + p 3 q 5 r 6 = (p 1 + p 2 + p 3 ) (q 4 + q 5 ) (r 6 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) P (A n ) P (B 1 B 2 B n ) = P (B 1 ) P (B 2 ) P (B n ) 12

13 4 Kombinatorik Die Berechnung von Wahrscheinlichkeiten vieler Experimente und deren Ergebnisse beschränkt sich oft auf die Problematik des Abzählens einer Menge (siehe Laplace- Experimente). Diese Abzählprobleme, vor allem der Stichprobenräume von mehrstugen Versuchen, lassen sich auf kombinatorische Formeln zurückführen. Dabei kommt es zum einen darauf an auf welche Art und mit welcher Anordnung eine Teilmenge aus einer Grundmenge ausgewählt werden kann. Die sich hierbei ergebenden verschiedenen Stichprobenräume werden im Folgenden anhand einer Urne mit N verschiedenen Kugeln, die man sich mit 1, 2,..., N nummeriert vorstellen kann, erläutert. Es sollen jeweils n Kugeln gezogen werden. Wird eine Kugel vor einer erneuten Ziehung zurückgelegt und die Urne geschüttelt, spricht man von einer Stichprobe mit Zurücklegen. Dabei kann es also zur wiederholten Ziehung einer Kugel kommen. Wird dagegen auf das Zurücklegen verzichtet und es kann jede Kugel nur einmal vorkommen nennt man dies eine Ziehung ohne Rücklegen. Führt man jetzt mehrere Ziehungen hintereinander aus und möchte die Ziernfolge des Ergebnisses angeben, so kann man dies entweder in Form eines n-tupels (ω 1, ω 2,..., ω n ) machen, in dem ω i für das Ergebnis der i-ten Ziehung steht, oder man kann alternativ eine Menge angeben, in der die vorgekommenen Ergebnisse drinstehen. Im ersten Fall ist dabei die Reihenfolge des Erscheinen der Kugeln relevant, während es im zweiten Fall nur darauf ankommt, welche Kugel und wie oft sie vorgekommen ist. Daher unterscheidet man hier zwischen der Stichprobe mit Reihenfolge (geordnet) und der Stichprobe ohne Reihenfolge(ungeordnet). Sei jetzt A = {1, 2,..., N} die Menge der sich in der Urne bendlichen Kugeln. Durch die verschiedenen Möglichkeiten der Ziehung ergeben sich vier verschiedene Stichprobenräume. 4.1 Geordnete Stichproben mit Zurücklegen Man zieht insgesamt n Kugeln, wobei jeweils eine Kugel gezogen, ihre Nummer notiert und sie vor dem nächsten Ziehen wieder zurückgelegt wird. Dadurch ergibt sich folgender Stichprobenraum: Ω 1 := {ω = (ω 1, ω 2,..., ω n ) ω i A für i = 1,..., n} = A n Damit ist bekannt, dass Ω 1 = N n 4.2 Geordnete Stichproben ohne Zurücklegen Es werden wieder n Kugeln gezogen und auch die Nummern der Kugeln in der Reihenfolge des Erscheinen notiert; nur werden die Kugeln nicht mehr zurückgelegt, so dass sich mit jeder Ziehung die Zahl der möglichen Ergebnisse für die nächste Ziehung verkleinert. Die möglichen Ergebnisse kann man so angeben: Ω 2 = {ω = (ω 1, ω 2,..., ω n ) ω i A, ω i ω j für i j(1 i, j n)} 13

14 Nun möchte man auch hier die Anzahl der Elemente von Ω 2 bestimmen. Dazu benutzen wir folgendes Lemma Lemma 4.1 Sei eine Menge Ω n von n-tupeln ω wie oben gegeben, die die Ergebnisse eines aus n Stufen bestehenden Teilexperiments darstellen. k i sei die Anzahl der möglichen Ergebnisse der i-ten Stufe und jedes k i sei unabhängig davon, wie die früheren Stufen ausgegangen sind. Dann ist Ω n = k 1 k 2 k n Beweis: In unserem Fall haben wir N Kugeln in unserer Urne also gilt k 1 = N. Mit jedem Ziehen verringert sich die Zahl der Kugeln um eine, da die Kugeln nicht zurückgelegt werden. Das bedeutet, dass sich nach der ν-ten Ziehung noch N ν Kugeln in der Urne benden, also gilt: k ν+1 = N ν. Es ist also zu zeigen: Ω n = k 1 k 2 k n = N (N 1) (N (n 1)) Dies geschieht mittels einer einfachen Induktion. Induktionsanfang: n = 1: Bei nur einer Stufe enthält Ω 1 genau die N(= k 1 ) möglichen Ergebnisse, d.h. Ω 1 = k 1. Induktionsannahme: Die Aussage gilt für n = ν 1, d.h. nach ν 1 Stufen enthält Ω ν 1 k 1 k 2 k ν 1 = N (N 1) (N (v 2)) Elemente Induktionsbehauptung: Damit ist zu zeigen, dass die Aussage auch für n = ν stimmt, also dass gilt: Ω ν = k 1 k 2 k ν = N (N 1) (N (ν 1)). Angenommen nach der (ν 1)-ten Ziehung stehen die Tupel (ω 1, ω 2,..., ω ν 1 ) schon fest und ihre Anzahl sei Ω ν 1 = N (N 1) (N (ν 2)). Dann gibt es für jedes dieser Tupel k ν = N (ν 1) Möglichkeiten es um eine Stelle zu erweitern. Nämlich genau die Anzahl der noch in der Urne vorhandenen Kugeln, welche nicht von den Ausgängen der ν 1 Stufen davor abhängt. Also enthält die Menge Ω ν dann genau Ω ν 1 (N (ν 1) Elemente. Damit ist bewiesen: Ω ν = Ω ν 1 (N (ν 1)) = N (N 1) (N (ν 2)) (N (ν 1)) = N (N 1) (N (ν 1)) = N (N 1) (N ν + 1) Für das Produkt am Ende wird meist folgende Abkürzung verwendet: (N) n := N (N 1) (N n + 1) (4.1) Durch Multiplikation mit (N n)! (N n)! erhält man die noch einfacherere Darstellung: (N) n = N! (N n)! (4.2) 14

15 Ein wichtiger Spezialfall dieser Formel ist der Fall N = n. Dann werden alle Kugeln aus der Urne gezogen und man erhält als Stichprobenraum die Permutationen der Menge {1, 2,..., N}, welcher nach dem eben gezeigten Lemma genau (N) N = N! Elemente hat. Abschlieÿend lässt sich also festhalten, dass für den Stichprobenraum des geordneten Ziehens ohne Zurücklegen gilt: Ω 2 = (N) n = N! (N n)! 4.3 Ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen In diesem Fall werden die n Kugeln in einem Zug gezogen, da es auf die Reihenfolge nicht ankommt und auch keine Kugeln zurückgelegt werden. Für das Ergebnis ist es also nur von Bedeutung, welche Kugeln darin vorkommen und der zugehörige Stichprobenraum besteht aus der Menge der n-elementigen Teilmengen von A: Ω 3 = {{ω 1, ω 2,..., ω n } ω i A, ω i ω j für i j} Um diese Menge zu zählen überlegt man sich dass es nach dem letzten Fall n! Möglichkeiten gibt eine n-elementige Menge verschieden anzuordnen. Alle diese verschiedenen Anordnungen der n-elementigen Teilmengen waren Elemente von Ω 2. In der Menge Ω 3 bilden diese n! verschiedenen Anordnungen jedoch nur ein Element, da es hier nicht mehr auf die Reihenfolge ankommt. Das heiÿt dann für Zahl der Elemente von Ω 3 : Ω 3 = (N) n n! = N! n!(n n)! Für diese Zahl der n-elementigen Teilmengen einer N-elementigen Menge benutzt man die Notation ( ) ( ) N N! N := n n!(n n)! = (1 n N) (4.3) N n wobei ( N n) gelesen wird als: N über n. Weitere Eigenschaften: ( N n) = 0 falls n > N, denn dann ist auch (N)n = 0 ( N 0 ) = 1 da jede Menge genau eine 0-elementige Teilmenge besitzt, nämlich die leere Menge. Auÿerdem gilt: 0! := 1 15

16 4.4 Ungeordnete Stichproben mit Zurücklegen Die n Kugeln werden dieses Mal jeweils nach Zurücklegen der alten Kugel gezogen, wobei wieder die Reihenfolge nicht relevant sein soll. Wie im Fall davor betrachten wir erst einmal den Stichprobenraum Ω 1, welcher alle n-tupel aus A n enthält. Diese sind angeordnet und daher von ihrer Anzahl mehr, als wenn man die Anordnung auÿer Acht lässt. Da nun die Reihenfolge nicht mehr relevant ist, können wir die n-tupel aus Ω 1 alle in eine Standardform bringen, so dass wir wieder mehrere Elemente aus Ω 1 zu einem Element in Ω 4 zusammenfassen können. Dies geschieht dadurch, dass wir die Ziern innerhalb des Tupels, der Gröÿe nach ordnen. Ω 4 = {(ω 1, ω 2,..., ω n ) A n ω 1 ω 2 ω n } Da die Zahl der Ergebnisse, die hier zu einem zusammengefasst wurden nicht konstant ist, können wir die Anzahl nicht so leicht wie im Fall davor aus der Anzahl in Ω 1 bestimmen. Dazu bedienen wir uns einer bijektiven Abbildung. Diese soll die Menge Ω 4 bijektiv auf die Menge Ω 3 = {(ω 1, ω 2,..., ω n) B n ω 1 < ω 2 < < ω n} mit B = {1, 2,..., N + n 1} abbilden. Dazu verwenden wir folgende Zuordnung: ω i ω i = ω i + i 1. Die Menge Ω 3 entspricht jetzt einer Stichprobenmenge einer ungeordneten Ziehung ohne Zurücklegen und daher ergibt sich auch ihre Mächtigkeit nach der Formel des vorherigen Falls als ( ) N + n 1 Ω 4 = Ω 3 = n 4.5 Überblick der Stichprobenräume Die Überlegungen der letzten vier Fälle kann man in einer Tabelle zusammenfassen Stichproben vom Umfang n aus {1,..., N} mit Zurücklegen ohne Zurücklegen Geordnet N n (N) n ) ( Ungeornet N n) ( n+n 1 n Tabelle 1: Überblick Stichprobenräume 16

17 5 Resümee Den Groÿteil der hier behandelten Themen kennt man wohl schon aus dem Schulunterricht, auch wenn man dort nur grundlegende Kenntnisse über die Wahrscheinlichkeitstheorie kennen gelernt hat. Dennoch war es sicher von groÿem Vorteil in einem Gebiet, auf dem man die meisten Ergebnisse schon kennt, sich damit zu beschäftigen, wo ihre mathematischen Wurzeln liegen. Einfache Regeln, die man in der Schule stur auswendig gelernt und angewendet hat, kann man so viel besser verstehen und dann auch mit ganz anderem Hintergrundwissen in der Schule weitervermitteln. Vor allem bei der schwierigen Wahl der jeweils richtigen Urnenmodelle zu einer Aufgabe hat sich einiges mehr an Routine eingestellt. Dies schien einem früher doch oft sehr willkürlich vorzukommen. Besonders interessant und auch nützlich um später den Unterricht zu planen sind die vielen verschiedenen Beispiele und Aufgabe, die man in der Quelle [1] nden kann. Zu den Aufgaben sind auch reichlich Lösungen vorhanden und es empehlt sich wirklich sich hier mal unzuschauen. Literatur [1] Arthur Engel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik, Band 1, Klett Verlag, [2] Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, Vieweg Verlag, 2005 [3] Hans-Otto Georgii: Stochastik, Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik, 3.Auage, De Gruyter Verlag, 2007 Abbildung 2.3: de.wikipedia.org/wiki/pierre-simon_laplace 17

18 6 Anhang 6.1 Matlab-Code zur Modellierung der Urne aus Abbildung 2.1 function r = random x =[1,1,1,1,2,3,4,5,6,2,3,2]; r = floor (12 rand)+1; r = x( r ) ; 6.2 Matlab-Code zur Berechnung der Funktion aus Abbildung 2.2 function r e i h e close a l l N = 5000; x = [ 1 :N] ; for I = 1:N, x( I ) = random ; end x ( 1 : ) H_n = [ 1 : (N/ 1 0 ) ] ; for I = 1 : (N/10), m = 0; n = 10 I ; for J = 1: n, i f x(j) == 1 m = m + 1; end end H_n( I ) = m/n ; end hold on plot (H_n) plot ( [ 1, ], [ 1 / 3, 1 / 3 ], ' r ' ) xlabel ( ' Anzahl der Z i f f e r n ' ) ylabel ( ' r e l a t i v e Häufigkeit der Z i f f e r 1 ' ) hold o f f return 18