Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Mathematische Grundlagen der Kryptographie. 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe. Stefan Brandstädter Jennifer Karstens"

Transkript

1 Mathematische Grundlagen der Kryptographie 1. Ganze Zahlen 2. Kongruenzen und Restklassenringe Stefan Brandstädter Jennifer Karstens 18. Januar 2005

2 Inhaltsverzeichnis 1 Ganze Zahlen Grundlagen Teilbarkeit Darstellung ganzer Zahlen O- und Ω-Notation Aufwand von Addition, Multiplikation und Division mit Rest Polynomzeit Größter gemeinsamer Teiler Euklidischer Algorithmus Erweiterter euklidischer Algorithmus Zerlegung in Primzahlen i

3 Kapitel 1 Ganze Zahlen In der Kryptographie spielen ganze Zahlen eine fundamentale Rolle. Inhalt: Grundlegende Eigenschaften, fundamentale Algorithmen kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnen ganze Zahlen 1.1 Grundlagen Natürlichen Zahlen: = {1, 2, 3, 4, 5,...} Ganzen Zahlen: = {0, ±1, ±2, ±3,...} Rationale Zahlen und reelle Zahlen Es gilt Grundrechenarten: Addition, Multiplikation Grundregel reeller Zahlen: a b = 0, dann a oder b Null (andere Zahlenbereiche?) Vergleichen reeller Zahlen: 3 < 3, aber 3 > 1 α < β, α β α > β, α β Wenn α < β, dann auch α + γ < β + γ Wenn 0 < α und 0 < β, dann 0 < αβ Beispiel Es ist 5.43 = 5 und 5.43 = 6. 1

4 KAPITEL 1. GANZE ZAHLEN Teilbarkeit Definition Man sagt a teilt n, wenn es eine ganze Zahl b mit n = ab gibt. Eine ganze Zahl a 0 teilt eine ganze Zahl b genau dann, wenn es mindestens eine ganze Zahl n gibt, für die gilt: a n = b. Man sagt auch a ist Teiler von b, b ist teilbar durch a, b ist Vielfaches von a und schreibt formal a b. Ist a kein Teiler von b, so schreibt man a b. Beispiel Es gilt , weil 195 = ist. Genauso gilt 4 20, weil 20 = ( 4) ( 5) ist. Die Teiler von 20 sind ±1, ±2, ±4, ±5, ±10, ±20. 0 ist die einzige ganze Zahl, die durch jede ganze Zahl und selbst durch 0 teilbar ist. Ist a 1 und a b, so nennt man a einen echten Teiler von b. Eine natürliche Zahl ohne echten Teiler nennt man Primzahl. Eine Primzahl die ein Teiler einer Zahl ist, nennt man Primteiler. Division mit Rest von ganzen Zahlen: q = a/b und r = a bq Man nennt q den (ganzzahligen) Quotient und r den Rest der Division von a durch b. Man schreibt r = a mod b. Ersetzt man a durch a mod b, so sagt man auch, daß a modulo b reduziert wird. Beispiel Wenn a = 166 und b = 21 ist, dann erhält man q = 7 und r = 19, d.h. 166 mod 21 = 19. Entsprechend gilt 30 mod 8 = Darstellung ganzer Zahlen Ganze Zahlen werden normalerweise als Dezimalzahlen geschrieben, nur in Computern werden sie in Binärentwicklung gespeichert. Allgemein kann man ganze Zahlen mit Hilfe der sogenannten g-adischen Darstellung aufschreiben. Für eine natürliche Zahl g > 1 und eine positive reelle Zahl α bezeichnt man mit log g α den Logarithmus zur Basis g von α. Für eine Menge M bezeichnet M k die Menge aller Folgen der Länge k mit Gliedern aus M.

5 KAPITEL 1. GANZE ZAHLEN 3 Beispiel Es ist log 3 27 = 3, weil 3 3 = 27 ist. Ferner ist log 9 9 = 1, weil 9 1 = 9 ist. Definition Eine Folge (a 1,..., a k ) heißt g-adische Entwicklung von a. Ihre Glieder heißen Ziffern und ihre Länge ist k = log g a + 1. Diese Folge heißt Binärentwicklung von a, wenn g = 2 ist und Hexadezimalentwicklung von a, wenn g = 16 ist. Nur wenn die erste Ziffe von Null verschieden ist, ist die g-adische Entwicklung einer natürlichen Zahl eindeutig. Man schreibt auch a 1 a 2... a k. Beispiel Die Folge ist die Binärentwicklung der Zahl = 43. Bei der Hexadezimaldarstellung verwendet man für die Ziffern 10 bis 15 die Buchstaben A, B, C, D, E, F. Schreiben wir nun 43 in Hexadezimaldarstellung auf, erhalten wir 2B = Beispiel Bestimmen wir nun die Binärentwicklung von 46. Da 32 = 2 5 < 46 < 64 = 2 6 ist, hat unsere Binärentwicklung die Länge 6. Wir erhalten: a 1 = 46/32 = = 14. a 2 = 14/16 = 0. a 3 = 14/8 = = 6. a 4 = 6/4 = = 2. a 5 = 2/2 = = 0. a 6 = 0/1 = 0. Somit ist die Binärentwicklung von 46 die Folge Die Umwandlung von Binärentwicklungen in Hexadezimalentwicklungen und umgekehrt ist besonders einfach. Da jeweils 4 aufeinanderfolgende Bits (mit der kleinsten Stelle beginnend) einer Hexadezimalziffer entsprechen und umgekehrt jede Hexadezimalziffer 4 Bits repräsentiert. Beispiel Wir betrachten die Binärentwicklung n = Wir zerlegen die Binärentwicklung in Bitstrings der Länge 4, wobei wir bei der kleinsten Stelle beginnen: 1110 = E, 0101 = 5, 1100 = C. Daher ist C5E die Hexadezimalentwicklung von n. Als binäre Länge bezeichnet man die Länge der Binärentwicklung einer natürlichen Zahl. Die binäre Länge von 0 ist 1. Aber die binäre Länge einer ganzen Zahl a ist die binäre Länge ihres Absolutbetrages a, sie wird auch mit size(a) oder size a bezeichnet.

6 KAPITEL 1. GANZE ZAHLEN O- und Ω-Notation Beim Abschätzen des Berechnungsaufwandes und des Speicheraufwandes eines kryptographischen Algorithmus, ist es nützlich, die O- und die Ω-Notation zu verwenden. Mit dem großen lateinischen Buchstaben O, kann man obere Schranken angeben, untere Schranken zu finden ist im allgemeinen viel schwieriger, für sie verwendet man den großen griechischen Buchstaben Ω. Beispiel Es ist 2n 2 + n + 1 = O (n 2 ), weil 2n 2 + n + 1 4n 2 für alle n 1 ist. Außerdem ist 2n 2 + n + 1 = Ω (n 2 ), weil 2n 2 + n + 1 2n 2 für alle n 1 ist. 1.5 Aufwand von Addition, Multiplikation und Division mit Rest Um den Laufzeit eines kryptographischen Verfahren abzuschätzen muß man untersuchen, welchen zeitlichen Aufwand Addition, Multiplikation und Division mit Rest haben. Zunächst legt man ein Rechenmodell fest, welches den tatsächlichen Berechnungsmaschinen möglichst ähnlich ist. Die natürlichen Zahlen a und b sind durch ihre Binärentwicklung gegeben. m ist die binäre Länge von a und n die binäre Länge von b. Zum Rechnen schreiben wir die Binärentwicklungen von a und b untereinanden und rechnen Bit für Bit mit Übertrag. Beispiel Sei a = 11011, b = Wir berechnen a + b: Übertrag Beispiel Sei a = 11011, b = Wir berechnen a b: Übertrag Beispiel Sei a = 11010, b = Wir dividieren a mit Rest durch b:

7 KAPITEL 1. GANZE ZAHLEN = Zusammenfassung: 1. Die Addition (a + b) benötigt die Zeit O(max{size a, size b}). 2. Die Multiplikation (a b) benötigt die Zeit O((size a)(size b)). 3. Die Division mit Rest von a durch b benötigt die Zeit O((size b)(size q)), wobei q der Quotient ist. Der benötigte Platz ist O(size a + size b). 1.6 Polynomzeit Wenn man ein kryptographisches Verfahren analysieren will, muß man zeigen, daß es in der Praxis effizient funktioniert aber nicht effizient gebrochen werden kann. Unser Algorithmus arbeitet mit den ganzen Zahlen z 1,..., z n. Dieser Algorithmus hat polynomielle Laufzeit, wenn er die Laufzeit O((size z 1 ) e 1 (size z 2 ) e2 (size z n ) en ) hat, wobei e 1,..., e n nicht negative ganze Zahlen sind. Dieser Algorithmus gilt als effizient, da er polynomielle Laufzeit hat, praktisch ist er aber erst effizient, wenn die O-Konstanten und die Exponenten e i klein sind. 1.7 Größter gemeinsamer Teiler Definition Ein gemeinsamer Teiler von a und b ist eine ganze Zahl c, die a und auch b ohne Rest teilt. Berechnet man alle gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen a 0 und b 0 und entfernt mögliche Doppelgänger, so gibt es genau einen größten. Dieser heißt größter gemeinsamer Teiler (ggt) von a und b und wird oft auch mit gcd(a, b) bezeichnet, wobei gcd die Abkürzung für greatest common divisor ist. Der ggt zweier ganzer Zahlen kann nie negativ sein, der ggt von 0 und 0 wird 0 gesetzt.

8 KAPITEL 1. GANZE ZAHLEN 6 Beispiel Der gcd(12, 30) = 6. Der gcd(-20, 40) = 20. Der gcd(-20, -16) = 4. Der gcd(7, 0) = 7. Die Gleichung ax + by = n ist für alle a, b, n genau dann durch ganze Zahlen x und y lösbar, wenn gcd(a, b) ein Teiler von n ist. Aber wie wird nun gcd(a, b) berechnet und wie werden die Zahlen x und y bestimmt, damit die Gleichung ax + by =gcd(a, b) erfüllt wird. Die effiziente Lösung dieser Probleme mit Hilfe des euklidischen Algorithmus, oder ähnlich effizienten Algorithmen ist für fast alle kryptographischen Techniken ein sehr wichtiger Umstand. 1.8 Euklidischer Algorithmus Sehr effizientes Verfahren zur Bestimmung des ggt(a, b) Einer der ältesten bekannten Algorithmen der Welt Griechischer Mathematiker Euklid, um 300 v. Chr., Die Elemente Funktion: Ohne Kenntnis der Primfaktorzerlegung der Zahlen a und b Prinzip: auch gegenseitige Wechselwegnahme genannt Eingangsgrößen sind zwei natürliche Zahlen a und b Bei der Berechnung verfährt man nach Euklid wie folgt: 1. Setze m = a; n = b 2. Ist m < n, so vertausche m und n 3. Berechne r = m n 4. Setze m = n, n = r 5. Ist r 0 weiter mit Schritt 2 Nach Ablauf des Verfahrens hat man mit m den gcd(a, b) gefunden.

9 KAPITEL 1. GANZE ZAHLEN Erweiterter euklidischer Algorithmus Erweiterung des klassischen euklidischen Algorithmus Optimierung: Division mit Rest und nicht mehr mit Subtraktion Liefert die Koeffizienten x und y mit gcd(a, b) = ax + by Der Algorithmus sieht wie folgt aus: 1. Setze m = a, n = b, x = 1, y = 0, u = 0, v = 1 2. Berechne q und r mit m = q n + r (Division mit Rest) 3. Setze m = n, n = r, u = x q u, v = y q v 4. Setze x = u, y = v, u = u, v = v 5. Falls n 0 weiter mit Schritt 2. Nach Beendigung erhält man die Koeffizienten x und y und den gcd(a, b) = m = ax + by. Die Laufzeit des erweiterten euklidischen Algorithmus, für zwei ganze Zahlen a und b beträgt O((size a)(size b)) Zerlegung in Primzahlen Es ist bewiesen, daß sich jede natürliche Zahl, bis auf 1 und die Primzahlen selbst, als Produkt von Primzahlen schreiben läßt. Es ist weiterhin bewiesen, daß es unendlich viele Primzahlen gibt. Primfaktorzerlegung: Darstellung einer natürlichen Zahl a als Produkt von Primfaktoren Bis heute noch keine effizienten Algorithmen für Primfaktorzerlegung bekannt Sicherheit des RSA-Verschlüsslungsverfahrens, sowie andere wichtige kryptographische Verfahren

10 KAPITEL 1. GANZE ZAHLEN 8 Ist das Faktorisierungsproblem schwer? (noch kein Beweis bekannt!) Beispiel Der französische Jurist Pierre de Fermat (1601 bis 1665) glaubte, daß alle nach ihm benannten Fermat-Zahlen F i = 2 2i + 1 Primzahlen seien, aber dem ist nicht so. Denn 1732 fand Euler heraus, daß F 5 = zusammengesetzt ist und demnach keine Primzahl ist. F 0 = 3, F 1 = 5, F 2 = 17, F 3 = 257 und F 4 = sind Primzahlen F 6, F 7, F 8 und F 9 sind zusammengesetzt Zerlegung der 39-stelligen Fermat-Zahl F 7 hat bis 1970 gedauert (Problem der Faktorisierung) 155-stellige Fermat-Zahl F 9 schon 20 Jahre später faktorisiert (enorme Weiterentwicklung)

RSA Verfahren. Kapitel 7 p. 103

RSA Verfahren. Kapitel 7 p. 103 RSA Verfahren RSA benannt nach den Erfindern Ron Rivest, Adi Shamir und Leonard Adleman war das erste Public-Key Verschlüsselungsverfahren. Sicherheit hängt eng mit der Schwierigkeit zusammen, große Zahlen

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

Teilbarkeit von natürlichen Zahlen

Teilbarkeit von natürlichen Zahlen Teilbarkeit von natürlichen Zahlen Teilbarkeitsregeln: Die Teilbarkeitsregeln beruhen alle darauf, dass man von einer Zahl einen grossen Teil wegschneiden kann, von dem man weiss, dass er sicher durch

Mehr

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung

Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Lenstras Algorithmus für Faktorisierung Bertil Nestorius 9 März 2010 1 Motivation Die schnelle Faktorisierung von Zahlen ist heutzutage ein sehr wichtigen Thema, zb gibt es in der Kryptographie viele weit

Mehr

Einführung in die Informatik I

Einführung in die Informatik I Einführung in die Informatik I Das Rechnen in Zahlensystemen zur Basis b=2, 8, 10 und 16 Prof. Dr. Nikolaus Wulff Zahlensysteme Neben dem üblichen dezimalen Zahlensystem zur Basis 10 sind in der Informatik

Mehr

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat

Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Der Zwei-Quadrate-Satz von Fermat Proseminar: Das BUCH der Beweise Fridtjof Schulte Steinberg Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin 29.November 2012 1 / 20 Allgemeines Pierre de Fermat

Mehr

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008

Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Aufgaben des MSG-Zirkels 10b Schuljahr 2007/2008 Alexander Bobenko und Ivan Izmestiev Technische Universität Berlin 1 Hausaufgaben vom 12.09.2007 Zahlentheorie 1 Aufgabe 1.1 Berechne die (quadratischen)

Mehr

Probabilistische Primzahlensuche. Marco Berger

Probabilistische Primzahlensuche. Marco Berger Probabilistische Primzahlensuche Marco Berger April 2015 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 4 1.1 Definition Primzahl................................ 4 1.2 Primzahltest...................................

Mehr

Zahlenbereiche. Jörn Loviscach. Versionsstand: 20. Oktober 2009, 17:43

Zahlenbereiche. Jörn Loviscach. Versionsstand: 20. Oktober 2009, 17:43 Zahlenbereiche Jörn Loviscach Versionsstand: 20. Oktober 2009, 17:43 1 Natürliche, ganze und rationale Zahlen Zum Zählen benötigt man die positiven natürlichen Zahlen 1, 2, 3,... In der Informatik zählt

Mehr

Primzahlen im Schulunterricht wozu?

Primzahlen im Schulunterricht wozu? Primzahlen im Schulunterricht wozu? FRANZ PAUER, FLORIAN STAMPFER (UNIVERSITÄT INNSBRUCK) 1. Einleitung Eine natürliche Zahl heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat. Im Lehrplan der Seundarstufe

Mehr

Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird.

Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. Zahlensysteme Definition: Ein polyadisches Zahlensystem mit der Basis B ist ein Zahlensystem, in dem eine Zahl x nach Potenzen von B zerlegt wird. In der Informatik spricht man auch von Stellenwertsystem,

Mehr

5. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12)

5. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12) Technische Universität München Zentrum Mathematik PD Dr. hristian Karpfinger http://www.ma.tum.de/mathematik/g8vorkurs 5. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12) Aufgabe 5.1: In einer Implementierung

Mehr

Was bisher geschah Kryptographische Systeme (M, C, K, e, d) Verfahren: symmetrisch klassisch: Verschiebechiffren (Spezialfall Caesar-Code)

Was bisher geschah Kryptographische Systeme (M, C, K, e, d) Verfahren: symmetrisch klassisch: Verschiebechiffren (Spezialfall Caesar-Code) Was bisher geschah Kryptographische Systeme (M, C, K, e, d) Verfahren: symmetrisch klassisch: Verschiebechiffren (Spezialfall Caesar-Code) Multiplikative Chiffren monoalphabetische Substitutions-Chiffren:

Mehr

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1)

GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) GF(2 2 ) Beispiel eines Erweiterungskörpers (1) Im Kapitel 2.1 wurde bereits gezeigt, dass die endliche Zahlenmenge {0, 1, 2, 3} q = 4 nicht die Eigenschaften eines Galoisfeldes GF(4) erfüllt. Vielmehr

Mehr

Einführung in die Informatik I

Einführung in die Informatik I Einführung in die Informatik I Algorithmen und deren Programmierung Prof. Dr. Nikolaus Wulff Definition Algorithmus Ein Algorithmus ist eine präzise formulierte Handlungsanweisung zur Lösung einer gleichartigen

Mehr

1. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis 10 darstellen:

1. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis 10 darstellen: Zahlensysteme. Das dekadische Ziffernsystem (Dezimalsystem) Eine ganze Zahl z kann man als Summe von Potenzen zur Basis darstellen: n n n n z a a... a a a Dabei sind die Koeffizienten a, a, a,... aus der

Mehr

Ein einfacher Primzahltest

Ein einfacher Primzahltest Faktorisierung großer Zahlen Die Sicherheit moderner Datenverschlüsselung beruht darauf, daß es ungeheuer schwierig ist, eine mehr als 100stellige Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Die Technik der

Mehr

Einführung in Computer Microsystems

Einführung in Computer Microsystems Einführung in Computer Microsystems Kapitel 9 Entwurf eines eingebetteten Systems für Anwendungen in der IT-Sicherheit Prof. Dr.-Ing. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik Integrierte Schaltungen und Systeme

Mehr

Zahlensysteme Seite -1- Zahlensysteme

Zahlensysteme Seite -1- Zahlensysteme Zahlensysteme Seite -- Zahlensysteme Inhaltsverzeichnis Dezimalsystem... Binärsystem... Umrechnen Bin Dez...2 Umrechnung Dez Bin...2 Rechnen im Binärsystem Addition...3 Die negativen ganzen Zahlen im Binärsystem...4

Mehr

Zur Universalität der Informatik. Gott ist ein Informatiker. Die Grundordnung der Welt läßt sich mathematisch formulieren:

Zur Universalität der Informatik. Gott ist ein Informatiker. Die Grundordnung der Welt läßt sich mathematisch formulieren: Daten und ihre Codierung Seite: 1 Zur Universalität der Informatik Gott ist ein Informatiker Die Grundordnung der Welt läßt sich mathematisch formulieren: Naturgesetze, wie wir sie in der Physik, Chemie

Mehr

BSZ für Elektrotechnik Dresden. Zahlenformate. Dr.-Ing. Uwe Heiner Leichsenring www.leichsenring-homepage.de

BSZ für Elektrotechnik Dresden. Zahlenformate. Dr.-Ing. Uwe Heiner Leichsenring www.leichsenring-homepage.de BSZ für Elektrotechnik Dresden Zahlenformate Dr.-Ing. Uwe Heiner Leichsenring www.leichsenring-homepage.de Gliederung 1 Überblick 2 Grundaufbau der Zahlensysteme 2.1 Dezimalzahlen 2.2 Binärzahlen = Dualzahlen

Mehr

Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik

Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik Computergrundlagen Boolesche Logik, Zahlensysteme und Arithmetik Institut für Computerphysik Universität Stuttgart Wintersemester 2012/13 Wie rechnet ein Computer? Ein Mikroprozessor ist ein Netz von Transistoren,

Mehr

Kapitel 2 Grundlegende Konzepte. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung

Kapitel 2 Grundlegende Konzepte. Xiaoyi Jiang Informatik I Grundlagen der Programmierung Kapitel 2 Grundlegende Konzepte 1 2.1 Zahlensysteme Römisches System Grundziffern I 1 erhobener Zeigefinger V 5 Hand mit 5 Fingern X 10 steht für zwei Hände L 50 C 100 Centum heißt Hundert D 500 M 1000

Mehr

Datensicherheit durch Kryptographie

Datensicherheit durch Kryptographie Datensicherheit durch Kryptographie Dr. Michael Hortmann Fachbereich Mathematik, Universität Bremen T-Systems Michael.Hortmann@gmx.de 1 Kryptographie: Klassisch: Wissenschaft und Praxis der Datenverschlüsselung

Mehr

Das Maschinenmodell Datenrepräsentation

Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Das Maschinenmodell Datenrepräsentation Darstellung von Zahlen/Zeichen in der Maschine Bit (0/1) ist die kleinste Informationseinheit Größere Einheiten durch Zusammenfassen mehrerer Bits, z.b. 8 Bit =

Mehr

Prinzip 8 der von-neumann Architektur: (8) Alle Daten werden binär kodiert

Prinzip 8 der von-neumann Architektur: (8) Alle Daten werden binär kodiert Binäre Repräsentation von Information Bits und Bytes Binärzahlen ASCII Ganze Zahlen Rationale Zahlen Gleitkommazahlen Motivation Prinzip 8 der von-neumann Architektur: (8) Alle Daten werden binär kodiert

Mehr

Elementare Kryptographie

Elementare Kryptographie Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Mathematik Elementare Kryptographie Kai Gehrs gehrs@mupad.de Paderborn, 9. Juli 2007 Inhaltsverzeichnis Grundlagen:

Mehr

Technische Informatik - Eine Einführung

Technische Informatik - Eine Einführung Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg Fachbereich Mathematik und Informatik Lehrstuhl für Technische Informatik Prof. P. Molitor Ausgabe: 2005-02-21 Abgabe: 2005-02-21 Technische Informatik - Eine

Mehr

Information in einem Computer ist ein

Information in einem Computer ist ein 4 Arithmetik Die in den vorhergehenden Kapiteln vorgestellten Schaltungen haben ausschließlich einfache, Boole sche Signale verarbeitet. In diesem Kapitel wird nun erklärt, wie Prozessoren mit Zahlen umgehen.

Mehr

Im Original veränderbare Word-Dateien

Im Original veränderbare Word-Dateien Binärsystem Im Original veränderbare Word-Dateien Prinzipien der Datenverarbeitung Wie du weißt, führen wir normalerweise Berechnungen mit dem Dezimalsystem durch. Das Dezimalsystem verwendet die Grundzahl

Mehr

Zahlensysteme. Digitale Rechner speichern Daten im Dualsystem 435 dez = 1100110011 binär

Zahlensysteme. Digitale Rechner speichern Daten im Dualsystem 435 dez = 1100110011 binär Zahlensysteme Menschen nutzen zur Angabe von Werten und zum Rechnen vorzugsweise das Dezimalsystem Beispiel 435 Fische aus dem Teich gefischt, d.h. 4 10 2 + 3 10 1 +5 10 0 Digitale Rechner speichern Daten

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Binärdarstellung von Fliesskommazahlen

Binärdarstellung von Fliesskommazahlen Binärdarstellung von Fliesskommazahlen 1. IEEE 754 Gleitkommazahl im Single-Format So sind in Gleitkommazahlen im IEEE 754-Standard aufgebaut: 31 30 24 23 0 S E E E E E E E E M M M M M M M M M M M M M

Mehr

Ein Turbo-Pascal-Programm zur Umrechnung vom Dezimalsystem in andere Zahlensysteme

Ein Turbo-Pascal-Programm zur Umrechnung vom Dezimalsystem in andere Zahlensysteme Ein Turbo-Pascal-Programm zur Umrechnung vom Dezimalsystem in andere Zahlensysteme Stefan Ackermann Mathematisches Institut der Universität Leipzig 11. November 2005 Zusammenfassung Dezimalzahlen bzw.

Mehr

Wie viele Nullstellen hat ein Polynom?

Wie viele Nullstellen hat ein Polynom? Wie viele Nullstellen hat ein Polynom? Verena Pölzl 0812265 Sabine Prettner 8930280 Juni 2013 1 Inhaltsverzeichnis 1 Warum will man wissen, wie viele Nullstellen ein Polynom hat? 3 2 Oligonome 4 3 Die

Mehr

1. 4-Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen 2. 4-Bit Binärzahlen mit Vorzeichen 3. 4-Bit Binärzahlen im 2er Komplement 4. Rechnen im 2er Komplement

1. 4-Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen 2. 4-Bit Binärzahlen mit Vorzeichen 3. 4-Bit Binärzahlen im 2er Komplement 4. Rechnen im 2er Komplement Kx Binäre Zahlen Kx Binäre Zahlen Inhalt. Dezimalzahlen. Hexadezimalzahlen. Binärzahlen. -Bit Binärzahlen ohne Vorzeichen. -Bit Binärzahlen mit Vorzeichen. -Bit Binärzahlen im er Komplement. Rechnen im

Mehr

Geheimnisvolle Codes

Geheimnisvolle Codes Geheimnisvolle Codes 1 vorgelegt bei: Mathematisches Seminar für LAK Univ.-Prof. Karin Baur WS 2014/15 von: Julia Hager 0910838 j.hager@edu.uni-graz.at 1 Quelle: http://www.austromath.at/medienvielfalt/materialien/krypto/krypt.png

Mehr

Wie viele Primzahlen gibt es?

Wie viele Primzahlen gibt es? 1 Wie viele Primzahlen gibt es? Die Frage, wie viele Primzahlen es gibt, wird durch den fundamentalen Satz beantwortet: Es gibt unendlich viele Primzahlen. Ich werde mehrere Beweise für diesen Satz vorstellen,

Mehr

4. Digitale Datendarstellung

4. Digitale Datendarstellung 4 Digitale Datendarstellung Daten und Codierung Textcodierung Codierung natürlicher Zahlen - Stellenwertsysteme - Konvertierung - Elementare Rechenoperationen Codierung ganzer Zahlen - Komplementdarstellung

Mehr

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt

Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Ein neuer Beweis, dass die Newton sche Entwicklung der Potenzen des Binoms auch für gebrochene Exponenten gilt Leonhard Euler 1 Wann immer in den Anfängen der Analysis die Potenzen des Binoms entwickelt

Mehr

Faktorisieren mit dem Quadratischen Sieb

Faktorisieren mit dem Quadratischen Sieb Faktorisieren mit dem Quadratischen Sieb Ein Beitrag zur Didaktik der Algebra und Kryptologie Ralph-Hardo Schulz und Helmut Witten Eines der zur Zeit schnellsten Verfahren zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Mehr

10. Public-Key Kryptographie

10. Public-Key Kryptographie Stefan Lucks 10. PK-Krypto 274 orlesung Kryptographie (SS06) 10. Public-Key Kryptographie Analyse der Sicherheit von PK Kryptosystemen: Angreifer kennt öffentlichen Schlüssel Chosen Plaintext Angriffe

Mehr

Technische Informatik I

Technische Informatik I Technische Informatik I Vorlesung 2: Zahldarstellung Joachim Schmidt jschmidt@techfak.uni-bielefeld.de Übersicht Geschichte der Zahlen Zahlensysteme Basis / Basis-Umwandlung Zahlsysteme im Computer Binärsystem,

Mehr

Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik*

Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik* Zahlendarstellungen und Rechnerarithmetik* 1. Darstellung positiver ganzer Zahlen 2. Darstellung negativer ganzer Zahlen 3. Brüche und Festkommazahlen 4. binäre Addition 5. binäre Subtraktion *Die Folien

Mehr

1. Asymmetrische Verschlüsselung einfach erklärt

1. Asymmetrische Verschlüsselung einfach erklärt 1. Asymmetrische Verschlüsselung einfach erklärt Das Prinzip der asymmetrischen Verschlüsselung beruht im Wesentlichen darauf, dass sich jeder Kommunikationspartner jeweils ein Schlüsselpaar (bestehend

Mehr

Grundlagen der Kryptographie

Grundlagen der Kryptographie Grundlagen der Kryptographie Seminar zur Diskreten Mathematik SS2005 André Latour a.latour@fz-juelich.de 1 Inhalt Kryptographische Begriffe Primzahlen Sätze von Euler und Fermat RSA 2 Was ist Kryptographie?

Mehr

Elemente der Analysis II

Elemente der Analysis II Elemente der Analysis II Kapitel 3: Lineare Abbildungen und Gleichungssysteme Informationen zur Vorlesung: http://www.mathematik.uni-trier.de/ wengenroth/ J. Wengenroth () 15. Mai 2009 1 / 35 3.1 Beispiel

Mehr

21.10.2013. Vorlesung Programmieren. Agenda. Dezimalsystem. Zahlendarstellung. Zahlendarstellung. Oder: wie rechnen Computer?

21.10.2013. Vorlesung Programmieren. Agenda. Dezimalsystem. Zahlendarstellung. Zahlendarstellung. Oder: wie rechnen Computer? Vorlesung Programmieren Zahlendarstellung Prof. Dr. Stefan Fischer Institut für Telematik, Universität zu Lübeck http://www.itm.uni-luebeck.de/people/pfisterer Agenda Zahlendarstellung Oder: wie rechnen

Mehr

Einstieg in die Informatik mit Java

Einstieg in die Informatik mit Java 1 / 34 Einstieg in die Informatik mit Java Zahldarstellung und Rundungsfehler Gerd Bohlender Institut für Angewandte und Numerische Mathematik Gliederung 2 / 34 1 Überblick 2 Darstellung ganzer Zahlen,

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

Verschlüsselte E-Mails Wie geht das?

Verschlüsselte E-Mails Wie geht das? Verschlüsselte E-Mails Wie geht das? Ralf Hemmecke Research Institute for Symbolic Computation Johannes Kepler University Linz, Austria 08. Mai 2015 Ralf Hemmecke (RISC, JKU Linz) Verschlüsselte E-Mails

Mehr

Computer im mathbuch Detaillierte Auflistung der Verwendungsmöglichkeit eines Computers im Mathematikunterricht mit dem mathbu.

Computer im mathbuch Detaillierte Auflistung der Verwendungsmöglichkeit eines Computers im Mathematikunterricht mit dem mathbu. Computer im mathbuch Detaillierte Auflistung der Verwendungsmöglich eines Computers im Mathematikunterricht mit dem mathbu.ch 7 9 / 9+ Sj LU Aufgabe(n) Adressat Lernphase Mathematischer Inhalt Beschreibung

Mehr

A1: Wandle durch Zerlegung in Zweierpotenzen in das Binärsystem um: 12; 22; 38; 57; 111; 31; 63; 96; 127; 65; 129; 145, 173 32; 64; 128; 255; 256

A1: Wandle durch Zerlegung in Zweierpotenzen in das Binärsystem um: 12; 22; 38; 57; 111; 31; 63; 96; 127; 65; 129; 145, 173 32; 64; 128; 255; 256 Aufgaben A1: Wandle durch Zerlegung in Zweierpotenzen in das Binärsystem um: 12; 22; 38; 57; 111; 31; 63; 96; 127; 65; 129; 145, 173 32; 64; 128; 255; 256 Wandle per Resteverfahren ins Binärsystem um:

Mehr

Binär- und Hexadezimal-Zahl Arithmetik.

Binär- und Hexadezimal-Zahl Arithmetik. Binär- und Hexadezimal-Zahl Arithmetik. Prof. Dr. Dörte Haftendorn, MuPAD 4, http://haftendorn.uni-lueneburg.de Aug.06 Automatische Übersetzung aus MuPAD 3.11, 24.04.02 Version vom 12.10.05 Web: http://haftendorn.uni-lueneburg.de

Mehr

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend

Mehr

Leitung 1 Leitung 2 0 0 0 1 1 0 1 1

Leitung 1 Leitung 2 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 Vorbetrachtungen Wie könnte eine Codierung von Zeichen im Computer realisiert werden? Der Computer arbeitet mit elektrischem Strom, d. h. er kann lediglich zwischen den beiden Zuständen Strom an und

Mehr

Vom goldenen Schnitt zum Alexanderplatz in Berlin

Vom goldenen Schnitt zum Alexanderplatz in Berlin Vom goldenen Schnitt zum Alexanderplatz in Berlin Mathematik von 1200 bis 2004 Stefan Kühling, Fachbereich Mathematik skuehling @ fsmath.mathematik.uni-dortmund.de Schnupper Uni 26. August 2004 1 1 Goldener

Mehr

Repräsentation von Daten Binärcodierung ganzer Zahlen

Repräsentation von Daten Binärcodierung ganzer Zahlen Kapitel 3: Repräsentation von Daten Binärcodierung ganzer Zahlen Einführung in die Informatik Wintersemester 2007/08 Prof. Bernhard Jung Übersicht Repräsentation von Daten im Computer (dieses und nächstes

Mehr

MGI Exkurs: Rechnen. Prof. Dr. Wolfram Conen Version 1.0a2. Prof. Dr. W. Conen, FH Gelsenkirchen, Version 1.0a2 1

MGI Exkurs: Rechnen. Prof. Dr. Wolfram Conen Version 1.0a2. Prof. Dr. W. Conen, FH Gelsenkirchen, Version 1.0a2 1 MGI Exkurs: Rechnen Prof. Dr. Wolfram Conen Version 1.0a2 Version 1.0a2 1 Schauen Sie sich um Computer und Netzwerke sind überall! Sie ermöglichen ein feingesponnenes Geflecht komplexer menschlicher Aktivitäten:

Mehr

Theorie und Implementation von parallelisierten Pseudozufallszahlengeneratoren

Theorie und Implementation von parallelisierten Pseudozufallszahlengeneratoren Theorie und Implementation von parallelisierten Pseudozufallszahlengeneratoren Forschungsbeleg von Heiko J. Bauke korrigierte Version vom 29. Juni 2001 Institut für Theoretische Physik Statistische Physik

Mehr

Sprechen wir über Zahlen (Karl-Heinz Wolff)

Sprechen wir über Zahlen (Karl-Heinz Wolff) Sprechen wir über Zahlen (Karl-Heinz Wolff) Die Überschrift ist insoweit irreführend, als der Autor ja schreibt und nicht mit dem Leser spricht. Was Mathematik im allgemeinen und Zahlen im besonderen betrifft,

Mehr

Inhalt: Binärsystem 7.Klasse - 1 -

Inhalt: Binärsystem 7.Klasse - 1 - Binärsystem 7.Klasse - 1 - Inhalt: Binärarithmetik... 2 Negative Zahlen... 2 Exzess-Darstellung 2 2er-Komplement-Darstellung ( two s complement number ) 2 Der Wertebereich vorzeichenbehafteter Zahlen:

Mehr

Untersuchung der Gruppen GL(s, Z n ) und SL(s, Z n ) zur Nutzung in der Kryptographie

Untersuchung der Gruppen GL(s, Z n ) und SL(s, Z n ) zur Nutzung in der Kryptographie Untersuchung der Gruppen GL(s, Z n ) und SL(s, Z n ) zur Nutzung in der Kryptographie Inaugural-Dissertation zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaftlichen Fachbereiche (Fachbereich

Mehr

Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer

Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer Das RSA-Verschlüsselungsverfahren 1 Christian Vollmer Allgemein: Das RSA-Verschlüsselungsverfahren ist ein häufig benutztes Verschlüsselungsverfahren, weil es sehr sicher ist. Es gehört zu der Klasse der

Mehr

Kapitel 4A: Einschub - Binärcodierung elementarer Datentypen. Einschub: Teile aus Kapitel 2 in Küchlin/Weber: Einführung in die Informatik

Kapitel 4A: Einschub - Binärcodierung elementarer Datentypen. Einschub: Teile aus Kapitel 2 in Küchlin/Weber: Einführung in die Informatik Einschub: Binärcodierung elementarer Datentypen Teile aus Kapitel 2 in Küchlin/Weber: Einführung in die Informatik Unterscheide Zahl-Wert Zahl-Bezeichner Zu ein- und demselben Zahl-Wert kann es verschiedene

Mehr

3 Zahlensysteme in der Digitaltechnik

3 Zahlensysteme in der Digitaltechnik 3 Zahlensysteme in der Digitaltechnik System Dezimal Hexadezimal Binär Oktal Basis, Radix 10 16 2 8 Zahlenwerte 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 0 1 10 11 100

Mehr

Java Einführung Operatoren Kapitel 2 und 3

Java Einführung Operatoren Kapitel 2 und 3 Java Einführung Operatoren Kapitel 2 und 3 Inhalt dieser Einheit Operatoren (unär, binär, ternär) Rangfolge der Operatoren Zuweisungsoperatoren Vergleichsoperatoren Logische Operatoren 2 Operatoren Abhängig

Mehr

Binäre Division. Binäre Division (Forts.)

Binäre Division. Binäre Division (Forts.) Binäre Division Umkehrung der Multiplikation: Berechnung von q = a/b durch wiederholte bedingte Subtraktionen und Schiebeoperationen in jedem Schritt wird Divisor b testweise vom Dividenden a subtrahiert:

Mehr

Zahlensysteme. von Christian Bartl

Zahlensysteme. von Christian Bartl von Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis... 2 1. Einleitung... 3 2. Umrechnungen... 3 2.1. Dezimalsystem Binärsystem... 3 2.2. Binärsystem Dezimalsystem... 3 2.3. Binärsystem Hexadezimalsystem... 3 2.4.

Mehr

Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen Lösungsbeispielen freuen wir uns!

Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen Lösungsbeispielen freuen wir uns! Aufgaben und Lösungen. Runde 04 Über Kommentare und Ergänzungen zu diesen n freuen wir uns!» KORREKTURKOMMISSION KARL FEGERT» BUNDESWETTBEWERB MATHEMATIK Kortrijker Straße, 577 Bonn Postfach 0 0 0, 5 Bonn

Mehr

Lektion 1: Von Nullen und Einsen _ Die binäre Welt der Informatik

Lektion 1: Von Nullen und Einsen _ Die binäre Welt der Informatik Lektion 1: Von Nullen und Einsen _ Die binäre Welt der Informatik Helmar Burkhart Departement Informatik Universität Basel Helmar.Burkhart@unibas.ch Helmar Burkhart Werkzeuge der Informatik Lektion 1:

Mehr

Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen?

Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen? Was können Schüler anhand von Primzahltests über Mathematik lernen? Innermathematisches Vernetzen von Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitsrechnung Katharina Klembalski Humboldt-Universität Berlin 20.

Mehr

194 Beweis eines Satzes von Tschebyschef. Von P. E RDŐS in Budapest. Für den zuerst von T SCHEBYSCHEF bewiesenen Satz, laut dessen es zwischen einer natürlichen Zahl und ihrer zweifachen stets wenigstens

Mehr

Ermittlung von IBAN und BIC anhand von Kontonummer und Bankleitzahl in der Sparkassen-Finanzgruppe

Ermittlung von IBAN und BIC anhand von Kontonummer und Bankleitzahl in der Sparkassen-Finanzgruppe Ermittlung von IBAN und BIC anhand von Kontonummer und Bankleitzahl Vorwort: Die Ermittlung einer IBAN anhand der im Inlandszahlungsverkehr gebräuchlichen Kontound Bankidentifikationen - in Deutschland

Mehr

OPERATIONS-RESEARCH (OR)

OPERATIONS-RESEARCH (OR) OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen:

Mehr

4 Binäres Zahlensystem

4 Binäres Zahlensystem Netzwerktechnik achen, den 08.05.03 Stephan Zielinski Dipl.Ing Elektrotechnik Horbacher Str. 116c 52072 achen Tel.: 0241 / 174173 zielinski@fh-aachen.de zielinski.isdrin.de 4 inäres Zahlensystem 4.1 Codieren

Mehr

Theoretische Informatik SS 04 Übung 1

Theoretische Informatik SS 04 Übung 1 Theoretische Informatik SS 04 Übung 1 Aufgabe 1 Es gibt verschiedene Möglichkeiten, eine natürliche Zahl n zu codieren. In der unären Codierung hat man nur ein Alphabet mit einem Zeichen - sagen wir die

Mehr

Mathematik Akzentfach

Mathematik Akzentfach Mathematik Akzentfach 1. Stundendotation Klasse 1. Klasse 2. Klasse 3. Klasse 4. Klasse Wochenlektionen 3 3 2. Didaktische Konzeption Überfachliche Kompetenzen Das Akzentfach Mathematik fördert besonders...

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

3 Berechnungen und Variablen

3 Berechnungen und Variablen 3 Berechnungen und Variablen Du hast Python installiert und weißt, wie man die Python-Shell startet. Jetzt kannst Du etwas damit machen. Wir fangen mit ein paar einfachen Berechnungen an und wenden uns

Mehr

Zwei unbekannte Zahlen und alle vier Rechenarten

Zwei unbekannte Zahlen und alle vier Rechenarten Zwei unekannte Zahlen und alle vier Rechenarten HELMUT MALLAS Online-Ergänzung MNU 8/1 (15.1.015) Seiten 1, ISSN 005-58, Verlag Klaus Seeerger, Neuss 1 HELMUT MALLAS Zwei unekannte Zahlen und alle vier

Mehr

Elliptische Kurven und ihre Anwendungen in der Kryptographie

Elliptische Kurven und ihre Anwendungen in der Kryptographie Elliptische Kurven und ihre Anwendungen in der Kryptographie Heiko Knospe Fachhochschule Köln heiko.knospe@fh-koeln.de 29. März 2014 1 / 25 Weierstraß-Gleichung Elliptische Kurven sind nicht-singuläre

Mehr

Grundlagen der Informatik

Grundlagen der Informatik Mag. Christian Gürtler Programmierung Grundlagen der Informatik 2011 Inhaltsverzeichnis I. Allgemeines 3 1. Zahlensysteme 4 1.1. ganze Zahlen...................................... 4 1.1.1. Umrechnungen.................................

Mehr

Die Umkehrung des Multiplizierens: das Faktorisieren

Die Umkehrung des Multiplizierens: das Faktorisieren 17. Algorithmus der Woche Einwegfunktionen Vorsicht Falle Rückweg nur für Eingeweihte! Autoren Prof. Dr. K. Rüdiger Reischuk, Universität zu Lübeck Dipl. Inf. Markus Hinkelmann, Universität zu Lübeck Die

Mehr

Multiplikationstafeln

Multiplikationstafeln Multiplikationstafeln Rechenintensive Arbeiten in der Landesvermessung und Astronomie, sowie im Handel, machten es in früheren Jahrhunderten wünschenswert, höhere Rechenarten auf niedrigere zurück zu führen.

Mehr

1. Grundlagen der Informatik Zahlensysteme und interne Informationsdarstellung

1. Grundlagen der Informatik Zahlensysteme und interne Informationsdarstellung 1. Grundlagen der Informatik Zahlensysteme und interne Informationsdarstellung Inhalt Grundlagen digitaler Systeme Boolesche Algebra / Aussagenlogik Organisation und Architektur von Rechnern Algorithmen,

Mehr

2 Darstellung von Zahlen und Zeichen

2 Darstellung von Zahlen und Zeichen 2.1 Analoge und digitale Darstellung von Werten 79 2 Darstellung von Zahlen und Zeichen Computer- bzw. Prozessorsysteme führen Transformationen durch, die Eingaben X auf Ausgaben Y abbilden, d.h. Y = f

Mehr

2. Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern

2. Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern Folie. Zahlendarstellung und Rechenregeln in Digitalrechnern. Zahlensysteme Dezimales Zahlensystem: Darstellung der Zahlen durch Ziffern 0,,,..., 9.

Mehr

Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 8. Prof. Dr. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik TU Darmstadt

Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 8. Prof. Dr. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik TU Darmstadt Technische Grundlagen der Informatik Kapitel 8 Prof. Dr. Sorin A. Huss Fachbereich Informatik TU Darmstadt Kapitel 8: Themen Zahlensysteme - Dezimal - Binär Vorzeichen und Betrag Zweierkomplement Zahlen

Mehr

Simplex-Umformung für Dummies

Simplex-Umformung für Dummies Simplex-Umformung für Dummies Enthält die Zielfunktion einen negativen Koeffizienten? NEIN Optimale Lösung bereits gefunden JA Finde die Optimale Lösung mit dem Simplex-Verfahren! Wähle die Spalte mit

Mehr

Homomorphe Verschlüsselung

Homomorphe Verschlüsselung Homomorphe Verschlüsselung Sophie Friedrich, Nicholas Höllermeier, Martin Schwaighofer 11. Juni 2012 Inhaltsverzeichnis Einleitung Motivation Mathematische Definitionen Wiederholung Gruppe Ring Gruppenhomomorphisums

Mehr

11/2/05. Darstellung von Text. ASCII-Code. American Standard Code for Information Interchange. Parity-Bit. 7 Bit pro Zeichen genügen (2 7 = 128)

11/2/05. Darstellung von Text. ASCII-Code. American Standard Code for Information Interchange. Parity-Bit. 7 Bit pro Zeichen genügen (2 7 = 128) Darstellung von Text ASCII-Code 7 Bit pro Zeichen genügen (2 7 = 128) 26 Kleinbuchstaben 26 Großbuchstaben 10 Ziffern Sonderzeichen wie '&', '!', ''' nicht druckbare Steuerzeichen, z.b. - CR (carriage

Mehr

Public-Key-Kryptographie

Public-Key-Kryptographie Public-Key- mit dem RSA-Schema Andreas Meisel und Robert Mileski Institut für Informatik der Universität Potsdam Seminar und Datensicherheit WS 2006/2007 Inhaltsverzeichnis Geschichte der (1/3) 1900 v.

Mehr

Wintersemester Maschinenbau und Kunststofftechnik. Informatik. Tobias Wolf http://informatik.swoke.de. Seite 1 von 16

Wintersemester Maschinenbau und Kunststofftechnik. Informatik. Tobias Wolf http://informatik.swoke.de. Seite 1 von 16 Kapitel 5 Arithmetische Operatoren Seite 1 von 16 Arithmetische Operatoren - Man unterscheidet unäre und binäre Operatoren. - Je nachdem, ob sie auf einen Operanden wirken, oder eine Verknüpfung zweier

Mehr

Repräsentation von Daten Binärcodierung von rationalen Zahlen und Zeichen

Repräsentation von Daten Binärcodierung von rationalen Zahlen und Zeichen Kapitel 4: Repräsentation von Daten Binärcodierung von rationalen Zahlen und Zeichen Einführung in die Informatik Wintersemester 2007/08 Prof. Bernhard Jung Übersicht Codierung von rationalen Zahlen Konvertierung

Mehr

Zahlensysteme. Zahl 0 0 0 0 0 5 5. Stellenwert Zahl 0 0 0 0 0 50 5. Zahl = 55 +50 +5

Zahlensysteme. Zahl 0 0 0 0 0 5 5. Stellenwert Zahl 0 0 0 0 0 50 5. Zahl = 55 +50 +5 Personal Computer in Betrieb nehmen 1/6 Weltweit setzen die Menschen alltäglich das Zehnersystem für Zählen und Rechnen ein. Die ursprüngliche Orientierung stammt vom Zählen mit unseren 10 Fingern. Für

Mehr

Codierungsverfahren SS 2011. Reed-Solomon-Codes zur Mehrblock-Bündelfehler-Korrektur

Codierungsverfahren SS 2011. Reed-Solomon-Codes zur Mehrblock-Bündelfehler-Korrektur Reed-Solomon-Codes zur Mehrblock-Bündelfehler-Korrektur Wie die zyklischen BCH-Codes zur Mehrbitfehler-Korrektur eignen sich auch die sehr verwandten Reed-Solomon-Codes (= RS-Codes) zur Mehrbitfehler-Korrektur.

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

Alexander Halles. Zahlensysteme

Alexander Halles. Zahlensysteme Stand: 26.01.2004 - Inhalt - 1. Die verschiedenen und Umwandlungen zwischen diesen 3 1.1 Dezimalzahlensystem 3 1.2 Das Dualzahlensystem 4 1.2.1 Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl 4 1.2.2 Umwandlung

Mehr