Mengenlehre. Spezielle Mengen

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1 Mengenlehre Die Mengenlehre ist wie die Logik eine sehr wichtige mathematische Grundlage der Informatik und ist wie wir sehen werden auch eng verbunden mit dieser. Eine Menge ist eine Zusammenfassung von Objekten, so genannten Elementen. z.b. die Menge S = {Eier, Milch, Sahne} mit 3 Elementen. Die Reihenfolge der Elemente in der geschweiften Klammer spielt keine Rolle {1,2,3} = {1,3,2} Mengen werden mit Grossbuchstaben bezeichnet, Elemente mit Kleinbuchstaben a S (gesprochen a Element S ) bedeutet, dass das Element a zur Menge S gehört a S (gesprochen a nicht Element S ) bedeutet, dass a nicht zur Menge S gehört Enthält eine Menge sehr viele oder sogar unendlich viel Elemente, so kann man diese nicht mehr einzeln aufzählen und verwendet Prädikate S = {x: P(x)} S ist die Menge aller Elemente x für die P(x) wahr ist z.b. S = {x: x ist eine ungerade natürliche Zahl} Oder was dasselbe ist: S = {2n-1: n ist eine natürliche Zahl} Lesen Sie Beispiel 3.1 p. 46 Lösen Sie die Aufgabe 3.1 p. 58 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block 7-1- oder { }: N = {1,2,3, } Spezielle Mengen die leere Menge welche kein Element enthält. die natürliche Zahlen (bei den Informatikern häufig ohne Null, bei den Mathematikern mit Null) Z = {0, ±1, ±2, } die ganzen Zahlen Q = {p/q: p,q ganze Zahlen, q 0} die rationalen Zahlen R = {alle Dezimalzahlen} die reellen Zahlen Beim Programmieren entspricht die Zuordnung eines Datentyps, z.b. integer oder float der Zuordnung zu einer Menge Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

2 Operationen auf Mengen Operationen auf Mengen werden bildlich in so genannten Venn-Diagrammen dargestellt (vergl. Abb. 3.1 p. 47) Die wichtigsten Operationen sind: Eine Menge A heisst eine Teilmenge einer Menge S (A S), wenn jedes Element von A auch Element von S ist (vergl. Abb. 3.1) Definition mit Prädikaten: A S = {x: x A x S} Zwei Mengen A und B sind gleich (A = B), wenn jede eine Teilmenge der andern ist: A = B falls A B und B A Um zu beweisen, dass zwei Mengen gleich sind, müssen wir also von jeden Element der ersten Menge zeigen, dass es auch Element der zweiten ist und umgekehrt. Lesen Sie das Beispiel 3.2 p. 48 Die Vereinigung zweier Mengen A und B (A B) ist die Menge aller Elemente, welche entweder in A oder in B oder in beiden enthalten sind (vergl. Abb. 3.2 p. 48) A B = {x: x A oder x B} Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block 7-3- Weitere Operationen auf Mengen Die Schnittmenge (oder Durchschnitt) zweier Mengen A und B (A B) ist die Menge aller Elemente, welche sowohl in A als auch in B enthalten sind (vergl. Abb. 3.3 p. 49) A B = {x: x A und x B} Das Komplement (Ergänzung) einer Menge B bezüglich einer Menge A (A B) ist die Menge aller Elemente, welche in A sind aber nicht in B (vergl. Abb. 3.4 p. 49) A - B = {x: x A und x B} Blasen wir A solange auf, bis es das ganze Rechteck im Venn-Diagramm abdeckt, so spricht man vom Komplement bezüglich der Grundmenge (oder Universalmenge) oder kurz vom Komplement einer Menge B (~B) (vergl. Abb. 3.5 p. 50) ~B = {x: nicht (x B)} oder was dasselbe ist: ~B = {x: x B} Die symmetrische Differenz zweier Mengen A und B (A B) ist die Menge aller Elemente, welche in A aber nicht in B sind oder umgekehrt (vergl. Abb. 3.6 p. 50) A B = {x: (x A und x B) oder (x B und x A)} Lesen Sie die Beispiele p Lösen Sie die Aufgabe p Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

3 3.2 Mengenalgebra Mengen bilden zusammen mit den Operatoren,,,- und ~ eine Algebra. D.h. es gelten Rechenregeln ähnlich wie für die reellen Zahlen mit den Operatoren Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division. Der Beweis, dass zwei mengen-algebraische Ausdrücke gleich sind, erfolgt über die Gleichheit der Prädikate. Dabei gibt es laut den Definitionen zu jedem Mengenoperator einen entsprechenden logischen Operator: Mengenoperator Logischer Operator ~ Komplement nicht Vereinigung oder Schnitt und Teilmenge Lesen Sie das Beispiel 3.5 p. 52 Die Gleichheit der Prädikate wird mittels Wahrheitstafeln bewiesen, wie wir in Kapitel 2 gelernt haben. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block 7-5- Die Gesetze der Mengenalgebra Die Gesetze der Mengenalgebra sind in der Tabelle auf Seite 53 aufgeführt. Gleich wie bei den Zahlen und den vier Grundoperationen kennt man Assoziativ-, und Kommutativitätsgesetze sowie ein Distributivgesetz. Assoziativgesetz: es kommt nicht auf die Reihenfolge an, in der ein Ausdruck abgearbeitet wird: a+(b+c) = (a+b)+c; A (B C) = (A B) C bzw. A (B C) = (A B) C Kommutativitätsgesetz: es kommt nicht darauf an, in welcher Reihenfolge die Mengen angeordnet sind: a+b = b+a; A B = B A bzw. A B = B A Distributivitätsgesetz: es kann ausmultipliziert werden: a(b+c) = ab + ac A (B C) = (A B) (A C) bzw. A (B C) = (A B) (A C) Dazu kommen: Identitätsgesetze, Idempotenzgesetze, Komplementärgesetze und die de Morganschen Gesetze. Mit diesen Gesetzen der Mengealgebra können weitere Gleichheiten von algebraischen Mengenausrücken bewiesen werden. Lesen Sie dazu das Beispiel 3.6 p Lösen Sie die Aufgaben p Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

4 3.3 Mächtigkeit Die Mächtigkeit S einer Menge S ist die Anzahl ihrer Elemente. Bsp.: sei A = {2,4,6} dann gilt A = 3 Prinzip der Inklusion-Exklusion (Einschliessen/Ausschliessen): A B = A + B - A B Beweis: wie man in Abb. 3.7 p. 55 sieht, wurden die Elemente von A B sowohl in A wie auch in B gezählt, also doppelt, also muss ihre Anzahl von der Summe der Anzahl Elemente von A und B ( A + B ) weggezählt werden. Lesen Sie das Beispiel 3.7 p. 55 Lösen Sie die Aufgaben 3.9 p. 61 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block 7-7- Kartesisches Produkt Bei den Elementen einer Menge spielt die Reihenfolge keine Rolle. In der Informatik verwendet man aber häufig Listen, wo die Reihenfolge der Listenelemente eine Rolle spielt. Um Listen mittels Mengen darzustellen, gehen wir den etwas komplizierten Weg über das kartesische Produkt. Das kartesische Produkt von zwei Mengen AxB ist die Menge aller geordneten Paare (a,b) mit a A und b B Lesen Sie das Beispiel 3.8 p. 56 Bei endlichen Mengen A und B gilt für die Kardinalität : AxB = A B Ein kartesisches Produkt zweier endlichen Menge lässt sich als Tabelle darstellen (vergl. Abb. 3.8 p. 57) Das kartesische Produkt RxR der reellen Zahlen mit sich selber lässt sich in einem zweidimensionalen Koordinatensystem darstellen (vergl. Abb. 3.9 p. 57), dem kartesischen Koordinatensystem. Lösen Sie die Aufgaben p Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

5 Listen, charakteristischer Vektor Das kartesische Produkt von n Mengen A 1, A 2,, A n ist die Menge aller geordneten n-tuppel oder eben Listen bestehend aus je einem Element der n Mengen. Es kommt auf die Reihenfolge an, d.h. A 1 xa 2 x..xa n ist nicht dasselbe wie A n x A 2 xa 1 Sind die n Mengen alle gleich, so schreibt man für das kartesische Produkt A n. Lesen Sie das Bsp. 3.9 p. 58 Eine Bitkette ist eine Liste von Nullen und Einsen Sei S = {s 1, s 2,,s n } eine Menge und A S Dann heisst die Bitkette (b 1, b 2,, b n ) mit b i =1 wenn s i A und sonst 0 der charakteristische Vektor von A bezüglich S. Lesen Sie das Beispiel 3.10 p. 58 Lösen Sie die Aufgaben 3.13 p. 62 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Anwendung Wissensbasierte Systeme Wissensbasierte Systeme sind eine Anwendung aus der Logik Ein Wissensbasiertes System besteht aus: 1. Einer Wissensbasis (Menge von Fakten) 2. Inferenzregeln (Folgerungsregeln) für das Ableiten neuer Fakten aus bestehenden Beispiel: ein Wissensbasiertes System welches über die königliche Familie von Grossbritannien Auskunft geben kann mit den Fakten auf p. 64 und den 2 Inferenzregeln: 1. weiblich(x) aus Gattin(x,y), d.h. ist x eine Gattin von y so schliessen wir, dass x weiblich ist 2. Gatte(y,x) aus Gattin(x,y), d.h. ist x Gattin von y so schliessen wir, dass y Gatte ist von x Elternteil(x,y) bedeutet: x ist Elternteil von y (also Mutter oder Vater) Gattin(x,y) bedeutet: x ist Gattin von y Prolog ist eine Programmiersprache für Wissensbasierte Systeme. Lösen Sie Aufgabe 1 (nur Fakten) und 2 (Fakten und Inferenzregeln) p Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

6 Probleme bei unvollständigen Wissensbasen Eine verneinende Antwort auf eine Frage, z.b.?- männlich(eduard 8) bedeutet nicht, dass Eduard 8 nicht männlich ist ist, sondern dass wir es nicht wissen. Bei der Verwendung von Negationen in Inferenzregeln ist deshalb Vorsicht geboten. Die Inferenzregeln p. 67: männlich(x) aus Gattin(y.x) weiblich(x) aus (nicht männlich(x)) Führt nämlich zur falschen Folgerung: weiblich(eduard 8) Negationsregeln dürfen deshalb nur in Wissensbasen mit vollständiger Faktenliste verwendet werden Lösen Sie Aufgabe 4 p. 68 Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block Aufgaben bis zur nächsten Präsenz Lesen Sie das Skript nochmals durch. Lösen Sie die darin angegebenen Übungen aus dem Buch und aus dem Übungsblatt fertig. Lesen Sie Haggarty Kap. 3 Markieren Sie im Taschenbuch der Mathematik die behandelten Formeln mit Leuchtstift: Seiten Der charakteristische Vektor ist nicht aufgeführt Bei Problemen Mail an oder Ziele Die Studierenden kennen die Begriffe Menge, Element, leere Menge und Teilmenge. Sie kennen die folgenden Operatoren zwischen zwei Mengen: Vereinigung, Schnittmenge, Komplement bezüglich einer Menge, Komplement (bezüglich der Grundmenge, Symmetrische Differenz. Sie können diese Operationen als Venn-Diagramm darstellen Sie kennen die Gesetzt der Mengenalgebra und können sie anwenden, um die Gleichheit von algebraischen Mengenausdrücken zu beweisen Sie kennen den Begriff der Mächtigkeit und das Gesetz der Inklusion-Exklusion Sie können das karthesische Produkt von Mengen bilden und sie können den charakteristischen Vektor einer Menge bezüglich einer Obermenge angeben. Ernest Peter Propädeutikum Mathematik Informatik/Wirtschaftsinformatik, Block

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