Binäre Entscheidungsgraphen

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1 Binäre Entscheidungsgraphen Christel Baier Skript zum Seminar SS 2012 i

2 Inhaltsverzeichnis 1 Schaltfunktionen und Schaltkreise Schaltfunktionen Schaltkreise Logische Netze für kombinatorische Schaltkreise Logische Netze für sequentielle Schaltkreise Finite State Machines Funktionale Äquivalenz Binäre Entscheidungsgraphen Geordnete binäre Entscheidungsgraphen OBDDs und Schaltfunktionen Reduzierte OBDDs Grundlegende Algorithmen auf OBDDs Binäre boolesche Operatoren Kofaktoren, Negation und Komposition Einfache Analysealgorithmen Implementierungstechniken Die Eindeutigkeitstabelle Der ITE Algorithmus Komposition und Kofaktoren Speicherverwaltung Komplementierte Kanten BFS-basierte Synthesealgorithmen Das Problem der Variablenordnung Der Einfluß der Variablenordnung Separate ROBDD-Darstellungen versus shared OBDDs Minimierungsalgorithmen Der Variablenswap und Variablenshift Exakte Minimierung Dynamische Umordnungsheuristiken Heuristiken für günstige Anfangsordnungen Analyse sequentieller Schaltkreise Symbolische Erreichbarkeitsanalyse ii

3 4.2 Relationales Produkt Verallgemeinerte Kofaktoren Der Constrain-Operator Der Restrict-Operator Einsatz verallgemeinerter Kofaktoren zur Bildberechnung Partitionierung der Übergangsrelation Output- und Input-Splitting Vorgezogene Quantifizierung Verzahnung von Konjunktion und Quantifizierung Vorwärts- versus Rückwärtssuche Diskrete Funktionen mit reellem Wertebereich Multiterminale Entscheidungsgraphen Der APPLY-Algorithmus für MTBDDs Matrizenrechnung mit MTBDDs Kürzeste Wege Probleme und Matrizenmultiplikation in Quasi-Ringen Entscheidungsgraphen mit Kantengewichten Anwendungen von BDDs in der zweistufigen Logiksynthese Symblische Primimplikantenberechnung Zero-surpressed BDDs Syntax und Semantik von ZBDDs Reduzierte ZBDDs OBDDs versus ZBDDs Implementierung und Operatoren auf ZBDDs Anwendung von ZBDDs in der zweistufigen Logiksynthese iii

4 Einleitung Binäre Entscheidungsgraphen (engl. Abkürzung BDD für binary decision diagram ) wurden erstmals von Lee (1959) und Akers (1978) als Datenstruktur für Schaltfunktionen untersucht. Wir beschäftigen uns hier nur mit geordneten BDDs (Abkürzung OBDDs), einer Variante, die auf Bryant(1986) zurückgeht und in der eine feste Ordnung der Variablen einer Schaltfunktionen vorausgesetzt wird. OBDDs haben sich in den letzten Jahren für die Synthese und Analyse von kombinatorischen und sequentiellen Schaltkreise bewährt und werden heutzutage in zahlreichen CAD/CAV Tools 1 (z.b. ESPRESSO, SIS/VIS, LSS, SMV, VERUS, COSPAN, etc.) eingesetzt. Zu den populärsten Beispielen, die den Erfolg BDD-basierter Techniken demonstrieren, zählen die Falsifizierung des IEEE Futurebus+ cache coherence Protokolls (1992) und des Intel Pentium Dividierers (1994). Neben dem Einsatz von BDDs für den Hardwareentwurf gibt es zahlreiche andere Anwendungsbereiche (Komplexitätstheorie, Künstliche Intelligenz, Graphenalgorithmen, Fixpunkttheorie, Zählprobleme, Leistungsbewertung, etc). In dieser Vorlesung werden die wesentlichen Aspekte von OBDDs und einigen Anwendungen besprochen. Überblick: Abschnitt 1 (Seite 3 ff) faßt die Grundbegriffe über Schaltfunktionen, aussagenlogische Formeln und Schaltkreise zusammen, die wir im folgenden benötigen. Abschnitt 2 (Seite 47 ff) stellt die Grundkonzepte von OBDDs und deren Implementierungen in BDD-Paketen vor. Abschnitt 3 (Seite 137 ff) behandelt Strategien zur Minimierung der Darstellungsgröße von OBDDs. Abschnitt 4 (Seite 354 ff) beschäftigt sich mit Varianten von OBDDs. In Abschnitt 5 (Seite 215 ff) werden einige BDD-basierte Techniken zur Analyse sequentieller Schaltkreise vorgestellt. 1 Die Abkürzungen CAD und CAV stehen für computer-aided design und computer-aided verification. 1

5 Literatur Die Inhalte der Vorlesung können zu großen Teilen in den Büchern von Meinel und Theobald [MT98] und Wegener [Weg00] nachgelesen werden. MT98 Meinel, Theobald: Algorithmen und Datenstrukturen im VLSI-Design, Springer Weg00 I. Wegener: Branching Programs and Binary Decision Diagrams: Theory and Applications, SIAM Monographs on Discrete Mathematics and Applications, Die Monographie [Weg00] von Wegener ist ein umfassendes Werk zum Thema binäre Entscheidungsgraphen. Die Inhalte der Vorlesung sind dort weitgehend wiederzufinden. Darüberhinaus enthält es viele Aspekte von BDDs, die in der Vorlesung nicht behandelt werden. Weitere Bücher (in alphabetischer Ordnung): BD98 B. Becker, R. Drechsler: Graphenbasierte Funktionsdarstellungen, Teubner-Verlag, CGP00 E. Clarke, O. Grumberg, D. Peled: Model Checking, MIT Press, HS96 G. Hachtel, F. Somenzi: Logic Synthesis and Verification Algorithms, Kluwer Academic Press, Kro97 T. Kropf: Introduction to Formal Hardware Verification, Springer verlag, McM93 K. McMillan: Symbolic Model Checking, Kluwer Academic Press, MS99 Molitor, Scholl: Datenstrukturen und effiziente Algorithmen für die Logiksynthese kombinatorischer Schaltungen Teubner, Einige Teile der Vorlesung sind auch in [BD98], [MS99], [HS96] zu finden. [MS99] und [HS96] beschäftigen sich vorwiegend mit den Grundlagen der Logiksynthese. BDDs werden am Rande angesprochen. [BD98] behandelt neben BDDs auch andere DD-Varianten. Die Bücher [Kro97] und [CPG00] beschäftigen sich allgemein mit Verifikation. Sie enthalten einige Abschnitte über symbolisches Model Checking mit BDDs. Beide Bücher gehen weit über die Inhalte dieser Vorlesung hinaus und behandeln umgekehrt nur einen Teil der in der Vorlesung behandelten Themen. [McM93] ist die soweit mir bekannt nicht mehr erhältliche Buchversion der Doktorarbeit von Ken McMillan, in dem die Meilensteine für BDD-basiertes Model Checking gelegt wurden. 2

6 1 Schaltfunktionen und Schaltkreise Wir beginnen mit einigen Grundbegriffen, die im Verlauf der Vorlesung häufig benötigt werden. Abschnitt 1.1 behandelt Schaltfunktionen. Einige grundlegende Konzepte für kombinatorische und sequentielle Schaltkreise werden in Abschnitt 1.2 vorgestellt. 1.1 Schaltfunktionen Wir definieren Schaltfunktionen als Funktionen des Typs f : Variablenbelegung {0, 1} Dabei wird eine feste Menge von booleschen Variablen zugrundegelegt. Bezeichnung [Die Variablenmenge Z, Variablenbelegungen] Im folgenden bezeichnet Z = {z 1,..., z n } eine endliche Menge von booleschen Variablen (d.h. Variablen, welche die Werte 0 oder 1 annehmen können). Wir nehmen dabei an, daß z 1,..., z n paarweise verschieden sind. Eine Belegung (engl. evaluation) für Z ist eine Abbildung η : Z {0, 1}, die jeder Variablen z Z einen (Wahrheits-)Wert η(z) {0, 1} zuordnet. Eval(Z) bezeichnet die Menge aller Belegungen für Z. Sind a 1,..., a n {0, 1}, so schreiben wir [z 1 = a 1,..., z n = a n ] für die Belegung η Eval(Z) mit η(z i ) = a i, i = 1,..., n. Manchmal verwenden wir auch Tupelschreibweisen (a 1,..., a n ) für Belegungen und setzen damit voraus, daß eine feste Reihenfolge der Variablen aus dem Kontext hervorgeht. 2 Weiter benutzen wir häufig auch Kurzschreibweisen wie z.b. [ z = ā] statt [z 1 = a 1,..., z n = a n ] oder [ z = ā, ȳ = b] statt [z 1 = a 1,..., z n = a n, y 1 = b 1,..., y m = b m ], wobei z = (z 1,..., z n ), ȳ = (y 1,..., y m ) mit paarweise verschiedenen Variablen z 1,..., z n, y 1,..., y m und ā = (a 1,..., a n ) {0, 1} n, b = (b 1,..., b m ) {0, 1} m. Definition [Schaltfunktionen] Eine Schaltfunktion über Z ist eine Abbildung f : Eval(Z) {0, 1} Der Menge aller Schaltfunktionen über Z = {z 1,..., z n } wird mit IB(Z) oder IB(z 1,..., z n ) bezeichnet. Bezeichnung [Projektionsfunktion, boolesche Operatoren, etc.] Wir verwenden im folgenden Schreibweisen wie f = (z 1 z 2 ) z 3, um eine Schaltfunktion f IB(z 1, z 2, z 3,...) mit den offensichtlichen Funktionswerten zu bezeichnen. 3 Formal ist z i eine Kurzschreibweise für die Projektionsfunktion proj zi : Eval(Z) {0, 1}, proj zi (η) = η(z i ), 2 Klar, wenn die Variablen von 1 bis n durchnumeriert sind, ist damit auch eine Ordnung gegeben. Wenn die Variablen allerdings x, y, z heißen, ist nicht a-priori klar, welche Reihenfolge zugrundeliegt. Außerdem werden später (Kapitel 3) Permutationen von Variablenordnungen eine wichtige Rolle spielen. 3 Streng genommen müßte man in Schreibweisen wie f = (z 1 z 2 ) z 3 angeben, welche Variablenmenge Z man zugrundelegt. Beispielsweise wäre Z = {z 1, z 2, z 3 } oder auch Z = {z 1, z 2, z 3, z 4, z 5 } möglich. 3

7 wobei Z = {z 1, z 2, z 3,...} die zugrundeliegende Variablenmenge ist. Die booleschen Verknüpfer (Negation), (Konjunktion), (Disjunktion), (Parität, XOR), etc. haben die übliche Bedeutung. Auch Schaltfunktionen über unterschiedlichen Variablenmengen können kombiniert werden. Z.B. ist für f 1 = z 1 z 2 IB(z 1, z 2 ) und f 2 = z 2 z 3 IB(z 2, z 3 ) die disjunkte Verknüpfung eine Schaltfunktion über den drei Variablen z 1, z 2 und z 3 : f 1 f 2 = (z 1 z 2 ) (z 2 z 3 ) IB(z 1, z 2, z 3 ). Die konstanten Schaltfunktionen werden mit 0 oder 1 bezeichnet. (D.h. ist f = 0 IB(Z), so ist f(η) = 0 für alle η Eval(Z).) Durch geeignete Abstraktions- und Codierungstechniken lassen sich sehr viele Fragestellungen der Informatik durch Schaltfunktionen formalisieren. Im folgenden geben wir einige einfache Beispiele. Beispiel [N-Damen-Problem] Die Fragestellung des N-Damen-Problems ist wie folgt. Gegeben sind ein N N-Schachbrett und N Damen. Gesucht ist eine Positionierung der N Damen, so daß keine Dame eine andere bedroht. Mit Schaltfunktionen läßt sich das N-Damen-Problem z.b. wie folgt darstellen. Das Schachbrett wird als boolesche N N Matrix (z i,j ) 1 i,j n mit dem Eintrag z i,j = 1 gdw eine Dame steht auf dem Feld (i, j) interpretiert. Eine Belegung η = [z i,j = a i,j : 1 i, j N] entspricht genau dann einer zulässigen Positionierung der Damen, wenn (I) Zeilen i Spalte j mit a i,j = 1 (II) Für alle Felder (i, j) mit a i,j = 1 und alle Felder (I, J), für die (i, j) (I, J) ein zulässiger Damenzug ist, gilt a I,J = 0. Siehe Abbildung 1. Präzise lautet die Fragestellung nun, eine erfüllende Belegung für die Schaltfunktion ( ( ) ) f N = zi,j z I,J zu finden. 1 i N 1 j N (i, j) (I, J) ist zulässiger Damenzug Beispiel [ Wissensbasiertes System für Chemielabor] Gegeben ist eine Datenbank, in der Informationen über die vorhandenen chemischen Stoffe und durchführbaren chemischen Reaktionen τ τ k ϱ ϱ l verwaltet werden. Gefragt ist, ob ein gewisser Stoff ϱ (über 0 oder mehr chemische Reaktionen) erzeugt werden kann. Für eine Formulierung der Problemstellung durch Schaltfunktionen verwenden wir eine boolesche Variable z σ für jeden Stoff σ mit der intuitiven Interpretation z σ = 1 gdw σ ist herstellbar (oder vorhanden). 4

8 N-Damen-Problem Gegeben: N x N - Schachbrett, N Damen Gesucht: Positionierung der N Damen, so daß keine Dame eine andere bedroht. N= Boolsche Variablen z ij mit i, j = 1,...,N z ij = 1 gdw eine Dame steht auf Feld (i,j) z.b. [z 11 =1, z 24 = 1, z 31 = 0,... ] Zulässige Positionierung = Belegung [ z ij = a ij : 1 i, j N ] mit (1) Zeilen i Spalte j mit a ij = 1 (2) Damenzug (i,j) -> (I,J) gilt: a IJ = 0 Abbildung 1: Codierung des N-Damen-Problems Eine mögliche Formalisierung ergibt sich nun, indem wir die Ausgangssitutation durch folgende Schaltfunktion f darstellen. f = ( ) ( ( ) ) z σ zτ1 z τk z ϱ1 z ϱl σ vorhanden τ τ k ϱ ϱ l durchführbare Reaktion Die Frage reduziert sich nun auf ein Gültigkeitsproblem. Hierzu betrachten wir die Schaltfunktion f ϱ = f z ϱ = f z ϱ Offenbar kann Stoff ρ genau dann hergestellt werden, wenn f ϱ = 1. Wir illustrieren diese Aussage an einem Beispiel. MgO + H 2 Mg + H 2 O C + O 2 CO 2 H 2 O + CO 2 H 2 CO 3 seien die durchführbaren chemischen Reaktionen, wobei die Grundstoffe MgO, H 2, O 2 und C verfügbar sind. Wir fragen, ob ϱ = H 2 CO 3 (Kohlensäure, wenn mich meine vagen Erinnerungen an den Chemieunterricht nicht täuschen) herstellbar ist. Die angegebene Schaltfunktion f hat in dieser Instanz die Form f = z MgO z H2 z O2 z C (z MgO z H2 z Mg z H2 O) (z H2 O z CO2 z H2 CO 3 ) (z C z O2 z CO2 ) Man überzeugt sich leicht davon, daß f z H2 CO 3 = 1. Also ist H 2 CO 3 herstellbar. 5

9 Das folgende Beispiel zeigt, daß Schaltfunktionen auch eingesetzt werden können, um die Funktionsweise eines Systems zu beschreiben. Beispiel [Ampelschaltung] Die gewünschte Funktionsweise einer Ampelschaltung könnte durch die nachstehenden Anforderungen formuliert werden: Die Ampeln für die Autofahrer ist niemals grün, wenn für die Fußgänger das Signal walk gegeben wird. (Sicherheit) Sobald ein Fußgänger die Request-Taste betätigt, gibt die Fußgängerampel in Kürze das Signal walk. Die Request-Taste ist dann solange blockiert bis die Fußgängerampel auf don t walk zurückschaltet. (Lebendigkeit) Darüberhinaus fordern wir, daß die Ampel für die Autofahrer die üblichen vier Zyklen (rot, rot/gelb, grün, gelb) durchläuft, während die Fußgängerampel zwischen den Phasen don t walk und walk alterniert. Kontrollsystem für Ampelschaltung FA request Schalt= funktion FA FA Zustände der Ampel für Autofahrer Fußgängerampel mit Request-Taste request=1 FA=0 request=0 FA=0 FA=0 FA=1 FA=0 Zustandsmaschine für das Kontrollsystem ½ Ö¾ ½ Ö Ö½ Ö¾ ¼ Abbildung 2: Codierung des reaktiven Verhaltens einer Ampelschaltung Ö½ ¼ Ö¾ ½ Ö½ ½ Ö¾ ¼ Für die Phasen der Autofahrerampel verwenden wir vier Kontrollzustände, die wir mit zwei booleschen Variablen r 1 und r 2 codieren. 00 steht für grün für die Autofahrer, 01 für gelb, 10 für rot und 11 für die Rot/Gelb-Phase. Das erste Bit steht für die Belegung von r 1, das zweite für die Belegung von r 2. Die möglichen Werte für request und dem Signal der Fußgängerampel sind jeweils 0 oder 1. 6

10 request = 0: request = 1: Die Requesttaste ist nicht gedrückt. Die Requesttaste wurde von einem Fußgänger gedrückt. In den Zuständen 01, 10 und 11 wird request ignoriert. Die Signale der Fußgängerampel haben folgende Bedeutung: FA = 1: FA = 0: Die Fußgängerampel signalisiert walk. Die Fußgängerampel signalisiert don t walk. Siehe Abbildung 2. Die Schaltfunktionen sind nun durch folgende Wertetafel gegeben: Also: Eingabe Werte der Schaltfunktion für die Ausgabe r 1 r 2 request r 1 r 2 FA / / / Schaltfunktion f r1 = r 1 r 2 Schaltfunktion f r2 = ( r 1 r 2 request) (r 1 r 2 ) Schaltfunktion f F A = r 1 r 2 Das so konzipierte System kann als Zustandsmaschine aufgefaßt werden (siehe Skizze links unten auf der Folie). Das Kontrollsystem für die Ampelschaltung ist ein typisches Beispiel für ein reaktives System, dessen Funktionsweise durch die ständige Interaktion mit der Umgebung (hier: die Fußgänger) bestimmt ist. Dies steht im Gegensatz zu traditionellen Programmen, deren Aufgabe die Berechnung einer Funktion ist und für die man üblicherweise totale Korrektheit (Terminierung und Ausgabe der korrekten Funktionswerte) fordert. Die schematische Darstellung der Ampelschaltung liegt auch sequentiellen Schaltkreisen zugrunde. Sequentielle Schaltkreise verwenden Register als Speicherelemente. Die Ausgabebits hängen sowohl von der Eingabebelegung als auch von der aktuellen Registerbelegung ab. Kombinatorische Schaltkreise dagegen verwenden keine Speicherelemente. Siehe Abbildung 3 auf Seite 8. Das Ein/Ausgabeverhalten eines kombinatorischen Schaltkreises mit den Eingabevariablen x 1,..., x n kann daher durch Schaltfunktionen λ y IB(x 1,..., x n ) für jede Ausgabevariable y beschrieben werden. Näheres hierzu in Abschnitt (Seite 30 ff). Beispiel [Halbaddierer] Als Beispiel für einen kombinatorischen Schaltkreis betrachten wir einen Halbaddierer (siehe Abbildung 4), dessen Funktionalität durch die beiden Schaltfunktionen s = λ y1 = x 1 x 2, c = λ y2 = x 1 x 2 IB(x 1, x 2 ) beschrieben werden kann. Intuitiv steht s für die 1-Bit-Summe und c für den Übertrag (das Carrybit). 7

11 Abbildung 3: Schema kombinatorischer und sequentieller Schaltkreise Das taktweise Verhalten eines sequentiellen Schaltkreises (mit den Eingabebits x 1,..., x n und den Registern r 1,..., r k ) wird durch Schaltfunktionen λ y IB(x 1,..., x n, r 1,..., r k ) δ r IB(x 1,..., x n, r 1,..., r k ) für jede Ausgabevariable y für jedes Register r beschrieben. Genaueres hierzu in Abschnitt (Seite 35 ff). Beispiel [Modulo-8-Counter] Als Beispiel für einen sequentiellen Schaltkreis betrachten wir einen Modulo-8-Counter, siehe Abbildung 5 auf Seite 10. Dieser hat drei Register r 1, r 2, r 3, die einen Counter (mit Werten in {0, 1,..., 7}) codieren: counter = 4 r r 2 + r 3 In jedem Takt wird der Counter um eins erhöht. Nur wenn sein Wert 7 ist, wird eine Eins ausgegeben; andernfalls eine Null. Da ein sequentieller Schaltkreis ohne Eingabebits mit genau einer Ausgabevariablen y vorliegt, hängen die Ausgabe- und Übergangsfunktionen nur von der Registerbelegungen ab. Das Ausgabeverhalten wird durch die Schaltfunktion λ y = r 1 r 2 r 3 IB(r 1, r 2, r 3 ) beschrieben. Die taktweisen Registertransfers sind durch die Schaltfunktionen gegeben. δ r1 = (r 3 r 2 ) r 1, δ r2 = r 3 r 2, δ r3 = r 3 IB(r 1, r 2, r 3 ) Bemerkung [Schaltfunktionen versus boolesche Funktionen] Boolesche Funktionen sind Funktionen des Typs F : {0, 1} n {0, 1}. D.h. boolesche Funktionen bilden Bitvektoren fester Länge n auf Wahrheitswerte ab. Ist f IB(Z) eine Schaltfunktion, so erhält man eine entsprechende boolesche Funktion F, indem man die Variablen von Z numeriert, etwa z 1,..., z n, und F (a 1,..., a n ) = f ( [z 1 = a 1,..., z n = a n ] ) 8

12 Abbildung 4: Halbaddierer setzt. Umgekehrt kann man jeder n-stelligen booleschen Funktion F eine Schaltfunktion f zuordnen, indem man n Variablen z 1,..., z n fixiert und die Eingabetupel (a 1,..., a n ) {0, 1} n für F als Eingabebelegungen für z 1,..., z n interpretiert. Wir machen uns nun den dezenten Unterschied zwischen booleschen Funktionen und Schaltfunktionen klar, der je nach Kontext entscheidend oder irrelevant sein kann. Die Funktionswerte von booleschen Funktionen werden häufig durch formelähnliche Ausdrücke wie F (a, b, c) = a (b c) als Kurzschreibweise für für alle a, b, c {0, 1} gilt: F (a, b, c) = a (b c) angegeben. a, b, c dienen hier lediglich als Metavariablen für die Argumente von F ; die Namen a, b, c können beliebig geändert werden. Um Verwechslungen zwischen booleschen Variablen und solchen Metavariablen zu vermeiden, verwenden wir im folgenden Buchstaben wie x, y, z für boolesche Variablen a, b, c für Metavariablen mit Platzhalterfunktion für Werte in {0, 1} (oder für festgewählte Werte in {0, 1}) Z.B. sind F (a, b, c) = a (b c) F (b, a, c) = b (a c) F (a 1, a 2, a 3 ) = a 1 (a 2 a 3 ) völlig gleichwertige Ausdrücke, um die Funktionswerte einer dreistelligen booleschen Funktion F anzugeben. Dagegen sind die Schaltfunktionen } f 0 = x (y z) IB(x, y, z) f 1 = y (x z) f 2 = z 1 (z 2 z 3 ) IB(z 1, z 2, z 3 ) 9

13 Abbildung 5: Modulo-8-Counter verschieden. (Beachte: Hier stehen die booleschen Variablen x, y, z, z 1, z 2 und z 3 für die entsprechenden Projektionsfunktionen.) Der Grund, warum Schaltfunktionen einen präziseren Formalismus für Schaltkreise darstellen als boolesche Funktionen, ist wie folgt. Die Synthese komplexer Schaltkreise erfolgt üblicherweise im Baukastenprinzip, indem sukzessive Schaltkreise mit logischen Verknüpfer wie,,,,... kombiniert werden. Wir betrachten folgenden kombinatorischen Schaltkreis C mit drei Gattern, der sich durch die disjunktive Verknüpfung (Gatter 3) der Ausgänge von Gatter 1 und 2 ergibt. Gatter 1 und 2 können durch die booleschen Funktionen F 1, F 2 : {0, 1} 2 {0, 1} mit F 1 (a, b) = F 2 (a, b) = a b beschrieben werden. Der Effekt des gesamten Schaltkreises C entspricht jedoch nicht der Disjunktion von F 1 und F 2 F 1 F 2 : {0, 1} 2 {0, 1}, (F 1 F 2 )(a, b) = F 1 (a, b) F 2 (a, b) = a b, sondern der dreistelligen booleschen Funktion F : {0, 1} 3 {0, 1}, F (a, b, c) = (a b) (b c). 10

14 Im Gegensatz dazu sind Variablen von Schaltfunktionen (x, y, z in obigem Beispiel) feste Symbole, die auch im Kontext nicht erklärungsbedürftig sind. Für den obigen Schaltkreis C kann der Effekt der Gatter 1 bzw. 2 durch die Schaltfunktionen f 1 = x y und f 2 = y z dargestellt werden. Die Ausgabefunktion von C ergibt sich nun durch die Disjunktion von f 1 und f 2 : f 1 f 2 = (x y) (y z) (eine Schaltfunktion mit den Variablen x, y und z). Nachdem wir uns den Unterschied zwischen Schaltfunktionen und booleschen Funktionen klargemacht haben, gehen wir zu lässigen Schreibweisen mit Bittupeln (die streng genommen nur für boolesche Funktionen präzise sind) über. Liegt z.b. eine Schaltfunktion f IB(Z) vor, für deren Variablen eine feste Reihenfolge, etwa z 1,..., z n, aus dem Kontext hervorgeht, und ist η = [z 1 = a 1,..., z n = a n ] Eval(z 1,..., z n ) = Eval(Z), so schreiben wir auch f(a 1,..., a n ) statt f(η). Man sollte jedoch bei Verwendung dieser Bittupelnotation für Schaltfunktionen stets im Kopf behalten, daß diese nur dann sinnvoll ist, wenn aus dem Kontext klar wird, an welcher Position die Belegungen der einzelnen Variablen stehen. Darstellungsformen für Schaltfunktionen Zu den einfachsten Repräsentationen von Schaltfunktionen zählt die explizite Darstellung der Funktionswerte durch Wertetafeln. Wertetafeln sind zwar konzeptionell sehr einfach, jedoch besteht die Wertetafel einer Schaltfunktion IB(z 1,..., z n ) stets aus 2 n Zeilen und hat damit exponentielle Platzkomplexität (gemessen an der Anzahl an Variablen). Oftmals effizienter sind implizite Darstellungen beispielsweise durch aussagenlogische Formeln (z.b. Normalformen wie KNF oder DNF) Schaltbilder (logische Netze) Varianten von Entscheidungsbäumen (Branching Programme, Entscheidungsgraphen) Auf die impliziten Darstellungsformen gehen wir später ein. Wir machen uns zunächst klar, warum es keine universelle Darstellungsform geben kann, die für jede Schaltfunktion als effizient anzusehen ist. 4 Dies resultiert aus der Anzahl an Schaltfunktionen, die doppelt-exponentiell in der Anzahl n an Variablen wächst. Satz [Anzahl der Schaltfunktionen] Die Anzahl an Schaltfunktionen über Z ist IB(Z) = 2 2 Z. 4 Unter einer universellen Darstellungsform versteht man eine Repräsentationsart, mit der jede Schaltfunktion dargestellt werden kann. 11

15 Abbildung 6: Der binäre Eintopf Beweis. Für jede endliche Menge A gibt es genau 2 A n = Z, so gilt: Abbildungen A {0, 1}. Ist Eval(Z) = Anzahl Abbildungen Z {0, 1} = 2 Z = 2 n und somit IB(Z) = Anzahl Abbildungen Eval(Z) {0, 1} = 2 Eval(Z) = 2 2n. Für n = 1 besteht IB(z 1 ) besteht aus den vier Schaltfunktionen 0,1, z 1 und z 1. Für n = 2 Variablen liegen bereits 2 4 = 16 Schaltfunktionen vor: 0 z 1 z 2 (z 1 z 2 ) z 1 (z 2 z 1 ) z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 1 (z 1 z 2 ) z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 z 2 (z 1 z 2 ) IB(z 1, z 2, z 3 ) enthält 2 8 = 256 verschiedene Schaltfunktionen, während es bereits 2 32 > bzw > verschiedene Schaltfunktionen mit fünf bzw. sechs Variablen gibt. Die Aussage von Satz induziert, daß bezüglich jeder universellen Darstellungsform für Schaltfunktionen die worst-case Darstellungsgröße mindestens exponentiell in der Anzahl n der Variablen wächst. Diese Aussage ist wie folgt einsichtig. Wir gehen von einer festen Darstellungsform aus und nehmen an, daß C die Anzahl an Schaltfunktionen f IB(z 1,..., z n ) ist, die durch höchstens 2 n 1 Bits dargestellt werden. Offenbar gilt: C 2 n 1 i=0 2 i = 2 2n < 2 2n

16 Also haben mindestens 2 2n 2 2n 1 +1 = 2 2n 1 +1 ( ) 2 2n 2 n = 2 2n 1 +1 ( ) 2 2n Schaltfunktionen eine Darstellung mit mehr als 2 n 1 Bits. Obige Rechnung erlaubt sogar die Aussage, daß nur ein sehr kleiner Bruchteil aller Schaltfunktionen eine Darstellung mit 2 n 1 oder weniger Bits haben kann. Diese Überlegung zeigt, daß wir keine Darstellungsform erwarten können, die für alle Schaltfunktionen als effizient anzusehen ist. Dennoch gibt es universelle Darstellungsformen, die für viele praxisrelevanten Schaltfunktionen effizient sind. Zu solchen Darstellungsformen, die manchmal effizient sind, zählen symbolische Darstellungen durch aussagenlogische Formeln und binäre Entscheidungsgraphen. Aussagenlogik und Schaltfunktionen Während Schaltfunktionen auf einer Black-Box-Sicht beruhen, in der von der Berechnungsvorschrift abstrahiert wird, können aussagenlogische Formeln und deren Schaltbilddarstellungen als Auswertungsmechanismus (oder als Modell für die Realisierung eines Chips) angesehen werden. Die Hörerinnen und Hörer sollten aus dem Grundstudium mit der Aussagenlogik vertraut sein. Wir erläutern nur kurz unsere Schreibweisen und den Zusammenhang zwischen Schaltfunktionen und aussagenlogischen Formeln. Syntax der Aussagenlogik. Sei Z = {z 1,..., z n } eine endliche Menge boolescher Variablen. Aussagenlogische Formeln über Z sind durch die nachstehende Grammatik gegeben. α ::= true z α 1 α 2 α wobei z Z. IL(Z) oder IL(z 1,..., z n ) bezeichnet die Menge aller aussagenlogischer Formeln über Z. Als Basisoperatoren haben wir lediglich die Negation und Konjunktion verwendet. Andere Operatoren wie Disjunktion, Implikation, Äquivalenz, Parität (XOR) können hieraus hergeleitet werden. Das sollte bekannt sein... Schaltfunktionssemantik der Aussagenlogik. Intuitiv stehen die Variablen z Z für Aussagen, die je nach Kontext interpretiert und somit wahr oder falsch sein können. Der Kontext wird durch eine Variablenbelegung η formalisiert, die jeder Variablen z Z einen Wahrheitswert (0 oder 1) zuordnet. Die Semantik aussagenlogischer Formeln α IL(Z) läßt sich daher durch eine Schaltfunktion f α IB(Z) angeben, so daß f α (η) = 1 genau dann, wenn α unter der Belegung η wahr ist. Die formale Definition 13

17 der Schaltfunktion f α ist wie folgt: 5 f true = 1 (konstante Schaltfunktion) f z = proj z = z (Projektionsfunktion) f α = f α (Negation für Schaltfunktionen) f α1 α 2 = f α1 f α2 (Konjunktion für Schaltfunktionen) Die Abbildung α f α induziert eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen Schaltfunktionen über Z und den Äquivalenzklassen aussagenlogischer Formeln über Z bezüglich der (oftmals als Gleichheit behandelten) Äquivalenz, die genau solche Formeln identifiziert, die bezüglich jeder Variablenbelegung η Eval(Z) denselben Wahrheitswert haben. α 1 α 2 gdw f α1 = f α2 Schaltfunktionen sind also ein semantisches Modell für aussagenlogische Formeln, das von der Realisierung durch Gatter abstrahiert. Abbildung 7 auf Seite 15 zeigt einige Regeln für die Äquivalenz der Aussagenlogik. Die Assoziativ- und Kommutativgesetze rechtfertigen den Verzicht auf Klammern bzw. die Verallgemeinerung von Konjunktion, Disjunktion und Parität (sofern man die Äquivalenz als Gleichheit behandelt, also nur an den Wahrheitswerten interessiert ist). Wir verwenden die üblichen Schreibweisen wie α 1 α n = α i, oder auch 1 i n α 1 α n = 1 i n α 1 α n = α i, i I α i, i I 1 i n für beliebige Indexmengen I. Für die Paritätsfunktion setzen wir die Endlichkeit von I voraus. Die Wahrheitswerte der n-stelligen Paritätsfunktion sind wie folgt definiert. Sind a 1,..., a n {0, 1}, so gilt a 1... a n = 1 genau dann, wenn die Anzahl an Indizes i {1,..., n} mit a i = 1 ungerade ist. Für n = 2 erhält man also die übliche XOR- Semantik: a 1 a 2 = 1 genau dann, wenn (a 1, a 2 ) {(0, 1), (1, 0)}. Für die leere Indexmenge I treffen wir folgende Vereinbarungen: = false, α i = true und = false. i α i i Wir verwenden die üblichen Begriffe. Sei α IL(Z). α heißt 5 Noch eine kleine technische Anmerkung zur Rolle der Variablenmenge. Für aussagenlogische Formeln ist die explizite Angabe der zugrundegelegten Variablenmenge Z nicht nötig. Für α sind höchstens die (syntaktisch) in α vorkommenden Variablen z relevant. Für Schaltfunktionen f IB(Z), also f : Eval(Z) {0, 1}, legt die Menge Z den Definitionsbereich Def (f) = Eval(Z) von f fest. Daher wäre es korrekter die Schaltfunktionen f α mit der zugrundeliegenden Variablenmenge Z zu parametrisieren; also fα Z anstelle von f α zu schreiben. i I α i, α i α i i α i 14

18 Idempotenz: α α α, α α α Doppelte Verneinung: α α De Morgan: (α 1 α 2 ) α 1 α 2 (α 1 α 2 ) α 1 α 2 Assoziativität: (α 1 α 2 ) α 3 α 1 (α 2 α 3 ) (α 1 α 2 ) α 3 α 1 (α 2 α 3 ) (α 1 α 2 ) α 3 α 1 (α 2 α 3 ) Kommutativität: α 1 α 2 α 2 α 1 α 1 α 2 α 2 α 1 α 1 α 2 α 2 α 1 Distributitivität: β (α 1 α 2 ) (β α 1 ) (β α 2 ) β (α 1 α 2 ) (β α 1 ) (β α 2 ) Absorption: α (α β) α α (α β) α Äquivalenzgesetze mit false und true: α true α, α false false, α true α, α α false, α α false, α true true α false α α false α α α true α α true Abbildung 7: Äquivalenzregeln für die Aussagenlogik gültig oder Tautologie, wenn α true, also wenn f α = 1, erfüllbar, wenn es eine erfüllende Belegung für α gibt, d.h. f α 0, unerfüllbar, wenn α nicht erfüllbar ist, also wenn f α = 0. Syntaxbäume und Schaltbilder. Aussagenlogische Formeln können durch Schaltbilder gemäß ihres syntaktischen Aufbaus dargestellt werden, wobei die Gattertypen den gewählten Basisoperatoren entsprechen, die als Grundbausteine der Syntax verwendet werden. In der auf Seite 1.1 angegebenen Syntax wurden die Basisoperatoren (Negation) und (zweistellige Konjunktion) verwendet. Es können jedoch auch andere Basen eingesetzt werden. Zunächst stellen wir fest, daß ein enger Zusammenhang zwischen dem Schaltbild einer aussagenlogische Formel α und dem Syntaxbaum von α bzgl. der zugrundegelegten Basis besteht. Abbildung 8 illustriert diese Aussage an einem Beispiel mit der 15

19 Basismenge Ω = {,, } und der Formel α = (z 1 z 2 ) z 3 ( (z 3 z 4 ) z 5 ). Abbildung 8: Vom Syntaxbaum zum Schaltbild Der Syntaxbaum von α ist auf der Folie links oben skizziert. Das Schaltbild (in seiner üblichen Darstellung, in welchem die Eingabevariablen links, die Ausgabevariablen rechts stehen) für α ergibt sich, indem der Syntaxbaum um 90 Grad im Uhrzeigersinn gedreht wird, Blätter mit denselben Eingabevariablen zusammengelegt und ein Ausgang eingefügt wird. Familien aussagenlogischer Formeln können in derselben Art und Weise durch Schaltbilder dargestellt werden, wobei gemeinsame Teilformeln durch gemeinsame Knoten der Syntaxbäume erfaßt und durch denselben Gatterknoten dargestellt werden. Die Kombination der Syntaxbäume führt zu einem azyklischen Graph anstelle eines Baums. 16

20 Zweistufige Normalformen. Durch Anwenden der Äquivalenzgesetze läßt sich jede aussagenlogische Formel in gewisse Normalform Darstellungen überführen. Die gängigsten Normalformtypen sind KNF (konjunktive Normalform) DNF (disjunktive Normalform) Beide Normalformeln sind Ausgangspunkt vieler Algorithmen, die zur Lösung aussagenlogischer Probleme entwickelt wurden. Für die zweistufige Logiksynthese spielen disjunktive Normalformen eine zentrale Rolle, da sie die Grundlage einer Realisierung von Schaltfunktionen durch PLAs (programmable logic arrays) bilden. Definition [Literal, Monom, DNF] Unter einem Literal versteht man eine Formel des Typs z oder z. Ein Monom (oder Konjunktionsterm) ist eine Konjunktion von Literalen, also eine Formel des Typs γ = ξ 1 ξ 2... ξ l, wobei ξ 1,..., ξ l Literale sind. Eine aussagenlogische Formel ist in disjunktiver Normalform (DNF), falls sie eine Disjunktion von Monomen ist, also eine Formel des Typs α = m i=1 ( ξi,1 ξ i,2... ξ i,li ) mit Literalen ξ i,j, j = 1,..., l i und i = 1,..., m. Formeln in DNF werden auch Polynome genannt. In analoger Weise sind Disjunktionsterme und konjunktive Normalformen definiert. Z.B. ist α = (z 1 z 2 z 3 ) (z 1 z 2 z 3 z 4 ) eine DNF-Formel, während z 1 z 3 ( z 2 z 4 ) eine zu α äquivalente Formel in KNF ist. Aus dem Grundstudium sollte bekannt sein, daß jede aussagenlogische Formel α zu einer Formel in DNF äquivalent ist. Einen Algorithmus zur Erstellung einer DNF-Formel erhält man (im wesentlichen) durch sukzessives Anwenden der De Morganschen Regeln. Entsprechendes gilt für die KNF. Daher sind DNF- sowie KNF-Darstellungen universelle Repräsentationsformen für Schaltfunktionen. Mit den Überlegungen auf Seite 11 ff folgt, daß es Schaltfunktionen gibt, die keine effizienten DNF-oder KNF-Darstellungen haben. Dabei bezeichnen wir eine DNF-Darstellung als effizient, falls deren Gesamtlänge (gemessen an der Gesamtanzahl an Literalen; Vielfachheiten mitgezählt) polynomiell beschränkt in der Anzahl n an Variablen ist. Beispielsweise gibt es keine effiziente DNF-Darstellung der n-stelligen Paritätsfunktion: Lemma Jede DNF-Darstellung der Paritätsfunktion PAR(z 1,..., z n ) = z 1 z 2... z n hat mindestens exponentiell viele Monome. Beweis. Sei α = γ 1... γ m eine DNF-Darstellung von PAR(z 1,..., z n ), wobei die γ j s Monome sind. Wir können o.e. annehmen, dass die γ j s paarweise nicht äquivalent sind und dass keine Variable z i in einem γ j zwei- oder mehrmals vorkommt. Kommt nämlich das positive Literal z i (oder das negative Literal z i ) zweimal in γ j vor, so kann eines der 17