19 Idealer Wirkwiderstand im Wechselstromkreis

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1 36 9 Idealer Wirkwiderstand im Wechselstromkreis Der ideale Widerstand besitzt einen konstanten Widerstandswert. Die Wirkungen seines magnetischen und elektrischen Feldes sind null. Zugeführte Energie wird vollständig umgewandelt und in anderer Energieform abgegeben. 9. Phasenlage zwischen Strom und Spannung Es besteht zu jedem Zeitpunkt Proportionalität zwischen Spannung und Strom am Widerstand, also ist: u = i Ändert sich die Spannung nach dem Gesetz u = û sin ω t, so ändert sich der Strom ebenfalls zeitlich sinusförmig: û sin ω t = î sin ω t Der Strom erreicht im gleichen Zeitpunkt wie die Spannung den positiven oder den negativen Höchstwert. Die Nullwerte werden in gleicher ichtung im gleichen Zeitpunkt durchlaufen (s. Bild 9.). Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung ist null: ϕ = (i, u ) = 0º Beispiel An einem Wirkwiderstand wurden folgende Effektivwerte gemessen: U = 70,7 V, I = 0,707 A. Es sind Zeiger- und Liniendiagramme darzustellen. Lösung: Scheitelwerte für Strom und Spannung: û = U =,44 70,7 V = 00 V i^ = I =,44 0,707 A = A Zeiger- und Liniendiagramm: Bild 9. Phasenlage von Strom und Spannung bei einem idealen Wirkwiderstand a) in Zeigerdiagramm b) im Liniendiagramm c) Zählpfeile

2 9. Leistungen und Energieumsetzung Leistungen und Energieumsetzung Betrachtet man die Energieumsetzung eines Verbrauchers (z.b. eines Heizwiderstandes) in Bild 9. innerhalb einer Folge kleinster Zeitabschnitte dt, so erkennt man, dass die je Zeitabschnitt umgewandelte Energiemenge schwankend ist. Die direkte Beobachtung des Heizwiderstandes zeigt dagegen bei ausreichend hoher Frequenz der Wechselspannung eine gleichmäßige Energieabgabe des Verbrauchers. Die emperatur des Heizwiderstandes richtet sich offensichtlich nach einem Durchschnittswert der Momentanleistungen, der nachfolgend ermittelt werden soll: In einem beliebigen Zeitpunkt t besteht eine Momentanspannung u und ein Momentanstrom i am Widerstand. Die in diesem Augenblick bestehende Geschwindigkeit der Energiezuführung also die Leistung beträgt: p(t) = u i oder p(t) = û sin ω t i^ sin ω t p(t) = û i^ sin ω t Mit der trigonometrischen Umformung: wird: sin ω t = ( cos ω t) uˆ iˆ ˆ uˆ i pt () = cosω t Mit den Effektivwerten von Strom und Spannung ergibt sich der zeitliche Verlauf der Leistung zu: p(t) = U I U I cos ω t Bild 9. zeigt anschaulich den zeitlichen Verlauf dieser Funktion. Bei dem Momentanwert null von Strom und Spannung ist auch die Leistung momentan null. Bei den Maximalwerten von Strom und Spannung ist die Leistung maximal. Der Durchschnittswert P aus dem zeitlichen Verlauf der Momentanleistung p(t) über eine volle Periode des Wechselstromes wird Wirkleistung P genannt: P= p() t dt (7) 0 Speziell für den sinusförmigen Strom im Wirkwiderstand ist die Wirkleistung gleich dem Durchschnittswert aus dem zeitlichen Verlauf der Momentanleistung. Wie Bild 9. zeigt, ist dieser Durchschnittswert P U I =, wenn ϕ = 0º. Einheit W (8)

3 38 9 Idealer Wirkwiderstand im Wechselstromkreis In Worten: Die Wirkleistung P des idealen Wirkwiderstandes errechnet sich bei sinusförmigen Wechselstrom aus dem Produkt der Effektivwerte von Wechselspannung und Wechselstrom. Die Wirkleistung ist die durchschnittliche Arbeitsgeschwindigkeit, mit der elektrische Energie in andere Energie umgewandelt und an die Umgebung abgegeben wird. Beispiel An einem Widerstand wurden gemessen: U = 70,7 V, I = 0,707 A. Es ist die Funktion p(t) = f(ω t) zu ermitteln und daraus die Wirkleistung zu bestimmen. Lösung: Der zeitliche Verlauf der Leistung wird in einer abelle berechnet: ω t cos ω t p(t) = U I U I cos ω t W 30º + 0,5 + 5 W 45º W 60º 0, W 90º + 00 W 0º 0, W 35º W 50º + 0,5 + 5 W 80º + 0 W Wiederholung der Werte 360º + 0 W = 50 W Bild 9. zeigt den zeitlichen Verlauf der Leistung. Man erkennt eine Leistungsschwingung mit doppelter Frequenz gegenüber der Frequenz des Wechselstromes. Der Durchschnittswert aller Momentanleistungen über eine volle Periode beträgt: P= p() t dt= 50W 0 Die Wirkleistung kann auch einfach aus P = U I = 70,7 V 0,707 A = 50 W errechnet werden. Bild 9. Die Leistung p(t) der dem Wirkwiderstand zugeführten Energie schwingt mit doppelter Frequenz um den Mittelwert P = U I

4 9.3 Ohm sches Gesetz, Wirkwiderstand 39 Im Liniendiagramm der Momentanleistung wurde ein Flächenstreifen unter der Funktionskurve eingetragen (s. Bild 9.). Es besitzt eine Grundlinie d(ω t), die bei einer bestimmten Frequenz; der Zeit dt entspricht. Die Höhe des Flächenstreifens ist mit genügender Genauigkeit p(t). Die Fläche p(t) dt entspricht einer während der Zeit dt dem Widerstand zugeführten elektrischen Energie dw. Die Summe aller Flächenstreifen von 0 bis ist folglich gleich der während der Zeit einer Periode aufgewendeten elektrischen Energie: W = p() t dt 0 Mit dem Mittelwert der Leistung P = U I und der Zeitdauer t des Bestehens dieser Leistung über volle Perioden ist die im Wirkwiderstand in Wärme umgesetzte elektrische Energie: W = U I t Einheit Ws (9) Diese elektrische Arbeit, die durch registrierende Messgeräte (Zähler) gemessen werden kann, wird Wirkarbeit genannt. Kennzeichen der Wirkarbeit ist die vollständige Umwandlung und Abgabe der zugeführten elektrischen Energie. Die in Bild 9. gerasterte Fläche stellt die Wirkarbeit dar, die in einer Periodendauer verrichtet wird. Wirkarbeit bedeutet jedoch nicht immer Wärmeerzeugung. Ein Motor verrichtet z.b. Wirkarbeit durch Abgabe von mechanischer Energie. 9.3 Ohm sches Gesetz, Wirkwiderstand Ein sinusförmiger Strom verursacht an einem idealen Wirkwiderstand einen sinusförmigen Spannungsabfall: u sin ωt= i sin ωt Deshalb ist auch û = i ˆ und mit den Effektivwerten: U = (30) I Diese Beziehung ist das Ohm sche Gesetz für den Widerstand bei Wechselspannung. Der darin enthaltene Widerstand wird Wirkwiderstand genannt. Mit dem Begriff Wirkwiderstand ist verbunden, dass bei Anlegen einer Wechselspannung ein phasengleicher Wechselstrom auftritt und die gesamte ihm zugeführte elektrische Energie vollständig umgewandelt und in andere Energieform abgegeben wird. Allgemein gültig ist deshalb die Bestimmung des Wirkwiderstandes über die Wirkleistung: P = oder I U = (3a, b) P

5 40 9 Idealer Wirkwiderstand im Wechselstromkreis Beispiel Bei einem Wirkwiderstand an sinusförmiger Wechselspannung werden die Effektivwerte U = 70,7 V und I = 0,707 A gemessen. Ein Leistungsmesser zeigt die Leistungsaufnahme P = 50 W des Wirkwiderstandes an. Wie groß ist der Wirkwiderstand? Lösung: Mit den Effektivwerten von Strom und Spannung: U 70,7 V = = = 00 Ω I 0,707 A Über die Wirkleistung: P 50 W = = = 00 Ω oder I (0,707 A) ( 70,7 V) U = = = 00 Ω P 50 W Der Begriff des Wirkwiderstandes ist jedoch nicht so einfach, wie er im voranstehenden Beispiel erscheint. Dort ist der Wirkwiderstand gleich dem Leitungswiderstand des verwendeten Drahtwiderstandes. Bei Betrieb an Gleichspannung U = 70,7 V würde sich der Gleichstrom I = 0,707 A einstellen, da der Widerstand bei Gleichstrom und auch bei niederfrequentem Wechselstrom durch die Drahtlänge, den Drahtquerschnitt und den spezifischen Widerstand bestimmt wird. Wirkwiderstand = Leitungswiderstand, gilt bei Gleichstrom und Wechselstrom sehr niedriger Frequenz Bei erhöhten Frequenzen stellt man fest, dass der Wirkwiderstand sich gegenüber dem Leistungswiderstand offensichtlich vergrößert hat. Man führt dies auf den Effekt der Stromverdrängung zurück: Der Strom fließt nicht mehr im vollen Leiterquerschnitt, sondern nur noch an der Oberfläche des Leiters, wodurch sich die wirksame Drahtquerschnittfläche verringert hat. Wirkwiderstand > Leitungswiderstand, gilt bei erhöhten Frequenzen In einigen Fällen ist der Wirkwiderstand nicht die Eigenschaft eines Drahtwiderstandes, an dem Messungen durchgeführt werden können, sondern ein Ersatzwiderstand für die Verluste des magnetischen und elektrischen Feldes. So kann z.b. die Eisenerwärmung eines ransformators infolge ständiger Ummagnetisierung durch einen Ersatzwiderstand schaltungsgemäß erfasst werden. Neben diesen sog. Ummagnetisierungsverlusten im magnetischen Feld gibt es bei Kondensatoren und Leitungen sog. dielektrische Verluste. Diese zeigen sich als eine Erwärmung des Dielektrikums infolge ständiger Umpolung der Dipolmoleküle und können ebenfalls durch einen Ersatzwiderstand schaltungsgemäß erfasst werden. Diese Ersatzwiderstände für die Verluste des magnetischen und elektrischen Feldes sind Wirkwiderstände, die überhaupt nichts mit dem Gleichstromwiderstand von Drähten zu tun haben. Wirkwiderstand als Ersatzwiderstand für die Verluste des magnetischen und elektrischen Feldes

6 9.4 Übungsaufgaben 4 Ferner wird der Begriff des Wirkwiderstandes auch so verwendet, dass eine beabsichtigte, nützliche Energieumwandlung durch einen Wirkwiderstand schaltungsmäßig dargestellt wird wie z.b. die Energieumwandlung in einer Antenne, bei der elektrische in elektromagnetische Leistung ungesetzt wird. Wirkwiderstand als Ersatzwiderstand für eine beabsichtigte, nützliche Leistungsumwandlung Deshalb gilt: Der Wirkwiderstand ist der aus der Wirkleistung P und dem Effektivwert I des Stromes bestimmte Wechselstrom-Widerstandswert eines Bauelementes. 9.4 Übungsaufgaben Δ Übung 9.: Leistungsschwingung In einem Wirkwiderstand = 00 Ω fließt ein sinusförmiger Wechselstrom mit der Amplitude 50 ma und Frequenz 500 Hz. a) Wie groß ist die Wirkleistung? b) Wie groß sind Maximal- und Minimalwerte der Momentanleistung? c) Wie groß ist die Frequenz der Leistungsschwingung? Übung 9.: Widerstandsbegriffe Grenzen Sie die Begriffe ohmscher Widerstand, Gleichstromwiderstand, Wirkwiderstand gegeneinander ab. Δ Übung 9.3: Wirkleistung Welche Leistung müsste ein Leistungsmesser in einer Schaltung anzeigen, bei der ein Wirkwiderstand von 3 Ω an Netzwechselspannung u = 35 V sin ω t liegt? Δ Übung 9.4: Wirkwiderstand und Wirkleistung Welchen Wirkwiderstand hat ein Heizleiter, der an Netzspannung 30 V ( f = 50 Hz) innerhalb von t = min die elektrische Energie 0 Wh verbraucht, d.h. in Wärme umwandelt? Δ Übung 9.5: Effektivwert Wie groß ist der Wirkwiderstand des Verbrauchers, wenn ein sinusförmiger Strom der Amplitude 0,4 A die Leistungsmesseranzeige 50 W verursacht? Δ Übung 9.6: Ersatz-Wirkwiderstand Eine 65 W-Leuchtstofflampe wird mit einem sog. Vorschaltgerät an 30 V Netzwechselspannung betrieben. Die Aufgaben des Vorschaltgerätes sind das Zünden der Leuchtstofflampe und die Aufnahme des Spannungsüberschusses während des Betriebes. Nach erfolgter Zündung wird eine Stromaufnahme von 0,68 A gemessen. Wie groß ist der Ersatz-Wirkwiderstand der gezündeten Leuchtstofflampe? Bild 9.3