1. Wie groß ist der Strom, der durch den Verbraucher fließt (Betrag und Phase), wenn die Generatorspannung als Bezugszeiger gewählt wird?

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1 Übung 10 Ein Generator (R i = 0, Klemmenspannung 230 V, f = 50 Hz) ist mit einem Verbraucher mit dem Leistungsfaktor cos ϕ = 0, 8 (induktiv) zusammengeschaltet. Der Verbraucher nimmt dabei die Wirkleistung P w = 3,52 kw auf. 1. Wie groß ist der Strom, der durch den Verbraucher fließt (Betrag und Phase), wenn die Generatorspannung als Bezugszeiger gewählt wird? 2. Zwischen Generator und Verbraucher wird ein 100 m langes zweiadriges Anschlusskabel geschaltet. Der Querschnitt jedes Leiters beträgt 2 mm 2 (ρ = 0,018 Ωmm 2 /m). Welche Spannung muss der Generator erzeugen, damit die Wirkleistung im Verbraucher unverändert bleibt? Welcher Phasenwinkel zwischen Generatorspannung und Verbraucherstrom stellt sich ein? 3. Der Verbraucher wird wieder direkt an dem Generator angeschlossen. Wie groß muss die Kapazität eines parallel zum Verbraucher geschalteten Kondensators sein, damit der zwischen Generator und Verbraucher pendelnde Leistungsanteil (Blindleistung) null wird? 4. Wie groß ist der Kondensator zu wählen, wenn er nicht parallel zum Verbraucher, sondern in Reihe zwischen Generator und Verbraucher geschaltet werden soll? Wie groß ist die Spannung am Verbraucher? (Generatorspannung bleibt konstant auf 230 V). 5. Welche Wirkleistungen werden in den Fällen 3. und 4. vom Generator abgegeben? 1. Strom nach Betrag und Phase: Der Betrag des Stroms wird aus der Wirkleistung bestimmt: P = U cos ϕ = P U cos ϕ = 3,52 kw 230 V 0,8 = 19,13 A Der Phasenwinkel des Stroms wird aus dem Leistungsfaktor cos ϕ bestimmt: ϕ = arccos(0,8) = 36,87 Da der Leistungsfaktor induktiv angegeben ist, wird der Phasenwinkel negativ (induktive Last: der Strom eilt der Spannung nach). U ϕ = 36,87 WS 2013/ Verena Schild, 11. Februar 2014

2 2. Spannung am Generator und Phasenwinkel zwischen Verbraucherstrom und Generatorspannung: Beim Kabel müssen Hin- und Rückleiter jeweils mit der Länge von 100 m berücksichtigt werden. Der Widerstand des Kabels ergibt sich damit zu: R L = 2 ρ l Ω mm2 = 2 0,018 A m 100 m 2 mm 2 = 1,8 Ω Die Generatorspannung setzt sich aus dem Spannungabfall an der Leitung und dem Spannungsabfall am Verbraucher zusammen: R L U L = U L + = R L + Da die Wirkleistung am Verbraucher unverändert bleibt, müssen, U und cos ϕ gleich bleiben. Der Strom ist der in Teilaufgabe a) berechnete: = 20 A. Dieser wird nun als Bezugszeiger in die reelle Achse gelegt (Reihenschaltung). Der Phasenwinkel wird damit zu 0 angenommen. Der Phasenwinkel der Verbraucherspannung ergibt sich aus dem Leistungsfaktor des Verbrauchers zu 36,87. = 1,8 Ω 19,13 A V e j36,87 = 34,43 V V + j138 V = 212,34 V + j138 V = 258,3 V e j32,29 3. Blindleistungskompensation durch Parallelschaltung eines Kondensators Da der Verbraucher nun wieder direkt an den Generator angeschlossen ist, werden die Ergebnisse aus Teilaufgabe a) verwendet. Da eine Parallelschaltung betrachtet wird, wird die Spannung als Bezugszeiger verwendet und in die reelle Achse gelegt. Die mpedanz des Verbrauchers beträgt: WS 2013/ Verena Schild, 11. Februar 2014

3 Z V = = 230 V 19,13 A e j36,87 = 12,02 Ω e j36,87 = 9,62 Ω + j7,21 Ω C V Die Gesamtimpedanz aus Verbraucher und parallelgeschaltetem Kondensator ergibt sich zu: = Z V Z C = (R + j) ( jx C ) = jrx C + X C Z V + Z C R + j jx C R + j( X C ) R j( X C ) R j( X C ) = jr2 X C RX C ( X C ) + X C R j X C ( X C ) R 2 + ( X C ) 2 Damit die geamte Schaltung keine Blindleistung aufnimmt, muss der magniärteil der Gesamtimpedanz Null sein (vollständige Blindleistungskompensation). 0 = R 2 X C + X C ( X C ) 0 = X C R2 + X 2 L X C = R2 + X 2 L = (9,62 Ω)2 + (7,21 Ω) 2 7,21 Ω C = 1 ωx C = = 20,05 Ω 1 = 158,8 µf 2π 50 Hz 20,05 Ω Wird ein Kondensator mit einer Kapazität von 158,8 µf parallel zum Verbraucher geschaltet, ist der Blindanteil der Gesamtimpedanz Null und es wird keine Blindleistung aufgenommen. WS 2013/ Verena Schild, 11. Februar 2014

4 4. Blindleistungskompensation durch Reihenschaltung mit einem Kondensator U C Die Gesamtimpedanz ergibt sich in diesem Fall zu: = R + j( X C ) Der maginärteil wird wieder Null gesetzt, um die benötige Kapazität des Kondensators zu bestimmen. 0 = X C = X C C = 1 ω = 1 = 441,5 µf 2π 50 Hz 7,21 Ω Die Gesamtimpedanz ist damit gleich dem ohmschen Anteil des Verbrauchers: = R = 9,62 Ω. Der Spannungsabfall am Verbraucher wird nach dem ohmschen Gesetz berechnet. Der Strom wird dabei als Bezugszeiger in die reelle Achse gelegt. Da die Gesamtbelastung rein ohmsch ist, sind Gesamtspannung und Gesamtstrom in Phase. = R + j = R + j = 230 V 230 V 9,62 Ω + j7,21 Ω = 230 V + j172,38 V = 287,43 V ej36,85 9,62 Ω 9,62 Ω WS 2013/ Verena Schild, 11. Februar 2014

5 5. Wirkleistungsaufnahme in den beiden Fällen aus Teilaufgabe c) und d) Fall 1: Blindleistungskompensation durch Parallelschaltung des Kondensators Der Gesamtstrom ergibt sich aus der Addition der Teilströme durch den Vebraucher und den Generator V = 19,13 A e j36,87 = 15,3 A j11,48 A C = jωc = 230 V j 2π 50 Hz 158, F = 11,48 A e j90 = j11,48 A 0 = V + C = 15,3 A Die Wirkleistung beträgt: P = U cos ϕ = 230 V 15,3 A cos(0 ) = 3,52 kw Der Phasenwinkel ist 0, da die Blindleistung vollständig kompensiert ist. Fall 2: Blindleistungskompensation durch Reihenschaltung des Kondensators Der Gesamtstrom wird nach dem ohmschen Gesetz berechnet: ges = Die aufgenommene Wirkleistung ergibt sich zu: = 230 V 9,62 Ω = 23,9 A P = U cos ϕ = 230 V 23,9 A cos 0 = 5,5 kw WS 2013/ Verena Schild, 11. Februar 2014