Mathematik Regelheft. Teile der Inhalte aus Klasse 5 und 6. Friedrich Hattendorf Bergstadt-Gymnasium Lüdenscheid

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1 Mathematik Regelheft Teile der Inhalte aus Klasse 5 und 6 Friedrich Hattendorf Bergstadt-Gymnasium Lüdenscheid 6. September 2007

2 Diese Seiten enthalten eine (noch nicht vollständige) Zusammenstellung der - nach meiner Meinung - wichtigsten Inhalte des Mathematikunterrichtes der Klassen 5.und 6 Kritik und Hinweise auf Fehler bitte an friedrich@hattendoerfer.de Insbesondere bitte ich auch um Rückmeldungen zu Fehlern und zu fehlenen Einträgen im Index auf den letzten Seiten

3 Inhaltsverzeichnis 5 Klasse Zahlen Zahlwörter für große Zahlen Runden Größen Geldwerte Längen Massen Zeitspannen Rechnen mit Größen Grundrechenarten Ausführbarkeit von Addition und Subtraktion Vorrang-regeln entgegengesetzte Rechenarten Rechengesetze Assoziativgesetze Kommutativgesetze Distributivgesetz für die Multiplikation Distributivgesetz für die Division zu beachten! Überschlagsrechnungen Potenzen Stellenwertsysteme Aussagen Aussagen Aussageformen Gleichungen und Ungleichungen Gleichungen allgemeingültige Gleichungen Ungleichungen Geometrie Klasse 6 6. Bruchrechnung Teiler einer Zahl Teilbarkeit von Summen und Produkten Teilbarkeitsregeln Primzahlen

4 6..5 gemeinsame Teiler, ggt Das kleinste gemeinsame Vielfache, kgv Die Bestimmung des ggt und des kgv Der Euklidische Algorithmus Das Sieb des Eratosthenes Vielfache und Teile einer Größe Bruchteile und -zahlen Bruchteile einer Größe Erweitern und Kürzen Beispiele Erweitern Kürzen Hauptnenner Anordnung der Bruchzahlen Beispiel: Bruchzahlen sind dicht angeordnet Addition und Subtraktion von Bruchzahlen Die Addition von Brüchen Beispiel: Die Subtraktion von Brüchen Vielfache und Teile eines Bruchteil es Vielfache eines Bruchteil es Teile eines Bruchteils Bruchteile eines Bruchteils MULTIPLIZIEREN VON BRUCHZAHLEN Beispiel ein weiterer wichtiger Hinweis: Exkurs : Rechengesetze Umkehrung Permanenzprinzip Division von Bruchzahlen Umkehrung der Multiplikation eine etwas andere Begründung : Beachte Brüche in Dezimalschreibweise Stellenwertsysteme Dezimalschreibweise Beispiele Umformen von der Bruch- in die Dezimalschreibweise.. 25 Verschiedene Darstellungen Umwandlungsprobleme Ordnen von Dezimalbrüchen Ordnen Beispiele Dichte Ordnung Runden von Dezimalbrüchen Rundungen Beispiele Genauigkeit, geltende Ziffern Regeln für die Anzahl an geltenden Ziffern

5 Technisches Runden Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen Addieren und Subtrahieren von Größen Addieren und Subtrahieren gerundeter Dezimalbrüche Multiplizieren und Dividieren mit Zehnerpotenzen Multiplizieren Dividieren Beispiele Multiplizieren von Dezimalbrüchen Beispiel Multiplizieren von Dezimalbrüchen Beispiele gegensinnige Kommaverschiebung Division von Dezimalbrüchen Begründung der schriftlichen Division Division von Dezimalbrüchen durch natürliche Zahlen.. 30 Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch Periodische Dezimalbrüche Entstehen der Periode Periodenlänge Brüche und (periodische) Dezimalzahlen Die Umwandlungen eines Bruchs in eine (periodische) Dezimalzahl Die Umwandlung einer nicht-periodischen Dezimalzahl in einen Bruch Die Umwandlungen einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch Klasse Klasse Variablen und Terme; Termumformungen Terme Variablen Terme mit Variablen Äquivalente Terme

6 Kapitel 5 Klasse5 5. Zahlen Wir nennen die Zahlen 0,,2,3,... (d.h. die Zahlen, die wir zum Abzählen oder zur Festlegung einer Reihenfolge benutzen) natürliche Zahlen. Man fasst die natürlichen Zahlen zu einer Menge N zusammen und schreibt N = {0,, 2, 3, 4, 5,..} (5.) Manchmal benötigt man die Menge der natürlichen Zahlen ohne die Null. Dann schreibt man: N = {, 2, 3, 4, 5,..} (5.2) Achtung: Andere benutzen statt dessen oft N = {,2,3,4,5,..} und N 0 = {0,,2,3,4,5,..} (Vor allem )Bei Größen benutzen wir auch Bruchzahlen wie z.b. 2 und 3 4 oder Kommazahlen wie z.b, 2,5 oder 0,9 5.2 Zahlwörter für große Zahlen Tausend = T = 000 Million = Mio. = 000 T = = Milliarde = Mrd. = 000 Mio. = Billion = Bio. = 000 Mrd. = Billiarde = 000 Bio. = Es geht weiter mit Trillionen, Trilliarden, Quadrillionen,...,Quintillionen,... Achtung: Eine amerikanische billion ist eine deutsche Milliarde. Eine deutsche Billion ist eine amerikanische trillion. 5.3 Runden Wenn die erste wegfallende Ziffer eine 0,,2,3 oder 4 ist, wird abgerundet, wenn es eine 5,6,7,8 oder 9 ist, aufgerundet Abrunden Die folgenden Ziffern werden einfach weggelassen Aufrunden 5

7 Die letzte Ziffer, die bleibt, wird um erhöht, die folgenden Ziffern werden weggelassen Beispiele : (Runden auf Hunderter) ; ; ; Größen Zu jeder Größenangabe gehört eine Maßzahl und eine Maßeinheit. Dabei kann die Maßzahl eine natürliche Zahl, eine Kommazahl oder eine Bruchzahl sein Geldwerte = 00 Cent ; Cent = 0, Längen cm = 0 mm dm = 0 cm = 00 mm m = 0 dm = 00 cm = 000 mm km = 000m mm = 0, cm = 0,0 dm = 0,00 m cm = 0, dm = 0,0 m cm = 0, m m = 0,00 km Massen g = 000 mg mg = 0,00 g kg = 000 g g = 0,00 kg t = 000 kg kg = 0,00 t Zeitspannen min = 60 s h = 60 min = 3600 s d = 24h = 440 min Rechnen mit Größen Man kann nur Größen der gleichen Größen-Art addieren(subtrahieren). Wenn die Größen in derselben Maßeinheit gegeben sind, addiert (subtrahiert) man die Maßzahlen und behält die Maßeinheit bei. Beachte : Komma unter Komma! Wenn die Größen in verschiedenen Maßeinheiten gegeben sind (z.b. cm und m) rechnet man zuerst alle Werte in dieselbe Maßeinheit um. Man multipliziert eine Größe mit einer Zahl, indem man die Maßzahl mit der Zahl multipliziert und die Einheit beibehält. 6

8 5.5 Grundrechenarten Addition.Summand + 2. Summand = Summe Subtraktion Minuend - Subtrahend = Differenz Multiplikation.Faktor 2. Faktor = Produkt Division Dividend : Divisor = Quotient 5.6 Ausführbarkeit von Addition und Subtraktion Die Addition zweier natürlicher Zahlen ist immer ausführbar, d.h. die Summe zweier natürlicher Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl. Die Differenz zweier natürlicher Zahlen ist nur dann eine natürliche Zahl, wenn der Minuend mindestens so groß ist wie der Subtrahend. 5.7 Vorrang-regeln Kommen in einem Term (Rechen-Ausdruck) Klammern vor, so ist zuerst das aus zurechnen, was in den Klammern steht. Die Klammern werden durch ihren Wert ersetzt. Kommen in einem Term innere und äußere Klammern vor, so ist zuerst das aus zurechnen, was in den inneren Klammern steht. Potenzen werden vor den anderen Rechen-Operationen ausgewertet Multiplikationen und Divisionen haben Vorrang vor Additionen und Subtraktionen ( Punkt- vor Strichrechnung ) Wenn keine anderen Regeln greifen, wird von links nach rechts gerechnet 5.8 entgegengesetzte Rechenarten Addition und Subtraktion sind entgegengesetzte Rechenarten. Jeder Subtraktionsgleichung entspricht eine Additionsgleichung und umgekehrt a b = c a = c + b (5.3) a + b = c a = c b b = c a (5.4) Multiplikation und Division sind entgegengesetzte Rechenarten. Jeder Divisionsgleichung entspricht eine Multiplikationsgleichung und umgekehrt a : b = c a = c b (5.5) a b = c a = c : b b = c : a (5.6) 7

9 5.9 Rechengesetze 5.9. Assoziativgesetze In einer Summe (in einem Produkt) mit drei - oder mehr - Summanden (Faktoren) darf man die Summanden (Faktoren) durch Klammern beliebig zusammenfassen. Für alle natürlichen Zahlen gilt: Kommutativgesetze (a + b) + c = a + (b + c) (5.7) (a b) c = a (b c) (5.8) In einer Summe (in einem Produkt) darf man die Reihenfolge der Summanden (Faktoren) vertauschen. Für alle natürlichen Zahlen gilt: (a + b) = b + a (5.9) a b = b a (5.0) Distributivgesetz für die Multiplikation Für alle natürlichen Zahlen gilt: a (b + c) = a b + a c (5.) a (b c) = a b a c (5.2) Distributivgesetz für die Division Falls a und b Vielfache von c sind, gilt: zu beachten! (a + b) : c = a : c + b : c (5.3) (a b) : c = a : c b : c (5.4) (5.5) Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten nicht für die Subtraktion und die Division. Es gibt kein Distributivgesetz für die Division, falls der Divisor eine Summe oder eine Differenz ist. Im Bereich der natürlichen Zahlen N gilt: Subtraktionen sind nur ausführbar, wenn der Minuend größer ist, als der Subtrahend. Divisionen sind nur ausführbar, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist. (Die beiden letzten Einschränkungen werden mit der Einführung der Bruchzahlen B bzw. der rationalen Zahlen Q wegfallen.) 8

10 5.0 Überschlagsrechnungen Überschlagsrechnungen sind keine genauen Rechnungen. das Ziel ist es, die Größenordnung des Ergebnisses zu erhalten. Man sollte versuchen, die Zahlen so zu runden, dass man ein möglichst genaues Ergebnis erhält, die Rechnung aber noch ohne Probleme im Kopf ausführen kann. Eindeutige Regeln gibt es nicht. Beim Addieren und Multiplizieren sollte man möglichst einen Wert auf-, den anderen abrunden. Beim Subtrahieren und Dividieren sollte man möglichst beide Werte aufbzw. abrunden. 5. Potenzen Basis Exponent = P otenz Der Exponent (die Hochzahl) gibt an, wie oft die Basis (die Grundzahl) als Faktor auftritt. Potenzen mit dem Exponenten zwei nennen wir Quadratzahlen, solche mit dem Exponenten drei Kubikzahlen. 5.2 Stellenwertsysteme In unserem Zahlensystem hängt der Wert einer Ziffer von der Stelle ab, an der sie steht: vor dem Komma stehen die Einer, davor die Zehner usw.. Hinter dem Komma stehen die Zehntel, Hundertstel usw.. Unser Zahlensystem basiert auf der Zehn als Stufenzahl. Es sind andere Stufenzahlen möglich. Gängig sind die Stufenzahlen zwei (Binärsystem), acht(oktalsystem), zehn (Dezimalsystem) und Sechzehn (Hexadezimalsystem). 5.3 Aussagen 5.3. Aussagen Eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde (Satz), das entweder wahr oder falsch ist. Fragen und Aufforderungen z.b. sind keine Aussagen Aussageformen Aussageformen enthalten Platzhalter (Variablen). Sie selbst sind weder falsch noch wahr. Wenn man für die Variablen geeignete Dinge einsetzt, werden sie zu Aussagen. 9

11 5.4 Gleichungen und Ungleichungen 5.4. Gleichungen Eine Aussageform, die aus zwei Termen mit einem Gleichheitszeichen dazwischen besteht, nennen wir eine Gleichung. Setzt man in die Gleichung Zahlen ein, so wird die Gleichung zu einer wahren oder einer falschen Aussage. Die Zahlen, für die die Gleichung zu einer wahren Aussage wird, fassen wir zur Lösungsmenge L zusammen. Wir sagen auch: Diese Zahlen erfüllen die Gleichung. Beispiel: (3x + 2)(x ) = 2x 2 + 3x 5 Diese Gleichung hat die Lösungsmenge L = {; 3} allgemeingültige Gleichungen Es gibt Gleichungen, die werden von jeder Zahl erfüllt. Solche Gleichungen heißen allgemeingültig Ungleichungen Das obige gilt auch für Ungleichungen, nur dass diese erfüllt sind, wenn die zwei Terme auf den beiden Seiten des Ungleich-Zeichens ( ) beim Einsetzen der Zahlen verschiedene Werte annehmen. 5.5 Geometrie Geometrie fehlt derzeit in diesem Papier noch! 0

12 Kapitel 6 Klasse 6 6. Bruchrechnung 6.. Teiler einer Zahl Bleibt beim Dividieren einer Zahl a durch eine Zahl b kein Rest, gibt es also eine natürliche Zahl n mit n = a : b, bzw. ist a = n b, so nennen wir a ein Vielfaches von b oder b einen Teiler von a Wir sagen auch : a ist teilbar durch b oder b teilt a (geschrieben a b). Bleibt bei der Division a : b ein Rest, bzw. ist a = n b + c, so ist a nicht teilbar durch b. Beispiel : Es ist 2 6 = 2, also ist 2 ein Teiler von 2; es ist 4 = , also ist 6 kein Teiler von 4. Wenn gilt : a teilt b, kann - außer wenn a und b gleich sind - nicht gelten : b teilt a. Zu jedem Teiler einer Zahl a gehört ein komplementärer Teiler. Das Produkt zweier komplementärer Teiler ist die Zahl a. Beispiel: 6 24; der zu 6 komplementärer Teiler ist 4, denn 6 4 = 24 Bemerkung : Ist a = b 2 (also Quadratzahl) ist b komplementärer Teiler zu sich selbst. Die Menge der Teiler einer Zahl a heißt Teilermenge T a von a. Beispiel: Die Zahlen,2,3,4,5,6,0,2,5,20,30,60 sind die Teiler der Zahl 60; T 60 ={;2;3;4;5;6;0;2;5;20;30;60} Jede Zahl hat sich selbst als Teiler; ist Teiler jeder Zahl; Null ist durch jede Zahl teilbar Teilbarkeit von Summen und Produkten Ist eine Zahl a durch eine Zahl b teilbar, dann ist auch jedes Vielfache von a durch b teilbar. Beispiel: 2 ist durch 4 teilbar; 60 ist ein Vielfaches von 2; also ist auch 60 durch vier teilbar.

13 Lässt sich eine Zahl a in ein Produkt zerlegen und ist wenigstens einer der Faktoren durch eine Zahl b teilbar, so ist auch a durch b teilbar. Beispiel: 82 lässt sich in das Produkt 2 9 zerlegen. Da 9 durch 3 teilbar ist,ist auch 82 durch 3 teilbar. Ist in einer Summe a+b (Differenz a b) sowohl a als auch b teilbar durch eine Zahl c, dann ist auch die Summe a+b (Differenz a b) durch c teilbar. Beispiel : 65 und 39 sind beide durch 3 teilbar; 39+65=04 und =26 sind auch durch 3 teilbar Ist dagegen nur eine der beiden Zahlen a und b durch c teilbar, die andere aber nicht, so ist die Summe a + b (die Differenz a b) nicht teilbar durch c. Beispiel : 65 ist durch 3 teilbar, 38 nicht; 38+65=03 und =27 sind beide nicht durch 3 teilbar Eine Summe a + b ist genau dann teilbar durch eine Zahl c, wenn die Summe der Reste, welche a und b bei der Division durch c lassen, durch c teilbar ist. BBeispiel : ist durch 5 teilbar; 3497 hat den Fünfer-Rest 2; 743 den Fünfer-Rest 3; die Summe der Reste ist 5 und durch 5 teilbar; dagegen haben 23 und 38 jeweils den Fünfer-Rest 3; die Summe der Reste ist 6 und nicht durch 5 teilbar; also ist auch 23+38=6 nicht durch fünf teilbar. Ist mindestens eine von zwei Zahlen a und b teilbar durch c, so ist auch ihr Produkt a b teilbar durch c. ( siehe auch 4.5)) Beispiel: 8 und 2 sind teilbar durch 4; also ist 8 2 = 96 teilbar durch 4; aber auch 8 3 = 04 ist durch vier teilbar, da es reicht, dass ein Faktor ein Vielfaches von vier ist Teilbarkeitsregeln Eine Zahl ist genau dann teilbar durch 2, wenn die Einer-Ziffer gerade ist. 3, wenn die Quersumme (d.i. die Summe aller Ziffern) durch 3 teilbar ist 4, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 4 teilbar ist. 5, wenn sie die Einer-Ziffer 0 oder 5 hat. 6, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. 8, wenn die aus den letzten drei Ziffern gebildete Zahl durch 8 teilbar ist. 9, wenn die Quersumme durch 9 teilbar ist. 0, wenn sie die Einer-Ziffer 0 hat., wenn die alternierende Quersumme durch teilbar ist. 2, wenn sie durch 3 und durch 4 teilbar ist. 2

14 20, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 20 teilbar ist. 25, wenn die aus den letzten beiden Ziffern gebildete Zahl durch 25 teilbar ist. Zu : alternierende Quersumme: man addiert zuerst die an.,3.,5.,7.,... usw. Stelle stehenden Ziffern ; dann die an 2.,4.,6.,8.,... usw. Stelle stehenden Ziffern; die Ergebnisse subtrahiert man voneinander. Beispiel : ist durch teilbar, denn es ist: =23; 5+7 =2; 23-2 = 6..4 Primzahlen Zahlen mit genau zwei Teilern bezeichnet man als Primzahlen. Es sind dies die Zahlen (größer als ), die nur sich selbst und die als Teiler haben. Es gibt unendlich viele Primzahlen Die Primzahlen bis 200 sind : 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 97, 0, 03, 07, 09, 3, 27, 3, 37, 39, 49, 5, 57, 63, 67, 73, 79, 8, 9, 93, 97, 99 Jede natürliche Zahl (größer als ) ist entweder Primzahl oder lässt sich aus Primzahlen durch Multiplizieren erzeugen. Die dazu notwendigen Primzahlen sind eindeutig bestimmt; zu jeder Zahl gehören ganz bestimmte Primfaktoren. Ein Primfaktor kann dabei mehrfach auftreten. Wenn man eine Zahl als Produkt von Primfaktoren darstellt spricht man von einer Primzahlzerlegung. Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig. Beispiele : 420 = = ; 72 = = Ist eine Primzahl Teiler einer Zahl, sprechen wir von einem Primteiler Sind a und b Primteiler einer Zahl c, so ist auch das Produkt a b Teiler von c. Dies gilt nur für Primteiler. Beispiel : 2 und 3 sind Teiler von 60, also auch 6; aber 4 und 6 sind zwar Teiler von 60, aber keine Primteiler; 4 6 = 24 ist kein Teiler von 60 Bestimmen der Primzahlzerlegung versuche, die Zahl in Faktoren zu zerlegen prüfe, ob die bisher ermittelten Faktoren Primfaktoren sind; sonst zerlege sie weiter wenn nur noch Primfaktoren auftreten, sind diese noch zu ordnen Beispiel : 848 = 2 54 = = = = gemeinsame Teiler, ggt Einen Teiler, der sowohl eine Zahl a als auch eine Zahl b teilt, nennen wir einen gemeinsamen Teiler von a und b Wenn zwei Zahlen a und b einen gemeinsamen Teiler größer als haben, heißen sie teilerverwandt; ist der einzige gemeinsame Teiler, so sagen wir: a und b sind teilerfremd. 3

15 Beispiele: gesucht werden die gemeinsamen Teiler von 48 und 56: T 48 = { ; 2; 3; 4; 6; ; 8; 2; 6; 24;48}; T 56 = { ; 2;4;7; 8; 4; 28;56}; T 48 T 56 ={ ; 2;4;8 } sind 462 und 00 teilerverwandt? 462 = = 7 3 also sind,7,,77 gemeinsame Teiler Unter allen gemeinsamen Teilern zweier Zahlen a und b gibt es einen größten. Dieser größte gemeinsame Teiler (ggt) ist das Produkt aller gemeinsamen Primteiler von a und b. Sind a und b teilerfremd, so ist die Zahl ihr ggt. Alle gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen sind Teiler des ggt. Sind zwei Teiler a und b einer Zahl c teilerfremd, so ist auch a b ein Teiler von c Das kleinste gemeinsame Vielfache, kgv Unter den gemeinsamen Vielfachen zweier Zahlen a und b gibt es ein kleinstes, das kgv. Die Vielfachen des kgv von a und b sind Vielfache sowohl von a als auch von b. Das kgv von a und b erhält man, wenn man die Primfaktoren von a notiert und dann die Primfaktoren von b, die noch nicht (oder weniger oft) notiert sind, hinzufügt. Sind a und b teilerfremd, so ist a b das kgv von a und b Die Bestimmung des ggt und des kgv Man ermittelt zuerst die Primfaktorzerlegungen von a und b. Dabei schreibt man die Primfaktoren von b, die schon in a auftraten unter diese. Der ggt ist nun das Produkt der Primfaktoren, die in beiden Zeilen auftreten. Man notiert alle Faktoren, die in einer Spalte überall stehen. Das kgv ist das Produkt der Primfaktoren, die mindestens einmal auftreten. Man notiert in jeder Spalte den Primfaktor einmal. Dieses Verfahren lässt sich auf mehrere Zahlen erweitern. Beispiel: gesucht sind ggt und kgv der Zahlen 84,630, = = = = = Es ist: ggt(84,630,050) = 42; kgv(84,630,050)=6300 Beispiel: Gesucht sind ggt und kgv der drei Zahlen 76440, 5040, 2625 Primzahlzerlegung: 4

16 ist teilbar durch 20 = ist gerade, Quersumme 5, also teilbar durch 6 = = 630+7; teilbar durch 7 = = = vollständig zerlegt; nach Primfaktoren geordnet ist teilbar durch 20 = ist teilbar durch 4 und 9, also durch 36 = = vollständig zerlegt; nach Primfaktoren geordnet ist teilbar durch 25 = teilbar durch 5 und 3, also 5 = = vollständig zerlegt; nach Primfaktoren geordnet kgv und ggt bestimmen = = = ggt : 3 5 7=05 kgv : = Beispiel: Wie viele 24 cm lange, 0 cm breite und 5 cm hohe Ziegelsteine braucht man mindestens, um einen massiven Würfel aufzuschichten? Die Kantenlänge des Würfels muss ein vielfaches der drei Seitenlängen eines Ziegelsteins sein. Also muss ich das kgv bestimmen. 24 = = = 5 kgv : =20 d.h. der Würfel muss 20 cm Kantenlänge haben; es ist20 =5 24; 20 = 2 0; 20 =24 5; also werden =440 Steine benötigt Der Euklidische Algorithmus Die nach Euklid benannte Vorschrift zur Bestimmung des ggt zweier ganzer Zahlen lautet wie folgt:. man nimmt die größere Zahl als Dividend, die kleinere als Divisor und führt die Division mit Rest aus. 2. ist der Rest Null, so ist der letzte Divisor der ggt sonst nimmt man den letzten Divisor als neuen Dividenden und den letzten Rest als Divisor und wiederholt das Verfahren. 5

17 Beispiel Gesucht wird der ggt von 870 und : 870 = Rest : 545 = Rest : 235 = 2 Rest : 75 = 3 Rest 0 75 : 0 = 7 Rest 5 0 : 5 = 2 Rest 0 Also ist ggt(245;870) =5 Beispiel Gesucht wird der ggt von 2 und : 2 = 2 Rest 2 : = Rest : = Rest 0 Also ist ggt(2,35) = ; d.h. 2 und 35 sind teilerfremd. Begründung des Verfahrens: Wenn a und b die beiden Zahlen sind, die wir untersuchen, ergibt sich zuerst: dies können wir auch so schreiben a : b = f Restr ( f wie Faktor; r wie Rest) a = f b + r ist r = 0 so ist b Teiler von a, also ggt(a,b) =b; sonst gilt: der ggt(a,b) ist Teiler von a und von b, also auch (vgl. 2.) von a f b = r also ist ggt(b,r ) =ggt(a,b). Nun ist b < a und r < b. Wenn wir das Verfahren wiederholen, wird der jeweilige Rest immer kleiner. Das Verfahren muss also irgendwann abbrechen - wenn der Rest 0 ist Das Sieb des Eratosthenes Sollen alle Primzahlen unter 00 gefunden werden, so schreibt man die Zahlen von 2 bis 00 auf. Die erste Primzahl ist 2 ; man streicht alle (außer 2 selbst) durch 2 teilbaren Zahlen durch. (hier durch rote Schriftgekennzeichnet)

18 Dasselbe mit 3; also: alle Vielfachen von 3 (außer der 3 selbst!) streichen. hier durch blaue Schriftgekennzeichnet; beim Streichen sollte man auch schon gestrichene noch einmal streichen; es gibt weniger Fehler) Die 4 ist schon gestrichen, also keine Primzahl. Damit sind auch schon alle Vielfachen der 4 gestrichen. Nun werden also die Viel fachen von 5 gestrichen. Beachte, dass das zwei-, drei- und vierfache von fünf bereits gestrichen ist. Die erste neu zu streichende Zahl ist also 5 5 = 25. hier durch grüne Schriftgekennzeichnet) Die 6 ist schon gestrichen; nun dasselbe mit 7; die erste neu zu streichende Zahl ist 7 7 = 49. hier durch unterstrichene Zahlen gekennzeichnet) Die 8,9,0 sind schon gestrichen. Die nächste Primzahl ist. Nun sind das,2,3...0-fache von aber schon gestrichen; die erste neu zu streichende Zahl wäre erst = 2; diese Zahl ist aber größer als 00. Alle noch nicht gestrichenen Zahlen - d.h 2, 3, 5, 7,, 3, 7, 9, 23, 29, 3, 37, 4, 43, 47, 53, 59, 6, 67, 7, 73, 79, 83, 89, 97 7

19 - sind Primzahlen Vielfache und Teile einer Größe Vielfache einer Größe Eine Größe besteht aus Maßzahl und Maßeinheit. Beispiel : 4m, 3kg, 23min Gleichartige Größen (d.h.größen mit derselben Einheit) lassen sich zu einer neuen Größe zusammensetzen : 3kg + 5kg =8kg. Werden gleiche (d.h. gleiche Maßzahl und Einheit) Größen zusammengesetzt, so schreiben wir statt kürzer oder gleich 2kg +2kg +2kg +2kg +2kg +2kg + 2kg ( )kg 5 (2kg) = (5 2)kg =0kg. Eine Größe wird vervielfacht, d.h. mit einer natürlichen Zahl multipliziert, indem man ihre Maßzahl mit dieser Zahl multipliziert und die Einheit beibehält. Teile einer Größe Größen lassen sich auch teilen; um einen Teile einer Größe anzugeben, wandeln wir ihn i.a. in eine kleinere Einheit um, z.b. ist : 3 kg : 4 =3000 g : 4 =750 g Dabei erhalten wir jedoch nicht immer eine natürliche Zahl als Maßzahl - z.b wenn wir kg in drei gleiche Teile teilen wollen. Wir brauchen dann für die Teilgrößen einen neuen Namen: Brüche Wird z. B. das Gewicht kg in n gleiche Teile geteilt, so schreiben wir für eines der entstandenen Teilgewichte : n kg 6.. Bruchteile und -zahlen Bruchteile einer Größe Teilt man z. ein Gewicht in gleiche Teile, kann man die entstandenen Teilgewichte wieder zu neuen Gewichten zusammensetzen: so ergeben z.b zwei Teile des in drei gleiche Teile geteilten Gewichtes kg das neue Gewicht. 2 3 kg z n kg 8

20 ist derjenige Bruchteil des Gewichtes kg, den man erhält, wenn man kg in n gleiche Teile teilt und danach z solcher Teile zu einem neuen Gewicht zusammensetzt. nennen wir einen Bruch, mit dem Zähler z und dem Nenner n. Der Bruch 3 4 bezeichnet den Anteil am Ganzen, z.b 3 4m dreiviertel vom ganzen Meter. Die Anteile z n bilden eine unbenannte Skala. Die Brüche z n mit z Z und n N sind Namen (Kennzeichen) für Bruchzahlen. Jede Bruchzahl hat verschiedene Namen. Beispiel: 2 3 = 4 6 = 0 5 = = = Die Menge B 0 der Bruchzahlen umfasst die Menge der natürlichen Zahlen N Beispiel: Die natürliche Zahl n lässt sich als Bruchzahl n schreiben. Der Quotient zweier natürlicher Zahlen z und n ist die Bruchzahl z n Die Bruchzahl nennt man den Kehrwert der natürlichen Zahl n. 0 hat keinen Kehrwert, weil man durch 0 nicht dividieren kann. Wegen 4 : 3 = (2 + 2) : 3 = 2 : : 3 = schreibt man auch Dies nennt man die gemischte Schreibweise für die Bruchzahl 3 und bezeichnet 4 als gemischte Zahl Erweitern und Kürzen Beispiele Man hat 3 4 einer Torte. Teilt man nun jedes der Viertel in fünf gleiche Teile, entstehen Zwanzigstel; man hat davon 3 5 =5 Stück. Also ist. 3 4 = 5 20 Entsprechend kann man zeigen, dass 3 4 = 6 8 = 9 2 = 2 24 = ist. Man hat eine Torte in Zwölftel geschnitten; davon sind noch acht Stück über. Legt man nun immer zwei Stück zusammen, so entstehen Sechstel; davon hat man dann 4 Stück. Also ist 8 2 = 4 6 = 8:2 2:2 Entsprechend kann man zeigen, dass 8 2 = 2 3 ist. Erweitern 6 = 5 20 = 8 Wenn man den Zähler z und den Nenner n eines Bruchs z n mit derselben natürlichen Zahl k multipliziert, so erhält man den Bruch z k n k ; er stellt dieselbe Bruchzahl dar, wie z n. Diese Umformung des Bruchs z z k n in den Bruch n k nennt man Erweitern von mit k. z n Kürzen Wenn Zähler z und Nenner n eines Bruchs z n einen gemeinsamen Teiler k haben, so ist z n = z:k n:k. Diesen Übergang nennt man Kürzen mit k. Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs teilerfremd sind, so heißt der Bruch vollständig gekürzt. N ist die Menge der natürlichen Zahlen (einschließlich Null); Z die der ganzen Zahlen; Z besteht aus den natürlichen und ihren negativen Gegenzahlen 9

21 Hauptnenner Wir erweitern 3 0 und 6 so, dass zwei nennergleiche Brüche entstehen. Wir probieren die verschiedenen Möglichkeiten aus und schreiben die Ergebnisse in einer Tabelle auf: Erweitert mit: wir sehen, dass es viele Möglichkeiten gibt, gemeinsame Nenner zu finden. Wir wählen unter diesen allen den kleinsten (hier 30) aus. Man nennt 30 den Hauptnenner der Brüche mit den Nennern 0 und 6. Der Hauptnenner ist das kgv der Nenner der beiden Bruchzahlen Anordnung der Bruchzahlen Es ist einfach, zwei natürliche Zahlen der Größe nach anzuordnen. Bei zwei Bruchzahlen ist es wesentlich schwieriger anzugeben, welche die größere ist. Beispiel : ist 5 2 größer oder kleiner als 7 30? Einfach ist es, zwei Bruchzahlen, die den gleichen Nenner haben,zu vergleichen : diejenige mit dem größten Zähler ist die größere. Ebenso kann man Brüche mit dem gleichen Zähler gut vergleichen: diejenige mit dem kleineren Nenner ist die größere. Um beliebige Brüche zu vergleichen, macht man sie durch Erweitern nennergleich. Beispiel: 5 2 und 7 30 sollen verglichen werden. zuerst bestimmen wir das kgv(2;30). 2 = = kgv : = müssen wir mit 2 5 = 0 erweitern, also 5 2 = müssen wir mit 7 erweitern, also 7 30 = Damit gilt : 5 Bruchzahlen sind dicht angeordnet 20 2 > Es ist. 4 7 > 5 7. Erweitert man diese Brüche mit 2 erhält man und. 4 9 Dazwischen liegt noch die Bruchzahl 4. Erweitern wir 8 4 und 9 4 mit 000, so erhalten wir und Nun ist: 4 7 = 8 4 = < < < < < = 9 4 < 0 4 = 5 7. Erweitern wir und 4000 mit 3, so erhalten wir und 4000, zwischen denen wieder die Bruchzahlen und liegen. Dies kann man beliebig fortsetzen. Wenn wir zwei Bruchzahlen haben, können wir immer noch weitere Bruchzahlen angeben, die zwischen diesen beiden angeordnet sind. Wir sagen : Die Menge B der Bruchzahlen ist dicht angeordnet. Im Gegensatz zu den natürlichen Zahlen hat eine Bruchzahl keinen Nachfolger. 20

22 6..4 Addition und Subtraktion von Bruchzahlen Zwei Bruchteile einer Größe G kann man zu einem neuen Bruchteil von G zusammensetzen. Mit Hilfe einer genügend feinen Unterteilung von G erkennen wir, um welchen Bruchteil es sich handelt. Beispiel : Wenn wir einen drittel Meter und einen halben Meter durch sechstel Meter ausdrücken, erhalten wir: 3 m + 2 m = 2 6 m m = 5 6 m Man kann nennergleiche Brüche addieren: a c + b c = a + b c Die Zähler werden addiert,der gemeinsame Nenner wird beibehalten. Die Addition von Brüchen Sind die Nenner der zu addierenden Brüche verschieden, so machen wir die Brüche zuerst nennergleich. Wir bestimmen das kgv aller Nenner. Dies ist der Hauptnenner (HN) Die Brüche werden so erweitert, dass der Hauptnenner zum Nenner wird. Die Zähler werden addiert ggf. wird das Ergebnis noch gekürzt. Beispiel: = = = 0 72 = = 9 36 Die Subtraktion von Brüchen Bei Differenzen verfährt man entsprechend Vielfache und Teile eines Bruchteil es Vielfache eines Bruchteil es Das k-fache des Bruch es a ist der Bruch k a ; Um das k-fache des Bruch es z n zu bestimmen, müssen wir (k z) mal den Bruch k z n nehmen; wir erhalten damit den Bruch n Teile eines Bruchteils Der k-te Teil des Bruchs a ist der Bruch Der k-te Teil des Bruchs z n ist der Bruch z k a k n. 2

23 Bruchteile eines Bruchteils Beispiel: 3 4 einer Zahl bedeutet, dass zuerst der vierte Teil dieser Zahl gebildet wird, und dann das Zwischenergebnis dreimal genommen wird. also : 3 4 von 5 7 erhält man, indem man zuerst ein Viertel von bildet. d.h 7 4 = (vgl.6.2) und dies dann mit 3 multipliziert, d.h Um den Bruchteil eines Bruchteils zu bestimmen, müssen wir nur die beiden Zähler und die beiden Nenner der Bruchteile miteinander multiplizieren MULTIPLIZIEREN VON BRUCHZAHLEN Wenn wir ganze Zahlen als Brüche mit dem Nenner auffassen, stellen wir ( vergl. 6.3 ) fest, dass die Bildung von Bruchteilen von Bruchteilen in diesem Fall genau die Multiplikation ganzer Zahlen ergibt. Multiplikation von Bruchzahlen zu deuten. Zwei Brüche werden multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Beispiel = 3 0 oder in Worten : Die Hälfte von 3 5 ist 3 0 ein weiterer wichtiger Hinweis: Bevor man - entsprechend der Regel -multipliziert, sollte man immer prüfen, ob man kürzen kann! Beispiel: = = = = 6 ; ungeschickt wäre die Rechnung : = = hier kann man zwar noch relativ leicht erkenne, dass man durch 2 - oder nacheinander durch 3 und durch 4 - kürzen kann, aber das nächste Beispiel stellt uns bei ungeschicktem Vorgehen vor - fast - unlösbare Probleme: = Ohne Anwendung des euklidischen Algorithmus wird wohl kaum jemand - im Ergebnis! - auf die Möglichkeit stoßen, dass man durch 39 = 23 7 kürzen kann Wählt man dagegen das geschicktere Vorgehen - zuerst kürzen und dann multiplizieren, erhält man die folgende Rechnung: = = = = 2 3 ; 6..7 Exkurs : Rechengesetze Für das Rechnen mit ganzen Zahlen gelten (u.a.) folgende Gesetze : 22

24 Kommutativgesetze (Vertauschungsgesetze) Assoziativgesetze (Verbindungsgesetze) Neutrales Element a + b = b + a a b = b a a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c a + 0 = a a = a Umkehrung Die Umkehrung der Addition ist die Subtraktion; die Umkehrung der Multiplikation ist die Division. a + b = c c a = b c b = a c a b = c a = b c b = a Die Subtraktion a - b ist aber (falls die negativen Zahlen noch unbekannt sind) nur möglich, wenn a b ist. Die Division a : b ist in der Menge der natürlichen Zahlen nur dann umkehrbar, wenn b ein Teiler von a ist. Nach Einführung der Bruchzahlen lässt sich der Quotient a : b immer bilden, er ist die Bruchzahl a b. Nur die Division durch Null ist weiterhin nicht durchführbar. Permanenzprinzip Die Bruchzahlen wurden eingeführt, um jede Division in der Menge der natürlichen Zahlen ausführen zu können. Die natürlichen Zahlen bilden eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, sie lassen sich als Bruchzahlen mit dem Nenner eins auffassen : n = n. Das Permanenzprinzip führt zur Forderung, die Regeln für das Bruchrechnen so zu fassen, dass alle Rechnungen mit natürlichen Zahlen das gleiche Ergebnis haben, wenn wir wie bisher rechnen, oder aber, schreiben und die Rechen- wenn wir die natürlichen Zahlen in der Form n regeln für Bruchzahlen anwenden. weiter sollen die obigen Rechengesetze möglichst uneingeschränkt auch für Bruchzahlen gelten. Dass diese Bedingungen erfüllt. sind, müsste eigentlich bewiesen werden Division von Bruchzahlen Umkehrung der Multiplikation Wenn ich beim Rechnen mit natürlichen Zahlen eine Zahl p zuerst mit einer Zahl q multipliziere, und dann das Ergebnis wieder durch q dividiere, erhalte ich als Ergebnis wieder den Wert p : (p q) : q = p Dieses soll nach dem Permanenzprinzip auch für Brüche gelten : Es sei p = a b und q = c d 23

25 Also soll sein: Nun muss gelten : (p q) : q = p (6.) ( a b c ) : c = a (6.2) d d b ( a c ) : c b d d = a b (6.3) Wir bemerken, dass wir das Ergebnis auf der rechten Seite erhalten können, wenn wir statt durch c d zu dividieren, mit d c multiplizieren: ( a c ) d b d c = a c d b d c = a b Durch Vergleich erhalten wir die Regel für das Dividieren durch Brüche: (6.4) a b : c d = a b d c (6.5) Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert. eine etwas andere Begründung : Zu der Multiplikations-Gleichung p q = r gehört bei den ganzen Zahlen die Divisions-Gleichung r : q = p. Es sei nun p = a b, q = c d und r = e f ;, Wir vergleichen: p q = r mit r : q = p a b c d = e f e f : c d = a b Um die Division auf der rechten Seite ein Ergebnis zu erhalten, suchen wir geeignete Ausdrücke für a und b auf der linken Seite: Offensichtlich wird die Gleichung zu einer wahren Aussage, wenn wir a = d e und b = c f setzen: a b c d = d e c f c e e d f f : c d = a b Das gleiche muss auch auf der rechten Seite richtig sein: a b c d = d e c f c d Beachte e f e f : c d = a b = d e c f = e f d c Bei Divisionen gelten weder das Kommutativgesetz noch das Assoziativgesetz! d.h. : man darf die Zahlen nicht vertauschen und Klammern nicht umsetzen! 6..9 Brüche in Dezimalschreibweise Stellenwertsysteme Wenn die Zahl zweitausendvierhundertdreiundsiebzig in der Form 2473 geschrieben wird, ist dies eine Kurzfassung von 2473 :=2 Tausender + 4 Hunderter + 7 Zehner + 3 Einer 24

26 Unser Zahlensystem basiert auf der Zahl Zehn ( zehn Finger, an denen man zählen kann!); Hundert ist 0 0, Tausend Denkbar ist es, dass man andere Zahlen als die Zehn zur Basis einer Zahlenschreibweise macht. Wir denken uns z. ein Volk, das ein Fünfer-System benutzt ; dieses würde nur die Ziffern 0 5, 5, 2 5, 3 5, 4 5 benötigen, da die Fünf bereits in der Form 0 5 geschrieben würde. (Die kleine 5 deutet an, dass es eine Zahl in Fünfer-Schreibweise ist.) Die Zahl 98 0 würde dann dargestellt als : Hundertfünfundzwanziger + 2 Fuenfundzwanziger + 4 Fünfer + 3 Einer, d.h Dezimalschreibweise Mit der Stellenwertschreibweise kann man nicht nur ganze, sondern auch (manche) Bruchzahlen gut darstellen: Beispiel : 3 Zehner + 4 Einer + 2 Zehntel + 5 Hundertstel + 7 Tausendstel schreibt man kürzer als 34,257 man schreibt die Zahlen also in der Form... Hunderter Zehner Einer, Zehntel Hundertstel Tausendstel... Das Komma steht zwischen den Einern und den Zehnteln. Die Ziffern hinter dem Komma heißen Dezimalen. Beispiele Die Zahl 3 Tausender + 4 Zehner + 5 Einer schreibt man 3045 Man muss die nicht aufgeführten 0 Hunderter berücksichtigen. Entsprechend muss man bei 3 Einer + 2 Hundertstel die Zehntel berücksichtigen: 3 Einer + 0 Zehntel + 2 Hundertstel - also 3,02 Umformen von der Bruch- in die Dezimalschreibweise Auch der Bruch 3 4 lässt sich als Dezimalbruch schreiben; hierzu erweitern wir ihn zuerst so, dass der Nenner eine Potenz von 0 wird : 3 4 = = = = 0, 75 Verschiedene Darstellungen Es ist 3 0 = = = =, also ist 0, 3 = 0, 30 = 0, 300 = 0, 3000 =. Wir dürfen hinter einem Komma am Schluss des Dezimalbruchs beliebig viele Nullen anfügen bzw. weglassen. Umwandlungsprobleme Der Bruch 3 lässt sich nicht so erweitern, dass der Zähler eine Potenz von 0 wird, da Potenzen von Zehn nur die Primfaktoren 2 und 5 enthalten können, aber nicht die 3. können wir also (vorläufig) nicht in eine Dezimalzahl umwandeln. 3 25

27 6..20 Ordnen von Dezimalbrüchen Ordnen Stehen bei einer Dezimalzahl vor dem Komma verschiedene Zahlen, ist diejenige die größere, bei der die größere Zahl vor dem Komma steht. Stehen vor dem Komma die gleichen Zahlen, so werden die Ziffern hinter dem Komma von links nach rechts verglichen. Diejenige ist dann die größere Zahl, bei den zuerst eine höhere Ziffer steht. Beispiele 98,76 23,4, da , ,976023, da (von links!) in der dritten Dezimalen zum ersten mal ein Unterschied auftritt; dabei sind die dann noch folgenden Dezimalen völlig uninteressant Dichte Ordnung Es ist 2,,2,3,7,32,33...,328759,328760, , usw. Bei ganzen Zahlen kann man immer den Nachfolger angeben. So folgt nach der Zahl 65 die Zahl 66. Es gibt keine ganze Zahl, die zwischen 65 und 66 liegt. Zwischen zwei verschiedenen Dezimalbrüchen kann man immer weitere (sogar unendlich viele) Dezimalbrüche angeben, die dazwischen liegen. Die Dezimalbrüche sind dicht angeordnet Runden von Dezimalbrüchen Rundungen Enthält ein Dezimalbruch überflüssige (oder ungenaue) Dezimalen, so muss gerundet werden. Vor dem Runden muss man wissen, wie viele Stellen die gerundete Zahl haben soll. Die überflüssigen Ziffern lässt man weg. Lautet die erste wegzulassende Ziffer 0;;2;3 oder 4, so wird abgerundet, d.h. von dieser Ziffer an werden die nachfolgenden weggelassen. Lautet die erste wegzulassende Ziffer 5;6;7;8 oder 9, so wird aufgerundet,d.h. die letzte stehen bleibende Ziffer wird um erhöht. Ein gerundetes Ergebnis wird durch gekennzeichnet. 26

28 Beispiele 04, , , , , , , ,465 04,47 04,5 04 Vorsicht!!!:Bei mehrfachem Runden aufpassen;möglichst immer vom ursprünglichen Wert ausgehen! 4,4545 4,455 4,45 4,5 4 und nicht4,4545 4,455 4,46 4,5 5 Genauigkeit, geltende Ziffern In der Mathematik werden Ergebnisse exakt (nach einem Gleichheitszeichen, =) oder gerundet (nach einem Ungefähr-Zeichen, ) angegeben. In der Physik und der Technik gibt man alle Ergebnisse (Messwerte oder daraus berechnete Werte) mit einer sinnvollen Anzahl an sog. geltenden Ziffern (andere Bezeichnung: gültige Ziffern) an. Im Rahmen der Messgenauigkeit bei z.b. Streckenlängen ist es je nach Messanordnung nur möglich, eine Genauigkeit z.b. im Zentimeterbereich anzugeben, z.b. 2 cm. Dies bedeutet, die tatsächliche Länge kann im Bereich von [,5 cm; 2,5 cm[ liegen. Gibt man dagegen den Messwert mit 2,0 cm an, so heißt dies, dass der tatsächliche Wert im Bereich von [,95 cm; 2,05 cm[ liegt. im ersten Fall wurde auf den Zenti-, im zweiten auf den Milli-Meter genau gemessen. Also: Die physikalische Angabe 2 cm ist gleichbedeutend mit dem Intervall [,5 cm; 2,5 cm[, die Angabe 2,0 cm ist gleichbedeutend mit dem Intervall [,95 cm; 2,05 cm[. In der Physik und der Technik bedeuten 2 und 2,0 also nicht das selbe! Wenn nach dem Runden die letzte Ziffer eine Null ist, wird sie nicht weggelassen. Regeln für die Anzahl an geltenden Ziffern Beim Zählen der geltenden Ziffern werden (ohne Rücksicht auf das Komma) alle von Null verschiedenen Ziffern, sowie Zwischen- und Endnullen gezählt. Vornullen zählen nicht! Technisches Runden Die obigen Regeln gelten genau genommen nur im kaufmännischen Bereich; bei wissenschaftlich-technischen Fragestellungen wird geringfügig anders vorgegangen, wenn nur eine 5 wegzulassen ist. Dies werden wir nicht behandeln Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen Beim Addieren und Subtrahieren von Dezimalbrüchen schreiben wir diese zunächst so auf, dass Komma unter Komma steht; danach addieren (subtrahieren) wir stellenweise; die Stellung des Komma bleibt. 27

29 2 0 7, , , = 2 9, , , , = 3 0 3, Addieren und Subtrahieren von Größen Sollen Größen (z. Längen oder Gewichte ) addiert oder subtrahiert werden, so müssen wir sie zuerst in der gleichen Einheit ausdrücken. 073,4 dm + 225,7 cm + 2,78 km =07,34 m + 22,57 m + 278, m Addieren und Subtrahieren gerundeter Dezimalbrüche Beim Addieren (Subtrahieren) gerundeter Dezimalbrüche rechnet man zuerst genau. Dann rundet man das Endergebnis stets auf die Anzahl der Dezimalen des ungenauesten Dezimalbruchs. 073,4 dm + 225,7 cm + 2,78 km = 07,34 m + 22,57 m + 278, m = 290,957 m 292,0 m Multiplizieren und Dividieren mit Zehnerpotenzen Multiplizieren Ein Dezimalbruch wird mit 0 ( 00; 000;... ) multipliziert, indem man das Komma um ( 2; 3;... ) Stelle(n) nach rechts rückt. Dividieren Ein Dezimalbruch wird durch 0 ( 00; 000;... ) dividiert, indem man das Komma um ( 2; 3;... ) Stelle(n) nach links rückt. Beispiele 0,005 0 = 0,05 30 : 0 = 3 0, = 0,5 30 : 00 =,3 0, = 5 30 : 000 = 0,3 0, = : 0000 = 0, Multiplizieren von Dezimalbrüchen Beispiel Wie ein Dezimalbruch mit einem anderen multipliziert wird, erkennt man am einfachsten mit Hilfe der Bruchstrich-Schreibweise: Beide Faktoren haben in der Dezimalschreibweise eine Ziffer hinter dem Komma. In der Bruchstrich-Schreibweise haben sie also beide den Nenner 0 (die Zähler sollen ganze Zahlen sein). Für das Produkt ergibt sich damit der Nenner 00; das Produkt hat also in Dezimalschreibweise zwei Dezimalen. Entsprechend ergibt sich : Hat einer der beiden Faktoren eine Dezimale, der andere zwei Dezimalen, so hat das Produkt drei Dezimalen. 28

30 Multiplizieren von Dezimalbrüchen Dezimalbrüche werden multipliziert, indem man zunächst ohne Rücksicht auf das Komma multipliziert. Das Produkt hat dann so viele Dezimalen, wie die Faktoren zusammen. Beispiele 0,37 8, ergibt Die Zahl 0,37 hat zwei, die Zahl 8,537 hat sechs Dezimalen. Das Ergebnis muss also sechs Dezimalen haben. Es ist damit: 0,37 8,537 = 3,06869 Ein Überschlagsrechnung sollte zusätzlich gemacht werden: 0,37 ist etwa ein drittel; ein Drittel von 8 ist knapp 3. Damit muss das Ergebnis 3,06869 und nicht 30,6869 oder 0, sein. 0,25 6, Die beiden Zahlen haben zusammen drei Dezimalen, also ist das Ergebnis 0,25 6,4 =,600 =,6. Hier ist zu beachten, dass die Nullen am Ende erst weggelassen werden dürfen, wenn die Stellung des Komma bestimmt worden ist! Aus hier empfiehlt sich die Überschlagsrechnung: Ein Viertel von sechs ist etwa ein einhalb! gegensinnige Kommaverschiebung Nach der obigen Multiplikationsregel ergeben die beiden Produkte 0, , 9 und 4, 29 0, 769 das gleiche Ergebnis. Die Ziffernfolgen sind gleich und in beiden Produkten gibt es zusammen 5 Dezimalen. Ein Produkt ändert sich nicht, wenn man das Komma bei den beiden Faktoren um gleich viele Stellen im entgegengesetzten Sinn verschiebt. Dies lässt sich für Überschlagsrechnungen benutzen: Im obigen Beispiel lässt sich die Größenordnung der Produktes 0, , 9 nur schwer abschätzen. Beim Produkt 4, 29 0, 769 kann man dagegen schnell und einfach nähern : 4, 29 0, , 8 = 3, 2 Erhält man dann z.b durch eine Rechnung den Wert 32,298 oder 0,32298, so sollte man seine Rechnung noch einmal genau prüfen. 29

31 6..26 Division von Dezimalbrüchen Begründung der schriftlichen Division Soll man 34 im Kopf durch 7 dividieren, kann man so vorgehen: - in 34 ist die 7 00-mal enthalten; es bleibt ein Rest von448 - in 434 ist die 7 60-mal enthalten; es bleibt ein Rest von 4 - in 4 ist die 7 4-mal enthalten; es bleibt kein Rest also ist die 7 in 48 insgesamt ( )-mal enthalten. Das - bekannte - Verfahren der schriftlichen Division lässt sich damit ganz einfach so erklären: T H Z E T H Z E 3 4 : 7 = T :7 = 0T Rest - 7 H:7 = H Rest Z:7 = 6Z Rest 4-4 4E:7 = 2E Rest Division von Dezimalbrüchen durch natürliche Zahlen Das Verfahren wird entsprechend angewandt, wenn der Dividend ein Dezimalbruch ist. ( T:Tausender; H:Hunderter; Z:Zehner; E:Einer; z:zehntel; h:hundertstel, t : tausendstel) H Z E, z h t E, z h t 6, 4 9 : 42 = 3, E:42=3R+35E: z:42=8z+8z: h:42=4h+2h: t:42=5t Wir nutzen hier im vorletzten Schritt aus, dass 2 hundertstel in 20 tausendstel umgewandelt werden können. Man dividiert einen Dezimalbruch durch eine ganze Zahl wie bei natürlichen Zahlen. Beim Überschreiten des Kommas im Dividenden ist auch im Ergebnis ein Komma zu setzen.. Man dividiert einen Dezimalbruch durch eine ganze Zahl wie bei natürlichen Zahlen. Beim Überschreiten des Kommas im Dividenden ist auch im Ergebnis ein Komma zu setzen. Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch Die Division eines Dezimalbruchs durch einen Dezimalbruch lässt sich durch Erweitern auf den schon bekannten Fall der Division eines Dezimalbruchs durch 30

32 eine ganze Zahl zurückführen: Beispiel : 6,49 4,2 = 6,49 0 4,2 0 = 6,49 42 = 3, 845 Bei Dividend und Divisor wird das Komma um gleich viele Stellen soweit nach rechts geschoben, dass der Divisor ganzzahlig wird. Dann wird - wie bei natürlichen Zahlen - dividiert. Beim Überschreiten des Kommas im Dividenden wird im Ergebnis ein Komma gesetzt Periodische Dezimalbrüche Berechnet man nach dem obigen Verfahren den Quotienten 00 : 88, so erhält man : 0 0 : 8 8 =, Die Zifferngruppe 36 wiederholt sich im Ergebnis immer wieder, da auch die Reste 32 und 56 immer wieder auftreten. Die Zifferngruppe 36 nennen wir Periode. Dezimalbrüche mit einer Periode heißen periodische Dezimalbrüche Statt, schreiben wir kürzer, 36 Der Strich zeigt die erste vollständige Periode nach dem Komma an. Gelesen wird so: Eins Komma eins Periode drei sechs Entstehen der Periode Wir wissen schon, dass sich Bruchzahlen, in deren Nenner - nach ggf. erfolgtem Kürzen - nur die Primfaktoren 2 und 5 vorkommen, in endliche Dezimalbrüche umwandeln lassen. Alle anderen Bruchzahlen führen auf periodische Brüche. Weshalb tritt eine Periode auf? Wir betrachten die Reste, die auftreten, wenn alle im Dividenden vorhandenen Ziffern bereits berücksichtigt wurden. D.h., wir müssen nun immer eine 0 herunterholen und an den jeweiligen Rest anhängen. Tritt nun ein Rest ein weiteres mal auf, wiederholt sich der ganze Rechenweg dazwischen immer wieder. 3