Bewertung von Barriere Optionen im CRR-Modell

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1 Bewertung von Barriere Optionen im CRR-Modell Seminararbeit von Susanna Wankmueller. April 00 Barriere Optionen sind eine Sonderform von Optionen und gehören zu den exotischen Optionen. Sie dienen dazu, einen billigeren Call oder Put anzubieten. Man unterscheidet hier zwischen zwei Mechanismen beim Treffen einer Barriere: knock-in und knock-out. Eine knock-in Option wird erst dann aktiviert, wenn der Aktienpreis eine gewisse Barriere erreicht oder über- bzw. unterschreitet. Ansonsten bleibt sie wertlos. Eine knock-out Option hingegen wird beim ersten Erreichen der Barriere wertlos. Zusätzlich unterscheidet man, ob die Barriere von oben oder von unten erreicht wird. Man unterscheidet also insgesamt zwischen 4 Typen von Barriere Optionen: down-and-out up-and-out down-and-in up-and-in Bei der Bewertung solcher Optionen muss berücksichtigt werden, dass es sich um sogenannte pfadabhängige Derivate handelt, also deren Auszahlung eben nicht nur vom Schlusskurs abhängt, sondern den gesamten Kursverlauf berücksichtigt. Im folgenden wird eine Preisformel für den down-and-out Call im Cox-Ross-Rubinstein Modell (CRR-Modell) hergeleitet. Dazu wird als erstes an das N-Perioden CRR-Modell erinnert: Laufzeit N Perioden Bankkonto mit Zinsrate r B(t) = ( + r) t

2 t Aktie mit Anfangskurs S 0 und S t =S 0 Y i mit Y i {u, d} und P (Y i = u) = p = P (Y i = d) Für den Parameter q= +r d u d und liegt Risikoneutralität vor. Es gilt Betrachten den Fall d = u. Q(Y i = u) = q = Q(Y i = d) Q(S t = S 0 u i d t i ) = ( ) t q i ( q) t i i Down-and-out Call Anfangskurs S 0, Laufzeit T, Strike Preis K Barriere B mit B < S 0 und B < K Der down-and-out Call verhält sich wie ein Call, solange der Aktienkurs oberhalb der Barriere bleibt. Ansonsten verfällt der Call. Die Claimauszahlung eines down-and-out Calls mit Barriere B ist definiert durch: C = (S T K) + { min St>B} Wir wollen nun den Preis für diesen Call herleiten, d.h. E Q [ ( + r) T (S T K) + { min St>B} ] bestimmen. Dazu bestimmen wir zunächst die gemeinsame Verteilung eines Random Walks Z n = n X i mit X i {u, u} und P (X i = u) = q = P (X i = u) und des Minimums M n := min 0 t n Z t..fall: q = (symmetr. Random Walk) Satz Sei b=lu und m=ku mit k, l Z, k < l. Für Z n = n X i mit X i {u, u} u.i.v. und P (X i = u) = = P (X i = u) gilt Q(Z T = b, M T m) = Q(Z T = m b) = ( T l + k)!( T +l k)! ( )T

3 Beweis: ()z.z.: Q(Z T = b, M T m) = Q(Z T = m b) Spiegelungsprinzip: Definiere τ m = min{t : S t = m} Betrachten einen Pfad der Menge {M T m, Z T = b}. Für diesen Pfad gilt natürlich τ m < T Wir stoppen den Pfad zum Zeitpunkt τ m und spiegeln ihn anschliessend. Der gespiegelte Pfad ist also zum Zeitpunkt T in m (b m) = m b d.h. alle Pfade mit Z T = m b korrespondieren mit Pfaden, für die gilt τ m < T und Z T = b. Also gilt: Q(Z T = b, M T m) = Q(Z T = m b) ()z.z.: Q(Z T = m b) = Q(Z T = m b) = ( T l T +l +k)!( )!( )T ( T T +k l ) } {{ } Anzahl der Pfade mit T +k l up-moves = ( T +k l )!(T T +k l )! ( )T = ( T l T +l +k)!( )!( )T ( )T } {{ } W keit für jeden einzelnen Pfad 3

4 [ Anzahl der up-moves berechnen: n u =Anzahl up s n d =Anzahl down s Dann gilt: T = n u + n d n d = T n u Und es gilt m b = n u u (T n u )u ku lu = n u u (T n u )u k l = n u T n u = k l+t ].Fall: q (asymmetr. Random Walk) Satz Sei b=lu und m=ku mit k, l Z, k < l. Für Z n = n X i mit X i {u, u} u.i.v. und P (X i = u) = q = P (X i = u) gilt q Q(Z T = b, M T m) = Q(Z T = m b)( q )l Beweis: Betrachten wieder einen Pfad der Menge {Z T = b, M T m}. Wie im symmetrischen Fall spiegeln wir den Pfad ab dem Zeitpunkt τ m = min{t : S t = m}. Da q q gilt, haben originaler und gespiegelter Pfad andere W keiten. Zwischen den Zeiten τ m und T hat der originale Pfad so viele Aufwärtssprünge wie der gespiegelte Pfad abwärts geht. D.h. es müssen genau so viele downs in ups getauscht werden, wie Knotenpunkte zwischen m und b liegen. (Knotenpunkte zwischen m und b geben an, wie viel mehr der Pfad nach oben gegangen ist als nach unten) Mit b=lu und m=ku folgt, dass der gespiegelte Pfad gerade l-k ups mehr als der Originalpfad hat. Insgesamt also: Anzahl der gespiegelten Pfade bleibt gleich, aber bei der W keit muss an l-k Stellen -q durch q ersetzt werden und damit ergibt sich q Q(Z T = b, M T m) = Q(Z T = m b)( q )l. Nun möchten wir den down-and-out Call bewerten. Mit der Barriere B < K erhält man als Preis für den Down-and-out Call 4

5 E Q [ (S (+r) T T K) + { min T = (+r) T = (+r) T i:s 0 u i T >K St>B} ] E Q [ {ST =S 0 u i u (T i) } (S 0u i u (T i) K) + { min St>B} ] Q(S T = S 0 u i T, min S t > B)(S 0 u i T K) Die Wahrscheinlichkeit werden wir jetzt mit Hilfe des Spiegelungsprinzips berechnen: Sei B = S 0 u k und B < S T also k < i T Q(S T = S 0 u i T, min S t > B) = Q(S T = S 0 u i T, min S t B) = Q( S T S0 = u i T S, min t S 0 u k ) = Q(ln S T S0 Es ist ln S T S0 = (i T ) ln u, min = ln(y Y Y T ) = T mit Y i {e a, e a } := {u, u } = Q( T nach Satz = Q( T = Q( T ln St S 0 k ln u) ln(y i ) = (i T ) ln u, min ln(y i ) und ln(y i ) {a, a} ist gleichbedeutend t ln(y i ) k ln u) ln(y i ) = k ln u (i T ) ln u)( q q )i T ln(y i ) = k i + T ln u)( q q )i T = Q(S T = S 0 u k i+t )( q q )i T also Pfad mit k+t-i Aufwärtssprüngen und T (k + T i) = i k Abwärtssprüngen = ( ) T k+t i q T +k i ( q) i ( q )i T q Für den symmetrischen Fall ergibt sich die W keit Q(S T = S 0 u i T, min S t > B) nach Satz = Q(S T = S 0 u k i+t ) = ( ) T k+t i ( )T und damit der Preis E Q [ (+r) T (S T K) + { min St>B} ] 5

6 = (+r) T = (+r) T i:s 0 u i T >K i:s 0 u i T >K Q(S T = S 0 u i T, min S t > B)(S 0 u i T K) ( ( ) T k+t i ( )T )(S 0 u i T K) 6

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