7.1 Ökonomische Kosten

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1 Kapitel 7: Kosten Hauptidee: Aus der Produktionsfunktion einer Firma bestimmen wir ihre Kostenfunktion. Diese spielt eine zentrale Rolle für die Gewinnmaximierung der Firma.

2 7.1 Ökonomische Kosten Angenommen, eine Firma mit Produktionsfunktion f benutzt die Inputkombination (x 1,, x I ) Dann ist deren Gewinn gleich dem Erlös aus dem Output f x 1,, x I, Abzüglich Kosten der Inputkombination (x 1,, x I ) I Formal: π = pp x 1,, x I i=1 p i x i 2

3 Preisnehmerannahme Wir nehmen an, dass die Entscheidungen der Firma keinen Einfluss auf die Preise p 1,, p I der Inputgüter haben Die Firma nimmt daher die Preise als gegeben hin Dies macht Sinn für viele standardisierte Inputs (z.b. Rohstoffe, Maschinen, Arbeit, Land) Für spezialisierte Inputs (z.b. Spezialmaschinen, Erfinder, Topmanager) oder bei einer sehr großen Firma wird die Preisnehmerannahme jedoch zu fehlerhaften Entscheidungen führen und die Modellannahmen müssen verändert werden 3

4 Anmerkungen Alle Inputgüter werden in Flussgrößen gemessen (z.b. pro Jahr) Opportunitätskostenprinzip: die Kosten einer Entscheidung bestehen darin, was dafür aufgegeben werden muss Beispiel: Eine Firma besitzt einen Hochleistungsrechner, dessen Rechenkapazität zum Preis von 1000 pro Stunde (über das Internet) gekauft und verkauft wird Die Kosten der Firma, den Rechner einen Tag lang selbst zu nutzen, betragen Dies gilt unabhängig davon, zu welchem Preis die Firma den Rechner gekauft hat 4

5 7.2 Kostenfunktion Das Gewinnmaximierungsproblem einer Firma mit Produktionsfunktion kann in zwei Teile zerlegt werden: 1. Welche Inputmengenkombination ist für einen gegebenen Output kostenminimierend? (siehe K7) 2. Welcher Output ist gewinnmaximierend? (siehe K8) 5

6 Iso-Kosten-Linien Wir nehmen an, dass es I = 2 Inputs gibt Iso-Kosten-Linie: Menge aller Kombinationen von Inputs, deren Kosten gleich groß sind Formal: Die Iso-Kosten-Linie zum Kostenniveau c ist x 1, x 2 p 1 x 1 + p 2 x 2 = c Durch Umstellung erhalten wir x 2 = c p 1 x p 2 p 1 2 Die Steigung der Iso-Kosten-Linie ist also p 1 p 2 6

7 Beispiel: Isokostenlinien für p 1 = 24 und p 2 = 8 x 2 c= Isokostenlinie 303 c= Isokostenlinie c= Isokostenlinie x 1 7

8 Kostenminimierende Inputkombination Wir wollen einen bestimmten Output q herstellen Die Kosten sind c = p 1 x 1 + p 2 x 2 Es gibt viele Inputkombination welche einen Output von q erzeugen (nämlich alle Kombinationen auf der q -Isoquante) Welche dieser Inputkombination minimiert die Kosten? Lösung grafisch: Wir bestimmen die niedrigste Isokostenlinie, welche die q -Isoquante berührt Formal: am Berührpunkt gelten die Bedingungen erster Ordnung 8

9 Illustration: Kostenminimierende Produktion von q = 100 x 2 q = 100 Isoquante 3,000 Isokosten 303 2,000 Isokosten 100 1,000 Isokosten x 1, x x 1 9

10 Bedingungen erster Ordnung 1. Wenn x 1 > 0 und x 2 > 0, dann GGGG 1,2 x 1, x 2 = p 1 p 2 In Worten: wenn es kostenminimierend ist, beide Faktoren einzusetzen, dann ist die Grenzrate der technischen Substitution gleich dem Negativen des relativen Inputpreis 2. Wenn x 1 = 0, dann GGGG 1,2 x 1, x 2 p 1 p 2 3. Wenn x 2 = 0, dann GGGG 1,2 x 1, x 2 p 1 p 2 Des Weiteren gilt f x 1, x 2 = q 10

11 Intuition innere Lösung Wir stellen etwas um: GGGG 1,2 x 1, x 2 = p 1 p 2 GP 1(x 1, x 2 ) GP 2 (x 1, x 2 ) = p 1 p 2 GP 1(x 1, x 2 ) = GP 2(x 1, x 2 ) p 1 p 2 Bei einer inneren Lösung muss das Verhältnis von Grenzprodukt und Preis bei beiden Inputs gleich sein 11

12 Intuition Randlösung mit x 1 = 0 Wir stellen wieder etwas um GGGG 1,2 x 1, x 2 p 1 p 2 GP 1 x 1, x 2 GP 2 x p 1 1, x 2 p 2 GP 1 x 1, x 2 GP 2(x 1, x 2 ) p 1 p 2 Bei einer Randlösung mit x 1 = 0 gilt also, dass das Verhältnis von Grenzprodukt und Preis bei Input 1 kleiner-gleich ist als bei Input 2 12

13 Intuition Randlösung mit x 2 = 0 Wir stellen wieder etwas um GGGG 1,2 x 1, x 2 p 1 p 2 GP 1 x 1, x 2 GP 2 x p 1 1, x 2 p 2 GP 1 x 1, x 2 GP 2(x 1, x 2 ) p 1 p 2 Bei einer Randlösung mit x 2 = 0 gilt also, dass das Verhältnis von Grenzprodukt und Preis bei Input 1 größer-gleich ist als bei Input 2 13

14 Anmerkungen I Diese Intution lässt sich auf das Entscheidungsproblem eines Konsumenten übertragen Bei innerer Lösung GRS 1,2 x 1, x 2 = p 1 p 2 Da GRS 1,2 x 1, x 2 = ( ) x 1 kann man umstellen zu ( ) x 2 ( ) x 1 = ( ) x 2 p 1 D.h. bei einer inneren Lösung muss das Verhältnis von Grenznutzen und Preis bei beiden Gütern gleich sein Bei Randlösung mit x 1 = 0 gilt ( ) x 1 Bei Randlösung mit x 2 = 0 gilt ( ) x 1 p 2 ( ) x 2 p 1 p 2 ( ) x 2 p 1 p 2 14

15 Anmerkungen II Die Bedingungen erster Ordnung sind notwendig für ein Minimum Wenn die Technologie konvex ist (d.h. die Isoquanten konvexe Kurven sind), dann sind die Bedingungen erster Ordnung auch hinreichend Analogie zum Konsumentenproblem (siehe K2) 15

16 Kostenfunktion Für ein gegebenes Outputniveau q haben wir nun die Faktornachfragen x 1 und x 2 bestimmt Die Kosten sind dann c = p 1 x 1 + p 2 x 2 Wir wiederholen das Prozedere für verschiedene Outputlevels Dann erhalten wir die Kostenfunktion C q = p 1 x 1 q + p 2 x 2 q Die Kostenfunktion gibt die minimalen Kosten in Abhängigkeit von der Outputmenge an 16

17 Illustration: Bestimmung der Kostenfunktion x 2 4,000 Isokosten Kosten C(q) 4,000 3,000 Isokosten 3, ,000 Isokosten 2, Isoquante 150 Isoquante 100 Isoquante x q 17

18 Fixkosten und variable Kosten Insbesondere kurzfristig sind manche Inputs nicht variabel und daher manche Kosten fix, d.h. unabhängig von der Produktionsmenge Beispiele: Mieten, Lizenzgebühren, manche Gehälter Formal sind die Fixkosten F = C(0) Die variablen Kosten sind VV q Es gilt C q = F + VV(q) = C q F D.h. die (gesamten) Kosten spalten sich in Fixkosten und variable Kosten auf Für die sehr lange Frist (Jahrzehnte?) geht man meist davon aus, dass alle Kosten variabel sind 18

19 Übungsaufgabe K7.1 Die Produktionsfunktion einer Firma ist f x 1, x 2 = x 1 0,5 x 2 0,5 Die Inputs kosten p 1 = 1, p 2 = 4 Wie hoch sind die Kosten C 1, C 2, C 3? Wie hoch sind die Fixkosten F und die variablen Kosten VV 1, VV 2, VV(3)? 19

20 Übungsaufgabe K7.2 Verwenden Sie die Informationen von ÜA K7.2 Betrachten Sie das kurzfristige Kostenminimierungsproblem: Nur Input 1 ist kurzfristig variabel Input 2 ist kurzfristig nicht variabel und hat den Wert x 2 = 1 Wie hoch sind die Kosten C kkk 1, C kkk 2, C kkk 3? Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit denen von ÜA K7.2 Wie hoch sind die Fixkosten F kkk und die variablen Kosten VK kkk 1, VK kkk 2, VK kkk (3)? Hinweis: nutzen Sie die Bedingung f x 1, x 2 = 1 = q 20

21 Grenzkosten Die Grenzkosten sind der Kostenzuwachs den die Produktion einer zusätzlichen Einheit des Outputs verursacht Formal: Grenzkosten an der Stelle q sind GG(q) = (q) = C (q) 21

22 Durchschnittskosten Durschnittskosten: DD q = C(q) Durschnittliche fixe Kosten: DDD q = F q Durschnittliche variable Kosten: DVK q = VV(q) q q Da C q = F + VV(q), gilt auch C(q) q = F q + VV q q umgeschrieben DD q = DFK q + DVK(q) D.h. Die Durschnittskosten spalten sich in die durchschnittlichen fixen Kosten und die durchschnittlichen variablen Kosten auf oder 22

23 Beispiel Griliches and Ringstad (1971) schätzen die Produktionsstrukturen verschiedener Industriebranchen in Norwegen Sie messen: Arbeit in Arbeiterjahren Kapital in produktivitätsgewichteten Maschinenstunden Output in wertgewichteten Mengen Für eine typische Druckerei schätzen sie eine Cobb-Douglas-Produktionsfunktion (im relevanten Bereich) als f(l, K) = 1,52 L 0,6 K 0,4 23

24 Durchschnitts- und Grenzkosten für Norwegische Druckereien Kosten, Kronen GK(q) DK(q) DVK(q) 10 0 DFK(q) q, Einheiten pro Jahr 24

25 U-förmige Durschnittskosten Häufig betrachtet man U-förmige Durschnittskosten Begründung (siehe auch ÜA K7.3) : Oft geht man davon aus, dass die DDD(q) in q steigen (zumindest für hohe Werte von q) Bei einem hohem Output nähern sich die DD(q) den DDD q an Bei einem hohem Output sind daher sowohl die DVK(q), als auch die DD q sehr groß Oft geht man außerdem davon aus, dass es positive Fixkosten gibt, d.h. F > 0 ist Bei sehr niedrigem Output sind die DDD(q) und daher auch die DD(q) sehr groß 25

26 Grenz- und Durschnittskosten Behauptung: Sofern die Grenzkosten unter [über] den Durschnittskosten liegen, sinken [steigen] die Durchschnittskosten mit dem Output Formal: C q < > C q q C q q q < [>]0 Beweis: C q q q = C q q C(q) q 2 = C C(q) q q q Daher hat C q q q C q C(q) q das gleiche Vorzeichen wie 26

27 Intuition Ihr bisheriger Notendurschnitt ist 3,0 Dann schreiben Sie ein 2,0 Dadurch sinkt (d.h. verbessert sich) Ihr Notendurschnitt 27

28 Minimum der Durschnittskosten Betrachten Sie eine U-förmige Durschnittskostenkurve Aufgrund der vorangegangenen Überlegungen gilt, dass die Grenzkostenkurve die Durschnittskostenkurve in ihrem Minimum schneidet 28

29 Übungsaufgabe K7.3 Die Kostenfunktion einer Firma sei C q = 1 + q 2 Wie hoch sind die Fixkosten, die variablen Kosten, die Durchschnittskosten, die durchschnittlichen Variablen Kosten, die durchschnittlichen Fixkosten und die Grenzkosten? Bestimmen Sie das Minimum der Durschnittskosten Fertigen Sie außerdem eine Skizze mit den Durschnitts- und Grenzkosten an 29

30 Zusammenfassung Iso-Kosten-Linie: Menge aller Inputkombinationen, welche zu gleichen Kosten führen Kostenminimierung: niedrigste Isokostenlinie, welche bestimmte Isoquante berührt Bei innerer Lösung: GGGG 1,2 x 1, x 2 = p 1 p 2 Kostenminimerung für alle Isoquanten d.h. alle möglichen Outputniveaus ergibt Kostenfunktion Die Kostenfunktion gibt die minimalen Kosten in Abhängigkeit von der Outputmenge an 30

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