Das Gewinnmaximierungsproblem einer Firma kann in zwei Teile zerlegt werden: 1. Welche Inputkombination ist für einen gegebenen Output

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1 Kapitel 7: Kosten Hauptidee: Aus der Produktionsfunktion einer Firma bestimmen wir ihre Kostenfunktion. Diese spielt eine zentrale Rolle für die Gewinnmaximierung der Firma.

2 Das Gewinnmaximierungsproblem einer Firma kann in zwei Teile zerlegt werden: 1. Welche Inputkombination ist für einen gegebenen Output kostenminimierend und wie hoch sind dann die Kosten? (siehe K7) 2. Welcher Output ist gewinnmaximierend? (siehe K8) 2

3 7.1 Kosten Wenn eine Firma die Inputkombination benutzt verursacht dies Kosten von Wir nehmen an, dass die Entscheidungen der Firma keinen Einfluss auf die Preise der Inputgüter haben Die Firma nimmt daher die Preise als gegeben hin Dies macht Sinn für viele standardisierte Inputs (z.b. Rohstoffe, Maschinen, Arbeit, Land) Für spezialisierte Inputs (z.b. Spezialmaschinen, Erfinder, Topmanager) oder bei einer sehr großen Firma wird die Preisnehmerannahme jedoch zu fehlerhaften Entscheidungen führen und die Modellannahmen müssen verändert werden 3

4 Anmerkungen Alle Inputgüter werden in Flussgrößen gemessen (z.b. pro Jahr) Opportunitätskostenprinzip (vs. buchhalterische Kosten): die Kosten einer Entscheidung bestehen darin, was dafür aufgegeben werden muss Beispiel: Eine Firma besitzt einen Hochleistungsrechner, dessen Rechenkapazität zum Preis von 1000 pro Stunde (über das Internet) gekauft und verkauft wird Die Kosten der Firma, den Rechner einen Tag lang selbst zu nutzen, betragen Dies gilt unabhängig davon, zu welchem Preis die Firma den Rechner gekauft hat 4

5 Isokostenlinien Wir nehmen an, dass es Inputs gibt Isokostenlinie: Menge aller Inputkombinationen, deren Kosten gleich groß sind Formal: Die Isokostenlinie zum Kostenniveau Durch Umstellung erhalten wir ist Die Steigung der Isokostenlinie ist also 5

6 Beispiel: Isokostenlinien für und

7 Kostenminimierende Inputkombination Wir wollen einen bestimmten Output herstellen Es gibt viele Inputkombinationen welche einen Output von erzeugen (nämlich alle Kombinationen auf der Isoquante) Welche dieser Inputkombinationen minimiert die Kosten? Lösung grafisch: wir bestimmen die niedrigste Isokostenlinie, welche die Isoquante berührt Lösung formal: am Berührpunkt gelten die Bedingungen erster Ordnung 7

8 Lösung grafisch Isoquante Wir zeichnen die Isoquante und einige Isokostenlinien Wir bestimmen die Isokostenlinie, welche die Isoquante gerade noch berührt 0 8

9 Lösung grafisch Isoquante Nun können wir die Inputnachfragen und bestimmen Die minimalen Kosten um den Output herzustellen sind daher 0 9

10 Lösung formal: Bedingungen erster Ordnung 1., 2. Wenn 0und 0, dann,, D.h. bei einer inneren Lösung muss die Steigung der Isoquante an der Stelle, gleich der Steigung der Isokostenlinien sein 3. Wenn 0, dann,, D.h. bei einer Randlösung mit 0muss die Steigung der Isoquante an der Stelle, größer gleich der Steigung der Isokostenlinien sein 4. Wenn 0, dann,, D.h. bei einer Randlösung mit 0muss die Steigung der Isoquante an der Stelle, kleiner gleich der Steigung der Isokostenlinien sein 10

11 Konvexität Wenn die Technologie konvex ist (d.h. die Isoquanten konvexe Kurven sind), sind die Bedingungen erster Ordnung hinreichend für ein Kostenminimum Analogie zum Konsumentenproblem (siehe Kapitel 2) 11

12 7.2 Alternative Interpretation Innere Lösung Wir stellen um:, Interpretation: Bei einer inneren Lösung muss das Verhältnis von Grenzprodukt und Preis bei beiden Inputs gleich sein 12

13 Randlösung mit Wir stellen wieder um, Interpretation: Bei einer Randlösung mit muss das Verhältnis von Grenzprodukt und Preis bei Input kleiner gleich sein als bei Input 13

14 Randlösung mit Wir stellen wieder um, Interpretation: Bei einer Randlösung mit muss das Verhältnis von Grenzprodukt und Preis bei Input größer gleich sein als bei Input 14

15 Entscheidungsproblem Konsument Diese alternative Interpretation lässt sich auf das Entscheidungsproblem eines Konsumenten übertragen Bei innerer Lösung, Da, kann man umstellen zu D.h. bei einer inneren Lösung muss das Verhältnis von Grenznutzen und Preis bei beiden Gütern gleich sein Bei Randlösung mit Bei Randlösung mit : : 15

16 7.3 Kostenfunktion Für ein gegebenes Outputniveau haben wir die Inputnachfragen und und die minimalen Kosten bestimmt Wir wiederholen das Prozedere für verschiedene Outputlevels Dann erhalten wir die Kostenfunktion Die Kostenfunktion gibt die minimalen Kosten in Abhängigkeit von der Outputmenge an 16

17 Illustration: Bestimmung der Kostenfunktion 4,000 Isokosten Kosten 4,000 3,000 Isokosten 3, ,000 Isokosten 2, Isoquante 150 Isoquante 100 Isoquante q 17

18 7.4 Kostenkonzepte Insbesondere kurzfristig sind manche Inputs nicht variabel und daher manche Kosten fix, d.h. unabhängig von der Produktionsmenge Beispiele: Mieten, Lizenzgebühren, manche Gehälter Formal sind die Fixkosten Die variablen Kosten sind Für die sehr lange Frist (Jahre?) geht man meist davon aus, dass alle Kosten variabel sind 18

19 Grenzkosten Die Grenzkosten sind der Kostenzuwachs den die Produktion einer zusätzlichen Einheit des Outputs verursacht Formal: Grenzkosten an der Stelle q sind 19

20 Durchschnittskosten Durchschnittskosten: Durchschnittliche fixe Kosten: Durchschnittliche variable Kosten: Da, gilt auch oder umgeschrieben 20

21 Empirisches Beispiel Griliches and Ringstad (1971) schätzen die Produktionsstrukturen verschiedener Industriebranchen in Norwegen Sie messen: Arbeit in Arbeiterjahren Kapital in produktivitätsgewichteten Maschinenstunden Output in wertgewichteten Mengen Für eine typische Druckerei schätzen sie eine Cobb Douglas Produktionsfunktion (im relevanten Bereich) als,, 21

22 Durchschnitts und Grenzkosten für Norwegische Druckereien Kosten, Kronen GKq DKq) DVKq) 10 0 DFKq) q, Einheiten pro Jahr 22

23 U förmige Durchschnittskosten Häufig betrachtet man U förmige Durchschnittskosten Begründung (siehe auch Aufgabe 7.3) : Oft geht man davon aus, dass die in steigen (zumindest für hohe Werte von ) Bei einem hohem Output sind daher sowohl die, als auch die sehr groß Oft geht man außerdem davon aus, dass es positive Fixkosten gibt, d.h. ist Bei sehr niedrigem Output sind die daher auch die sehr groß und 23

24 Grenz und Durchschnittskosten Behauptung: Sofern die Grenzkosten unter [über] den Durchschnittskosten liegen, sinken [steigen] die Durchschnittskosten mit dem Output Formal: Beweis: Daher hat das gleiche Vorzeichen wie 24

25 Intuition Ihr bisheriger Notendurchschnitt ist Dann schreiben Sie ein Dadurch sinkt (d.h. verbessert sich) Ihr Notendurchschnitt 25

26 Minimum der Durchschnittskosten Betrachten Sie eine U förmige Durchschnittskostenkurve Aufgrund der vorangegangenen Überlegungen gilt, dass die Grenzkostenkurve die Durchschnittskostenkurve in ihrem Minimum schneidet 26

27 Zusammenfassung Isokostenlinie: Menge aller Inputkombinationen, welche zu gleichen Kosten führen Kostenminimierung: niedrigste Isokostenlinie, welche bestimmte Isoquante berührt Bei innerer Lösung:, Kostenminimerung für alle Isoquanten d.h. alle möglichen Outputniveaus ergibt Kostenfunktion Die Kostenfunktion gibt die minimalen Kosten in Abhängigkeit von der Outputmenge an 27

28 Aufgabe 7.1 (Ü) Die Produktionsfunktion einer Firma ist,, Die Inputs kosten Wie hoch sind die Kosten Wie hoch sind die Fixkosten variablen Kosten und die 28

29 Aufgabe 7.2 (Ü) Wie verändern sich die Inputnachfragen und wenn der Preis für Input,, steigt? Gehen Sie von inneren Lösungen und konvexen Isoquanten aus Vergleichen Sie das Ergebnis mit den Ergebnissen der Konsumententheorie 29

30 Aufgabe 7.3 (Ü) Verwenden Sie die Informationen von Aufgabe 7.1 Betrachten Sie das kurzfristige Kostenminimierungsproblem: Nur Input 1 ist kurzfristig variabel Input 2 ist kurzfristig nicht variabel und hat den Wert 1 a) Wie hoch sind die Kosten b) Vergleichen Sie Ihre Ergebnisse mit denen von Aufgabe 7.1 c) Wie hoch sind die Fixkosten und die variablen Kosten Hinweis: nutzen Sie die Bedingung 30

31 Aufgabe 7.4 (Ü) Die Kostenfunktion einer Firma sei Wie hoch sind die Fixkosten, die variablen Kosten, die Durchschnittskosten, die durchschnittlichen variablen Kosten, die durchschnittlichen Fixkosten und die Grenzkosten? Bestimmen Sie das Minimum der Durchschnittskosten Fertigen Sie außerdem eine Skizze mit den Durchschnitts und Grenzkosten an 31

32 Beweisen Sie, dass bei Aufgabe 7.5 (Ü) zunehmenden Skalenerträgen die Durchschnittskosten mit dem Output sinken abnehmenden Skalenerträgen die Durchschnittskosten mit dem Output steigen konstanten Skalenerträgen die Durchschnittskosten konstant im Output sind Hinweis: Diese Aufgabe ist sehr schwer 32

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