Die Bruchrechnung in der Lerntherapie. von Johanna Sielemann

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1 Die Bruchrechnung in der Lerntherapie von Johanna Sielemann 1

2 1 EINLEITUNG 3 2 BRUCHZAHLASPEKTE Teil eines Ganzen Teil mehrerer Ganzer Anteil Mögliche Schwierigkeiten 5 3 SCHREIBWEISEN 6 4 FORMEN VON BRUCHZAHLEN Echte Brüche mit einem Zähler größer als Unechte Brüche, gemischte Zahlen Mögliche Schwierigkeiten 7 5 ERWEITERN UND KÜRZEN Gleiche Wertigkeit unterschiedliche Teilungsverhältnisse Anschauliche Zugangswege Erweitern Regeleinführung Kürzen Regeleinführung Mögliche Schwierigkeiten 12 6 GRÖßENVERGLEICH Anschauliche Vorstellungen Unterschiede zur Menge der natürlichen Zahlen 16 7 ADDITION UND SUBTRAKTION Schwierigkeiten Addition Anschauliche Vermittlung der Addition Addition Regeleinführung Addition von gemischten Zahlen Subtraktion Anschauliche Vermittlung der Subtraktion Subtraktion Regeleinführung Subtraktion von gemischten Zahlen 21 8 FAZIT 22 2

3 1 Einleitung Die Probleme rechenschwacher Kinder liegen im Allgemeinen im mathematischen Grundlagenbereich, so dass die Bruchrechnung nicht das zentrale Thema der Lerntherapie bildet. Dennoch ist sie gar nicht so selten ein Segment in der lerntherapeutischen Förderung. Dies hat verschiedene Gründe: Es gibt Kinder, bei denen die Rechenschwäche erst später diagnostiziert und therapiert wird, so dass die Bruchrechnung bereits Bestandteil des Schulstoffes ist. Ein Anschlusses an den Schulstoff ist dann nur mit der Vermittlung der Bruchrechnung zum gegebenen Zeitpunkt möglich. Es gibt aber auch Kinder die, obwohl sie die mathematischen Grundlagen im Zahlbereich der natürlichen Zahlen entwickelt haben, beim Verstehen der Bruchrechnung große Schwierigkeiten haben. Oftmals zeigen sich diese Verständnisprobleme erst in Stoffgebieten der nachfolgenden Klassenstufen etwa bei Bruchtermen in der Algebra. Hier setzt die Lerntherapie dann bei der Bruchzahlvorstellung und der Bruchrechnung an. Die Bruchrechnung ihrerseits ist eine wichtige Grundlage für das Verständnis weiterer mathematischer Zusammenhänge. So bilden Brüche (mit kleinen Nennern) die anschauliche Fundierung der Dezimalbruchrechnung. Alle Rechenregeln der Dezimalbruchrechnung lassen sich ausgehend von den entsprechenden Regeln für Brüche einheitlich und einsichtig ableiten und müssen nicht schematisch auswendig gelernt werden, wenn dieses Fundament gegeben ist. Ebenso lassen sich der Begriff der klassischen Wahrscheinlichkeit und auch grundlegende Aussagen über den Umgang mit Wahrscheinlichkeiten ohne ein Verständnis für Brüche kaum vermitteln. Auch für eine erfolgreiche Behandlung der Gleichungslehre sind gründliche Kenntnisse der Bruchrechnung erforderlich. Außerdem ist zu bedenken, dass bei der Zahlbereichserweiterung von den natürlichen zu den rationalen Zahlen keineswegs alles unverändert bleibt. Viele vertraute Eigenschaften der natürlichen Zahlen gelten plötzlich nicht mehr oder nur noch modifiziert. Dieser Sachverhalt kann zu großen Irritationen führen. Starke Veränderungen ergeben sich in den Grundvorstellungen der Multiplikation und Division: Plötzlich gibt es viele Aufgaben, bei denen die Multiplikation verkleinert und solche, bei denen die Division vergrößert eine für die Punktrechnung mit natürlichen Zahlen völlig undenkbare Vorstellung. 3

4 Ebenso große Veränderungen gibt es bei der Vorgänger- und Nachfolgerbildung: Jetzt liegen zwischen zwei verschiedenen Zahlen nicht mehr immer nur endlich viele, sondern stets unendlich viele Zahlen, sogar wenn die beiden Zahlen sehr nah beieinander liegen. Aufgrund dieser Überlegungen ist es leicht nachvollziehbar, dass es auch bei Kindern mit einem gesicherten Zahlen- und Operationsverständnis im Zahlenraum der natürlichen Zahlen zu einer Mathematikschwäche kommen kann, wenn die Bruchrechnung nicht verstanden ist. Dies sehe ich auch immer wieder bei älteren Schülern, die in unsere Facheinrichtung kommen. In der lerntherapeutischen Arbeit beobachte ich sehr häufig, dass Schüler beim Addieren und Subtrahieren ratlos vor der Frage stehen: Muss ich jetzt erweitern? bzw. Muss ich jetzt kürzen? Oft schließt sich gleich die nächste Unsicherheit an: Über oder unter dem Bruchstrich oder beides? Ich werde daher in meiner Arbeit zunächst kurz auf die verschiedenen Grundvorstellungen zu den Bruchzahlen eingehen, die grundlegend für das Verständnis der Grundrechenarten im Zahlenraum der rationalen Zahlen sind. Anschließend will ich das Erweitern und Kürzen von Brüchen und die Einführung der Addition und Subtraktion erläutern. 2 Bruchzahlaspekte 2.1 Teil eines Ganzen Diese erste Grundvorstellung ist für die Schüler oft am leichtesten zu verstehen, da das gleichmäßige Aufteilen von Mengen aus der Division bereits bekannt ist. Mit der Einführung der Bruchzahlen wird nun die bis dahin kleinste Einheit selbst geteilt. Dadurch entstehen neue Einheiten. Dies erfordert ein weitgehendes Umdenken gegenüber den natürlichen Zahlen und muss in der Therapie gründlich besprochen werden. Beispiel: Eine Pizza wird in 4 Teile geschnitten. Paul isst 3 davon auf. Hier erhält man ¾, indem man 3 mal 1 Viertel nimmt. 4

5 2.2 Teil mehrerer Ganzer Die Schwierigkeit dieser zweiten Grundvorstellung liegt darin, dass mehrere Ganze die neue Einheit bilden, von denen ein Bruchteil genommen werden soll. Auch dies bedeutet ein Umdenken gegenüber der bisherigen Zahlvorstellung. Beispiel: 3 Tafeln Schokolade werden an 4 Kinder verteilt. Hierbei wird jede einzelne Tafel zunächst in 4 Stücke unterteilt. Jedes Kind erhält ein Stück einer jeden Tafel, ¾ des Ganzen. Diese Vorstellung führt auch zu der Einsicht, dass sich das Ergebnis einer jeden Divisionsaufgabe in Form eines Bruches angeben lässt. Der Bruchstrich entspricht dem Divisionszeichen, der Dividend steht auf dem Bruchstrich, der Divisor unter dem Bruchstrich. 2.3 Anteil Der Teil einer Gesamtheit wird als Bruchteil ausgedrückt. Dies liefert die dritte Grundvorstellung einer Bruchzahl. Beispiel: 3 von 4 Kindern können schwimmen. Bei diesem Ansatz wird das Ganze - 4 Kinder - so aufgeteilt das jedes der Kinder einen Teil des Ganzen bildet (Nenner), die Anzahl der Kinder, die schwimmen können sind die genommenen Teile (Zähler). 2.4 Mögliche Schwierigkeiten Wenn man diese Bruchzahlaspekte mit den Schülern bespricht, muss man darauf achten, dass der Bruch von ihnen als eine Zahl betrachtet wird und nicht fälschlicherweise als eine Rechenaufgabe. Auch fällt es manchen Schülern schwer, zu verstehen, dass das Ganze beliebig festgelegt wird. So kann eine Bruchzahl, das Ganze, eine Vielzahl kleinerer Einheiten umfassen. Oft erlebt man, dass Schüler, die sich lediglich die formalen Regeln der Bruchrechnung gemerkt haben, den Zähler und den Nenner als voneinander unabhängige natürliche Zahlen betrachten und mit diesem Hintergrund gar nicht in der Lage sind, ein Bruchzahlverständnis zu entwickeln. 5

6 3 Schreibweisen Bei der Schreibweise ergeben sich ebenfalls große Veränderungen. Ein Bruch besteht aus Zähler, Bruchstrich und Nenner. Die drei Bestandteile bilden gemeinsam die neue Zahl. Diese Zahl, die Bruchzahl, gibt Auskunft über das Teilungsverhältnis von Eins und die Vielfachen dieser Teile. Der Zähler wird Zähler genannt, weil die Bruchteile gezählt werden. Der Nenner gibt dem entsprechenden Bruch seinen Namen. Er gibt an, in wie viele Teile die Einheit aufgeteilt wurde. Dabei ist wichtig, dass in gleich große Teile aufgeteilt wird, und dass das Ganze zwar eine Einheit nicht aber unbedingt eine Sache bedeutet. Ein häufig zu beobachtender Fehler bei der Benennung von Brüchen ist, dass entweder nur die Anzahl der nicht gekennzeichneten Teile oder nur die Anzahl der gekennzeichneten Teile als Nenner genannt werden. Der Nenner als Ausdruck für die Anzahl der Unterteilung ist also noch nicht verstanden worden. Hier ist es oft hilfreich, zunächst die reine Teilung vorzunehmen und benennen zu lassen und erst dann einen oder mehrere Teile zu kennzeichnen. In der Lerntherapie beobachte ich gelegentlich auch, dass Kinder bei der Aufforderung, stelle in einer Zeichnung 2 / 8 dar, lediglich zwei Tortenstücke zeichnen. 2 / 8 Der Bezug zum Ganzen ist hier abhanden gekommen und mitunter verbinden Kinder, wenn ihnen eine Bruchzahl schriftlich präsentiert wird ausschließlich eine Tortenstückform, mit dem Thema Brüche. Das Verständnis von der Notation der Bruchzahlen, kann mithilfe der folgenden Fragen zu verschiedenen Sachsituationen oder Darstellungen von Bruchzahlen beurteilt werden: Was ist die Einheit (das Ganze)? In wie viele Teile ist sie zerlegt worden? Sind die Teile gleich groß? Wie groß ist jedes Teil (bezogen auf die Einheit)? Wie viele Teile sind hier zusammengefasst worden? Die richtige Beantwortung dieser Fragen sollte zu einer korrekten Notation der Bruchzahl führen. 6

7 Ob der Schritt der Zahlraumerweiterung richtig nachvollzogen wurde, lässt sich anhand folgender Fragen überprüfen: In wie viele Teile kann das Ganze aufgeteilt werden? Wie viele Zahlen liegen zwischen der 0 und der 1? Was passiert, wenn das Ganze immer weiter aufgeteilt wird? 4 Formen von Bruchzahlen 4. 1 Stammbrüche Brüche mit dem Zähler 1 heißen Stammbrüche. Sie sind die einfachste Form der Brüche. Damit bieten sie den Einstieg in die rationalen Zahlen. 4.2 Echte Brüche mit einem Zähler größer als 1 Als echte Brüche bezeichnet man alle Brüche, bei denen der Zähler kleiner als der Nenner ist, die somit zwischen 0 und 1 liegen. 4.3 Unechte Brüche, gemischte Zahlen Bei unechten Brüchen ist der Zähler größer als der Nenner, der Bruch liegt somit zwischen zwei natürlichen Zahlen. Bei den gemischten Zahlen wird bestimmt, wie viele Ganze der unechte Bruch enthält und der verbleibende Rest als Bruch daneben notiert. 4.4 Mögliche Schwierigkeiten Viele Schüler betrachten die Bruchzahlen als eine von den natürlichen Zahlen unabhängige Zahlmenge, in der neue komplizierte Regeln gelten. Auch werden gemischte Zahlen nicht als eine Einheit aufgefasst, sondern als zwei unabhängige Größen, von denen die erste Zahl gar nicht als Bruchzahl mit dem gleichen Nenner in der gedanklichen Vorstellung assoziiert werden kann. Eine weitere Schwierigkeit ist, dass es vielen Schülern nicht leicht fällt, zu verstehen, dass eine Bruchzahl nicht für die Handlung des Unterteilens des Ganzen steht, sondern das Resultat dieses Prozesses repräsentiert. Um die Schüler darin zu unterstützen, eine tragfähige Grundvorstellung von den verschiedenen Bruchformen zu entwickeln, sollten diese in anschaulichen und in sachsituationsorientierten Bezügen besprochen und geübt werden, anhand: 7

8 Verschiedener bildlicher Abbildungen Sachsituationen Bruchteilen von Größen Die Aufgabenstellung sollte in beide Richtungen angelegt sein, als Erkennen der zugehörigen symbolischen Darstellung und als Übertragung von der Symbolebene auf die Ebene der bildhaften und der sachbezogenen Darstellung. Dabei ist es notwendig auch die neuen Aspekte gegenüber den natürlichen Zahlen zu thematisieren: Vergleich der natürlichen Zahlen mit den Bruchzahlen Wo liegen die Unterschiede? Wo gibt es Gemeinsamkeiten? 5 Erweitern und Kürzen 5.1 Gleiche Wertigkeit unterschiedliche Teilungsverhältnisse Auch Schüler, die formal das Erweitern und Kürzen eingeübt haben, scheitern häufig an dieser Aufgabe: Mutter hat 2 gleich große Kuchen gebacken. Den Erdbeerkuchen teilt sie in 12 gleich große Stücke und den Apfelkuchen in 8 gleich große Stücke. Peter isst 3 Stücke Erdbeerkuchen, Liesa isst 2 Stücke Apfelkuchen. Wer hat mehr Kuchen gegessen? Das Problem ist, dass hier gleichzeitig die Anzahl der gegessenen Stücke und die Größe der Stücke im Blick behalten werden muss. Dies führt zu zwei typischen Fehlern: Die meisten Schüler achten ausschließlich auf die Anzahl der Stücke und argumentieren daher, dass Peter mehr Kuchen gegessen hat. Es kann jedoch auch passieren, dass nur die Größe der Stücke beachtet wird und der Schüler zu dem Schluss kommt, dass Liesa mehr Kuchen gegessen hat. In beiden Fällen wird die Gleichwertigkeit der beiden Brüche nicht erkannt. Grund für diesen Fehler ist nicht nur eine mangelnde Fertigkeit im Kürzen, sondern in den meisten Fällen können sich die Schüler gar nicht vorstellen, dass zwei unterschiedlich geschriebene Zahlen dieselbe Menge repräsentieren, denn dies gibt es in der Menge der natürlichen Zahlen so nicht. Hier ist die Zuordnung einer Zahl zu einer Menge in beide Richtungen eindeutig. Neu ist jetzt, dass die Bruchzahl es ermöglicht, unendlich viele Darstellungen für ein- und dieselbe Quantität zu haben, jede dieser Darstellungen jedoch eine andere Bruchzahl ist. Es ist daher notwendig, zwischen der Bruchzahl und ihrer Wertigkeit zu unterscheiden. Zwei Bruchzahlen 8

9 treten als verschiedene Repräsentanten derselben Wertigkeit auf: 3 / 12 = 2 / 8, hierin sind sie gleich. Sie stehen jedoch für unterschiedliche Teilungsverhältnisse des Ganzen, hierin sind sie ungleich. Dieser neue Gedanke, dass eine gleichwertige Menge durch zwei oder mehr unterschiedlich geschriebene Zahlen repräsentiert werden kann, muss erst einmal gefasst werden. Sinnvoll ist es deshalb zunächst einmal anschaulich vorzugehen. Das Verstehen dieses Gedankens kann durch Veranschaulichung erleichtert werden. Erst auf dieser Basis sollte das Erweitern und Kürzen erarbeitet und durch verschiedene Aufgabenstellungen eingeübt werden. 5.1 Anschauliche Zugangswege Viele Kinder bekommen einen guten Zugang über eine handlungsgebundene Herangehensweise. Dazu können verschiedenfarbige gleichgroße rechteckige Pappen als Ganze genommen werden. Durch die bisherige Arbeit sollte der Schüler in der Lage sein, diese in Halbe, Drittel, Viertel, Sechstel, Achtel usw. zu zerteilen. Im Größenvergleich lassen sich dann verschiedene gleichwertige Brüche finden. Die Schüler müssen entdecken, dass von kleineren Bruchteilen mehr Stücke genommen werden müssen um den gleichen Anteil zu erhalten als von Größeren. Diese Feststellung lässt sich anhand der folgenden Fragestellung nun genauer analysieren: Wie viele Achtel-Stücke musst Du nehmen, damit Du denselben Anteil bekommst wie bei drei Viertel-Stücken? Hilfreich ist es, die Schüler dabei anzuregen, ihre Überlegungen in Worte zu fassen, damit Fehlvorstellungen und Verständnislücken deutlich werden. Wird diese Fragestellung variiert, so ergibt sich die folgende Gesetzmäßigkeit: Unterteilt man die Ausgangsfläche so, dass ist jede Teilfläche nur halb so groß ist, so bekommt man doppelt so viele Teilstücke und man muss auch doppelt so viele Teilstücke zusammenfassen, um den gleichen Anteil zu erhalten. Unterteilt man die Ausgangsfläche viermal so oft, muss man viermal so viele Teilstücke zusammenfassen. Halbiert man umgekehrt die Anzahl der Teilstücke durch das Zusammenlegen von jeweils zwei Teilstücken, so ist jedes Teilstück doppelt so groß, also muss man nur noch halb so viele Teilstücke zusammenfassen, um wieder zum gleichen Anteil zu gelangen. (vgl. Padberg S.49 1 ) 9

10 Bei Padberg 2 findet man einen anschaulichen Zugang über das mehrfache Falten eines Blattes, bei dem bereits ein Anteil grau gefärbt ist. Durch das Falten ändert sich offensichtlich nicht der Anteil der grau gefärbten Fläche, wohl aber die Anzahl der Unterteilungen. Daher werden diese Anteile, obwohl gleichwertig mit verschiedenen Brüchen benannt. Macht man das Falten wieder rückgängig, so erhält man eine Vergröberung der Ausgangsunterteilung. Auch über Verteilungssituationen lässt sich die Gleichwertigkeit von Brüchen gut einführen. 12 Kinder teilen sich 8 Tafeln Schokolade - diese lassen sich wieder gut aus Pappe herstellen. Es ergibt sich für jedes Kind ein Anteil von 8 / 12. Teilen sich 6 Kinder 4 Tafeln Schokolade so erhält jedes Kind einen Anteil von 4 / 6. Bei 3 Kindern und 2 Tafeln bekommt jedes Kind 2 / 3 der Schokolade. Bei diesem Ansatz kommt die zweite Bruch-Grundvorstellung zum Tragen: Der Bruch als Teil mehrerer Ganzer. Diese Vorstellung bietet einen zusätzlichen Zugang zu der Gleichwertigkeit von Brüchen. In Bezug auf die Gleichwertigkeit verschiedener Brüche muss der Schüler verstehen, dass derselbe Anteil oder eine gleichwertige Verteilungssituation durch verschiedene Brüche beschrieben werden kann. Danach kann diese Kenntnis gefestigt werden, indem bspw. zu einem gegebenen Bruch gleichwertige Brüche zu finden sind. Dies kann auf der Handlungsebene mit 1 Friedhelm Padberg (2009) Didaktik der Bruchrechnung 4.Aufl. Heidelberg, Berlin, Spektrum, Akad. Verlag, Seite 49 2 Friedhelm Padberg (2009) Didaktik der Bruchrechnung 4.Aufl. Heidelberg, Berlin, Spektrum, Akad. Verlag, Seite 48 10

11 vorgegebenen Bruchteilen und später auch zeichnerisch durch die unterschiedliche Unterteilung von Rechtecken geschehen. Außerdem sollte an Sachsituationen geübt werden. Beispiele; Paul schneidet eine Pizza in 12 Stücke. Er isst 8 Stücke. Hans schneidet seine Pizza in 6 Stücke. Er isst genauso viel Pizza wie Paul. 3 Kinder teilen sich 2 Tafeln Schokolade. Wie viele Tafeln teilen sich 6 Kinder, wenn sie den gleichen Anteil erhalten? Zielsetzung ist, den Schüler in die Lage zu versetzen, mit eigenen Worten erklären zu können, warum zwei gegebene Brüche gleichwertig sind und worin sie sich unterscheiden. 5.2 Erweitern Regeleinführung Der Übergang, die Gleichwertigkeit von Brüchen rein rechnerisch festzustellen, kann mit der folgenden Aufgabenstellung erfolgen: Finde möglichst viele gleichwertige Brüche zu ⅔. Hier bietet sich eine Kombination aus zeichnerischer Darstellung und symbolischer Schreibweise an. Schau Dir diese Brüche an. Kannst Du eine Regel erkennen, wie man ganz schnell gleichwertige Brüche finden kann? Man erhält rechnerisch gleichwertige Brüche, indem man Zähler und Nenner mit derselben Zahl multipliziert. Dieses Vorgehen bedeutet ein Verfeinern der Unterteilung und wird Erweitern genannt. Diese Verfeinerung kann beliebig oft durchgeführt werden, was bedeutet, dass man einen gegebenen Bruch mit jeder natürlichen Zahl erweitern kann. Für das Üben sind viele unterschiedliche Aufgabenstellungen wichtig: Erweitern eines Bruches mit einer vorgegebenen Zahl Erweiterungszahl bestimmen 11

12 Auf einen bestimmten Nenner erweitern Richtig und falsch durchgeführtes Erweitern erkennen Zwei Brüche auf den gleichen Nenner erweitern 5.3 Kürzen Regeleinführung Das rechnerische Kürzen lässt sich durch das Rückgängigmachen des Erweiterns einführen. Auf der zeichnerischen Ebene erkennt man, dass Kürzen eine Vergröberung der Unterteilung bedeutet. Dem Vergröbern entspricht also ein Dividieren des Zählers und Nenners jeweils durch dieselbe natürliche Zahl. Diese dem Erweitern entgegensetzte Operation bezeichnet man als Kürzen. Im Gegensatz zur Verfeinerung lässt sich die Vergröberung nur in begrenztem Umfang realisieren. Offensichtlich kann man einen Bruch nur durch die gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner kürzen. Sind Zähler und Nenner teilerfremd, so ist der Bruch vollständig gekürzt und man spricht von einem Kernbruch. Das Kürzen muss wie das Erweitern mit unterschiedlichen Aufgaben geübt werden: Kürzen eines Bruches durch eine vorgegebene Zahl Kürzungszahl bestimmen Richtig und falsch durchgeführtes Kürzen erkennen Zwei Brüche durch Kürzen bis zum Kernbruch als gleichwertig oder unterschiedlich erkennen 5.4 Mögliche Schwierigkeiten Bei den Begriffen Erweitern und Kürzen assoziieren Kinder häufig aus ihrer Alltagserfahrung heraus völlig andere Vorstellungen, als die Bezeichnungen hinsichtlich der Bruchzahl bedeuten. So ist für sie Erweitern gleichgesetzt mit etwas wird mehr und Kürzen mit etwas wird weniger. Es ist daher ganz grundlegend, im Unterricht den Schülern bewusst zu machen, dass beide Operationen die Quantität einer Menge unverändert lassen. 12

13 6 Größenvergleich Bevor die Addition und Subtraktion eingeführt wird, sollte der Größenvergleich von Bruchzahlen thematisiert werden. Um sich im Zahlenraum der rationalen Zahlen zurechtzufinden, ist es notwendig, dass auch ein Verständnis für Größer- und Kleinerbeziehungen entwickelt wird. Deshalb ist es sinnvoll nicht nur eine Regel für den Größenvergleich (erweitere auf einen gemeinsamen Nenner und vergleiche die Zähler) aufzustellen, sondern unterschiedliche Strategien zu besprechen, die das Verständnis für den Aufbau der rationalen Zahlen fördern. Darüber hinaus gibt man den Schülern hiermit ein Instrument in die Hand, das sie hinsichtlich der Ergebniskontrolle von Summenwert und Differenzwert für einen groben Überblick anwenden können. 6.1 Anschauliche Vorstellungen Der Größenvergleich ist bei Bruchzahlen schwieriger als bei natürlichen Zahlen, da sowohl die Anzahl der Bruchteile, als auch ihre Größe beachtet werden müssen. Ein Vergleich ist also einfacher, wenn entweder der Zähler oder der Nenner der zu vergleichenden Brüche gleich ist. So lassen sich Brüche mit gleichem Zähler der Größe nach ordnen, indem man die Größe der erhaltenen Teile vergleicht. Bei einem Vergleich von Brüchen mit dem gleichen Nenner lässt sich die Ordnungsbeziehung von den natürlichen Zahlen hier direkt auf die Brüche übertragen, da gleich große Teile verglichen werden. Diese Überlegung führt zu dem Weg des Erweiterns auf einen gemeinsamen Nenner bei ungleichnamigen Brüchen. 13

14 Diese Strategie hat den Vorteil, dass sie bei allen Bruchzahlvergleichen angewandt werden kann, andererseits ist sie nicht immer die günstigste, da der sich einige Vergleiche auch ohne diesen Rechenaufwand durchführen lassen. So lassen sich z.b. ¾ und 4 / 5 direkt ohne Bestimmung eines gemeinsamen Nenners der Größe nach vergleichen, indem man ihren Abstand zu 1 vergleicht. ¾ ist um ¼ 4 / 5 dagegen nur um 1 / 5 kleiner als 1. Es gilt also ¾ < 4 / 5. Sind Schüler in der Lage, die Möglichkeit dieses Vergleiches in der entsprechenden Situation zu erkennen und diesen anzuwenden, so lässt sich daraus ablesen, dass sie schon ein gutes Verständnis für die rationalen Zahlen entwickelt haben. Denn hier sind gedanklich zwei Schritte notwendig: Welcher Anteil fehlt jeweils zum Ganzen und dann der Vergleich dieser Bruchzahlen. Außerdem muss der Schüler vorab entscheiden können, ob der Vergleich der fehlenden Anteile weniger Aufwand erfordert, weil es sich wie in diesem Fall zum Beispiel um den Vergleich von Bruchzahlen mit gleichem Zähler handelt. Auf dieselbe Weise kann auch eine zwischen zwei Brüchen liegende Zahl als Vergleichsbasis genommen werden: 5 / 8 > 2 / 5, denn 5 / 8 > ½ und 2 / 5 < ½ Auch diese Strategie verringert auf der einen Seite den Rechenaufwand, fordert aber auf der anderen Seite bereits ein tieferes Verständnis für den Aufbau der rationalen Zahlen. 14

15 Wenn bei einem der beiden gegebenen Brüche sowohl die Größe der Teile, als auch die Anzahl der Teile kleiner sind, kann durch eine kombinierte Betrachtung von Zähler und Nenner ein Größenvergleich durchgeführt werden. 3 / 8 < 4 / 7, denn der linke Bruch besteht aus Achteln, die kleiner sind als Siebtel, und es gilt außerdem 3 < 4. In der Therapie sollten diese unterschiedlichen Strategien besprochen werden. Der Schüler sollte dazu angehalten werden, in jedem konkreten Fall neu zu überlegen und die auszuwählen, die den geringsten Rechenaufwand erfordert: Kannst Du den beiden Brüchen schon ansehen, welcher größer ist oder musst Du sie erweitern? Woran kannst Du das erkennen?. Dieses Vorgehen schützt zum einen vor dem bloßen Auswendiglernen einer Regel, zum anderen lässt sich so das Verständnis der Bruchzahlen weiter vertiefen. Auch Sachaufgaben sind in dieser Phase hilfreich: Beim Schießen auf die Torwand erzielt Peter bei 8 Schüssen 7 Treffer. Max erzielt bei 12 Schüssen 11 Treffer. Wer ist der bessere Schütze? Peter verfehlt einen von acht Schüssen, Max einen von 12. In Lottas Klasse sind 12 von 25 Schülern Mädchen. In Liesas Klasse sind es 15 von 23. Wo ist der Anteil höher? In Lottas Klasse sind weniger, in Liesas Klasse mehr als die Hälfte Mädchen. 8 Kinder teilen sich gerecht 5 Pizzas, 3 Kinder 2 Pizzas. Die Pizzas sind jeweils gleich groß. In welcher Gruppe erhält jedes Kind mehr? Hier muss eine gemeinsame Stückgröße gefunden werden, um die beiden Brüche der Größe nach zu vergleichen: 8 / 5 = 6 / 10 > 15 / 10 = 3 / 2 15

16 6.2 Unterschiede zur Menge der natürlichen Zahlen Ein gravierender Unterschied ist, dass sich bei den Bruchzahlen kein unmittelbarer Vorgänger oder Nachfolger mehr angeben lässt. Auf die Frage, welcher Bruch auf 1/3 folgt, werden viele Schüler spontan 2/3 antworten. Dieser Fehler lässt sich durch Erweitern besprechen: 1 / 3 = 2 / 6 und 2 / 3 = 4 / 6 Findest Du noch einen Bruch, der dazwischen liegt? Da man beide Brüche mit beliebig großen Zahlen erweitern kann, lassen sich sogar unendlich viele Brüche zwischen 1 / 3 und 2 / 3 finden. In diesem Zusammenhang ergibt sich auch die Frage, ob es eine kleinste Bruchzahl gibt, die größer als Null ist. Dies lässt sich am besten an den Stammbrüchen diskutieren. Inzwischen sollte klar sein, dass bei gleichem Zähler (hier 1) der Bruch umso kleiner ist, desto größer der Nenner ist. Dieser lässt sich aber beliebig vergrößern, so dass man keinen kleinsten Bruch findet. Auch dies bildet einen großen Unterschied gegenüber der Zahlvorstellung der natürlichen Zahlen, wo die 1 als kleinste positive Zahl gegeben ist. 7 Addition und Subtraktion 7.1 Schwierigkeiten Sehr viele Schüler halten sich gerade beim Rechnen mit Brüchen an auswendig gelernten Regeln fest, ohne diese Schemata gedanklich erfasst zu haben. Dies führt einerseits dazu, dass diese Regeln angewandt werden, auch dann, wenn die konkrete Aufgabe dadurch aufwendiger zu lösen ist. So kann man beobachten, dass eine ganze Zahl mit einem Bruch zunächst auf einen Bruch umgewandelt wird, um dann nach der Berechnung der Aufgabe das Ergebnis wieder in eine gemischte Zahl zu verwandeln. Dass dieses Verfahren nicht nur aufwendig, sondern auch fehlerträchtig ist, lässt sich leicht nachvollziehen. Stehen mehrere gemischte Zahlen im Aufgabenterm, führt diese Strategie zu unhandlichen Zahlenwerten. 16

17 Auch kommt es nicht selten zu einer falschen Anwendung von Rechenregeln. Der Summenwert von 3 / / 5 wird berechnet mit 7 / 10 indem Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner addiert wird, mit dem Hinweis: Man addiert Gleichnamiges! Die Subtraktion 5 / 7 3 / 21 wird nicht durchgeführt, weil der Zahlenwert im Nenner des Minuenden kleiner ist als der im Subtrahenden: Ziehe nie die kleinere von der größeren Zahl (Ziffer) ab! Diesem Merksatz entspringt auch die Rechnung 5 / 7 3 / 21 = 2 / 14. Manchmal werden Regeln schlichtweg verwechselt, so dass bspw. Resultate aus Additionen und Subtraktionen nicht gekürzt werden, weil das Kürzen mit den Punktrechnungen verbunden wird. Aus diesem Grund sollte bei der Einführung der Strichrechnungen Wert darauf gelegt werden, dass die Schüler eine grundlegende Vorstellung davon entwickeln, dass bei der Addition und Subtraktion von Brüchen eine gleiche Unterteilung des Ganzen vorliegen muss um den Wert der Summe bzw. den Wert der Differenz zu bestimmen. Hier bietet der Einstieg über Veranschaulichungen einen sinnvollen Lernausgangspunkt. Allerdings darf dabei nicht aus dem Auge verloren werden, dass die Ebene der Darstellung nur eine begrenzte unterstützende Funktion hat, die bei feineren Unterteilungen sehr schnell an ihre Grenze stößt. 7.2 Addition Anschauliche Vermittlung der Addition Einen guten Einstieg um das Prinzip des Addierens von Brüchen zu begreifen bietet wieder die Handlungsebene. Die Addition von z.b. 1 / 5 m und 3 / 5 m mit Maßbänder durchgeführt werden. Der Schüler legt zwei Strecken der entsprechenden Längen aneinander. Die Gesamtlänge liefert den gesuchten Wert der Summe. Eine weitere Möglichkeit bieten ausgeschnittene oder vorgefertigte Bruchteile. 17

18 Der Summenwert lässt sich auch auf zeichnerischer Ebene gewinnen. Schraffiere zunächst 3 / 5 und dann 1 / 5 des Rechtecks. Wie viele Teile hast Du insgesamt schraffiert? Wie kannst du die Anzahl der schraffierten Teile als Bruchzahl aufschreiben? Welche Rechnung passt zu deiner Handlung? Sind die betrachteten Brüche ungleichnamig, so kann die Summe genauso bestimmt werden, nur kann die Gesamtmenge nicht so leicht benannt werden. Zuvor muss eine gemeinsame Unterteilung gefunden werden. Dies erfordert einen Rückgriff auf das bereits erlernte Erweitern. Im ersten Schritt sollte nur die Erweiterung eines Summanden gefordert werden. So lässt sich die Aufgabe 1 / / 3 folgendermaßen besprechen: Zunächst werden die Teile zusammengefügt. 18

19 Nun stellt sich die Frage, wie das Ergebnis benannt werden kann. Alle Teile sollen gleich groß sein. Wie heißt ein gleichwertiger Bruch zu 1 / 3, der diese Anforderung erfüllt? Dieselbe Aufgabe lässt sich auch zeichnerisch lösen: Schraffiere zunächst 1 / 3 des gesamten Rechtecks. Schraffiere dann noch 1 / 6 des gesamten Rechtecks. Welchen Bruchteil des gesamten Rechtecks hast Du schraffiert? Nachdem dieses Vorgehen verstanden worden ist, kann man auch Brüche betrachten, die beide erweitert werden müssen. Hier ergibt sich, dass es einfacher ist, zunächst eine gemeinsame Unterteilung zu finden und dann die gleich großen Teile zusammenzufügen Addition Regeleinführung Hat der Schüler die anschauliche Vorgehensweise so verinnerlicht, dass er sie in verschiedenen Zusammenhängen selbstverständlich anwenden kann, so bieten Sachaufgaben einen guten Übergang zur Regeleinführung: Mutter hat Pizza gebacken. Paul isst 2 / 5 der Pizza und Max isst 1 / 5. Wie viel der Pizza haben die beiden Jungen insgesamt gegessen? 19

20 Nach der bisherigen Vorarbeit sollte hier eine spontane Antwort möglich sein. Die Aufgabe wird variiert: Paul isst ½ der Pizza und Max isst 1 / 3. Um diese beiden Teilmengen zu addieren, muss zunächst wieder eine gemeinsame Unterteilung gefunden werden. Dies entspricht rechnerisch dem Gleichnamigmachen. Paul isst ½ der Pizza, dies ist genauso viel wie 3 / 6, Max isst 1 / 3, dies ist genauso viel wie 2 / 6. Diese Formulierungen führen zu einer Regel, mit der man rechnerisch die Summe zweier Brüche erhalten kann: 1. Nur gleichnamige Brüche können addiert werden. 2. Sind die Brüche gleichnamig, so addiert man jeweils die Zähler und behält den gemeinsamen Nenner bei Addition von gemischten Zahlen Bei der Addition gemischter Zahlen, sollte zunächst noch einmal auf die Schreibweise der gemischten Zahlen eingegangen werden: 1 1 / 3 als Term aus 1+ 1 / 3. Damit lässt sich die Addition zweier gemischter Zahlen über das Kommutativgesetz auf die Addition zweier natürlicher Zahlen und die Addition zweier Brüche zurückführen: 1 1 / / 4 = (1+ ⅓) + (2 + ¼ ) = ⅓ + ¼ = / 12 = 3 7 / 12 Hierbei werden zunächst die natürlichen Zahlen zusammengefasst, weil sie sich ohne Mühe berechnen lassen. Treten bei der Addition gemischter Zahlen Fehler auf, die auf ein lückenhaftes Verständnis dieser Bruchform hinweisen, dann ist es sinnvoll Aufgaben in den Schreibweisen mit gemischten Zahlen und mit unechten Brüchen zu thematisieren. 1 1 / / 4 = 4 / / 4 = 16 / / 12 = 43 / 12 = 3 7 / 12 Dabei sollte der Rechenaufwand und Übersichtlichkeit beider Lösungswege diskutiert werden. 20

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