Inhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente:

Transkript

1 Inhlt: 1. Die Bedeutung von Vriblen Addition und Subtrktion gleichrtiger Terme Multipliktion und Division von einfchen Termen Ausmultiplizieren und Ausklmmern Multipliktion von zwei Summen Die binomischen Formeln Checkliste Hinweise zur Durchführung Die vorliegenden Folienvorlgen enthlten folgende Elemente: Anhnd von Beispielen werden neue Regeln, Definitionen und Kenntnisse eingeführt. Die Aufgben in den Beispielen sind meist so gestellt, dss sie von den Schülerinnen und Schülern uch selbstständig berbeitet werden können. Die Merkekästen stehen meist im Anschluss n ein einführendes Beispiel und fssen wichtige Regeln, Definitionen und Kenntnisse zusmmen. Sie sollten von den Schülerinnen und Schülern unbedingt bgeschrieben werden. Hier können die Schülerinnen und Schüler die gelernten Regeln und Kenntnisse üben und festigen. Im Anschluss n die Übungsufgben finden Sie jeweils die usführlichen Lösungen dzu. Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 1

2 Kpitel 1: Die Bedeutung von Vriblen 1. Die Bedeutung von Vriblen Beispiel 1: Ein Txifhrer ist ein Mthefn und berechnet für seine Kunden den Fhrpreis (in ) mit dem Ausdruck 2,5 x + 3. Drin steht der Pltzhlter x für die Anzhl der gefhrenen Kilometer. Wie viel kostet eine Txifhrt für folgende Strecken: 8 km, 10 km, 12 km, 20 km, 30 km Txi Für x = 8 km: 2, = = 23 Für x = 10 km: 2, = = 28 Für x = 12 km: 2, = = 33 Für x = 20 km: 2, = = 53 Für x = 30 km: 2, = = 78 Beispiel 2: Bei einem Schulkonzert kostet eine Eintrittskrte 4,50 für Schüler und 6 für Erwchsene. Die Mitglieder der Schulbnd hben herusgefunden, dss sie ihre Einnhmen mit dem Ausdruck 4,50 x + 6 y berechnen können, wenn sie für x die Zhl der Schüler und für y die Zhl der Erwchsenen einsetzen. Wie viel Geld ht die Bnd n folgenden Konzertbenden eingenommen? Donnerstg: 82 Schüler und 48 Erwchsene Freitg: 102 Schüler und 65 Erwchsene Smstg: 180 Schüler und 90 Erwchsene Donnerstg: 4, = = 657 Freitg: 4, = = 849 Smstg: 4, = = 1350 Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 2

3 Kpitel 1: Die Bedeutung von Vriblen Merke: Terme mit Vriblen Einen Rechenusdruck, in dem neben Zhlen und Rechenopertionen (+ ; ; ml; geteilt) uch Buchstben bzw. Vriblen (, b, x, y, ) vorkommen, nennt mn einen Term mit Vriblen. Drin sind die Vriblen Pltzhlter, für die verschiedene Zhlen eingesetzt werden dürfen. Durch Einsetzen von Zhlen erhält der Term einen bestimmten Wert. Es gibt Terme mit nur einer Vriblen ber uch Terme mit mehreren Vriblen. Übung 1: Setze im Term 3 x + 7 für die Vrible x jeweils die Zhlen der oberen Zeile ein und berechne den Wert des Terms. Bechte: Negtive Zhlen müssen beim Einsetzen eingeklmmert werden. x x + 7 x x ( 4) ( 1) = = = = = = 5 = 4 = 7 = 13 = 40 Übung 2: Welche Werte ergeben sich jeweils für den Term 4 x 2 5 y, wenn mn für x und y folgende Werte einsetzt? ) x = 3 und y = 4 b) x = 7 und y = 8 c) x = 0 und y = 1 ) ( 4) = 4 9 ( 20) = = 56 b) 4 ( 7) = = = 156 c) = = 0 5 = 5 Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 3

4 Kpitel 2: Addition und Subtrktion gleichrtiger Terme 2. Addition und Subtrktion gleichrtiger Terme Beispiel 1: ) Berechne die Werte der Terme 3 x + 5 x 2 x und 6 x für folgende x-werte. Ws fällt uf? x x + 5 x 2 x 6 x b) Formuliere eine Regel, mit der mn Termsummen wie 3 x + 5 x 2 x vereinfchen knn. (Denke n ds Distributivgesetz.) ) Mn erhält jeweils ds gleiche Ergebnis. x x + 5 x 2 x x b) Zur Vereinfchung von Termen wie 3 x + 5 x 2 x berechnet mn die Summe bzw. Differenz der Vorfktoren und schreibt ds Ergebnis vor die gemeinsme Vrible. Es gilt: 3 x + 5 x 2 x = ( ) x = 6 x Merke: Addition und Subtrktion von Termen Terme, die in der Vriblen oder Buchstbengruppe übereinstimmen und sich höchstens in den Vorfktoren (= Koeffizienten) unterscheiden, nennt mn gleichrtige Terme. Mn ddiert bzw. subtrhiert gleichrtige Terme, indem mn die Summe bzw. Differenz der Vorfktoren berechnet. Es gilt: x + b x = ( + b) x Bechte: Gewöhnlich lässt mn zwischen dem Vorfktor und den Buchstben den Mlpunkt weg. So gilt: 3 x = 3x oder 7 x y = 7xy Ht eine Vrible oder Buchstbengruppe keinen Vorfktor, ist immer die 1 gemeint. So bedeutet: + x = + 1x oder xy = 1xy. Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 4

5 Kpitel 2: Addition und Subtrktion gleichrtiger Terme Übung 1: Vereinfche folgende Termsummen: ) 12y 8y + 9y b) 5z + 7z + z c) 7b 15b + 23b b ) 12y 8y + 9y = ( ) y = 13y b) 5z + 7z + z = ( ) z = 3z c) 7b 15b + 23b b = ( )b = 14b Beispiel 2: Herr Müller kuft Obst ein und legt 7 Äpfel und 5 Birnen in den Korb. Weil die Äpfel so sftig ussehen, nimmt er noch einml 3 Stück. Von den Birnen hingegen legt er wieder zwei zurück, weil sie ful sind. Vernschuliche Herrn Müllers Einkuf mit einem Term us Obstsymbolen und vereinfche diesen so weit wie möglich = Herr Müller ht m Ende 10 Äpfel und 3 Birnen im Einkufskorb. Merke: Äpfel knn mn nicht mit Birnen ddieren! Beispiel 3: Vereinfche folgende Terme so weit wie möglich. Denke n die Obstrechnung! ) 6x + 3y + 8x 9y + 2y b) 8x + 10x 2 + 7x 2 12x c) 3b + 5b 2 9b 12b 2 ) 6x + 3y + 8x 9y + 2y = 6x + 8x + 3y 9y + 2y = 2x 4y b) 8x + 10x 2 + 7x 2 12x = 8x 12x + 10x 2 + 7x 2 = 4x + 17x 2 c) 3b + 5b 2 9b 12b 2 = 3b + 5b 2 9b 12b 2 = 3b 9b + 5b 2 12b 2 = 6b 7b 2 Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 5

6 Kpitel 2: Addition und Subtrktion gleichrtiger Terme Merke: Summen mit verschiedenrtigen Termen Kommen in einer Summe bzw. Differenz verschiedenrtige Terme vor, knn mn nur jeweils die gleichrtigen Terme zusmmenfssen. Zur besseren Übersicht sollte mn jeweils die gleichrtigen Terme einschließlich ihres Vorzeichens mrkieren. Bechte: Buchstbengruppen sollte mn lphbetisch sortieren. Zum Beispiel: 3b = 3b und 4xzy = 4xyz Potenzen wie 5x 2 können nur mit entsprechenden Potenztermen zusmmengefsst werden, ber nicht mit Termen einer nderen Hochzhl wie 3x oder 4x 3. Übung 2: Mrkiere gleichrtige Terme mit der gleichen Frbe und vereinfche so weit wie möglich. Vorsicht: In d) müssen mnche Terme zuerst lphbetisch geordnet werden! ) 2t + 5s + 7t 5 + 8s + 12 b) x + x 2 7x x 2 + 9x + 1 c) 6b + 3b 2 + b 8 2 b 5b 2 7b d) x 2 y + 4yx 2 + 5xy 2 xy 2x 2 y 4y 2 x ) 2t + 5s + 7t 5 + 8s + 12 = 5t + 13s + 7 b) x + x 2 7x x 2 + 9x + 1 = x 4x c) 6b + 3b 2 + b 8 2 b 5b 2 7b = 2b b (Die Summe der b -Terme ergibt 0!) d) x 2 y + 4yx 2 + 5xy 2 xy 2x 2 y 4y 2 x = x 2 y + 4x 2 y + 5xy 2 xy 2x 2 y 4xy 2 = x 2 y + xy 2 xy Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 6

7 Kpitel 3: Multipliktion und Division von einfchen Termen 3. Multipliktion und Division von einfchen Termen Beispiel 1: ) Berechne die Werte der Terme 4 5x und 20 x für folgende x-werte. Ws fällt uf? x x 20 x b) Formuliere eine Regel, mit der mn einen einfchen Term wie 5x mit einer Zhl multipliziert. c) Versuche, diese Regel mit dem Assozitivgesetz der Multipliktion zu begründen: In einem Produkt dürfen Fktoren beliebig eingeklmmert werden. ) Mn erhält jeweils ds gleiche Ergebnis. x x 4 ( 50) = ( 10) = = = x 20 ( 10) = ( 2) = = = 140 b) Mn multipliziert einen einfchen Term wie 5x mit einer Zhl, indem mn den Vorfktor mit der Zhl multipliziert. c) Es gilt: 4 5x = 4 5 x = (4 5) x = 20x Beispiel 2: ) Berechne die Werte der Terme 18x : 6 und 3x für folgende x-werte. Ws fällt uf? x x : 6 3x b) Formuliere eine Regel, mit der mn einen einfchen Term wie 18x durch eine Zhl dividiert. c) Versuche, diese Regel zu begründen, indem du in folgender Gleichung die Lücken ergänzt: x x : c = = x = ( : ) x c Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 7

8 Kpitel 3: Multipliktion und Division von einfchen Termen ) Mn erhält jeweils ds gleiche Ergebnis. x x : 6 72 : 6 = : 6 = 6 54 : 6 = 9 90 : 6 = 15 3x b) Mn dividiert einen einfchen Term wie 18x durch eine Zhl, indem mn den Vorfktor durch die Zhl dividiert. Es gilt: 18x : 6 = (18 : 6) x = 3x c) Es gilt llgemein: x : c = x c = x = ( : c) x c Merke: Multipliktion und Division von einfchen Termen Mn multipliziert einen Term x mit einer Zhl b, indem mn den Vorfktor mit der Zhl b multipliziert. Es gilt: b x = (b ) x bzw. x b = ( b) x Mn dividiert einen Term x durch eine Zhl b, indem mn den Vorfktor durch die Zhl b dividiert. Es gilt: x : b = ( : b) x Übung 1: Vereinfche. Bechte die Vorzeichenregeln und die Regel Punkt-vor-Strich, wo nötig. ) 9 7y b) 8x ( 6) c) 15 3z d) 12 ( 6) e) 2 5x + 4 7x f) 9 4y + 7y 11 g) 16 4x + 2x ( 8) h) 21b :( 3) 4b ( 3) ) 9 7y = 63y b) 8x ( 6) = 48x c) 15 3z = 45z d) 12 ( 6) = 72 e) 2 5x + 4 7x = 10x + 28x = 38x f) 9 4y + 7y 11 = 36y + 77y = 41y g) 16 4x + 2x ( 8) = 64x 16x = 80x h) 21b :( 3) 4b ( 3) = 7b + 12b = 19b Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 8

9 Kpitel 3: Multipliktion und Division von einfchen Termen ) Beispiel 3: 4 Stelle zwei unterschiedliche Terme uf, um den Flächeninhlt des großen Rechtecks zu beschreiben. b) Vergleiche die Terme us ) und stelle eine Regel uf, wie mn Produkte der Art 5x 7y vereinfchen knn. Begründe diese Regel mit dem Kommuttivgesetz der Multipliktion: In einem Produkt dürfen die Fktoren beliebig vertuscht werden. ) Für den Flächeninhlt A des Rechtecks gilt sowohl A = 4 3b ls uch A = 12 b. b) Ein Produkt der Art 4 3b oder 5x 7y wird vereinfcht, indem mn ds Produkt der Vorfktoren berechnet. Begründung: 4 3b = 4 3 b = 4 3 b = 12b bzw. 5x 7y = 5 x 7 y = 5 7 x y = 35xy b 3b Merke: Multipliktion zweier einfcher Terme Mn multipliziert einen Term x mit einem nderen Term by, indem mn ds Produkt der Vorfktoren und b berechnet. Es gilt: x by = ( b) xy Bechte: Gleiche Vriblen können in einem Produkt zu einer Potenz zusmmengefsst werden. Zum Beispiel: x x = x 2 oder x 2 x = x 3 Übung 2: Vereinfche. Bechte die Vorzeichenregeln. ) 6x 5y b) 7v ( 8w) c) 12 5b d) 3 ( 2b) 8 ) 6x 5y = 30xy b) 7v ( 8w) = 56vw c) 12b 5b = 60b 2 d) 3x ( 2y) 8x = 48x 2 y Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 9

10 Kpitel 4: Ausmultiplizieren und Ausklmmern 4. Ausmultiplizieren und Ausklmmern Beispiel 1: ) Überlege dir zwei Terme, um den Flächeninhlt des äußeren Rechtecks zu beschreiben. A 1 A 2 b) Ws folgt us dem Vergleich der beiden Terme? Welches mthemtische Gesetz steckt dhinter? b c ) Es gilt: A gesmt = (b + c) und A gesmt = A 1 + A 2 = b + c b) Es muss gelten: (b + c) = b + c. Ds ist ds Distributivgesetz der Multipliktion. Merke: Ausmultiplizieren Eine eingeklmmerte Summe oder Differenz wird mit einer Zhl oder einem einfchen Term multipliziert, indem mn jeden Summnden in der Klmmer mit dem Term ußerhlb der Klmmer multipliziert. Mn nennt dies Ausmultiplizieren. Es gilt ds Distributivgesetz: (b + c) = b + c bzw. (b + c) = b + c Wenn der Fktor ußerhlb der Klmmer ein Vorzeichen ht, muss mn die Vorzeichenregeln der Multipliktion bechten: + (b + c) = + b + c und + (b c) = + b c (b + c) = b c und (b c) = b + c Übung 1: Multipliziere us. ) 7x (5 + 2y) b) 9x (3y 2x) c) ( 4r 7s) 3rs d) 3 2 ( 4 3 x 6y) e) 8 (2 3b + 4b) f) ( 5x 2 7xy + 9x) 2y Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 10

11 Kpitel 4: Multipliktion von Klmmertermen ) 7x (5 + 2y) = 7x 5 + 7x 2y = 35x + 14xy b) 9x (3y 2x) = 9x 3y 9x 2x = 27xy 18x 2 c) ( 4r 7s) 3rs = 4r 3rs 7s 3rs = 12r 2 s 21rs 2 d) 3 2 ( 4 3 x 6y) = x 3 2 6y = 2 1 x 4y e) 8 (2 3b + 4b) = b + 8 4b = b b f) ( 5x 2 7xy + 9x) 2y = 5x 2 2y 7xy 2y + 9x 2y = 10x 2 y 14xy xy Merke: Hilfreiche Klmmern Wenn der Fktor vor der Klmmer ein Vorzeichen ht, knn mn mithilfe zusätzlicher Klmmern uch schrittweise usmultiplizieren. Zum Beispiel: (b + c) = [ (b + c)] = [ b + c] = b c oder (b c) = [ (b c)] = [ b c] = b + c Bechte: Minusklmmern werden ufgelöst, indem mn Plus- und Minuszeichen in der Klmmer umdreht. Übung 2: Multipliziere us und vereinfche so weit wie möglich. Bechte die Vorzeichenregeln der Multipliktion oder füge zusätzliche Klmmern ein. ) 8 (6 7b) b) 4 ( 9x + 5y) c) 3x 2 (5x y) d) 12x (2x 3y) ( 7) e) 3 (7v 2w) + 7 ( 2v + w) f) 5x (x + y) 6y ( y + x) ) 8 (6 7b) = [8 (6 7b)] = [ b] = b b) 4 ( 9x + 5y) = [4 ( 9x + 5y)] = [ 36x + 20y] = +36x 20y c) 3x 2 (5x y) = 3x [2 (5x y)] = 3x [10x 2y] = 3x 10x + 2y = 7x + 2y Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 11

12 Kpitel 4: Multipliktion von Klmmertermen d) 12x (2x 3y) ( 7) = 12x ( 14x + 21y) = 12x + 14x 21y = 26x 21y e) 3 (7v 2w) + 7 ( 2v + w) = 21v 6w + ( 14v) + 7w = 21v 6w 14v + 7w = 7v + w f) 5x (x + y) 6y ( y + x) = 5x 2 + 5xy [6y ( y + x)] = 5x 2 + 5xy [ 6y 2 + 6xy] = 5x 2 + 5xy + 6y 2 6xy = 5x 2 xy + 6y 2 Merke: Ausklmmern Wenn in den Summnden einer Summe bzw. Differenz gemeinsme Fktoren vorkommen, knn mn ds Distributivgesetz rückwärts nwenden. Mn spricht dnn von Ausklmmern. Es gilt: b + c = (b + c) bzw. b c = (b c) Übung 3: Klmmere geeignete Fktoren us. ) 5x 3 + 7y 3 b) 15 25b c) 24xy + 18x d) 36xy 27x 2 e) 21xy + 7x f) 48x 2 y 3 32x 3 y 2 ) 5x 3 + 7y 3 = 3 (5x + 7y) b) 15 25b = b = 5 (3 5b) c) 24xy + 18x = 6x 4y + 6x 3 = 6x ( 4y + 3) d) 36xy 27x 2 = 9x 4y 9x 3x = 9x (4y 3x) e) 21xy + 7x = 7x 3y + 7x = 7x (3y + 1) Bechte: 7x = 7x 1 f) 48x 2 y 3 32x 3 y 2 = 16x 2 y 2 3y 16x 2 y 2 2x = 16x 2 y 2 ( 3y 2x) = 16x 2 y 2 (3y + 2x) Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 12

13 Kpitel 5: Multipliktion von zwei Summen 5. Multipliktion von zwei Summen Beispiel 1: ) Drücke folgende Gleichung mit den Vriblen, b, c und d us: A 1 A 2 A gesmt = A 1 + A 2 + A 3 + A 4 b A 3 A 4 b) Beschreibe nhnd dieser Gleichung, wie mn zwei Summen miteinnder multipliziert. c d ) Mit A gesmt = ( + b) (c + d) erhält mn: ( + b) (c + d) = c + d + b c + b d c d b) Mn multipliziert zwei Summen miteinnder, indem mn jeden Summnden der ersten Summe mit jedem Summnden der zweiten Summe multipliziert. b b c b d c d Merke: Multipliktion von zwei Summen Zwei Summen werden miteinnder multipliziert, indem mn jeden Summnden der ersten Summe mit jedem Summnden der zweiten Summe multipliziert: ( + b) (c + d) = c + d + b c + b d Bei Differenzen müssen die Vorzeichenregeln der Multipliktion bechtet werden: ( + b) (c d) = c d + b c b d ( b) (c + d) = c + d b c b d ( b) (c d) = c d b c + b d Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 13

14 Kpitel 5: Multipliktion von zwei Summen Übung 1: Multipliziere us und vereinfche so weit wie möglich. ) (x + 5) (3y 2) b) (2x 5y) (8y + 3x) c) (7v 3w) (5v 4w) ) (x + 5) (3y 2) = 3xy 2x + 15y 10 b) (2x 5y) (8y + 3x) = 16xy + 6x 2 40y 2 15xy = xy + 6x 2 40y 2 c) (7v 4w) (5v 2w) = 35v 2 14vw 20vw + 8w 2 = 35v 2 34vw + 8w 2 Merke: Wenn vor einem Produkt zweier Summen bzw. Differenzen ein Minuszeichen steht, muss mn zusätzliche Klmmern setzen, um Vorzeichenfehler zu vermeiden. Zum Beispiel: ( + b) (c + d) = [( + b) (c + d)] = [ c + d + b c + b d] = c d b c b d Übung 2: Multipliziere us und vereinfche so weit wie möglich. Achte uf die Minusklmmern. ) 3x (2x + 5) (7 x) b) 12r (6 4r) (r 1) c) 3v (5 w) (5v + 1) (2w v) ) 3x [(2x + 5) (7 x)] = 3x [14x 2x x] = 3x [9x 2x ] = 3x 9x + 2x 2 35 = 6x + 2x 2 35 b) 12r [(6 4r) (r 1)] = 12r [6r 6 4r 2 + 4r] = 12r [10r 6 4r 2 ] = 12r 10r r 2 = 2r r 2 c) 3v (5 w) [(5v + 1) (2w v)] = 15v + 3w [10vw 5v 2 + 2w v] = 15v + 3w 10vw + 5v 2 2w + v = 14v + w 10vw + 5v 2 Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 14

15 Kpitel 6: Die binomischen Formeln 6. Die binomischen Formeln Beispiel 1: Multipliziere us und vereinfche so weit wie möglich. (I) ( + b) 2 = ( + b) ( + b) =... (II) ( b) 2 = ( b) ( b) =... (III) ( + b) ( b) =... (I) ( + b) 2 = ( + b) ( + b) = 2 + b + b + b 2 = b + b 2 (II) ( b) 2 = ( b) ( b) = 2 b b + b 2 = 2 2 b + b 2 (III) ( + b) ( b) = 2 b + b b 2 = 2 b 2 Merke: Die binomischen Formeln Qudrtklmmern und Produkte folgender Art können immer uf die gleiche Weise vereinfcht werden. Es gilt: ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 1. binomische Formel ( b) 2 = 2 2b + b 2 2. binomische Formel ( + b)( b) = 2 b 2 3. binomische Formel Bechte folgende Sonderfälle: ( + b) 2 = (b ) 2 ( b) 2 = [ ( + b)] 2 = ( + b) 2 Übung 1: Notiere zuerst, welcher Term der Vriblen bzw. der Vriblen b in den binomischen Formeln entspricht. Setze dnn in die richtige binomische Formel ein und vereinfche. ) (x + 5) 2 =... b) (2x + 3y) 2 =... c) (5v 7) 2 =... d) (8 + 2x)(8 2x) =... e) ( 6 + 4x) 2 =... f) ( 9r 4s) 2 =... Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 15

16 Kpitel 6: Die binomischen Formeln ) In (x + 5) 2 ist = x und b = 5. Einsetzen in die 1. binomische Formel ergibt: (x + 5) 2 = x x = x x + 25 b) In (2x + 3y) 2 ist = 2x und b = 3y. Einsetzen in die 1. binomische Formel ergibt: (2x + 3y) 2 = (2x) x 3y + (3y) 2 = 4x xy + 9y 2 c) In (5v 7) 2 ist = 5v und b = 7. Einsetzen in die 2. binomische Formel ergibt: (5v 7) 2 = (5v) 2 2 5v = 25v 2 70v + 49 d) In (8 + 2x)(8 2x) ist = 8 und b = 2x. Einsetzen in die 3. binomische Formel ergibt: (8 + 2x)(8 2x) = 8 2 (2x) 2 = 64 4x 2 e) Es ist: ( 6 + 4x) 2 = (4x 6) 2 mit = 4x und b = 6. Einsetzen in die 2.binom. Formel ergibt: (4x 6) 2 = (4x) 2 2 4x = 16x 2 48x + 36 f) Es ist: ( 9r 4s) 2 = (9r + 4s) 2 mit = 9r und b = 4s. Einsetzen in die 1.binom. Formel ergibt: (9r + 4s) 2 = (9r) r 4s + (4s) 2 = 81r rs + 16s 2 Übung 2: Vereinfche möglichst ohne Zwischenschritte. ) (6z + 2y) 2 =... b) (5p 4q) 2 =... c) (2 + 3r) (2 3r) =... d) (10 5x) 2 =... e) ( 7y + x) 2 =... f) ( 8w 10v) 2 =... ) (6z + 2y) 2 = 36z yz + 4y 2 b) (5p 4q) 2 = 25p 2 40pq + 16q 2 c) (2 + 3r) (2 3r) = 4 9r 2 d) (10 5x) 2 = x + 25x 2 e) ( 7y + x) 2 = (x 7y) 2 = x 2 14y + 49y 2 f) ( 8w 10v) 2 = (8w + 10v) 2 = 64w vw + 100v 2 Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 16

17 Kpitel 6: Die binomischen Formeln Merke: Vorsicht bei Minusklmmern Wenn vor einer Qudrtklmmer ein Minuszeichen steht, muss mn zusätzliche Klmmern setzen: ( + b) 2 = [( + b) 2 ] ( b) 2 = [( b) 2 ] Ds Gleiche gilt bei der 3. binomischen Formel: ( + b) ( b) = [( + b) ( b) ] Übung 3: Vereinfche. Achte uf die Minusklmmern. ) 4x 2 (x + 3) 2 =... b) (7y x) 2 (2x 3y) 2 =... c) 64 (8 + 5v) (8 5v) =... d) (5r + s) 2 (10s 3r) 2 =... ) 4x 2 [(x + 3) 2 ] = 4x 2 [x 2 + 6x + 9] = 4x 2 x 2 6x 9 = 3x 2 6x 9 b) (7y x) 2 [(2x 3y) 2 ] = 49y 2 14xy + x 2 [4x 2 12xy + 9y 2 ] = 49y 2 14xy + x 2 4x xy 9y 2 = 40y 2 2xy 3x 2 c) 64 [(8 + 5v) (8 5v)] = 64 [64 25v 2 ] = v 2 = 25v 2 d) [(5r + s) 2 ] [(10s 3r) 2 ] = [25r rs + s 2 ] [100s 2 60rs + 9r 2 ] = 25r 2 10rs s 2 100s rs 9r 2 = 34r rs 101s 2 Beispiel 2: Ergänze die Lücken. Welche binomische Formel wird jeweils benötigt? ) 9x x + 4 = ( + ) 2 b) 25v 2 40vw + 16w 2 = ( ) 2 c) 81r 2 49s 2 = ( + ) ( ) Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 17

18 Kpitel 6: Die binomischen Formeln ) 9x x + 4 = (3x + 2) 2 1. binomische Formel b) 25v 2 40vw + 16w 2 = (5v 4w) 2 2. binomische Formel c) 81r 2 49s 2 = (9r + 7s) (9r 7s) 3. binomische Formel Merke: Fktorisieren mit den binomischen Formeln Eine Summe, die us zwei Qudrten und einem pssenden gemischten Term besteht, knn mit der 1. oder 2. binomischen Formel in ein Produkt verwndelt (= fktorisiert) werden. Die Differenz zweier Qudrte knn mit der 3. binomischen Formel in ein Produkt verwndelt werden. Übung 4: Notiere zuerst, welcher Term der Vriblen bzw. der Vriblen b in der benötigten binomischen Formel entspricht. Fktorisiere dnn. ) x 2 + 8x + 16 =... b) 4p 2 12pq + 9q 2 =... c) 36y y + 1 =... d) 64v 2 49w 2 =... ) 1. binomische Formel. Mit = x und b = 4 ist: x 2 + 8x + 16 = (x + 4) 2 b) 2. binomische Formel. Mit = 2p und b = 3q ist: 4p 2 12pq + 9q 2 = (2p 3q) 2 c) 1. binomische Formel. Mit = 6y und b = 1 ist: 36y y + 1 = (6y + 1) 2 ; bechte: 1 = 1 2 d) 3. binomische Formel. Mit = 8v und b = 7w ist: 64v 2 49w 2 = (8v + 7w) (8v 7w) Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 18

19 Geometrische Vernschulichung der binomischen Formeln b Beispiel 1: Überlege dir zwei Terme, um den Flächeninhlt A des äußeren Qudrts zu beschreiben. Ws folgt drus? b 2 b b b 2 Es gilt: A = ( + b) 2 und A = 2 + 2b + b 2 ( + b) 2 = 2 + 2b + b 2 Beispiel 2: Wie knn mn den Flächeninhlt A des mrkierten Qudrts noch beschreiben? Welche Gleichung ergibt sich dmit? Benutze dzu die Flächeninhlte des äußeren Qudrts, des weißen Qudrts und der beiden weißen Rechtecke. Für A = ( b) 2 gilt uch: b b b 2 b ( b) b b ( b) b ( b) 2 A = 2 2( b) b b 2 = 2 2(b b 2 ) b 2 = 2 2b + 2b 2 b 2 = 2 2b + b 2 ( b) 2 = 2 2b + b 2 Beispiel 3: Beschreibe den Flächeninhlt der mrkierten Fläche mit den Vriblen und b uf zwei verschiedene Arten. Ws folgt drus? Bechte: In Figur 2 wird die Flächenformel für Trpeze benötigt. b b Figur 1 Figur 1: A = 2 b 2 Figur 2: A = 2 A T ; mit A T = 2 1 ( + b) ( b) folgt: A = ( + b) ( b) = ( + b) ( b) b b b b Figur 2 ( + b) ( b) = 2 b 2 Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 19

20 Checkliste 1) Welche Bedeutung hben Buchstben bzw. Vriblen in einem Rechenusdruck? 2) Ws muss mn bechten, wenn mn eine negtive Zhl für eine Vrible einsetzt? 3) Wie ddiert bzw. subtrhiert mn Summen bzw. Differenzen der Art x + bx bzw. x bx? 4) Ws muss mn bechten, wenn eine Vrible in einem Rechenusdruck keinen Vorfktor ht? Beispielsweise in 2x + x. 5) An welchen Stellen wurden in 9bc die Mlpunkte weggelssen? 6) Nch welcher Regel vereinfcht mn Summen bzw. Differenzen, in denen verschiedenrtige Terme vorkommen? 7) Nch welcher Regel multipliziert mn einen Term der Art x mit einer Zhl b? Nch welcher Regel dividiert mn einen Term der Art x durch eine Zhl b? 8) Wie multipliziert mn einen Term x mit einem nderen Term by? 9) Wie multipliziert mn Summen bzw. Differenzen der Art (b + c) bzw. (b c) us? 10) Ws muss mn bechten, wenn der Fktor ußerhlb einer Klmmer ein Minuszeichen ht? Beispielsweise in (b + c)? 11) Wnn knn mn in einer Summe bzw. Differenz einen Fktor usklmmern? Gib die llgemeine Regel n. 12) Wie multipliziert mn zwei Summen bzw. Differenzen miteinnder? Ws muss mn bei Minusklmmern bechten - beispielsweise in ( + b) (c + d)? 13) Wie luten die drei binomischen Formeln? Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 20

21 Antworten zur Checkliste: 1) Buchstben bzw. Vriblen sind Pltzhlter, in die bestimmte Zhlen eingesetzt werden dürfen. Ddurch erhält ein Term einen Wert. 2) Beim Einsetzen einer negtiven Zhl muss mn diese in Klmmern setzen. 3) Mn ddiert bzw. subtrhiert die Vorfktoren: x + bx = ( + b)x bzw. x bx = ( b)x 4) Wenn der Vorfktor fehlt, ist immer 1 gemeint. Es gilt: 2x + x = 2x + 1x 5) Zwischen dem Vorfktor und den Vriblen werden gewöhnlich die Mlpunkte weggelssen. So bedeutet 9bc ds Gleiche wie 9 b c. 6) Mn knn nur die gleichrtigen Summnden (einschließlich der Vorzeichen) zusmmenfssen. 7) Mn multipliziert den Vorfktor mit der Zhl b. Es gilt: x b = ( b) x Mn dividiert den Vorfktor durch die Zhl b. Es gilt: x : b = ( : b) x 8) Mn multipliziert die Vorfktoren miteinnder. Es gilt: x by = ( b)xy 9) Es gilt ds Distributivgesetz: (b + c) = b + c bzw. (b c) = b c 10) Mn muss die Vorzeichenregeln der Multipliktion bechten oder zusätzliche Klmmern setzen: (b + c) = [ (b + c)] = [b + c] = b c 11) Nur, wenn dieser Fktor in llen Summnden vorkommt. Es gilt: b + c = (b + c) 12) Mn multipliziert jeden Summnden der ersten Summe mit jedem Summnden der zweiten Summe. Wenn Minuszeichen vorkommen, muss mn die Vorzeichenregeln der Multipliktion bechten. Bei einer Minusklmmern muss mn zusätzliche Klmmern setzen: [( + b) (c + d)] 13) ( + b) 2 = b + b 2 ; ( b) 2 = 2 2 b + b 2 ; ( + b) ( b) = 2 b Antworten zur Checkliste: 1) Buchstben bzw. Vriblen sind Pltzhlter, in die bestimmte Zhlen eingesetzt werden dürfen. Ddurch erhält ein Term einen Wert. 2) Beim Einsetzen einer negtiven Zhl muss mn diese in Klmmern setzen. 3) Mn ddiert bzw. subtrhiert die Vorfktoren: x + bx = ( + b)x bzw. x bx = ( b)x 4) Wenn der Vorfktor fehlt, ist immer 1 gemeint. Es gilt: 2x + x = 2x + 1x 5) Zwischen dem Vorfktor und den Vriblen werden gewöhnlich die Mlpunkte weggelssen. So bedeutet 9bc ds Gleiche wie 9 b c. 6) Mn knn nur die gleichrtigen Summnden (einschließlich der Vorzeichen) zusmmenfssen. 7) Mn multipliziert den Vorfktor mit der Zhl b. Es gilt: x b = ( b) x Mn dividiert den Vorfktor durch die Zhl b. Es gilt: x : b = ( : b) x 8) Mn multipliziert die Vorfktoren miteinnder. Es gilt: x by = ( b)xy 9) Es gilt ds Distributivgesetz: (b + c) = b + c bzw. (b c) = b c 10) Mn muss die Vorzeichenregeln der Multipliktion bechten oder zusätzliche Klmmern setzen: (b + c) = [ (b + c)] = [b + c] = b c 11) Nur, wenn dieser Fktor in llen Summnden vorkommt. Es gilt: b + c = (b + c) 12) Mn multipliziert jeden Summnden der ersten Summe mit jedem Summnden der zweiten Summe. Wenn Minuszeichen vorkommen, muss mn die Vorzeichenregeln der Multipliktion bechten. Bei einer Minusklmmern muss mn zusätzliche Klmmern setzen: [( + b) (c + d)] 13) ( + b) 2 = b + b 2 ; ( b) 2 = 2 2 b + b 2 ; ( + b) ( b) = 2 b 2 Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 21

22 Hinweise zur Benutzung Sehr geehrte Lehrerinnen und Lehrer, mit diesen Folienvorlgen können Sie Ihren Schülerinnen und Schülern effektiv und kräfteschonend ds Them Terme mit Vriblen vermitteln. Alle OHP-Folien sind so konzipiert, dss Ihnen ufwendige Erklärungen n der Tfel ersprt bleiben. Jedes Kpitel beginnt mit einem einführenden Beispiel, mit dessen Hilfe sich die Schüler/innen die jeweiligen Regeln und Kenntnisse selbstständig errbeiten können. Wichtige mthemtische Sätze und Zusmmenfssungen sind in Merkekästen hervorgehoben, die Ihre Schüler/innen direkt von der Folie bschreiben können. Im Anschluss drn folgen jeweils Übungsufgben mit usführlichen Lösungen. Am Ende der Unterrichtseinheit finden Sie eine Checkliste, mit der die Schüler/innen den eigenen Kenntnisstnd in kompkter Form überprüfen und wiederholen können. Wie Sie nun die einzelnen Folien optiml im Unterricht einsetzen, zeigen Ihnen folgende Hinweise und Anmerkungen. Kpitel 1: Die Bedeutung von Vriblen Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler werden mit Vriblen ls Pltzhlter für Zhlen vertrut gemcht. Hinweise zur Durchführung: Die zwei einführenden Beispiele zeigen den Schülerinnen und Schülern, wo im täglichen Leben Terme mit Vriblen eine Rolle spielen können. Beide Beispiele sind so einfch, dss sie von den Schülerinnen und Schülern selbstständig berbeitet werden können. In dem Merkeksten uf Folie 3 wird dnn definiert, ws Terme mit Vriblen sind. Entsprechende Übungen zum Einsetzen von Zhlen und Berechnen von Termen finden Sie uf Folie 3. Insbesondere schwächere Schüler/innen sollten druf hingewiesen werden, dss mn negtive Zhlen beim Einsetzen einklmmern muss. Auch die Regel Punkt-vor-Strich und die Bedeutung der Potenzschreibweise müssen n dieser Stelle erfhrungsgemäß noch einml kurz wiederholt werden ( Übung 2). Zeitbedrf: c. 1-2 Schulstunden; je nch Umfng der zusätzlichen Übungen us dem Schulbuch uch mehr. Kpitel 2: Addition und Subtrktion gleichrtiger Terme Lernziele: Die Schüler/innen lernen, wie mn in Summen bzw. Differenzen gleichrtige Terme zusmmenfssen knn. Hinweise zur Durchführung: Mithilfe des Beispiels 1 ( Folie 4) können Sie die Schüler/innen erkunden lssen, nch welcher Regel mn eine Summe bzw. Differenz gleichrtiger Terme vereinfchen knn. Die Regel zur Addition bzw. Subtrktion gleichrtiger Terme ist dnn im Merkeksten uf Folie 4 zusmmengefsst und sollte von den Schülerinnen und Schülern bgeschrieben werden. Drüber hinus erinnert der Merkeksten n die fehlenden Mlpunkte in Termen der Art x und n den fehlenden Vorfktor 1 bei Termen der Art +x. Ds wird beim Vereinfchen von Termsummen leider uch immer wieder von einigen Schülerinnen und Schülern vergessen. In Übung 1 uf Folie 5 knn dnn ds Vereinfchen von Termsummen triniert werden. Wie mn Termsummen vereinfcht, in denen verschiedenrtige Terme vorkommen, können Sie nschulich mit Beispiel 2 ( Folie 5) vermitteln. Hier wird uf einprägsme Weise die trivile Ttsche demonstriert, dss mn Äpfel nicht mit Birnen ddieren knn. Ws dies mit Termsummen zu tun ht, erkennen die Schüler/innen nschließend im Beispiel 3, ds sie nun selbstständig berbeiten können. Der Merkeksten uf Folie 6 enthält die Regel zur Vereinfchung von Termsummen, in denen verschiedenrtige Terme vorkommen. Wichtig ist n dieser Stelle uch der Hinweis, dss Potenzterme wie 5x 2 nicht mit Termen der Art x zusmmengefsst werden können. Auch ein häufiger Schülerfehler! Eine Übung zur Vereinfchung von Termsummen mit verschiedenrtigen Termen beschließt dnn ds Kpitel 2 ( Folie 6). Zeitbedrf: c. 2 Schulstunden; je nch Umfng der zusätzlichen Übungen uch mehr. Kpitel 3: Multipliktion und Division von einfchen Termen Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen, wie mn einen einfchen Term der Art x mit einer Zhl multipliziert bzw. durch ein Zhl dividiert und mit einem nderen einfchen Term der Art bx multipliziert. Hinweise zur Durchführung: Zunächst sollen die Schüler/innen in den einführenden Beispielen 1 und 2 ( Folie 7) die Multipliktionsund Divisionsregeln selbstständig herusfinden. Der Vergleich der Terme 4 5x mit 20x und 18x:6 mit 3x ist dbei so einfch, dss dies llen Schülerinnen und Schülern gelingen sollte. Die mthemtische Begründung hingegen dürfte nur von den stärkeren Schülerinnen und Schülern selbstständig erknnt werden und muss bei der Besprechung der Beispiele eventuell von der Lehrkrft vorgeführt werden. Nch dem Merkeksten mit den Regeln zur Multipliktion bzw. Division mit einfchen Termen folgt eine Übung dzu. Hier ist je nch Leistungsstärke der Klsse eventuell noch eine kurze Wiederholung der Vorzeichenregeln der Multipliktion und der Regel Punkt-vor-Strich nötig. Wie mn einen Term der Art x mit einem nderen Term der Art bx multipliziert, können Sie dnn mit Folie 9 uf geometrische Weise originell demonstrieren oder von den Schülerinnen und Schü- Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 22

23 Hinweise zur Benutzung lern selbstständig herleiten lssen. Dieses Beispiel ist ebenflls sehr gut für die Gruppenrbeit geeignet. Die mthemtische Begründung der Multipliktionsregel mit einfchen Termen richtet sich dnn eher n die stärkeren Schüler/innen. Der Merkeksten uf Folie 9 enthält dnn diese Multipliktionsregel und zeigt drüber hinus, wie mn ein Produkt us gleichen Vriblen zu einer Potenz zusmmenfsst. In Übung 2 uf Folie 9 sollen die Schüler/innen mit diesen Regeln Termprodukte vereinfchen. Zeitbedrf: c. 2 Schulstunden; je nch Umfng der zusätzlichen Übungen us dem Schulbuch uch mehr. Kpitel 4: Ausmultiplizieren und Ausklmmern Lernziele: Die Schülerinnen und Schüler lernen, ws mn unter Ausmultiplizieren und Ausklmmern versteht und wie mn dbei vorgeht. Hinweise zur Durchführung: Mithilfe von Beispiel 1 ( Folie 10) können die Schüler/innen uf geometrische Weise ds Distributivgesetz selbstständig herleiten, ws oft einen besonderen Ah-Effekt hervorruft. Die Regel des Ausmultiplizierens und die entsprechenden Vorzeichenregeln finden Sie im nschließenden Merkeksten, den die Schüler/innen bschreiben sollten. In der Übung 1 uf Folie 11 können diese Regeln dnn geübt werden. Einen hilfreichen Tipp bietet der Merkeksten uf Folie 11. Hier wird gezeigt, wie mn durch Einfügen von zusätzlichen Klmmern uch schrittweise usmultiplizieren knn, ws bei negtiven Fktoren insbesondere für schwächere Schüler/innen sehr hilfreich ist. Mit den Aufgben der Übung 2 ( Folie 11) knn ds Ausmultiplizieren von Klmmern triniert werden. Der Merkeksten uf Folie 12 zeigt dnn, ws es mit der umgekehrten Anwendung des Distributivgesetzes, dem Ausklmmern, uf sich ht. D ds Distributivgesetz schon von Folie 10 her beknnt ist, dürften die wenigsten Schüler/innen dmit Probleme hben. Mehr Schwierigkeiten tuchen dnn schon eher uf, wenn geeignete Fktoren zum Ausklmmern gefunden werden sollen. Die usführlichen Lösungen zu der Übung 3 ( Folie 12) zeigen, wie mn dbei schrittweise vorgeht. Zeitbedrf: c. 2 Schulstunden; je nch Umfng der zusätzlichen Übungen uch mehr. Kpitel 5: Multipliktion von zwei Summen Lernziele: Dieses Kpitel zeigt, nch welcher Regel mn zwei Termsummen miteinnder multipliziert, wrum diese Regel so ist und wie mn elegnt mit Minusklmmern umgeht. Hinweise zur Durchführung: In Beispiel 1 ( Folie 13) können die Schüler/innen nhnd einer geometrischen Figur selbstständig erkunden, wie mn Produkte der Art ( + b)(c + d) usmultipliziert. Auch dieses Beispiel ist gut für die Gruppenrbeit geeignet, in denen stärkere Schüler/innen den schwächeren helfen können. Die entsprechende Regel und die Vorzeichenregeln bei Minuszeichen sind dnn im Merkeksten uf Folie 13 zusmmengestellt und können in Übung 1 geübt werden. Gnz wichtig ist der Hinweis im Merkeksten der Folie 14, dss mn bei einer Minusklmmer zusätzliche Klmmern setzen muss, um Vorzeichenfehler zu vermeiden; uch ein häufiger Schülerfehler. Aufgben zum Auflösen von Minusklmmern sind dnn in der bschließenden Übung 2 uf Folie 14 gestellt. Zeitbedrf: c. 1-2 Schulstunden; je nch Umfng der zusätzlichen Übungen uch mehr. Kpitel 6: Die binomischen Formeln Lernziele: Die Schüler/innen lernen, wie mn die binomischen Formeln zum Ausmultiplizieren geeigneter Produkte nwendet und wie mn dmit umgekehrt pssende Termsummen fktorisieren knn. Hinweise zur Durchführung: Nch den Regeln us Kpitel 5 dürfte den Schülerinnen und Schülern die selbstständige Herleitung der binomischen Formeln in Beispiel 1 ( Folie 15) keine llzu große Mühe bereiten. Der Merkeksten uf Folie 15 enthält neben den drei binomischen Formeln noch zwei wichtige Sonderfälle, die in der Rechenprxis hilfreich sind. Dieser Merkeksten sollten dher unbedingt bgeschrieben werden. An dieser Stelle können Sie einen kleinen Exkurs einfügen und mithilfe der Folie 18 die drei binomischen Formeln geometrisch vernschulichen. In Übung 1 sollen die binomischen Formeln zunächst Schritt für Schritt ngewendet werden, ws insbesondere für schwächere Schüler/innen eine große Hilfe ist. Nch einem wichtigen Hinweis uf Minusklmmern ( Folie 17) und entsprechenden Übungen dzu können Sie dnn mit der Folie 17 zeigen, wie mn mit den binomischen Formeln geeignete Summen fktorisiert. Zeitbedrf: c. 3-4 Schulstunden; je nch Umfng der zusätzlichen Übungen uch mehr. Checkliste - ws mn nun wissen sollte Anhnd der Frgen der Checkliste uf Folie 20 können Sie die Kenntnisse zum Them Terme mit Vriblen in kompkter Form bfrgen und wiederholen. Auf diese Weise erhlten Ihre Schüler/innen einen guten Überblick über den eigenen Kenntnisstnd. Die Antworten uf die Frgen finden Sie ls Kopiervorlge in doppelter Ausführung, sodss Sie nur jeweils 1 Bltt für zwei Schüler/innen kopieren müssen. Zeitbedrf: c. 30 min. Mthemtik-Verlg, Nur zur Ansicht, Downlod verboten! 23