UE Algorithmen und Datenstrukturen 1 UE Praktische Informatik 1. Übung 5. Asymptotische Laufzeitkomplexität Definition Regeln Beispiele

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1 UE Algorithmen und Datenstrukturen 1 UE Praktische Informatik 1 Übung 5 Asymptotische Laufzeitkomplexität Definition Regeln Beispiele Institut für Pervasive Computing Johannes Kepler Universität Linz Altenberger Straße 69, A-4040 Linz

2 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Definition Grobes Maß für die Laufzeit eines Algorithmus Variable Faktoren (wie die Problemgröße n) werden als gegen unendlich strebend betrachtet Konstante Faktoren, sowie Terme deren Ordnungen kleiner sind als der bestimmende Term, werden vernachlässigt O(2n) à O(n) O(n 2 + n) à O(n 2 ) < 3 >

3 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Die O-Notation < 4 >

4 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Typische Komplexitäten < 5 >

5 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Typische Komplexitäten < 6 >

6 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Typische Komplexitäten < 7 >

7 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Typische Komplexitäten < 8 >

8 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Typische Komplexitäten < 9 >

9 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Regeln (1) 1. Konstante Faktoren nicht berücksichtigen O(2n) = O(n) 2. T 1 (n) = O(f(n)) und T 2 (n) = O(g(n)) T 1 (n) + T 2 (n) = Max(O(f(n)), O(g(n))) T 1 (n) * T 2 (n) = O(f(n) * g(n)) 3. T(n) ist ein Polynom a-ten Grades T(n) = O(n a ) 4. For-Schleife for (i = 1..n) { for (j = 1..n) { O(n 2 ) k = k + 1 < 10 >

10 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Regeln (2) 5. For-Schleife for (i = 1..n) { for (j = 1..5) { O(n) // do something 6. Verzweigung (if-then-else) if (condition) { // z.b. O(1) Statement1 // z.b. O(n) else { Statement2 // z.b. O(n 2 ) O(n 2 ) < 11 >

11 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Regeln (3) 7. Sequenz von Anweisungen for (i = 1..n) { x[i] = 0 for (i = 1..n) { for (j = 1..n) { O(n 2 ) x[i] = x[i] + 1 < 12 >

12 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Beispiele Beispiel MaxPos() Grobanalyse schlechtester Fall: n-1 à T(MaxPos) = O(n) int maxpos( int f[1:n] int n) { int max // aktuelles Maximum int pos // Pos. d. max. Elements int i Beispiel Matrixverarbeitung a1() Feinanalyse: 5.1*m*n + 8.9*m à T(Matrix) = O(m*n) a1() { for (i=1..m) { for (j=1..n) { // Verarbeite a[i,j] max = f[1] pos = 1 i = 2 // bis Feldende oder max==3 while ((i n) && (max < 3)) { if (f[i] > max) { max = f[i] pos = i i = i + 1 return pos < 13 >

13 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Berechnung Aus einer Feinanalyse ergab sich folgender Ausdruck: T(n) = 4n (-2 + 3n) (n - ld(n)) / n Wie lautet die asymptotische Laufzeitkomplexität? T(n) = (-8n + 12n 2 ) (n - ld(n)) / n = = (-8n n 3 + 8n ld(n) - 12n 2 ld(n)) / n = = -8n + 12n ld(n) - 12n ld(n) = = 12n ld(n) - 8n - 12n ld(n) à Asymptotische Laufzeitkomplexität: O(n 2 ) < 14 >

14 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Weiteres Beispiel Verschachtelte For-Schleifen for (i = 1..n) { for (j = 1..i) { // Anweisungen < 15 >

15 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Weiteres Beispiel Verschachtelte For-Schleifen for (i = 1..n) { for (j = 1..i) { // Anweisungen < 16 >

16 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Weiteres Beispiel Verschachtelte For-Schleifen for (i = 1..n) { for (j = 1..i) { // Anweisungen j=1 j=2 j=3 j=4 i=1 * i=2 * * i=3 * * * - 6 i=4 * * * * 10 à Asymptotische Laufzeitkomplexität?: < 17 >

17 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Weiteres Beispiel Verschachtelte For-Schleifen for (i = 1..n) { for (j = 1..i) { // Anweisungen j=1 j=2 j=3 j=4 i=1 * i=2 * * i=3 * * * - 6 i=4 * * * * 10 à Asymptotische Laufzeitkomplexität: n i= 1 i n( n + 1) = 2 = O( n²) < 18 >

18 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: logarithmische Komplexität Logarithmische Komplexitäten finden sich dort, wo die Problemgröße fortfolgend durch einen bestimmten Faktor dividiert wird Divide & Conquer - Algorithmen Der Divisor ist dabei die Basis des Logarithmus n = n = n/2 = 4 12 n = n/(2*2) = n/4=2 1 n = n/(2*2*2) = n/8 = n/n = 1 Begründung: Wie oft muss man Teilen bis man bei einem einzigen Element angekommen ist? n/2 p = 1 à n = 2 p à p = log 2 (n) log 2 (n) = ld(n) Hinweis: log k (n) = log(n)/log(k) < 19 >

19 Asymptotische Laufzeitkomplexität :: Beispiel Gesucht ist ein Algorithmus mit der asymptotischen Laufzeitkomplexität O(n * log(m)) und ein Algorithmus mit O(n 2 *log(n)) Lösung 1 i=1 while (i <= n) { // O(n) j = m while (j > 1) { // O(log m) j = j / 10 i = i + 1 Lösung 2 for(i=1... n) { //O(n) for(j=1... n) { //O(n) k=n while(k>1) { //O(log n) k = k/2 < 20 >