Blatt 7. Lineare und Nichtlineare Schwingungen- Lösungsvorschlag

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1 Fakultät für Physik der LMU München Lehrstuhl für Kosmoloie, Prof. Dr. V. Mukhanov Übunen zu Klassischer Mechanik T1) im SoSe 11 Blatt 7. Lineare und Nichtlineare Schwinunen- Lösunsvorschla Aufabe 7.1. Lineare Schwinunen Ein mathematisches Pendel der Masse m und der Läne l ist auf einem bewelichen Aufhänepunkt befestit. Es wirke das Erdschwerefeld. Der Aufhänepunkt Masse M) kann sich reibunsfrei entlan eines Kreises Radius R) beween, siehe Abbildun 1. Sämtliche Beweun ist nur in einer vertikalen Ebene mölich. a) Bestimmen Sie die Eienfrequenzen der kleinen Schwinunen um die Gleichewichtslae. b) Im Grenzfall M =, eben Sie die allemeine Lösun der linearen Beweunsleichunen an. M x f m Abbildun 1: Pendel mit bewelichem Aufhänepunkt. Hinweis: Als verallemeinerte Koordinaten verwenden Sie den Winkel φ und die Lae x des Aufhänepunktes. Führen Sie die harmonische Näherun schon in der Laranefunktion aus. Lösun. a) Wir berechnen zuerst die Laranefunktion und behalten nur Terme bis quadratischer Ordnun. Die Ruhelae ist φ = und x =. Die Position x m, z m ) der Masse m berechnet sich aus der Position x, z) der Masse M wie folt: x m = x + l sin φ = x + lφ + Oφ 3 ), z m = z l cos φ = l + z + l φ + Oφ4 ).

2 Ferner ilt die Zwansbedinun Damit z = R R x = x R + Ox4 ). z m x R + lφ l. Die Laranefunktion ohne Einbeziehun der Zwansbedinunen ist L = m ẋ m + ż m) + M ẋ + ż ) mz m Mz. Nach Einsetzen der obien Beziehunen ist die Laranefunktion nur noch ein Funktional von φ und x. Terme höher als quadratisch werden weelassen. L = m Die Euler-Larane-Gleichunen sind ẋ + l φ ) M + ẋ m x R mlφ x M R = ẋ m + M) + mlẋ φ + m l φ m + M) x R mlφ. 1) ˆK v + ˆPv = mit v = ) x, K = φ ) ) m + M ml m+m ml ml, P = R. ml Mit dem Ansatz v = i λv berechnen sich die Eienfrequenzen ω = ±i λ als Nullstellen der charakteristischen Gleichun det P λk) =. Auseschrieben lautet dieses Gleichun ) m+m = det R λ m + M) λml λml ml λml = m + M) m + M) λ 1 + l R R Die Lösunen sind λ 1, = ) + λ Ml. ) = m + M) R λ ml lλ) λ ml). ) m + M) R + l) ± m + M) R + l) 4 m + M) MlR MlR Offensichtlich sind beide λ 1, reell und positiv. b) Wir können nicht einfach im erade berechneten Erebnis M Null setzen, da durch M eteilt wird und die Frequenz sinulär wird. Wir beinnen erneut in der Laranefunktion 1) und setzen hier M =. Dies liefert L = m ẋ + mlẋ φ + m l φ m x R mlφ,

3 und die linearen Beweunsleichunen haben die folende Form, ẍ + l φ = R x, ẍ + l φ = φ. Damit eine Lösun mölich ist, muss φ = R x, bzw. x = Rφ. D. h. wir haben nur einen Freiheitsrad im System. Einsetzen liefert φ = R + l φ. Das Pendel schwint, als ob es an einem Faden der Läne l + R aufehňänt wäre. Die allemeine Lösun der Beweunsleichunen ist φt) = C 1 cos ωt + C sin ωt, ω = R + l, xt) = Rφt). Aufabe 7.. Nichtlineare Schwinunen Ein System mit einem Freiheitsrad xt) führt nichtlineare Schwinunen aus und enüt der Gleichun ẍ + ω x = αx5. Die Anfansbedinun sei x) = x, ẋ) =. Berechnen Sie die Änderun ω = ω ω der Frequenz in führender Ordnun der Störunstheorie. Für welche Werte von α, ω, und x ist Störunstheorie sinnvoll? Lösun. Für die Gleichun ẍ + ω x = αx5, betrachten wir α als den kleinen Parameter und benutzen den Ansatz φ ωt, ω ω + αω 1, xφ) = x cos φ + αx 1 φ). Dieser Ansatz enüt den Anfansbedinunen x) =, ẋ) = dx dt = ω dx dφ = v. Wenn wir diesen Ansatz und die Identität e iφ + e iφ) 5 cos 5 cos 5φ + 5 cos 3φ + 1 cos φ φ = 5 = 16 benutzen, krieen wir für die Terme erster Ordnun in α) die Gleichun x 1 φ) + x 1φ) = ω 1 x cos φ 5 ω 8ω x 5 cos φ

4 Die Terme mit sin φ müssen verschwinden. Die Bedinun für ω 1 ist deshalb also Deshalb Die Störunstheorie ist ülti wenn ω ω. Also ω 1 x = 5 ω 8ω x 5 x 4 ω 1 = ω x 4 ω = ω ω α ω αx 4 ω. Aufabe 7.3. Mathematisches Pendel Ein mathematisches Pendel Läne l = m) wird im Erdschwerefeld an einem masselosen Seil aufehänt. Die Anfanslae ist der Ruhezustand mit Auslenkunswinkel φ = 6. Berechnen Sie die Periode des Pendels mit relativer Genauikeit mindestens 1 %. Wieviele Schwinunsperioden führt das Pendel während einer Stunde aus? Verleichen Sie mit dem Erebnis für Anfansauslenkun. Lösun. Die Beweunsleichun des Pendels ist φ = l sin φ = l φ + ε l φ , φ) = φ, φ) =. Dabei ist ε eine formell eineführte Konstante, die am Ende der Berechnun leich 1 esetzt wird. Wir wollen die Lösun Ordnunen von ε bestimmen. Erfahrunsemäss ist die erste Ordnun ausreichend. Die Störunstheorie wird jetzt verwendet mit dem Ansatz φt) = φ cos ωt + εφ 1 t), ω = ω + εω 1, ω = l. Wir führen die neue Zeitvariable ein, und bekommen für ψα) die Gleichun ωt α, φt) = ψα), φ = ω ψ, Wenn wir den Ansatz für ψ einsetzen, ω + εω ω 1 ) ψ + ω ψ = εω 6 ψ3 + Oε). ψα) = φ cos α + εψ 1 α), 4

5 und die Identität cos 3 α = cos 3α + 3 cos α 4 benutzen, bekommen wir eteilt durch ω ) die Gleichun für die Terme erster Ordnun in ε: εψ 1 + εψ 1 = ε ω 1 ω φ cos α + ε φ3 4 cos 3α + 3 cos α) + Oε ) Der Wert von ω 1 muss so ewählt werden, dass die Terme cos α verschwinden, damit keine sekulären Einflüsse auftauchen: ω 1 ω φ φ3 =. Dieses eribt ω 1 = ω 16 φ. Die Terme von Ordnun ε n haben immer einen weiteren Faktor φ n /n + 1)! bei sich, daher ist die Entwicklun in Potenzen von ε erechtfertit. Die Frequenz ist also ω = ω 1 φ 16 + Oφ4 ) l 1 φ 16. Die relative Genauikeit ist φ4 5!.1 weshalb die zweite Ordnun Beiträe im Bereich 1 % liefern könnte. Daher reicht die erste Ordnun nicht und wir müssen die zweite Ordnun hinzunehmen. Dafür müssen wir als erstes ψ 1 bestimmen. Die Beweunsleichun für ψ 1 ist Die Lösun ist ψ 1 + ψ 1 = φ3 cos 3α. 4 ψ 1 = B cos α + C sin α φ3 cos 3α. 19 Mit den Anfansbedinunen ψ 1 ) =, ψ 1 ) = eribt sich Für die zweite Ordnun machen wir den Ansatz ψ 1 = φ3 cos α cos 3α). 19 ψα) = φ cos α + εψ 1 α) + ε ψ, ω = ω + εω 1 + ε ω, ω = l. Wir entwickeln die Beweunleichun bis zu Termen quadratisch in ε und erhalten ω ψ + ω ψ = εω 6 ψ3 + ε ω 1 ψ5 + Oε 3 ) Die Terme nullter und erster Ordnun haben wir bereits behandelt. Die Terme zweiter Ordnun sind ω ψ + ω ψ = ω 6 3ψ ψ 1 ω 1 ψ5 ω ω 1 ψ 1 ω 1 ψ ω ω ψ. 5

6 Nach Einsetzen unserer Lösun für ψ, ψ 1 und ω 1 erhalten wir eine inhomoene Differentialleichun für ψ. ψ + ψ = φ5 384 cos3 α cos α cos 3α) cos α + 5 cos 3α + cos 5α) 16 φ cos α 9 cos 3α) + φ5 56 cos α + ω ω φ cos α. Zur Bestimmun der Frequenzänderun müssen wir ω so wählen, dass keine Terme proportional zu cos α auftreten. Dies liefert folende Gleichun ω [ 1 φ = φ 5 1 ω ] 16 [ = φ ] Damit ist die Periode φ 4 ω = ω ω = ω + ω 1 + ω = ω 1 φ φ Oφ6 /7!) Mit den numerischen Daten haben wir in den verschiedenen Näherunen Die Periode ist T = π ω π l 1 φ 16 5 φ ω =.7 36 Hz ω 1 =.48 Hz ω =. 69 Hz Dieses ist äquivalent zu 373 Schwinunen pro Stunde. Mit φ =, ist das Erebnis 51 Schwinunen. 1 π l 1 + φ φ s Aufabe 7.4. Getriebenes Pendel mit Reibun Ein mathematisches Pendel Masse m, Läne l) ist in eine Flüssikeit einetaucht. Es wirke das Erdschwerefeld und die Reibunskraft F = αv, wobei v der Geschwindikeitsvektor ist. Die Archimed sche Auftriebskraft ist zu vernachlässien. Der Aufhänepunkt ist unbewelich. Sämtliche Beweun sei nur in der vertikalen Ebene mölich. Verwenden Sie die harmonische Näherun. a) Bestimmen Sie die Beweunsleichun für lineare Schwinunen. Wählen Sie den Auslenkunswinkel φt) als verallemeinerte Koordinate.) 6

7 b) Zusätzlich wird nun der Aufhänepunkt etrieben, so dass seine x-koordinate eine festelete Beweun xt) = x cos ωt ausführt, wobei ω eine eebene Frequenz ist. Berechnen Sie φt) für späte Zeiten. Lösun. a) Wir bestimmen zuerst die Laranefunktion, um die Beweunsleichunen ohne Reibun herzuleiten. Anschließend schreiben wir noch die Reibunskraft in die Gleichunen dazu. Wenn die Gleichunen ohne Reibun in der Form mẍ =..., mÿ =..., sind, dann addieren wir einfach F x, F y, etc., auf der rechten Seite der Gleichunen. Die Reibun kann zwar mit Laranefunktion nicht physikalisch beschrieben werden, die Gleichunen ohne Reibun sind aber einfacher aus der Laranefunktion zu ewinnen. Als Freiheitsrad haben wir nun φt). Die Laranefunktion ist Die lineare) Beweunsleichun ist L = m l φ + ml cos φ = m l φ ml φ + Oφ 4 ). φ = l φ. Nun müssen wir die kartesischen Koordinaten der Geschwindikeit und der Beschleuniun bestimmen, um die Reibunskraft schreiben zu können. Da haben wir x = l sin φ lφ, z = l cos φ l + 1 lφ, ẋ l φ, ẍ l φ, ż lφ φ, z = l φ + lφ φ. Da nur die lineare Terme der Kraft zu berücksichtien sind, können wir ż und z vernachlässien! Die Reibunskraft hat also näherunsweise) nur die x-komponente, F x = αẋ = αl φ. Die Gleichun für die x-komponente ist also mẍ = ml φ = mφ αl φ. Dieses eribt φ + λ φ + ω φ =, λ α m, ω l. b) Da die Beweun des Aufhänepunktes in kartesischen Koordinaten eeben ist müssen wir die Beweun des Pendel ebenfalls in kartesischen Koordinaten ausdrücken jetzt schon in der harmonischen Näherun): xt) = x cos ωt + lφ, zt) = l + 1 lφ. Die Laranefunktion die das System ohne Reibun beschreibt) ist L = m ẋ + ż ) mz = m l φ x l φω sin ωt ) 1 mlφ + Ct), wobei die explizite Zeitfunktion Ct) für die Beweunsleichunen ohne Bedeutun ist. Die Beweunsleichun ohne Reibun ist mlx ω cos ωt + ml φ = mlφ. 7

8 Oder φ = l φ + x l ω cos ωt. Diese ist die Beweunsleichun ohne Reibun. Wir müssen jetzt die Komponenten ẍ und z berechnen. Wie in Teil a), können wir z vernachlässien. Daher ẋ = ωx sin ωt + l φ, ẍ = ω x cos ωt + l φ. Ohne Reibun hätten wir also für ẍ die Beweunslleichun ẍ = φ. Die vollständie Beweunsleichun für ẍ ist deshalb ẍ = φ + F x m = φ 1 m αẋ = φ + α m ωx sin ωt α m l φ. Also ist die vollständie Beweunsleichun für φ φ + α m φ + l φ = α ml ωx sin ωt + x l ω cos ωt. Die Beweun φt) für späte Zeiten berechnen wir wie folt. Der Ansatz für φt) ist φt) = Re [ Ae st + Be iωt]. Dabei s ist komplex und beschreibt die freie Lösun, und A, B sind komplexe Konstanten. Die freie Lösun eht bei späten Zeiten aufrund der Dämpfun auf Null, da Res) < ist. s + α m s + l =, s = α m ± i...) Also ist die Konstante A, die von Anfansbedinunen abhänt, für die Lösun zu späten Zeiten ohne Bedeutun. Wir können also A = setzen. Nur die Konstante B bleibt zu bestimmen. Einsetzen des Ansatzes für φt) liefert Die Lösun ist B = x l Re [ B ω + α ) ] m iω + ω e iωt ω i αω m ω ω + i αω m = x l ω ω ω + i αω m [ x = Re l ω i α ) ] ml ωx e iωt. ) 1 = x ω ω ω i αω m l ω ω ) ) + αω 1. m Also ist die Lösun zu späten Zeiten φt) = x ω ω ω ) l ω ω ) ) + αω 1 cos ωt + ω αω m m ω ω ) ) + αω sin ωt. m 8