Daten und Zufall entdecken sinnstiftende Zugänge zur Stochastik

Transkript

1 Zweite zentrale Fortbildungstagung SINUS-Transfer (2. Welle) in Soltau Daten und Zufall entdecken sinnstiftende Zugänge zur Stochastik Andreas Büchter /

2 Vorweg eine Aufgabe zum Aufwärmen ( Merkwürdige Würfel PM 4/2005) Die Kopie ist ein Arbeitsblatt für Schülerinnen und Schüler. Führen Sie eine (fachliche) Sachanalyse der Aufgabe und durch und schätzen Sie die Aufgabe unter didaktischen Gesichtspunkten ein. - Setzen Sie sich zunächst alleine mit dem Arbeitsblatt auseinander (5 ), - tauschen Sie sich dann mit ihrem/ihrer Nachbarn/Nachbarin aus (10 ), - schließlich diskutieren wir gemeinsam Ihre Resultate (10 ). Ich wünsche Ihnen dabei viel Spaß!

3 (Bei-)Spiel: Merkwürdige Würfel (PM 04/2005) rot gelb blau grau

7 Daten und Zufall entdecken sinnstiftende Zugänge zur Stochastik Einführung in das Thema: Was ist das Besondere an Daten und Zufall und wie können sinnstiftende Zugänge aussehen? Dabei: Bearbeitung / Einschätzung von Lernarrangements & Entwicklung und Diskussion eigener Ideen Abschlussdiskussion: Welche grundbildungsrelevanten Inhalte und zugehörigen Lernarrangements sind wünschenswert / realistisch für den Mathematikunterricht in den verschiedenen Schulformen?

8 Besonderheiten von Stochastik Aus den Anwendungen heraus entstanden Wechselspiel zwischen Anwendungen und Mathematik Stochastik ist eigentlich immer Modellbildung Besonders gut geeignet (historisch-)genetisch Vorzugehen Hervorragende Möglichkeiten der Vernetzung mit anderen Inhaltsgebieten/Leitideen und anderen Fächern Trotzdem Probleme, sich im Mathematikunterricht zu etablieren

9 Daten und Zufall = Stochastik Beurteilende (schließende) Stastistik Kombinatorik Beschreibende Stastistik + Wahrscheinlichkeitsrechnung

10 Curriculare Vorgaben I Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Primarbereich ( ) 3.5 Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit Daten erfassen und darstellen: In Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen Experimenten Daten sammeln, strukturieren und in Tabellen, Schaubildern und Diagrammen darstellen, aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Informationen entnehmen. Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen: Grundbegriffe kennen (z. B. sicher, unmöglich, wahrscheinlich), Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten (z. B. bei Würfelspielen) einschätzen.

11 Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Hauptschulabschluss ( ) Die Schülerinnen und Schüler werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus, sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel wie Software, berechnen und interpretieren Häufigkeiten und Mittelwerte, beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen, interpretieren Wahrscheinlichkeitsaussagen aus dem Alltag, bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei einfachen Zufallsexperimenten. Curriculare Vorgaben II (L 5) Leitidee Daten und Zufall Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss ( ) Die Schülerinnen und Schüler werten graphische Darstellungen und Tabellen von statistischen Erhebungen aus, planen statistische Erhebungen, sammeln systematisch Daten, erfassen sie in Tabellen und stellen sie graphisch dar, auch unter Verwendung geeigneter Hilfsmittel (wie Software), interpretieren Daten unter Verwendung von Kenngrößen, reflektieren und bewerten Argumente, die auf einer Datenanalyse basieren, beschreiben Zufallserscheinungen in alltäglichen Situationen, bestimmen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten.

12 Daten und Zufall = Stochastik Beurteilende (schließende) Stastistik Beschreibende Stastistik + Wahrscheinlichkeitsrechnung

13 Typische Begriffe und Konzepte Beschreibende Statistik - abs. und rel. Häufigkeiten - grafische Darstellung von Daten und deren Manipulation - Mittelwerte und Streuungsmaße - Indexwerte - Korrelation und Regression Wahrscheinlichkeitsrechung - Zugänge zum WK-Begriff: * frequentistische WK * Laplace-WK 1 * subjektive WK - Baumdiagramme, Pfadregeln - Bedingte Wahrscheinlickeiten - Chancen und Risiken - Zufallsvariablen - Wahrscheinlichkeitsverteilungen - Gesetze der großen Zahlen - Zufall und Pseudozufall Beurteilende Statistik - Stichprobe und Grundgesamtheit - Test von Hypothesen - Schätzen von Parametern - Bayes-Statistik - empirisches Arbeiten 1 Genau hier hilft Kombinatorik

14 Eine mögliche Fortbildungsquelle Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn Elementare Stochastik Eine Einführung in die Mathematik der Daten und des Zufalls Springer 2005 In diesem Lehrbuch wird ein anwendungsorientierter Zugang zur mathematischen Theorie der Daten und des Zufalls entwickelt, der von den Phänomenen des Alltags ausgeht und bis in die axiomatische Theorie der Wahrscheinlichkeit hineinreicht. Es richtet sich vor allem an Studierende des Lehramts mit Unterrichtsfach Mathematik, ist aber auch als sinnstiftender Zugang für Studierende der Mathematik (Diplom, BA) geeignet.

15 Beschreibende Statistik I Wie kommen Daten zustande? Dick, dumm, krank und traurig (RN, ) Hoher Medienkonsum verschlechtert laut einer Studie die Schulleistungen von Kindern. [ ] Laut KFN-Chef Christian Pfeiffer liefert der unterschiedliche Medienkonsum auch einen Erklärungsansatz dafür, dass der Süden Deutschlands in der Pisa-Studie besser abschneidet als der Norden. [ ] Hinzu komme, dass Kinder mit eigenen Unterhaltungsgeräten viel häufiger verbotene Sendungen oder Spiele mit hohem Gewaltanteil sehen, was die Lernfähigkeit ebenfalls senke. Pfeiffer: Ein Übermaß an Medienkonsum macht dick, dumm, krank und traurig. Wie kommen solche Aussagen zustande? Untersucht selbst ähnliche Fragen. (oder z.b. Führt mehr Taschengeld zu besseren Schulnoten? Vernetzung)

16 Beschreibende Statistik II Häufigkeiten, Diagramme und Vernetzung 15% 16% Zählen, Summieren Anteile (Brüche) 42% 27% Prozentzahlen Kreisgeometrie

17 Beschreibende Statistik III Mittelwerte und Streuungsmaße: Operieren Ich habe ein gutes Verhältnis zu meinem Schulleiter! trifft nicht zu trifft eher nicht zu trifft eher zu trifft zu

18 Beschreibende Statistik IV Manipulierte Grafiken!?

23 Beschreibende Statistik V Normative Modelle ( Murmelaufgabe ) Bearbeiten Sie das Arbeitsblatt in Kleingruppen (20 ). Anschließend diskutieren und reflektieren wir die Ergebnisse im Plenum. Ich wünsche Ihnen dabei viel Spaß!

24 Beschreibende Statistik V Normative Modelle Sven und Lennart sind beim letzten Training in jeweils zehn Versuchen die folgenden Weiten gesprungen. Wer ist der beste Weitspringer? (Finde eine Möglichkeit / möglichst viele verschiedene Möglichkeiten, bei mehreren Sportlern in zehn Versuchen festzustellen wer der beste Weitspringer ist.) Sven: 5,98; 6,03; 5,80; 5,77, 6,00; 5,61; 5,81; 5,98; 5,78; 5,85 Lennart: 5,81; 5,44; 6,36; 5,24; 5,64; 5,43; 5,65; 5,50; 5,71; 5,34 Europäische Popmusikcharts Klassenvergleich Ausdauer

25 Grenzen der beschreibenden Statistik Stichprobenerhebungen und Zufallseffekte Ihr sollt am Tag der Landtagswahl eine Wählerbefragung durchführen und um Uhr eine Prognose für das Wahlergebnis abgeben. Plant euer Vorgehen an diesem Tag. Wie viele Personen müssen wir befragen? Wie wählen wir die Personen aus? Müssen wir auf ein ausgewogenes Verhältnis bzgl. Alter / Geschlecht etc. berücksichtigen? Kann es trotzdem passieren, dass wir mit der Prognose daneben liegen? Was können Gründe hierfür sein? Wahrscheinlickeitsrechnung für die Einschätzung Zufallseffekten

26 Wahrscheinlichkeitsrechnung Du sollst mit deinem Tischnachbarn ein Würfelspiel spielen: Ihr werft abwechselnd mit zwei Würfeln. Spieler A darf ziehen, wenn die Augensumme 5, 6, 7 oder 8 fällt. Spieler B darf ziehen, wenn eine andere Augensumme fällt. Möchtest du lieber Spieler A oder Spieler B sein? Spiele anschließend mit deinem Tischnachbarn / deiner Tischnachbarin. Wenn ihr euch nicht einige könnte, wer A und wer B sein soll, dann werft eine Münze, um zu entscheiden. Und wären Sie lieber Spieler A oder Spieler B?

27 Wahrscheinlichkeitsrechnung ( Pferderennen PM 4/2005) Die Kopie ist ein Spiel für Schülerinnen und Schüler. Führen Sie eine (fachliche) Sachanalyse des Spiels und durch und schätzen Sie die Aufgabe unter didaktischen Gesichtspunkten ein. - Setzen Sie sich zunächst alleine mit dem Arbeitsblatt auseinander (5 ), - tauschen Sie sich dann mit ihrem/ihrer Nachbarn/Nachbarin aus (5 ), - schließlich diskutieren wir gemeinsam Ihre Resultate (5 ). Ich wünsche Ihnen dabei viel Spaß!

28 Wahrscheinlichkeitsrechnung Chancen und Risiken I (Reaktorsicherheit) Die PSA des modernsten deutschen Kernkraftwerks, das 1989 in Neckarwestheim in Betrieb ging, weist dagegen eine CDF von 2,5 zu einer Million und damit die 2,5fache Wahrscheinlichkeit für eine Kernschmelze auf. Ist also der neue EPR zweieinhalbmal so sicher? Mitnichten. Denn die Untersuchung am schwäbischen Meiler hatte damals die GRS vorgenommen. Und genau aus deren Ecke kommt die Kritik. Weil hunderte von verschiedenen Einschätzungen und Gleichungen einfließen würden, so die Experten, seien die Zahlen der Wahrscheinlichkeitsanalysen nicht so einfach vergleichbar. (Quelle:

29 Wahrscheinlichkeitsrechnung Chancen und Risiken II (HIV-Test) Der übliche HIV-Test ist der Elisa-Test, der Antikörper gegen das HIV-Virus nachweist. Solche Tests sind fast 100 % sicher, aber eben nur fast! Es kann also vorkommen, dass der Test auf das Vorliegen der Krankheit hinweist, obwohl man gesund ist, oder auch, dass der Test kein Ergebnis bringt, obwohl man krank ist. In Deutschland sind etwa 0,05 % der Bevölkerung HIV-infiziert. Wenn eine Testperson das Virus hat, entdeckt der Test dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 99 %. Wenn eine Testperson nicht infiziert ist, so wird dies mit einer Wahrscheinlichkeit von 98 % richtig erkannt. Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person, für die ein positives Testergebnis vorliegt, infiziert ist?

30 Von der Wahrscheinlichkeitsrechnung zur beurteilenden Statistik Beim Mensch-Ärger-Dich-Nicht fallen manchmal drei ober mehr Sechser nacheinander: Sobald konkrete (mehrere) konkrete Ausgänge von Zufallsversuchen ins Spiel kommen, regiert der eben der Zufall. Trotzdem lassen sich mit einer (Un-)Sicherheit Prognosen abgeben. Stochastik hat das Ziel, optimale Entscheidungen unter Unsicherheit zu finden.

31 Beurteilenden Statistik I Julius hat mehrmals hintereinander eine Münze geworfen. Insgesamt ist siebenmal Zahl gefallen. Wie oft hat er wohl geworfen? Gib Zahlen an, die du für wahrscheinlich hältst, und solche, die du für unwahrscheinlich hältst. Begründe deine Einschätzung und versuche sie mit eigenen Versuchen abzusichern. Lena hat mehrfach hintereinander einen Würfel geworfen. Die Summe der Wurfergebnisse beträgt 20. Wie oft hat sie wohl geworfen? Gib Zahlen an, die du für wahrscheinlich hältst, und solche, die du für unwahrscheinlich hältst. Begründe deine Einschätzung und versuche sie mit eigenen Versuchen abzusichern. An die Münzen (Würfel), fertig, los (20 )

32 Beurteilenden Statistik II Dennis hat 20-mal mit einer Münze geworfen, dabei ist 14-mal Zahl gefallen. Dennoch behauptet er, dass Kopf und Zahl bei seiner Münze eigentlich gleichwahrscheinlich sind. Würdest du ihm glauben? Wie kannst du die Glaubwürdigkeit seiner Behauptung systematische einschätzen? Einer von euch soll zwanzigmal würfeln. Der andere notiert die Ergebnisse der einzelnen Würfe und berechnet hinterher deren Summe. Bevor ihr anfangt dürfen beide auf fünf Zahlen tippen, die hinterher als Summe herauskommen. Nach einem Durchgang wechselt ihr die Rollen und spielt erneut. Wenn ihr das Spiel öfter gespielt habt, dann einigt euch auf fünf Zahlen, die ihr tippen würdet, wenn ihr gegen ein anderes Team spielt. An die Münzen (Würfel), fertig, los (20 )

33 Beurteilenden Statistik III Mal etwas realeres: Stefanie behauptet, sie kann Frischmilch und H-Milch nur am Geschmack unterscheiden. Wie kann man das überprüfen? Stellt einen Versuchsplan auf und führt selbst solche Geschmackstests durch. Trocknen nasse Turnschuhe besser wenn man sie mit der Öffnung nach oben oder mit der Öffnung nach unten auf die Heizung legt? Plant eine Untersuchung, um dies festzustellen. Ihr sollt am Tag der Landtagswahl eine Wählerbefragung durchführen und um Uhr eine Prognose für das Wahlergebnis abgeben. Plant euer Vorgehen an diesem Tag. (s. o. Hilfsmittel: GrafStat

34 Ein mögliches Fazit Stochastik kann in besonderer Weise allgemein bildend wirken: - Kompetenter Umgang mit Daten und der Darstellungen im Alltag (sich nicht manipulieren lassen), - Statistik anwenden wird mehr und mehr zur Grundlage der (empirischen) Wissenschaften, deren Ergebnisse unser Leben massiv beeinflussen, - Chancen und Risiken betreffen unser Leben (z. B. Testproblematik, Reaktorsicherheit) Stochastik kann immer handlungsorientiert unterrichtet werden. Stochastik stellt natürliche Verbindungen zu anderen Fächer her (passend zu den akademischen Disziplinen mit empirischer Ausrichtung)

35 Ein anderes mögliches Fazit? Welche grundbildungsrelevanten Inhalte und zugehörigen Lernarrangements sind wünschenswert / realistisch für den Mathematikunterricht in den verschiedenen Schulformen?