Kapitel 1: Präferenzen

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1 Kapitel 1: Präferenzen Hauptidee: Eine Konsumentscheidung kann als Wahl zwischen Güterbündeln modelliert werden, gemäß der Präferenzen des Konsumenten. Die Konzepte Indifferenzkurve, Grenzrate der Substitution, und Nutzenfunktion sind von zentraler Bedeutung für die Beschreibung von Präferenzen.

2 Entscheidungsproblem von Konsumenten Konsumenten treffen Kaufentscheidungen Wahl zwischen vielen Gütern in Bereichen wie z.b. - Nahrung (Supermarkt, Mensa, Restaurant) - Wohnen - Bekleidung - Freizeit (Musik, Kino, Urlaub,...) - Transport (Auto, Fahrrad, Zug,...) - Gesundheit (Medizin, Sport) - Versicherungen - Sparen

3 1.1 Der Entscheidungsraum Seien 1,2,, I die verschiedenen Güter, zwischen denen gewählt wird (z.b. 1=Kebab, 2=Mensa, 3=zu Hause) Der Konsument wählt ein Güterbündel Ein Güterbündel ist ein Vektor x = x 1, x 2,, x I. (Z.B. x 1 =Anzahl Kebab/Monat, x 2 =Anzahl Mensa/M., x 3 =Anzahl zu Hause/M.)

4 Bemerkungen Zur Vereinfachung nehmen wir meist an, dass zwischen I = 2 Gütern gewählt wird Mit 2 Gütern können viele Zusammenhänge grafisch veranschaulicht werden Die meisten Einsichten lassen sich auf den Fall I > 2 übertragen Wir nehmen perfekt teilbare Güter an, d.h. jedes x i kann eine beliebige nicht-negative reele Zahl sein Gutes Modell auch für nicht perfekt teilbarer Güter, wenn Menge groß ist Erlaubt die Anwendung von Analysis-Methoden

5 Wie weit ein Gut gefasst wird, hängt vom Modellzweck ab Beispiel A: Gut 1=Ausgaben für Urlaubsreisen, Gut 2=Ausgaben für Wohnungsmiete Beispiel B: Gut 1=Ausgaben für Urlaub am Meer, Gut 2=Ausgaben für Urlaub im Gebirge Makroökonomen fassen Güter sehr weit; Industrieökonomen fassen Güter sehr eng

6 1.2 Präferenzen Das kartesische Produkt X Y zweier Mengen ist die Menge aller geordneten Paare, wobei ein Element aus X und ein Element aus Y ist Formal: X Y: = {(x, y) x X, y Y} Auch möglich : X X: = {(x, x ) x X, x X} Eine Relation ist eine Teilmenge eines kartesischen Produkts Wir betrachten nun Präfenzrelationen

7 Wie wählt ein Konsument zwischen Güterbündeln? Das Verhalten des Konsumenten wird durch seine Präferenzrelation beschrieben Für zwei beliebige Güterbündel x und xx bedeutet x x, dass der Konsument x mindestens so gut findet wie xx (d.h. x schwach gegenüber x präferiert) Der Konsument ist indifferent, x x, wenn sowohl x x als auch x x gilt Der Konsument präferiert x strikt gegenüber xx, x x, wenn x x und nicht x x gilt

8 Übungsaufgabe K1.1 Es gebe drei Männer: David Beckham (B), George Clooney (C) und Johnny Depp (D) Wie lautet das kartesische Produkt X X für X = {B, C, D}? Victoria Beckham hat folgende Präferenzen C D B Bestimmen sie Frau Beckhams Präferenzrelation

9 Axiome Im Folgenden werden wir einige grundlegende Annahmen (=Axiome) an die von uns betrachteten Präferenzrelationen treffen: Vollständigkeit Transitivität Monotonie Stetigkeit Konvexität

10 Rationalität Vollständigkeit: Für alle Güterbündel x und xx gilt x x oder x x Transitivität: Für alle Güterbündel x, y und z gilt falls x y und y z, dann x z Ein Konsument wird als rational bezeichnet, wenn seine Präferenzen vollständig und transitiv sind

11 Implizite Annahmen hinter der Rationalität des Konsumenten: 1. Die Entscheidungsalternativen sind klar 2. Die Konsequenzen jeder Entscheidung sind abschätzbar 3. Die Präferenzen sind nicht manipulierbar Ob die Rationalitätsannahme in einer konkreten Anwendung angemessen ist, bleibt eine empirische Frage

12 Exkurs: Aggregation von Präferenzen Beispiel: ein Haushalt aggregiert Präferenzen über die folgenden möglichen Aktivitäten: Schwimmbad (A), Wandern (B), Einkaufen (C) Mutter: A B C Vater: C A B Kind: B C A Wenn Sie per Mehrheitsabstimmung entscheiden, dann gilt: A B C A D.h. wenn verschiedene rationale Entscheider ihre Präferenzen durch Mehrheitswahl aggregieren, kann das Resultat irrational sein!

13 Monotone Präferenzen Monotonie: Für alle Güterbündel x und xx gilt (a) falls x i x i für alle i = 1,, I, dann x x ; (b) falls x i > x i für alle i = 1,, I, dann x x Ungüter können als Güter umdefiniert werden, um die Monotonieannahme zu erfüllen Monotonie schließt Sättigung irgendeines Gutes aus Mehr ist also immer besser Für die meisten Resultate reicht die schwächere Annahme der lokalen Nicht-Sättigung aus

14 Bessermenge, Schlechtermenge, Indifferenzmenge Für jedes Güterbündel x definieren wir: Die Bessermenge: x x x Die Schlechtermenge: x x x Die Indifferenzmenge (oder kurve): x x ~ x

15 Beispiel x 2 Bessermenge x Indifferenzmenge x 1

16 Stetige Präferenzen Stetigkeit: Für jedes Güterbündel x gilt: die Bessermenge von x und die Schlechtermenge von x sind abgeschlossen (d.h. sie enthalten ihren Rand) Beispiel für nichtstetige Präferenzen sind lexikografische Präferenzen: x x genau dann, wenn x 2 > x 2 oder x 2 = x 2 und x 1 > x 1

17 Konvexe Präferenzen Konvexität: Präferenzen heißen konvex, wenn alle Bessermengen konvex sind D.h. werden Bündel y und z einem Bündel x vorgezogen (y x und z x), dann wird auch jede Mischung (=Konvexkombination) zwischen y und z dem Bündel x vorgezogen (λy + 1 λ z x für alle λ von 0 bis 1)

18 Indifferenzkurven Meistens werden wir Präferenzen mit I = 2 Gütern betrachten, bei denen die Indifferenzmenge des jeweils Bündels x durch eine stetige (meist sogar differenzierbare) Funktion g x ( Indifferenzkurve ) dargestellt werden kann: x ~ x genau dann, wenn g x x 1 = x 2

19 Bemerkungen Sind die Präferenzen eines Konsumenten monoton, dann sind dessen Indifferenzkurven fallend Sind die Präeferenzen eines Konsumenten konvex, dann sind dessen Indifferenzkurven konvex

20 Grenzrate der Substitution Die Grenzrate der Substitution von Gut 1 bezüglich Gut 2 ist GGG 1,2 x 1, x 2 = g x x 1 Die GRS gibt die Steigung der Indifferenzkurve an der Stelle x = (x 1, x 2 ) an Der Betrag der Grenzrate der Substitution entspricht dem Austauschverhältnis, zu welchem der Konsument bereit ist, das zweite Gut gegen das erste auszutauschen (=zu substituieren)

21 Beispiel x 2 a b 1 1 c 1 d GGG 1,2 b liegt zwischen 3 und 2 GGG 1,2 c liegt zwischen 2 und 1 x 1

22 1.3 Nutzenfunktionen Eine Nutzenfunktion u bildet eine Präferenzrelation ab. Jedem Güterbündel x wird eine Zahl u x zugeordnet, der Nutzen von x, so dass folgendes gilt: x x u x u x D.h. ein Bündel wird einem anderen gegebnüber genau dann präferiert, wenn sein Nutzen mindestens so groß ist

23 Repräsentierbarkeit Man kann zeigen, dass eine nicht rationale Präferenzrelation niemals rationale und stetige Präferenzrelation immer... durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden kann

24 Nutzenfunktionen sind nicht eindeutig Wenn u die Präferenzen des Konsumenten repräsentiert, dann repräsentiert v x = h u x, wobei h eine strikt wachsende Funktion ist, dieselben Präferenzen Anders ausgedrückt: Nutzen ist ein ordinales Konzept, kein kardinales Dies bedeutet: Die Aussage «u(x) ist viel größer als u(xx)» hat keinen Sinn

25 Beispiele von Nutzenfunktionen Perfekte Substitute: u x 1, x 2 = x 1 + x 2 Perfekte Komplemente: u x 1, x 2 = min x 1, x 2 Cobb-Douglas: u x 1, x 2 = x 1 b x 2 c, wobei b, c > 0 oder u x 1, x 2 = ln x b c 1 x 2 = b ln x 1 + c ln x 2 oder u x 1, x 2 = x b c 1 x 1 b+c 2 = x a 1 x 1 a 2, wobei a = b b+c Quasilineare Präferenzen: u x 1, x 2 = v x 1 + x 2

26 Grenznutzen Der Grenznutzen eines Gutes ist der Nutzengewinn aus einer marginalen Konsumerhöhung, pro Einheit des Gutes Grenznutzen von Gut i an der Stelle x ist also u x i (die partielle Ableitung von u nach x i ) x

27 Beispiel Cobb-Douglas u x 1, x 2 = b ll x 1 + c ll x 2 Dann ist u x 1 (x) = b x 1, u x 2 (x) = c x 2

28 GRS und Nutzenfunktion Die GRS kann mit Hilfe der Grenznutzen ausgedrückt werden Wir setzen u x 1, g x x 1 = u, wobei u eine Konstante ist Wir leiten nach x 1 ab (und beachten die Kettenregel): d u x dx 1, g x x 1 = u 1 x 1 Umstellen liefert GGG 1,2 (x 1, x 2 ) = g x x 1 = x + u x 2 x g x x 1 = 0 u x 1 (x) u x 2 (x)

29 Übungsaufgabe K1.2 Zeichnen Sie einige Indifferenzkurven für die vier Nutzenfunktionen von Folie 25 Bestimmen Sie dann die Grenzraten der Substitution

30 Zusammenfassung Die Vorlieben von Konsumenten können durch Präferenzrelationen beschrieben werden Präferenzen lassen sich grafisch durch Indifferenzmengen/Indifferenzkurven darstellen Die Grenzrate der Substitution gibt an in welchem Verhältnis Güter in einer Indifferenzmenge substituiert werden können (grafisch: GRS= Steigung der Indifferenzkurve) Unter bestimmten Annahmen lassen sich Präferenzen durch Nutzenfunktionen beschreiben