2.4 Numerisches Lösungsverfahren: Iteration 100 C 50 C / A I 2 / V. 2 Diode 2.4. Numerisches Lösungsverfahren: Iteration 12

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1 2 Diode 2.4. Numerisches Lösungsverfahren: Iteration 12 Aufgabe 6 Serienschaltung von Dioden Geg.: Diodenkennlinien für T =5 C und T =1 C U =1.2V Ges.: U 1,min und U 1,max für gegebenen Temperaturbereich C 5 C I Numerisches Lösungsverfahren: Iteration Iterative Lösungsverfahren sind ein Teilgebiet der numerischen Mathematik, in dem ausgehend von einem Startwert die Lösung eines (z.b. analytisch nicht lösbaren) Problems schrittweise d.h. iterativ ermittelt wird. Im Folgenden wird ein numerisches Lösungsverfahren vorgestellt, mit dem der Arbeitspunkt (z.b.,,, ) eines nichtlinearen Bauelements, das in einem linearen Teilnetzwerk integriert ist, iterativ ermittelt werden kann. Aus Kapitel 1.1 wissen wir, dass jedes lineare (Teil)netzwerk in eine Ersatzspannungsoder -stromquelle übergeführt werden kann. D.h. für uns ist es an dieser Stelle ausreichend, wenn wir unsere Überlegungen zur Ermittlung des Arbeitspunktes für (nichtlineare) Spannungsteiler anstellen. Weiters wissen wir aus Kapitel 2.2, dass der Arbeitspunkt eines (nichtlinearen) Spannungsteilers dem Schnittpunkt zweier Funktionen entspricht, die

2 2 Diode 2.4. Numerisches Lösungsverfahren: Iteration 13 den Spannungsteiler vollständig beschreiben. (Zwei passive Bauelemente zwei Funktionen). Beim Iterationsverfahren für (nichtlineare) Spannungsteiler wird nun ausgehend von einem (erratenem) Startwert U 2, der Strom I 2, berechnet, mit dem in den folgenden Iterationsschritten wiederum die Spannung U 2, 1 und folglich der Strom I 2, 1 etc. berechnet werden. Die Konvergenz hängt in diesen Fällen nicht von der Wahl des Startwertes sondern nur von der Iterrationsrichtung ab. Für den Spannungsteiler ergeben sich zwei mögliche Iterationsmöglichkeiten, die wir anhand eines linearen Spannungsteilers erläutern möchten, wobei um die Analogie mit einem nichtlinearem Spannungsteiler herzustellen R 1 >> R 2 vorausgesetzt wird. Eine ausführlichere Beschreibung des Iteartionsverfahrens ist im Anhang A zu finden. 1. Möglichkeit 2. Möglichkeit divergiert konvergiert Fazit: Die Spannungen müssen in die flachere Kennlinie eingesetzt werden.

3 2 Diode 2.5. Kleinsignalverhalten 14 Aufgabe 7 Iterartion Geg.: U =15V R 1 =25Ω I S = A n =1 T =25 C Wenden Sie die zwei Möglichkeiten der Iteration an um den AP zu finden und erläutern Sie die beiden Vorgangsweisen grafisch Kleinsignalverhalten Im Folgenden betrachten wir den Fall, dass der Spannungsquelle des nichtlinearen Spannungsteilers eine Wechselspannung überlagert ist; siehe Abb Für den Fall, dass diese überlagerte Wechselspannung klein gegenüber der Gleichspannung U B ist (daher auch der Name Kleinsignal) wirkt die Diode für diese Wechselgröße wie ein lineares Bauelement d.h. wie ein Ohmscher Widerstand. Die Größe dieses Widerstandes ist vom AP der Diode abhängig und entspricht dem Kehrwert der Tangente der Diodenkennlinie im AP. 1 = d r D d = I S e AP nu T, nu T, nu T (2.4) r D nu T, (2.5)

4 2 Diode 2.5. Kleinsignalverhalten 15 Schaltung mit Wechselspannungsquelle 1. Großsignalbetrachtung Ermittlung des AP 2. Kleinsignalbetrachtung Schwankungen um AP Abbildung 2.4: Kleinsignalbetrachtung Aufgabe 8 Kleinsignalbetrieb Geg.:, = mv, =37.47 ma U B =1V,Û =.25 V R 1 =1Ω I S = A n=1 T=25 C Ges.: Minimale und maximale Diodenspannung a) grafisch b) mit Kleinsignalbetrachtung

5 2 Diode 2.5. Kleinsignalverhalten Aufgabe 9 Kleinsignal-Abschwächer Die gegebene Schaltung kann dazu verwendet werden um kleine Wechselspannungen zu dämpfen, wobei der Dämpfungsgrad mit dem Potentiometer R V variiert werden kann. RV C R1 5OΩ C U B 1V ue D u a a) Zeichnen Sie das Gleichstromersatzschaltbild und zeigen Sie die Funktion des Abschwächers grafisch. Zeichnen Sie zwei Potistellungen ein und kennzeichnen Sie die stärkere Abschwächung. Geben Sie den Diodenstrom unter der Annahme, dass in der Gleichstrom-Analyse konstant mit.6v angenommen werden kann, an. b) Geben Sie den differenziellen Widerstand der Diode D in Abhängigkeit vom Diodenstrom an.

6 2 Diode 2.6. Zenerdiode 17 c) Zeichnen Sie das (linearisierte) Kleinsignalersatzschaltbild des Abschwächers. Die Kondensatoren können für die Wechselstrombetrachtung durch Kurzschlüsse ersetzt werden, da die Werte für C sehr groß seien. d) Das Verhältnis von u a /u e = k ist mit dem Potentiometer R V einstellbar. Geben Sie aus dem Kleinsignalersatzschaltbild eine Beziehung für den dazu nötigen differenziellen Diodenwiderstand r D sowie für den zugehörigen Diodenstrom an. e) Berechnen Sie (aus a) und d)) die Widerstandswerte R V,max und R V,min um eine Abschwächung im Bereich k = 1/3...1/1 zu erreichen. f) Berechnen Sie,min und,max Hinweise: zu a) Alle transienten Vorgänge sind angeklungen! zu b) und d) Benutzen Sie als Diodengleichung I S e mu T mit m = 2 und U T = 25mV. 2.6 Zenerdiode Aufgabe 1 Spannungsstabilisierung mit Zenerdioden Zener-Dioden sind Dioden mit definiertem Durchbruchverhalten in Sperrrichtung vergleichsweise niederohmig. Sie können aufgrund des steilen Kennlinienverlaufes im Durchbruch zur Spannungsstabilisierung verwendet werden. Die folgende Schaltung zeigt eine dafür geeignete Schaltung bestehend aus einer Zenerdiode, einem Vorwiderstand und einer variablen Last. Die Schaltung soll für die folgenden Spezifikationen ausgelegt werden: R I L I Z U Z U R L U a Eingangsspannung: schwankt zwischen den Werten U min = 1V und U min =15V Diode: Zenerspannung: maximale Verlustleistung: minimaler Strom durch die Zener-Diode: U Z,Nenn =8.2V P V,max =.2W I Z,min = 1mA

7 2 Diode 2.6. Zenerdiode 18 Last: minimale Belastung maximale Belastung I L,min = ma (Leerlauf) I L,max = 4 ma Für a) und b) wird im Folgenden angenommen, dass U Z U Z, Nenn (warum ist diese Annahme gerechtfertigt?) a) Berechnen Sie anhand der vorgegebene Daten der Zener-Diode den maximal erlaubten Strom. Warum sollte auch der minimale Strom nicht unterschritten werden? b) Da der Strom durch die Zener-Diode in dem Bereich zwischen und liegen sollte, ergibt sich auch ein minimaler und ein maximaler Vorwiderstand. Berechnen Sie diesen Widerstandsbereich und wählen Sie einen geeigneten Vorwiderstand aus der E24-Normreihe aus: 1. / 1.1 / 1.2 / 1.3 / 1.5 / 1.6 / 1.8 / 2. / 2.2 / 2.4 / 2.7 / 3. / 3.3 / 3.6 / 3.9 / 4.3 / 4.7 / 5.1 / 5.6 / 6.2 / 6.8 / 7.5 / 8.2 / 9.1 Die Zener-Diode kann etwas genauer durch ein Ersatzschaltbild modelliert werden (gilt solange die Spannung an der Z-Diode >U Z, Nenn ist! Gilt nicht für Dioden in Vorwärtsrichtung!) U Z r Z =4Ω Ersatzschaltung c) Ein Maß für die Güte der Stabilisierungsschaltung ist der Stabilisierungsfaktor S, welcher das Verhältnis der relativen Spannungsänderung am Eingang der Schaltung zur relativen Spannungsänderung am Ausgang der Schaltung angibt. Berechnen Sie mit Hilfe der Kleinsignalersatzschaltung der Zener-Diode die Aussgangsspannungsschwankung U a sowie den Stabilisierungsfaktor für Leerlauf und Volllast (berechnen Sie dazu R L unter der Annahme U Z U Z, Nenn ). d) Berechnen Sie mit Hilfe der Großsignalersatzschaltung eine Beziehung, die die Ausgangsspannung in Abhängigkeit der Eingangsspannung angibt. Verwenden Sie dazu den Überlagerungssatz.

8 2 Diode 2.7. Weiterführende Aufgaben Weiterführende Aufgaben Aufgabe 11 Diodenschaltung Geg.: U B =5V,Û =.5V R 1 =1Ω, R 2 =25Ω, R 3 =5Ω I S = A n =1.2 U T =25mV Ges.: a) Ermitteln Sie den Arbeitspunkt sowohl grafisch als auch numerisch b) Bestimmen Sie die minimale und maximale Ausgangsspannung sowohl grafisch als auch rechnerisch (Kleinsignalbetrachtung) c) Bestimmen Sie den Ausgangswiderstand der Schaltung r a = du a di a

9 2 Diode 2.7. Weiterführende Aufgaben