Reizweiterleitung an markhaltigen und marklosen Nervenfasern. Stefan Koppitz 23. Februar 2006

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1 Reizweiterleitung an markhaltigen und marklosen Nervenfasern Stefan Koppitz 23. Februar

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 3 2 Biologisches Modell der Reizweiterleitung Aufbau des Axons Entstehung des Ruhepotentials Entstehung des Aktionspotentials Depolarisationsphase Repolarisationsphase Hyperpolarisationsphase Vergleich Reizweiterleitung an marklosen und -haltigen Nervernfasern Reizweiterleitung an marklosen Nervenfasern Reizweiterleitung an markhaltigen Nervenfasern Mathematisch-physikalisches Modell der Reizweiterleitung Entwicklung eines Ersatzschaltbildes Ionenkanäle Ionenpumpen Membran Vereinfachung des Ersatzschaltbildes Modellierung des Ruhepotentials Modellierung des Aktionspotentials Gesamtmembranstrom und Membranpotential Kaliumleitfähigkeit Natriumleitfähigkeit Ablauf im Hodgkin-Huxley-Modell Parameter des Hodgkin-Huxley-Modells Bewertung des Modells Vorteile des Hodgkin-Huxley-Modells Nachteile des Hodgkin-Huxley-Modells

3 1Einführung 1 Einführung Der Aufbau des menschlichen Gehirns ist sicherlich so komplex wie seine Funktionsweise. Doch um intelligente und effiziente Systeme zu bauen, muss Anleihe an der Natur genommen werden. Biologische Grundlagen und Details sind der Anfang, um Vorgänge im menschlichen Gehirn zu simulieren und nachzuempfinden bzw. um sie erst zu verstehen. Doch das allein reicht nicht. Auch physikalische Modelle und mathematisches Knowhow sind notwendig, um die komplexen Vorgänge im Gehirn zu beschreiben und zu modellieren. Der Beleg beschreibt die Reizweiterleitung in einem biologischen System und entwickelt mithilfe dessen ein mathematisch-physikalisches Modell, das die Reizweiterleitung simuliert. Desweiteren wird auf die Vor- und Nachteile des hergeleiteten Modells eingegangen. Aufgabe von Modellen ist es, die Komplexität zu reduzieren, um Arbeit und Forschung an neuronalen Netzen mit vertretbarem Aufwand zu ermöglichen. Es existieren verschiedene Modelle von Neuronen, die sich hinsichtlich ihres Detailgrads und der Aufwändigkeit ihrer Verwendung unterscheiden. Diese Ausarbeitung soll nur das elektro-chemische und leitfähigkeitsbasierende Hodgkin-Huxley-Modell genauer erläutern. Dieser Beleg ist während der Vorlesung Mathematische Modellierung und Simulation natürlicher, neuronaler Systeme, gehalten von Dr. Rainer Schulze, an der Technischen Universität Dresden entstanden. 3

4 2 Biologisches Modell der Reizweiterleitung 2 Biologisches Modell der Reizweiterleitung Die Nervenzelle besteht aus dem Zellkörper, den Dendriten als Reizaufnehmer und dem Axon als Reizleiter. Ich werde hier nur auf den Aufbau des Axons eingehen. Alle anderen Zellbestandteile spielen im Weiteren keine Rolle. Desweiteren werden hier die Entstehung eines Reizes und Weiterleitung desselbigen im biologischen System beschrieben. 2.1 Aufbau des Axons Das Axon ist ein Ausläufer des Zellkörpers. Es dient zur Informationsweiterleitung zu anderen Neuronen. Diese Informationen werden durch elektrische Signale über das Axon geleitet. Da die Übermittlung meistens über größere Distanzen stattfindet, ist das Axon bedeutend länger und dünner als das Dendrit. Weiterhin unterscheidet man beim Axon zwischen markhaltigen und marklosen Axonen. Die markhaltigen Axone werden zusätzlich durch Schwannsche Zellen, eine Sonderform der Gliazellen, mit einer Myelinhülle umgeben. Jede Schwannsche Zelle umhüllt der Länge nach jeweils ca. einen Millimeter des Axons. So ist die Myelinhülle ungefähr alle ein bis zwei Millimeter von einem feinen Spalt, dem Ranvierschen Schnürring, unterbrochen. Von entscheidender Relevanz ist die Zellmembran des Axons. Diese Doppellipidschicht ist für einige Stoffe durchlässig, wie z. B. Wasser und für einige Ionen und Moleküle hingegen undurchlässig. Pumpenproteine sorgen unter Energieverbrauch dafür, dass Ionen und andere Moleküle die Membran entgegen einem Konzentrationsgefälle passieren könnnen. Kanalproteine ermöglichen es, Ionen und Moleküle durch Öffnen und Schließen entsprechend einem Konzentrationsgefälle zu passieren bzw. verhindern dieses. Durch diese Semipermeabilität der Membran können erst Reize entlang des Axons geleitet werden. Membran Lipid Kanalprotein Pumpenprotein Abbildung 1: Aufbau der Membran eines Axons 2.2 Entstehung des Ruhepotentials Um die Entstehung des Ruhepotentials an der Zellmembran des Axons erklären zu können, muss man sich zuerst die Ionenverteilung anschauen. Die wichtigsten Ionen sind in Tabelle 1 zu sehen. Des weiteren sind folgende Eigenschaften der Zellmembran zu beachten und vorauszusetzen: 1. Die Membran ist undurchlässig für Aminosäuren A, weil diese zu groß für die Ionenkanäle sind. 4

5 2 Biologisches Modell der Reizweiterleitung Ionenart intrazellulär extrazellulär Gleichgewichtspotential K mm 20 mm -75 mv Na + 50 mm 440 mm +55 mv Cl 32 mm 560 mm -60 mv A 385 mm - - Tabelle 1: Ionenverteilung im extra- und intrazellulären Raum an der Axonmembran 2. Die Membran ist semipermeabel für Na + und K +. Normalerweise passiert K + die Membran leichter als Na Die Membran enthält ein Pumpensystem, das intrazelluläres Na + mit extrazellulärem K + austauscht. 4. Bei der Einstellung des Ruhepotentials spielen nur spannungsunabhängige Ionenkanäle eine Rolle. Mit Hilfe dieser Bedingungen kann jetzt die Entstehung des Ruhepotentials an der Zellmembran wie folgt erklärt werden. Da K + -Ionen im intrazellulären Raum in höherer Konzentration vorliegen und bestrebt sind Konzentrationsunterschiede auszugleichen, diffundieren sie entlang des Konzentrationsgradienten von innen nach außen. An der Zellaußenseite entsteht eine positive Ladung wegen des leichten Überschusses an positiven Ionen, wegen (2) und wegen der geschlossenen Na + -Kanäle, die für eine Ausgleichströmung sorgen könnten. An der Zellinnenseite hingegen entsteht eine negative Ladung, da die A - Ionen wegen (1) nicht passieren können. Weil sich entgegengesetzte Ladungen anziehen, sammeln sich die entsprechenden Ionen an den jeweiligen Seiten der Membran. Je mehr K + -Ionen ausströmen, desto größer wird die Ladungstrennung und damit auch die Potentialdifferenz. Die elektrische Kraft, die sich aufgrund dieses Potentials aufbaut, wirkt der Kraft aus dem Konzentrationsgradienten entgegen. Sind beide gleich groß, dann entsteht das Ruhepotentialvonca.-65mV. Doch werden manche Ionen in den weiteren Extrazellulärraum getrieben. Damit ist das Gleichgewicht zwischen dem Konzentrationsgradienten und dem elektrostatischen Gradienten wieder gestört. Die Folge ist, dass weitere Kaliumionen nach außen strömen. Damit der intrazelluläre Raum mit neuen K + -Ionen versorgt wird und sich auf Dauer das Membranpotential nicht abbaut, gibt es die Ionenpumpen, die Kaliumionen in und Natriumionen aus dem Axon pumpen. Nur so kann das Fließgleichgewicht aufrecht erhalten werden. Die Cl -Ionen können sich relativ frei durch die Ionenkanäle bewegen und haben so keinen Einfluss auf die Entstehung des Ruhepotentials. 2.3 Entstehung des Aktionspotentials Damit Informationen über das Axon transportiert werden können, muss es zu einer Reizung und der daraus resultierenden Reaktion kommen. Im Gegensatz zum Ruhepotential sind hier primär die spannungsgesteuerten Natrium- und Kalium-Ionenkanäle zur Signalweiterleitung von Bedeutung. 5

6 2 Biologisches Modell der Reizweiterleitung Depolarisationsphase Wird die Membran lokal vorübergehend auf etwa -50 mv depolarisiert, dann ist der Schwellwert überschritten und es werden nach der Alles-Oder-Nichts-Regel die Ionenkanäle für Na + -Ionen geöffnet. Diese Ionen können in das Zellinnere eindringen. Dadurch überschreitet der Na + -Einstrom den K + -Ausstrom. Der resultierende Nettoeinstrom positiver Ladungen verursacht eine totale Depolarisation der Membran mit weniger als +55 mv Repolarisationsphase Ist die Depolarisationsspitze erreicht, schließen sich die Na + -Kanäle wieder, während die K + -Kanäle aufgrund ihrer langsameren Reaktion noch geöffnet bleiben. Es kommt zur Repolarisiation Hyperpolarisationsphase Da keine Na + -Ionen mehr einströmen können und weiter K + -Ionen nach außen dringen, kommt es sogar zur Hyperpolarisation mit bis zu -80 mv bevor das ursprüngliche Ruhepotential wieder erreicht wird. Diese Hyperpolarisation sorgt dafür, dass keine weiteren Depolarisationen in der nächst kürzeren Zeit stattfinden können. Da das Hyperpolarisationspotential kleiner als das Ruhepotential ist, muss auch ein größerer Schwellwert überschritten werden und damit eine stärkere Depolarisation erreicht werden. 2.4 Vergleich Reizweiterleitung an marklosen und -haltigen Nervernfasern Die Depolarisation der Membran ist nicht lokal begrenzt. Wenn es zu einer Depolarisation der Membran kommt, dann werden auch die benachbarten Membranareale davon beeinflusst. Meist wird ein Aktionspotential am Axonhügel ausgelöst. Von dort bewegt sich die Depolarisation in zwei Richtungen entlang des Axons. Die schon besprochene Hyperpolarisationsphase verhindert dabei die rückwärts gerichtete Ausbreitung der Depolarisation und Überlagerungen Reizweiterleitung an marklosen Nervenfasern Der Na + -Ioneneintritt depolarisiert lokal das Axon, welches stetig weitere Na + - Ionenkanäle in den benachbarten Regionen öffnet, um wiederum ein Aktionspotential auszulösen. Dieser Vorgang setzt sich entlang des Axons fort. Die Geschwindigkeit dieser Aktion beträgt ca. 10 m/s Reizweiterleitung an markhaltigen Nervenfasern Der Na + -Ioneneintritt generiert ein Aktionspotential. Die Myelinhülle wirkt isolierend, verhindert den K + -Ionenaustritt und kanalisiert die Depolarisation im Inneren des Axons. Da die Leitfähigkeit der Myelinhülle sehr groß ist, breitet sich die Depolarisation innerhalb des Axons rapide aus. 6

7 2 Biologisches Modell der Reizweiterleitung Das Aktionspotential wird dann am nächsten Ranvierschen Schnürring wieder ausgelöst und bewegt sicht von Schnürring zu Schnürring mit einer Geschwindigkeit von 150 m/s, also 15 Mal schneller als bei der marklosen Nervenfaser. 7

8 3 Mathematisch-physikalisches Modell der Reizweiterleitung 3 Mathematisch-physikalisches Modell der Reizweiterleitung 3.1 Entwicklung eines Ersatzschaltbildes Um die Reizweiterleitung an einem Axon physikalisch zu modellieren, bedient man sich bei der Elektrotecknik. Das liegt auch nahe, geht es doch bei beiden um elektrische Impulse zur Informationsübertragung. Ziel ist es jetzt, die Bestandteile eines Membranareals durch einfache Schaltkreiselemente zu ersetzen, sodass die Elektronen denselben Effekt wie die Salzionen erzielen. Im Grunde genommen ist ein bestimmtes Membranareal auf dem Axon nichts weiter als ein Stromkreislauf mit Widerständen, Kondensatoren und Spannungsquellen. Das gesamte Axon kann dann durch Kopplung dieser einzelnen Ersatzschaltkreise der Membranareale dargestellt werden Ionenkanäle Die Ionenkanäle der Membran lassen nur eine bestimmte Ionenart hindurch. Das Maß für die Passierbarkeit von Ionen durch diese Ionenkanäle wird durch die elektrische Leitfähigkeit g beschrieben. Diese ist nach dem Ohmschen Gesetz umgekehrt proportional zum elektrischen Widerstand. Es ist jedoch noch zu bemerken, dass die Leitfähigkeit nicht gleich der Permeabilität entspricht. Wenn die Permeabilität für eine Ionenart hoch ist, kann die Leitfähigkeit trotzdem gleich null sein. Nämlich dann, wenn keine Ionen in der Lösung sind. Durch den Konzentrationsgradienten und den elektrostatischen Gradienten entsteht eine Ladungstrennung, die durch das Nernstpotential V = R T z F ln Ion außen Ion innen (1) beschrieben werden kann. Wobei R die allgemeine Gaskonstante, T die absolute Temperatur in Kelvin, z die Wertigkeit des Ions, F die Faraday-Konstante und Ion innen/außen die jeweiligen Ionenkonzentrationen sind. Diese Ladungstrennung wird in der Elektrotechnik durch eine Spannungsquelle U dargestellt. Die Ionenkanäle für die unterschiedlichen Ionen Kalium, Natrium und Chlor können dann durch verschiedene Widerstände bzw. Leitfähigkeiten g K, g Na und g Cl und die jeweilige Ladungstrennung durch die Spannungsquellen V K, V Na und V Cl beschrieben werden. Da die Ionen auf der Membran auf keine weiteren Hindernisse stoßen, können die nun modellierten IonenkanäleohneweitereWiderstände durch einen Leiter zusammengeschlossen werden. Aufgrund der nicht absolut spezifischen Ionenkanäle, kommt es hin und wieder dazu, dass manche Ionenkanäle Ionen passieren lassen, die nicht für diesen Kanal bestimmt sind. Es kommt zu einer Leckleitfähigkeit g Leck. Diese Leckleitfähigkeit impliziert wieder eine Leckspannung V Leck. Diese ist zwar sehr gering, sollte hier aber trotzdem erwähnt werden. 8

9 3 Mathematisch-physikalisches Modell der Reizweiterleitung Ionenpumpen Durch die Ionenpumpen werden Kaliumionen nach innen und Natriumionen nach außen befördert. Es entsteht also ein steter Kalium- und Natriumionenstrom, was sich im Ersatzschaltbild durch zwei Stromgeneratoren ausdrücken lässt Membran Dadurch dass sich auf der Innen- und Außenseite der Membran Ionen unterschiedlicher Ladung befinden, und die Membran als Doppellipidschicht einen Isolator gleicht, kann ein Membranareal als Kondensator C m betrachtet werden Vereinfachung des Ersatzschaltbildes Um ein größeres Membranareal des Axons zu beschreiben, muss die Anzahl der Ionenkanäle, der Ionenpumpen und die exakte Fläche der Membran berücksichtigt werden. Für die Leitfähigkeit der Ionenkanäle ergibt sich dann: G K = κ g K G Na = ν g Na G Cl = χ g Cl (2) wobei κ Anzahl der Kalium-, ν Anzahl der Natrium- und χ Anzahl der Chlor- Ionenkanäle sind. Wie weiter oben schon beschrieben wurde, können sich die Chlor-Ionen relativ frei bewegen und üben so nur einen geringen Einfluss auf das Membranpotential aus, genauso wie die Leckleitfähigkeit. Diese beiden Größen werden zu einer Ersatzleitfähigkeit zusammengefasst. G E = G Cl + g Leck (3) Nach dem Theorm von Thévenin 1 kann jeder Stromgenerator in eine Spannungsquelle umgewandelt werden: I = G U (4) Schließlich können die drei Stromgeneratoren I K, I Na und I Cl zu einem Ersatzstromgenerator I E zusammengefasst werden: I E = I K + I Na + I Cl + I Leck (5) 1 Jedes lineare Netzwerk von Impedanzen und Generatoren kann, wenn man es von zwei beliebigen Punkten des Netzwerkes aus betrachtet, durch eine ideale Spannungsquelle und eine ihr in Serie befindliche Impedanz ersetzt werden. 9

10 3 Mathematisch-physikalisches Modell der Reizweiterleitung Somit ergibt sich folgendes Ersatzschaltbild für ein größeres Membranareal. Extrazellulärraum I m I K I Na I E I Cm G K G Na G E C m V K V Na V E Intrazellulärraum Abbildung 2: Das allgemeine Ersatzschaltbild für ein Membranareal 3.2 Modellierung des Ruhepotentials Das Ruhemembranpotential lässt sich allgemeiner durch das Membranpotential V m mit dem intrazellulären und extrazellulären Potential darstellen: V m = V innen V außen (6) Für die Berechnung der Änderung des Membranpotentials, z. B. durch eine StrominjektionbrauchtmannachdemOhmschenGesetz( U = I R) denmembranwiderstand. UmeinevonderGröße des Axons unabhängige Formel für den Membranwiderstand R m [Ω cm] zu bekommen, nutzt man den spezifischen Membranwiderstand R s [Ω cm 2 ], der den Widerstand einer Fläche misst. Unter Voraussetzung eines idealen, zylinderförmigen Axons folgt: R m = R s (7) 2πr wobei r der Radius des Axons ist. Zur längenmäßigen Ausbreitung des Axons wird eine weitere Größe, der Axialwiderstand R a [Ω cm 1 ], der den Widerstand bzw. die Leitfähigkeit des Zellplasmas repräsentiert, eingeführt. Dieser hängt sowohl vom spezifischen Widerstand ϱ [Ω cm] des Zellplasmas, als auch von der Querschnittsfläche des Axons mit dem Radius r ab. R a = ϱ (8) πr 2 Durch diesen Axialwiderstand nimmt ein unterschwelliges Spannungssignal am Axon mit zunehmender Entfernung von seinem Entstehungsort ab. Für die passiven Eigenschaften eines Membranareals, also im Ruhezustand, sind die Spannungsquellen uninteressant, da sie wegen des schon erreichten Ruhepotentials konstante Spannung erzeugen, also Absolutwerte bilden. Die verbleibenden Widerstände werden zu einem zusammengefasst und es ergibt sich daraus R m.somit 10

11 3 Mathematisch-physikalisches Modell der Reizweiterleitung kann ein Membranareal durch zwei Widerstände R m und R a,für die Kopplung von mehreren Arealen, und einen Kondensator C m beschrieben werden. Das heißt, es liegt ein RC-Glied vor, welches folgender Spannungskurve abhängig vom Zeitpunkt t T folgt: { ( ) I m R m 1 e t τ bei Spannungsanstieg V m (t) = (9) I m R m e T t τ bei Spannungsabfall wobei I m Amplitude, T Dauer und τ = R m C m sind. I m V m t t Abbildung 3: Spannungsverlauf bei unterschwelliger Reizung der Membran Wird jetzt eine unterschwellige Reizung durch Strominjektion im Membran hervorgerufen, fließt dieser Strom in beide Richtungen vom Entstehungsort über zwei Widerstände in Reihe: den Gesamtlängswiderstand R x und den Membranwiderstand R m.dergesamtlängswiderstand summiert sich über den einzelnen Axialwiderständen, die auf dem Weg durch die Membran durchflossen werden: wobei x die Entfernung vom Injektionsort ist. Wegen R x = R a x (10) U m = I m R m (11) wird die Änderung des Membranpotentials V m (x) mit ausreichend großem x kleiner, da der Gesamtlängswiderstand zunimmt. Die Abnahme mit wachsender Entfernung erfolgt exponentiell: V m (x) = V m (0) e x λ (12) wobei λ die Längskonstante der Membran ist. Diese ist die Entfernung von der Strominjektionsstelle zu dem Ort des Axons, an dem V m auf 1/e oder 37 % seines Ursprungswertes abgenommen hat und wird wie folgt berechnet: Rm λ = (13) R a Man kann leicht sehen, dass markhaltige, also besser isolierte, Membrane mit großem R m eine größere Längskonstante haben. Wegen C m 1/R m wird die Membrankapazität verringert. Das heißt, es wird der Verlust von Ionen für die Entstehung eines 11

12 3 Mathematisch-physikalisches Modell der Reizweiterleitung Potentials verhindert. Auch bessere Leitungseigenschaften im Axon, also niedriges R a, verbessern die Informationsübertragung. Durch Einsetzen von Gl. 7,8 wird aus Gl. 13: λ = Rm 1 1 R a = R m 2πr πr2 ϱ = R m r (14) 2ϱ } {{ } konstant Durch die Proportionalität der Längskonstante zur Quadratwurzel des Radius lässt sich behaupten, dass dickere Axone besser Reize weiterleiten als dünnere. R m C m R m C m R a Abbildung 4: Die Membran als aneinandergereihte RC-Glieder 3.3 Modellierung des Aktionspotentials Um das Aktionspotential darzustellen, bedienen wir uns des Hodgkin-Huxley-Modells. Dazu müssen wir das allgemein hergeleitete Ersatzschaltbild Abb. 2 wie folgt abändern. Extrazellulärraum I m I K I Na I R I Cm G K G Na G R C m V K V Na V R Intrazellulärraum Abbildung 5: Ersatzschaltbild für das Hodgkin-Huxley-Modell 12

13 3 Mathematisch-physikalisches Modell der Reizweiterleitung Im Wesentlichen gibt es vier Strompfade. Zwei Strompfade für die spannungsabhängigen Natrium- und Kaliumkanäle, ein Strompfad für die Leckströme (verursacht durch die spannungunabhängigen Kanäle, aus denen auch das Ruhepotential resultiert) und Ionenpumpen und ein Strompfad für die Membrankapazität. Der Natrium- und Kaliumionenpfad werden jeweils repräsentiert durch veränderliche Widerstände in Reihe geschaltet mit einem Nernst-Gleichgewichtspotential. Zu beachten ist, dass die Natrium- und Kaliumleitfähigkeiten vom Membranpotential und der Zeit abhängig sind. Wie schon besprochen, sind die spannungsabhängigen Kaliumkanäle langsamer als die spannungsabhängigen Natriumkanäle. Die Ruhestromleitfähigkeit ist dagegen nicht von der Zeit oder dem Membranpotential abhängig Gesamtmembranstrom und Membranpotential Der Gesamtmembranstrom ergibt sich dann wie folgt: I m = I Cm + I K + I Na + I R (15) Durch Anwendung des Ohmschen Gesetzes I = U/R = U G und I = Q = C U bekommen wir: I m = C m U + G K (V m,t) U + G Na (V m,t) U + G R U I m = C m V m + G K (V m,t) (V m V K )+G Na (V m,t) (V m V Na ) (16) t + G R (V m V R ) wobei V K und V Na durch die Gl. 1, das Nernstpotential, berechnet werden können. Um die Erregungsausbreitung an größeren Membranarealen zu beschreiben, muss das Hodgkin-Huxley-Modell um eine Kabelgleichung erweitert werden.wie in Abb. 4 müssen wir uns das Axon als aneinandergereihte RC-Glieder vorstellen. Spannung und Ströme werden von der Entfernung vom Entstehungsort x und der Zeit t abhängig gemacht. Das Ohmsche Gesetz impliziert, dass V m (x, t) V m (x + x, t) =I m (x + x 2,t) R a x. (17) Aus der Erhaltung der elektrischen Ladung folgt, dass ( I m (x, t) I m (x + x, t) = C m V m(x + x,t) 2 + I ion (x + x t 2,t) Durch Kombination der beiden Gleichungen 17 und 18 und x 0 folgt 1 2 V m V m R a C m x 2 t ) x. (18) = I ion C m. (19) Das heißt, bei einer überschwelligen Reizung lässt sich folgender Zusammenhang zwischen Gesamtmembranstrom und Membranpotential entlang eines Axons mit Radius r in Ausbreitungsrichtung x zeigen: 2 V m x 2 =2π r R a I m (20) 13

14 3 Mathematisch-physikalisches Modell der Reizweiterleitung Durch Einsetzen von Gl. 16 in Gl. 20 bekommt man die Gleichung für die Ausbreitung des elektrischen Potentials entlang einer Axonmembran. 1 2 V m = C 2πrR a x 2 m V m + G K (V m,t) (V m V K ) (21) t + G Na (V m,t) (V m V Na )+G R (V m V R ) Um das Membranpotential mit Gl. 18 berechnen zu können, müssen G K (V m,t) und G Na (V m,t) bekannt sein. Diese Leitfähigkeiten können z. B. mit der Voltage-Clamp- Technik oder dem Patch-Clamp-Verfahren gemessen werden Kaliumleitfähigkeit Hodgkin und Huxley haben durch zahlreiche Experimente Gleichungen zur Bestimmung der Kalium- und Natriumleitfähigkeit gefunden. Dazu führten sie die sogenannten Gatingvariablen n, h und m ein, um die Dynamik der Ionenkanäle nachzubilden. Zusammen mit der Maximalleitfähigkeit der Kalium-Kanäle G K beschreibt die Gatingvariable oder Torvariable n die Kaliumleitfähigkeit: G K (V m,t)=g K n 4 (V m,t) (22) wobei n folgender Dynamik unterliegt: n t = α n (1 n) β n (23) Die spannungs- und zeitabhängige Torfunktion n gibt den Anteil der gerade geöffneten n-tore, in diesem Fall Kalium-Kanäle an. (1 n) gibt dagegen den Anteil der geschlossenen Kalium-Kanäle an. Die potentialabhängige Reaktionsgeschwindigkeit des Übergangs vom geöffneten in den geschlossenen Zustand wird mit β n und der umgekehrte Vorgang mit α n bezeichnet. Durch die vierte Potenz der Torfunktion n wird ein verzögerter, aber dann steiler Anstieg der Kaliumkurve erreicht Natriumleitfähigkeit Die Natriumleitfähigkeit wird durch ein ähnliches Gleichungssystem beschrieben. Doch werden hier zwei Torvariablen h und m verwendet. Grund ist die schnelle Deaktivierung des Natriumausstromes nach der Depolarisation. Der Anstieg der Natriumleitfähigkeit wird durch die Variable m und zusätzlich die Deaktivierung durch die Variable h beschrieben. G Na (V m,t)=g Na m 3 (V m,t) h (V m,t) (24) wobei m und h folgender Dynamik unterliegen: m t = α m (1 m) β m (25) h t = α h (1 h) β h (26) wobei G Na,α m,β m,α h,β h analog zu den Werten der Kaliumleitfähigkeit zu betrachten sind. 14

15 3 Mathematisch-physikalisches Modell der Reizweiterleitung m m 3 Depolarisationsimpuls n n 4 h Abbildung 6: Visualisierung der einzelnen Torfunktionen während der Depolarisation Ablauf im Hodgkin-Huxley-Modell Bei einer Depolarisation nimmt h langsamer ab, als m zunimmt. Folglich wächst die Leitfähigkeit schnell an. Es setzt ein Strom von Na + -Ionen ins Zellinnere ein, der das Membranpotential weiter erhöht. Dieser sich selbst antreibende Prozess erzeugt ein Aktionspotential. Ab einem gewissen Membranpotential versiegt jedoch der Fluss des Natriums, da h verzögert gegen Null strebt und dem Öffnen der Natriumkanäle entgegenwirkt. Weil auch n gestiegen ist - wegen der größeren Geschwindigkeitskonstanten allerdings viel langsamer als m - setzt ein Strom von K + -Ionen aus der Zelle hinaus ein, der das Membranpotential wieder senkt, sogar hyperpolarisiert, bevor das Ruhepotential erreicht wird Parameter des Hodgkin-Huxley-Modells Folgende Parameter wurden von Hodgkin und Huxley unter der Voraussetzung, dass C m =1µF/cm 2 gilt, gemessen: x V x [mv ] G x [ms/cm 2 ] Na K Ruhe Tabelle 2: Nernstpotentiale und Leitfähigkeiten 15

16 4 Bewertung des Modells x α x β x n ( V m ) /[exp(1 0.1 V m ) 1] exp( V m /80) m ( V m ) /[exp( V m ) 1] 4 exp( V m /18) h 0.07 exp( V m /20) 1/[exp(3 0.1 V m )+1] 4 Bewertung des Modells Tabelle 3: Geschwindigkeitskonstanten 4.1 Vorteile des Hodgkin-Huxley-Modells Das Hodgkin-Huxley-Modell ist ein sehr detailliertes Modell, dass ursprünglich den Spannungsverlauf während einer axonalen Übertragung in einem kleinen Membranareal beschreibt (Gl. 16). Man kann dies aber durch analoge Gleichungen auf das Soma und die Dendriten des Neurons ausweiten. Durch Einbeziehung weiterer Ionenkanäle und der Axialwiderstände kann dann auch die Erregungsweiterleitung am Axon beschrieben werden (Gl. 18). Aufgrund der elektro-chemischen Beschreibung ist das Modell auch sehr nah am biologischen Vorbild. Es sagt mit guter Genauigkeit viele elektrische Eigenschaften eines Axons voraus: Form, Dauer und Amplitude einer Potentialspitze, Leitgeschwindigkeit, Depolarisationsphase und Ionenaustausch. Die postulierten Torvariablen haben sich später als echte Struktureigenschaft der spannungsabhängigen Ionenkanäle herausgestellt. Sie modellieren den charakteristischen Aktionspotentialverlauf und garantieren das binäre Alles-Oder-Nichts-Gesetz. Durch Verringerung der Membrankapazität, also eine Myelinisierung der Nervenfaser, kann eine schnellere Erregungsausbreitung erzielt werden. Damit lässt sich die Unterscheidung zwischen marklosen und markhaltigen Nervenfasern darstellen. Das Modell lässt sich bei Bedarf vereinfachen und auf besonders wichtige Bestandteile reduzieren. Die Berechungen sind dann weniger komplex, aber ungenauer. 4.2 Nachteile des Hodgkin-Huxley-Modells Insgesamt ist das Gleichungssystem von Hodgkin und Huxley (Gl ) eher kompliziert Komplizierter, je größer das Netzwerk ist. Es wurde gezeigt, wie dieses System aus vier Differentialgleichungen auf ein System aus zwei Gleichungen reduziert werden kann. Ein weiterer Nachteil ist, dass das Modell eigentlich nur die Baismechanismen der Leitung erklärt. Um aber z. B. die unterschiedlichen Formen von Aktionspotentialen darzustellen, bräuchte es zusätzliche Parameter. 16

17 Abbildungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis 1 Aufbau der Membran eines Axons Das allgemeine Ersatzschaltbild für ein Membranareal Spannungsverlauf bei unterschwelliger Reizung der Membran Die Membran als aneinandergereihte RC-Glieder Ersatzschaltbild für das Hodgkin-Huxley-Modell Visualisierung der einzelnen Torfunktionen während der Depolarisation Tabellenverzeichnis 1 Ionenverteilung im extra- und intrazellulären Raum an der Axonmembran Nernstpotentiale und Leitfähigkeiten Geschwindigkeitskonstanten Literatur [1] W. Gruber: Brain Modelling I, Universität Wien, Institut für Experimentalphysik, L.pdf [2] C. Birmes: Modelle von Neuronen, Westfälische Wilhelms - Universität Münster, Institut für Informatik, NeuronModels.pdf [3] M. R. Rosenzweig: Biological Psychology - An Introduction to Behavioural and Cognitive Neuroscience, Sinauer Associates Incorporated 2004, ISBN