Zusammenfassung Lineare Algebra und Analytische Geometrie

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1 Technik Zsmmenfssng Linere Alger nd Anlytische Geometrie Begriff Ortsvektor Vektor mit Anfngspnkt im Koordintenrsprng: OA æ ö = ç ; ç çè ø OB Berechnng æ ö = ç ç çè ø Addition zweier Vektoren Die Komponentenwerte der Vektoren nd werden einzeln ddiert, ds Ergenis ist ein Vektor c. Verindngsvektor zwischen den Pnkten A nd B Spitze Mins Fß Betrg eines Vektors Die Qdrte der Komponentenwerte werden ddiert nd dnn wird die Wrzel gezogen. (Dreidimensionler Pythgors) c AB OBOA AB = ( - ) + ( - ) + ( - ) Einheitsvektor Vektor mit der Länge. 0 S- Mltipliktion Mltipliktion eines Vektors mit einem Sklr λ : Die Koordintenwerte des Vektors werden einzeln mltipliziert, ds Ergenis ist ein Vektor. Es gilt: (kollinere Vektoren) nd liner hängig Mittelpnkt einer Strecke [AB] Schwerpnkt eines Dreiecks ABC OM OA OB OS OA OB OC / 8

2 Technik Zsmmenfssng Linere Alger nd Anlytische Geometrie Sklrprodkt Begriff Smme s dem Prodkt der einzelnen Komponentenwerte, ds Ergenis ist eine sklre Größe. Berechnng cos, Winkel zwischen zwei Vektoren Anwendng des Sklrprodktes rccos Senkrechte Vektoren Winkelhlierender Vektor Digonle Vektoren in der Rte, die von nd fgespnnt wird. Projektion Vektor f Vektor Vektor in Richtng von mit Länge der Projektion Vektorprodkt oder Krezprodkt Berechnng estimmter Unterdeterminnten, ds Ergenis ist ein Vektor. Betrg des Vektorprodktes: Fläche eines Prllelogrmms Die liner nhängigen Vektoren Vektoren nd erzegen ein Prllelogrmm. Fläche eines Dreiecks Die liner nhängigen Vektoren 0 w nd w sin, F F nd erzegen ein Dreieck. / 8

3 Technik Zsmmenfssng Linere Alger nd Anlytische Geometrie Sptprodkt Begriff Die liner nhängigen Vektoren, nd c erzegen einen Spt. Ds Ergenis ist eine sklre Größe. P0, nd c ilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem. Berechnng c P c c c ( ) c ( ) c ( ) c Determinnte Sptprodkt c c = (-) + c c +- ( ) c +- ( ) c + + Volmen eines Spts (Prllelepiped) V c Spt Volmen eines Prisms mit Dreieck ls Grndfläche Volmen einer Pyrmide mit Viereck ls Grndfläche Volmen einer Pyrmide mit Dreieck ls Grndfläche VPr ism = c VPyrmide = c VTetreder = c 6 Sind die zwei Vektoren liner hängig? nd liner nhängig liner hängig Sind die drei Vektoren, liner hängig? nd c c 0 liner nhängig c 0 liner hängig / 8

4 Technik Zsmmenfssng Linere Alger nd Anlytische Geometrie Linerkomintion Begriff v c Stellen drei Vektoren eine Bsis des IR dr? Bsis-Dreiein des geometrischen Anschngsrmes: Lösngen eines lineren (nxn)- Gleichngssystems gen eine Lösng Berechnng Eintrg der Vektoren in eine Mtrix: c v c v c v Lösen mit Gß J, wenn die Vektoren liner nhängig sind. e 0 0 ; 0 e 0 ; 0 e 0 Gleichngssystem f Dreiecksform ringen: Rg(A) Rg(A erw ) n nendlich viele Lösngen mit einem freien Prmeter Rg(A) Rg(A erw ) n nendlich viele Lösngen mit zwei freien Prmetern Rg(A) Rg(A erw ) n keine Lösng Rg(A) Rg(A erw ) / 8

5 Technik Zsmmenfssng Linere Alger nd Anlytische Geometrie Frge Lösng Gerdengleichngen Pnkt nd Richtng g: x OA Zwei Pnkte A nd B g: x OA AB Eenengleichngen Prmeterform E: x OAv Normlenform E: n x OA 0 mit n v Koordintenform E:x x cx d 0 mit Sprpnkte von Gerden x g: x x n c Schnittpnkt mit der x x -Eene: x 0 0 Schnittpnkt mit der x x -Eene: x 0 0 Schnittpnkt mit der x x -Eene: x 0 0 Lge von Gerden zeinnder prllel Richtngsvektoren sind liner hängig nd keine gemeinsmen Pnkte. v mit IR nd A ga h identisch Richtngsvektoren sind liner hängig nd der Afpnkt der einen Gerden liegt in der nderen Gerden. mit IR nd A ga h schneiden sich Gleichsetzen nd Schnittpnkt estimmen g vh nd gh windschief Nicht prllel nd schneiden sich nicht g vh nd gh oder direkter Nchweis: v AB 0 g vh 5 / 8

6 Technik Zsmmenfssng Linere Alger nd Anlytische Geometrie Frge Besondere Lge von Eenen prllel zr x -Achse prllel zr x -Achse prllel zr x -Achse Lösng es fehlt die x -Koordinte E:x cx d0 es fehlt die x -Koordinte E:x cx d0 es fehlt die x -Koordinte E:x x d0 prllel zr x -Achse nd zr x -Achse, lso es fehlen die x - nd die x -Koordinte E:cx d 0 prllel zr x x -Eene prllel zr x -Achse nd zr es fehlen die x - nd die x -Koordinte x -Achse, lso prllel zr x x -Eene E:x d 0 prllel zr x -Achse nd zr es fehlen die x - nd die x -Koordinte x -Achse prllel zr x x -Eene E:x d 0 Sprpnkte einer Eene (Schnittpnkte mit den Koordintenchsen) Schnittpnkt mit der x -Achse: Schnittpnkt mit der x -Achse: Schnittpnkt mit der x -Achse: S(s/0/0);T(0/t/0);U(0/0/) d x 0 x 0 xd0 x d x 0x 0 x d0 x d x 0x 0 cx d0 x c Achsenschnittsform x x E: s t x 6 / 8

7 Technik Zsmmenfssng Linere Alger nd Anlytische Geometrie Frge Lösng Winkelerechngen zwischen zwei Vektoren cos( ) v ch stmpfer Winkel möglich v zwischen zwei Gerden zwischen zwei Eenen spitzer Winkel zwischen den Richtngsvektoren v cos( ) v spitzer Winkel zwischen den Normlenvektoren cos( ) n n E E n n F F zwischen Eene nd Gerde spitzer Winkel zwischen dem Normlenvektor nd dem Richtngsvektor der Gerden wird erechnet, gescht ist der Gegenwinkel 90, lso: sin g g n n E E Schnittpnkt Gerde mit Eene g: x E: nxn x n x c 0 Bestimmng des Lotfßpnktes L(l / l / l ) eines Pnktes P p / p / p f eine Gerde g: g: x OA Bestimmng des Lotfßpnktes L(l / l / l ) eines Pnktes P p / p / p f eine Eene E: E:x x cx d0 Allgemeinen Gerdenpnkt in Koordintengleichng der Eene einsetzen, die entstehende Gleichng nch dem Prmeter S flösen, in Gerdengleichng einsetzen: Schnittpnkt OS OA S, S(s / s / s ) ; Allgemeiner Lotfßpnkt f der Gerden g: p OL ; PL p p PL seht senkrecht f g PL 0... L(l /l /l ) Afstellen der Lotgerden h drch P senkrecht E: h: x OPn E Schnittpnkt der Lotgerden mit der Eene estimmen. 7 / 8

8 Technik Zsmmenfssng Linere Alger nd Anlytische Geometrie Frge Astnd Pnkt Eene Astnd Gerde Eene Eene nd Gerde sind prllel zeinnder Astnd Pnkt Gerde Lösng Lotfßpnkt L erechnen, Astnd = Länge des Verindngsvektors der Pnkte P nd L. d PL siehe Astnd Pnkt Eene (m esten den Afpnkt verwenden) Üer die Dreiecksfläche: Wähle zwei Pnkt A nd B f g nd erechne PA PA d AB Oder: Berechnng des Lotfßpnktes f g d PL Spiegelpnkte Spiegelpnkt P* eines Pnktes P z einer Gerden g. Spiegelpnkt P* eines Pnktes P z einer Eene E. Berechnng des Lotfßpnktes L OP OP PL Berechnng des Lotfßpnktes L OP OP PL Bestimmng der Spiegelgerden g s : Bestimmng des Schnittpnktes S der Gerden mit der Eene E. Bestimmng des Spiegelpnktes P* eines elieigen Pnktes P f der Gerden. g : x OS P S s Projektion einer Gerden g in eine Eene E: Schnittgerde zweier Eenen Beide Eenen in Koordintenform gegeen Eine Eene in Koordintenform, eine Eene in Prmeterform Schnittpnkt S der Gerden g mit der Eene E estimmen, Lotfßpnkt L eines Gerdenpnktes estimmen: Projektionsgerde g p : x OS LS Beide Eenen in ein Gßsystem eintrgen, eine Nllzeile hinzfügen nd lösen. Die Eenen in einnder einsetzen, ein Prmeter in Ahängigkeit des nderen sdrücken nd in die Eene in Prmeterform einsetzen, zsmmenfssen, Gerdengleichng. 8 / 8