4 Euklidische Vektorräume

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1 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 1 4 Euklidische Vektorräume Um Geometrie zu treiben, benötigen wir Längen und Winkel. Beides sind nicht Strukturen, die in einem reellen Vektorraum von vornherein vorhanden sind. Zum einen kann man Maßeinheiten doch ziemlich willkürlich festlegen, zum anderen sind Vektorraumisomorphismen im allgemeinen nicht mit vorhandenen Längenmaßen verträglich. Als Beispiel betrachten wir die Untervektorräume U 1 = Span{(1, 0)} und U 2 = Span{(1, 1)} der mit der kanonischen Längenmessung versehenen Ebene R 2. Der durch die Zuordnung (1, 0) (1, 1) definierte Isomorphismus U 1 U 2 ist nicht längentreu, er bildet einen Vektor der Länge 1 auf einen Vektor der Länge 2 ab. Im folgenden werden wir untersuchen, wie wir einem reellen Vektorraum eine zusätzliche Struktur so zuordnen können, dass eine vernünftige Längenmessung möglich ist. Wir beginnen mit einer abstrakten Funktion, deren anschauliche Bedeutung darin liegt, dass jedem Vektor eine Länge zugeordnet wird. Definitionen. Es sei V R-Vektorraum. Eine Funktion l : V R heißt Längenfunktion für V, wenn gilt: (L 0) l(v) = 0 v = 0 l(v) > 0 für v 0 (L 1) l(λv) = λ l(v) speziell ergibt sich für λ = 1: l( v) = l(v). Es werden noch drei weitere Bedingungen an die Längenfunktion gestellt, aber um diese bequem formulieren zu können, ist es sinnvoll, zunächst den Begriff senkrecht oder orthogonal einzuführen. Anschaulich geschieht dies über die grundlegende Tatsache, dass ein Parallelogramm genau dann ein Rechteck ist, wenn seine Diagonalen gleich lang sind. w w v v Definition. Ein Vektor w steht senkrecht auf dem Vektor v, oder ist orthogonal zu v in Zeichen: v w wenn gilt: l(v + w) = l(v w) Aus (L 1) folgt sofort die Symmetrie dieser Relation v w w v. Ferner ist die Bedingung für w = 0 immer erfüllt, also hat man v 0, und wegen der Symmetrie auch 0 v für alle v V. Die beiden folgenden Bedingungen an die Längenfunktion besagen, dass die Gesamtheit der zu einem Vektor senkrechten Vektoren einen Untervektorraum von V bildet.

2 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 2 (L 2) v w 1, v w 2 = v w 1 + w 2, v 1 w, v 2 w = v 1 + v 2 w. (L 3) v w = v λw, λv w Die entscheidende Bedingung für eine Längenfunktion ist die Existenz der orthogonalen Projektion, die wir zunächst anschaulich folgendermaßen formulieren: Zu jedem Paar (v, w) von Vektoren mit v 0 gibt es genau ein α R derart, dass w αv senkrecht auf v steht: v w αv. w w αv 0 αv v Die Zuordnung (v, w) α ist eine Funktion, die zunächst nur auf V \ {0} V definiert ist. Wir dehnen sie auf ganz V V, in dem wir den Paaren (0, w) den Wert 0 zuordnen. Damit können wir die noch fehlende Bedingung an die Längenfunktion folgendermaßen formulieren. (L 4) Es gibt eine Funktion s : V V R mit: v w αv α = s(v, w) falls v 0 s(0, w) = 0 Die Funktion s hat viele interessante Eigenschaften, von denen uns einige zu einer handlichen Beschreibung der möglichen Längenfunktionen hinführen werden. (S 0) s(v, w) = 0 v w (S 1) s(v, w 1 + w 2 ) = s(v, w 1 ) + s(v, w 2 ) (S 2) s(v, λw) = λ s(v, w) (S 3) λ 0 = s(λv, w) = 1 λ s(v.w) (S 4) l(v) = l(w) s(v + w, v) = s(v + w, w) (S 5) l(v) = l(w) = l(λv w) = l(λw v) Interessant ist nun die Frage nach der Symmetrie der Funktion s, das heißt, ein Vergleich der Werte α = s(v, w) und β = s(w, v) für v, w 0 und s(v, w) 0 ( s(w, v)). Dazu argumentieren wir zunächst anschaulich. Die rechtwinkligen Dreiecke 0(αv)w und 0v(βw) stimmen außer in dem rechten Winkel auch noch in dem Winkel an der Ecke 0 überein, sie sind also ähnlich und stimmen damit in den Verhältnissen entsprechender Seiten überein: Hypotenuse Hypotenuse = Gegenseite des Winkels bei w Gegenseite des Winkels bei v,

3 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 3 das heißt, Umformung ergibt l(w) l(αv) = l(v) l(βw). l(w) l(βw) = l(v) l(αv) β l(w) 2 = α l(v) 2. Die Werte α und β haben immer gleiches Vorzeichen; sie sind beide positiv, falls die Vektoren v und w einen spitzen Winkel einschließen, und beide negativ im Fall eines stumpfen Winkels. Damit erhalten wir β l(w) 2 = α l(v) 2, was auf die folgende, aus den vorhergehenden Eigenschaften zu beweisende Behauptung führt: (S 6) Im Fall s(v, w) 0 gilt: s(v, w) = s(w, v) l(v) = l(w) Beweis. Wir kürzen wieder ab: α = s(v, w) und β = s(w, v). = : Aus v w αv folgt mit der Definition der Orthogonalität: l(v + w αv) = l(v w + αv), das heißt, l((1 α)v + w) = l((1 + α)v w). Nach (L 1) ist die rechte Seite dieser Gleichung gleich l((α 1)v w), also haben wir l((α 1)v w) = l((α + 1)v w). Aufgrund der Voraussetzung l(v) = l(w) können wir nun nach (S 5) auf beiden Seiten dieser Gleichung die Vektoren v und w vertauschen: l((α 1)w v) = l((α + 1)w v). Dieselben Umformungen, rückwärts durchgeführt, liefern nun w v αw, das heißt, α = s(w, v) = β. = : Mit s(v, w) 0 haben wir v 0 w und damit auch l(v) 0 l(w). Wir setzen λ = l(v) l(w) und berechnen l(λw) = λl(w) = l(v).

4 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 4 Aus der bereits bewiesenen umgekehrten Richtung folgt nun s(v, λw) = s(λw, v), λ s(v, w) = 1 s(w, v) (nach (S 2) und (S 3)), λ λ = 1 λ λ 2 = 1 λ = 1 (da λ > 0), (da nach Voraussetzung s(v, w) = s(w, v)), l(v) = l(w) (nach Definition von λ). Damit ist die Funktion s im allgemeinen nicht symmetrisch, aber die obige Rechnung zeigt für v 0 w und λ = l(v)/l(w): s(v, w) l(v) 2 = 1 λ s(v, λw) l(v)2 = l(v) l(w) s(v, λw) (S 6) = = l(v) l(w) s(λw, v) = Definieren wir also eine neue Funktion l(v) l(w) λ s(w, v) = s(w, v) l(w) 2. <, >: V V R, (v, w) < v, w >= s(v, w) l(v) 2, so gilt (P 1) Die Funktion <, > ist symmetrisch. Beweis. Für v 0 w folgt dies aus der Herleitung. Im Fall v = 0 oder w = 0 hat die Funktion unabhängig von der Reihenfolge der Variablen den Wert 0. Diese neue Funktion hat weitere schöne Eigenschaften. (P 2) Die Funktion <, > ist positiv definit, das heißt, es gilt < v, v >= 0 falls v = 0, < v, v >> 0 falls v 0. Beweis. Es genügt den Fall v 0 zu betrachten. Wir finden zunächst v 0 = v v 1 v = s(v, v) = 1. Daraus folgt < v, v >= s(v, v) l(v) 2 = l(v) 2 > 0. Für später halten wir noch fest: Diese Rechnung zeigt, dass sich die Längenfunktion aus der Funktion <, > zurückgewinnen lässt: l(v) = <, >.

5 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 5 (P 3) Die Funktion <, > ist bilinear. Beweis. Die Multiplikation mit einem nur von der ersten Variablen abhängigen Faktor beim Übergang von der Funktion s zu der Funktion <, > zerstört die Linearität in der zweiten Variablen nicht: < v, u + w > = s(v, u + w) l(v) 2 = (s(v, u) + s(v, w)) l(v) 2 = = s(v, u) l(v) 2 + s(v, w) l(v) 2 = = < v, u > + < v, w >, < v, λw > = s(v, λw) l(v) 2 = (λ s(v, w)) l(v) 2 = λ (s(v, w) l(v) 2 ) = = λ < v, w >. Aus der Symmetrie (P 1) folgt dann auch die Linearität in der ersten Variablen. Wegen der Bilinearität ist die Funktion <, > viel handlicher als die ursprüngliche Längenfunktion. Deshalb ergänzt man zur Behandlung metrischer Eigenschaften die Struktur reeller Vektorräume um eine solche Funktion. Definitionen. Es sei V ein reeller Vektorraum. 1. Eine bilineare Abbildung <, >: V V R heißt Bilinearform auf V. 8. April Eine positiv definite, symmetrische Bilinearform auf V heißt Skalarprodukt oder inneres Produkt auf V. 3. Ein euklidischer Vektorraum ist ein Paar (V, <, >), bestehend aus einem reellen Vektorraum V und einem Skalarprodukt <, > auf V. Beispiele. 1. Das kanonische Skalarprodukt auf R n : < (β 1,..., β n ), (γ 1,..., γ n ) > = β j γ j = u t w. 2. Es sei eine Matrix A = (α ij ) R n,n gegeben. Aus den Gesetzen der Matrizenmultiplikation folgt, dass die Abbildung <, > A : R n R n R, (v, w) < v, w > A = v t Aw = α ij v i w j, eine Bilinearform ist. Sie ist genau dann symmetrisch, wenn die Matrix A symmetrisch ist, das heißt, wenn gilt: A = A t. Beweis. <, > A symmetrisch = α ij =< e i, e j > A =< e j, e i > A = α ji für alle i, j {1, 2,..., n} = A = A t. A = A t = < v, w > A = v t Aw = (v t Aw) t = w t A t v = w t Av =< w, v > A. Eine symmetrische Matrix A heißt positiv definit, wenn die zugehörige symmetrische Bilinearform <, > A positiv definit ist. Damit führt jede positiv definite symmetrische Matrix zu einem Skalarprodukt auf R n. i,

6 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 6 Methoden zur Feststellung der positiven Definitheit einer Matrix werden später entwickelt. Hier nun zwei einfache Fälle: Eine Diagonalmatrix ist genau dann positiv definit, wenn sämtliche Diagonaleinträge positiv sind. Beweis. Sei D eine Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen δ j, j {1, 2,..., n}. = : Ist D positiv definit, so gilt 0 < < ej, e j > D = δ j für alle j. = : Sind alle δ j positiv, so gilt für alle v = (v 1, v 2,..., v n ) 0: 0 < < v, v > D = δ j vj 2 > 0. ( ) α β Die symmetrische 2 2-Matrix A = ist genau dann positiv definit, wenn β γ α > 0 und α γ > β 2 ist. = : Wegen α > 0 kann durch α dividiert werden. Damit haben wir für beliebiges v = (v 1, v 2 ): 0 << v, v > A = α v β v 1 v 2 + γ v 2 2 = α (v 1 + β α v 2) 2 + α γ β2 α v 2 2. Ist v 0, so ist entweder v 2 0 und damit ist der zweite Summand auf jeden Fall positiv, oder es ist v 2 = 0 und v 1 0 und dann ist der erste Summand positiv. Da beide Summanden nie negativ sind, ist die Summe auf jeden Fall positiv. = : Ist A positiv definit, so gilt zunächst 0 < e 1, e 1 > A = α. Wählen wir nun so erhalten wir: v = ( β α ), 0 << v, v > A = α γ β2 α α 2 = (α γ β 2 ) α. Division durch die positive Zahl α ergibt α γ β 2 > 0, das heißt, α γ > β Integration auf V = {f f R [0,1] fstetig }. < f, g >= 1 0 f g. Bilinearität und Symmetrie sind klar. Die positive Definitheit ergibt sich folgendermaßen: Ist f V \{0}, so ist f 2 (t) 0 für alle t [0, 1] und f 2 (t 0 ) > 0 für wenigstens

7 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 7 ein t 0 [0, 1]. Wir wählen ein solches t 0. Da f stetig ist, ist auch f 2 stetig. Damit kann 0 < t 0 < 1 angenommen werden und es gibt zu ε = f 2 (t 0 ) 2 ein δ > 0 mit f(t) f(t 0 ) < ε für t t 0 δ. Dabei kann δ so klein gewählt werden, dass gilt [t 0 δ, t 0 + δ] [0, 1]. Für t [t 0 δ, t 0 + δ] gilt dann f 2 (t) f 2 (t 0 ) 2 Wir definieren nun die Treppenfunktion g : [0, 1] R durch 0, t [t 0 δ, t 0 + δ], g(t) = f 2 (t 0 ), 2 t [t 0 δ, t 0 + δ]. Dann gilt f 2 (t) g(t) für alle t [0, 1] und damit haben wir. 1 0 f g = 2δ f 2 (t 0 ) 2 = δ f 2 (t 0 ) > 0. Lemma und Definition. Symmetrische Bilinearformen sind durch ihre Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt. Ist <, > eine solche Form und ist B = (v 1,..., v n ) eine Basis von V, so heißt die Matrix A = (α ij ) mit α ij =< v i, v j > darstellende Matrix von <, > bezüglich B. Beweis. Wir berechnen für u = λ i v i und w = µ j v j < u, w > = < = = = λ i v i, i=1 λ i < v i, i=1 i=1 i=1 µ j v j > = µ j v j > = λ i µ j < v i, v j > = λ i µ j α ij. Lemma. Es seien F : W V eine lineare Abbildung und <, > eine symmetrische Bilinearform auf V. Dann ist <, > F : W W K, (u, w) < F (u), F (w) >

8 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 8 eine symmetrische Bilinearform auf W. Ist <, > ein Skalarprodukt, so ist <, > F genau dann ein Skalarprodukt, wenn F ein Monomorphismus ist. Beweis. Symmetrie: < w 1, w 2 > F =< F (w 1 ), F (w 2 ) >=< F (w 2 ), F (w 1 ) >=< w 2, w 1 > F Linearität in der ersten Variablen: < λ j w j, w > F =< F ( λ j w j ), F (w) >= =< λ j F (w j ), F (w) >= λ j < F (w j ), F (w) >=< λ j < w j, w > F <, > positiv definit und F Monomorphismus: w 0 F (w) 0 < w, w > F =< F (w), F (w) >> 0 F kein Monomorphismus ker F 0 es gibt w 0 mit F (w) = 0. Für ein solches w gilt < w, w > F =< F (w), F (w) >= 0 also ist <, > F definit. nicht positiv Folgerung. Es sei <, > eine symmetrische Bilinearform auf V. Ist B eine Basis von V, Φ : R n V das zugehörige Koordinatensystem und A die darstellende Matrix von <, > bezüglich B, so gilt: <, > A =<, > Φ. Transformationsformel. Es seien V ein reeller Vektorraum, A = (u 1,..., u n ), B = (w 1,..., w n ) Basen von V, K n,n T = Φ 1 B Φ A die zugehörige Transformationsmatrix, <, > eine symmetrische Bilinearform auf V, A, B K n,n darstellende Matrizen von <, > bezüglich A beziehungsweise B. Dann gilt A = T t B T. Beweis. < u, w > A =< Φ A (u), Φ A (w) >= =< Φ B T (u), Φ B T (w) >=< T u, T w > B = (T u) t BT w = = u t T t BT w =< u, w > T t BT. Augustin-Louis Cauchy, * Paris , Sceaux , ursprünglich Ingenieur, Schüler von Lagrange, Professor an der École Polytechnique, Royalist, sehr fruchtbarer Mathematiker Hermann Amandus Schwarz, * Hermsdorf (Schlesien) , Berlin , Professor in Halle, Zürich, Göttingen und Berlin. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Es sei V euklidischer Vektorraum beliebiger, auch unendlicher, Dimension. Dann gilt für alle u, w V : < u, w > 2 < u, u > < w, w >

9 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 9 Das Gleichheitszeichen gilt genau dann, wenn die Vektoren u und w linear abhängig sind. Beweis. u, w linear abhängig w = 0 oder u = λw für ein λ K. w = 0 < u, w > 2 =< u, 0 > 2 = 0 =< u, u >< 0, 0 >=< u, u >< w, w >, u = λw < u, w > 2 =< λw, w > 2 = (λ < w, w >) 2 = λ 2 < w, w > 2 = = λ 2 < w, w >< w, w >=< λw, λw >< w, w >=< u, u >< w, w >. u, w linear unabhängig u λw 0 für alle λ R, also 0 < < u λw, u λw > = < u, u > λ < u, w > λ < w, u > +λ 2 < w, w > = =< u, u > 2λ < u, w > +λ 2 < w, w > Da aber auch w 0 gilt, können wir λ = < u, w > < w, w > wählen, und wir erhalten für den obigen Ausdruck < u, w >2 < u, w >2 =< u, u > 2 + < w, w > < w, w > = < u, u >< w, w > < u, w >2 < w, w >, woraus die gewünschte Ungleichung folgt. Bezeichnung. Ist <, > eine symmetrische Bilinearform, so ist die Abbildung die zugeordnete quadratische Form. q : V K, v < v, v > Lemma. Symmetrische Bilinearformen sind schon durch ihre zugeordneten quadratischen Formen bestimmt. Beweis. < u, w >= 1 (q(u + w) q(u w)). 4 Definitionen. Es sei V ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung : V R 0, v v heißt Norm auf V, wenn für alle u, v, w V und λ R gilt: 1. v = 0 v = 0, 2. λv = λ v (Homogenität), 3. u + w u + w (Dreiecksungleichung). Ein normierter Vektorraum ist ein Paar (V, ), bestehend aus einem reellen Vektorraum V und einer Norm auf V. Die Norm ist eine Abstraktion des zur Einführung in das Skalarprodukt verwendeten Begriffs Lnge eines Vektors.

10 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 10 Lemma und Bezeichnung. Ist <, > ein Skalarprodukt in V, so ist die Abbildung V R, v v = < v, v > eine Norm, die zu <, > gehörige Norm auf V. Ist <, > das kanonische Skalarprodukt auf R n, so spricht man von der euklidischen Norm auf R n. Beweis. 1. folgt direkt aus der positiven Definitheit: v = 0 < v, v > = 0 < v, v >= 0 v = λv = < λv, λv > = λ 2 < v, v > = λ < v, v > = λ v. 3. Wir bemerken zunächst, dass in dieser Schreibweise die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung die Form < u, w > 2 u 2 w 2 annimmt, woraus wegen der Monotonie der Wurzelfunktion folgt. Nun berechnen wir: u + w 2 = < u + w, u + w > = < u, w > u w = < u, u > +2 < u, w > + < w, w > < u, u > +2 < u, w > + < w, w > Cauchy-Schwarz u u w + w 2 = = ( u + w ) 2. Wieder wegen der Monotonie der Wurzelfunktion folgt daraus die Behauptung. Parallelogrammgleichung. u + w 2 + u w 2 = 2 ( u 2 + w 2. Beispiel für eine Norm, die nicht zu einem Skalarprodukt gehrt: max : R n R 0, (β 1,..., β n ) max{ β 1,..., β n } (Maximumsnorm). Beweis. Normeigenschaften: 1. (β j ) max = 0 β j = 0 für alle j {1,..., n} β j = 0 für alle j {1,..., n} (β j ) = 0 2. λ(β j ) = (λβ j ) = max{ λβ 1,..., λβ n } = = max{ λ β 1,..., λ β n } = λ max{ β 1,..., β n } = λ (β j ) max. 3. Zu (α j ), (γ j ) R n gibt es ein j 0 {1,..., n} mit (α j ) + (γ j ) max = (α j + β j ) max = α j0 + γ j0.

11 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 11 Damit berechnen wir (α j ) + (γ j ) max = α j0 + γ j0 α j0 + γ j0 (α j ) max + (γ j ) max. Jedoch gilt die Parallelogrammgleichung nicht: Für u = e 1, w = e 2 berechnen wir: u + w 2 max + u w 2 max = = 2, 2 ( u 2 max + w 2 max) = 2 2 = 4. Bemerkung. Ein Skalarprodukt ist durch die zugehörige Norm eindeutig bestimmt. Anwendung. Sei K = R. Für u 0 und w 0 können wir dann die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung auch in der Form < u, w > u w 1 oder in der Form 1 < u, w > u w 1 schreiben; dabei tritt Gleichheit links genau für u = λw mit λ < 0 (u und w sind gleichgerichtet) und Gleichheit rechts genau für u = λw mit λ > 0 (u und w sind entgegengesetzt gerichtet): < λw, w > λw w = λ < w, w > λ w w = sign λ. Der Analysis entnehmen wir die Existenz genau eines ϕ [0, π] mit cos ϕ = < u, w > u w. Wir sagen deshalb, dass u und w miteinander den Winkel ϕ einschließen. Merkregel. Das Skalarprodukt zweier Vektoren im Anschauungsraum ist gleich dem Produkt aus den Längen der beiden Vektoren und dem Kosinus des von ihnen eingeschlossenen Winkels; das ist gleich dem Produkt aus der Länge des einen Vektors und der Länge der Projektion des anderen auf den einen. Definition. Es sei M eine Menge. Eine Abbildung d : M M R 0 heißt Metrik auf M, wenn für alle a, b, c M gilt: 1. d(a, c) = 0 a = c, 2. Symmetrie: d(a, c) = d(c, a), 3. Dreiecksungleichung: d(a, c) d(a, b) + d(b, c) Der Wert d(a, c) wird Distanz, Abstand oder Entfernung von a und c genannt.

12 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 12 Lemma und Bezeichnung. Ist (V, ) ein normierter Vektorraum, so ist d : V V R 0, (u, w) u w eine Metrik auf V, die von induzierte Metrik. Die euklidische Norm auf R n induziert die euklidische Metrik auf R n. Eine Norm ist durch die von ihr induzierte Metrik eindeutig bestimmt. Beweis. 1. d(u, w) = 0 u w = 0 u w = 0 u = w. 2. d(u, w) = u w = 1 u w = ( 1) (u w) = w u = d(w, u). 3. d(u, w) = u w = (u v) + (v u) u v + v u = d(u, v) + d(v, w). 15. April 2003 Beispiel für eine Metrik auf einem K-Vektorraum, die nicht von einer Norm induziert ist: Sei V ein K-Vektorraum mit dim V > 0. Wir setzen { 0, u = w, d : V V R 0, (u, w) 1, u w. Das ist offensichtlich eine Metrik auf V. Diese triviale Metrik kann man auf jeder beliebigen Menge definieren. Wre sie von einer Norm induziert, so müsste für alle v V \ {0} gelten: v = v 0 = d(v, 0) = 1 und damit hätten wir 2v = 1 2 = 2 v. Definitionen. Es sei (V, <, >) ein euklidischer Vektorraum. 1. Sind u, w V, so heißt u orthogonal zu w - in Zeichen: u w - wenn gilt: < u, w >= 0 ( < w, u >= 0). 2. Sind U, W nichtleere Teilmengen von V, so heißt U orthogonal zu W, wenn u w für alle u U und w W ist. 3. Ist U eine nichtleere Teilmenge von V, so heißt die Menge orthogonales Komplement von U in V. U = {w V : w u für alle u U}. 4. Eine Familie (v j ) j J von Vektoren heißt orthogonal, wenn für alle k, j J mit k j gilt: v k v j. 5. Eine Familie (v j ) j J von Vektoren heißt orthonormal, wenn sie orthogonal ist und nur Einheitsvektoren enthält, das heißt, Vektoren mit der Norm (Lnge) Eine Basis von V heißt Orthonormalbasis, wenn sie eine orthonormale Familie ist. Lemma. Es sei (V, <, >) ein euklidischer Vektorraum. Dann gilt: 1. Die Orthogonalität von Vektoren ist eine symmetrische, aber im allgemeinen weder reflexive noch transitive Relation auf V.

13 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME Die Orthogonalität von nichtleeren Teilmengen ist eine symmetrische, aber im allgemeinen weder reflexive noch transitive Relation auf der Menge der nichtleeren Teilmengen von V. 3. Das orthogonale Komplement U einer nichtleeren Teilmenge U von V ist ein Untervektorraum von V ; es ist U die größte zu U orthogonale Teilmenge und es gilt: U U {0}. 4. Eine orthogonale Familie ohne Nullvektor ist linear unabhängig. eine ortho- 5. Ist (v j ) j J eine orthogonale Familie ohne Nullvektor, so ist ( 1 v v j j) j J normale Familie 6. Ist V = R n und <, > das kanonische Skalarprodukt, so ist die kanonische Basis eine Orthonormalbasis. Beweis. 1. Die Symmetrie folgt aus der Symmetrie der zugrundeliegenden Form. Reflexivität würde < v, v >= 0 für alle v V bedeuten, das heißt, wegen der positiven Definitheit, v = 0 für alle v, also V = 0. Aus der Biadditivität des Skalarprodukts folgt v 0 für alle v V ; deswegen hätte die Transitivität die Reflexivität zur Folge, ist also auch nur für V = 0 möglich. 2. folgt unmittelbar aus Wegen 0 u für alle u U ist U. Für w 1, w 2 U und alle u U gilt: < w 1 + w 2, u >=< w 1, u > + < w 2, u >= = 0, also w 1 + w 2 U. Für w U, λ R und alle u U gilt: < λw, u >= λ < w, u >= λ 0 = 0, also λw U. Ist W orthogonal zu U, so gilt für alle w W : Für alle u U ist w u, also w U. Damit ist W U. Für v U U gilt < v, v >= 0, also wegen der positiven Definitheit auch v = Es sei (v j ) j J eine orthogonale Familie ohne Nullvektor. Ist eine Gleichung λ j v j = 0 vorgelegt, so ergibt skalare Multiplikation mit v k, k J: 0 =< v k, j J j J λ j v j >= j J λ j < v k, v j >= λ k < v k, v k >, woraus wegen v k 0 und der positiven Definitheit λ k = 0 folgt. 5. Wir berechnen für alle k, j J: < 1 v k v k, 1 v j v j >= 1 v k v j < v k, v j >=

14 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 14 = 0, k j, < v j, v j > v j 2 = 1, j = k. Damit ist ( 1 v j v j) j J eine orthogonale Familie aus Einheitsvektoren, also orthonormal. 6. Bezüglich des kanonischen Skalarproduktes auf R n gilt: < e k, e j >= δ kj. Beispiele. 1. Das Vektorprodukt auf R 3 : Für v = (µ j ), w = (ν j ) R 3 wird gesetzt u = (λ j ) = v w mit λ 1 = µ 2 ν 3 µ 3 ν 2, λ 2 = µ 3 ν 1 µ 1 ν 3, λ 3 = µ 1 ν 2 µ 2 ν 1. Es sei <, > das kanonische Skalarprodukt auf R 3. Sind v, w R 3 linear unabhängig, so ist u = v w orthogonal zu v und w und u ist die Fläche des von v und w gebildeten Parallelogramms. Beweis. < u, v >= (µ 2 ν 3 µ 3 ν 2 )µ 1 + (µ 3 ν 1 µ 1 ν 3 )µ 2 + (µ 1 ν 2 µ 2 ν 1 )µ 3 = 0. u = ( i j µ2 i ν 2 j 2 i<j µ iµ j ν i ν j ) 1/2 Bezeichnet ϕ den von v und w eingeschlossenen Winkel, so ergibt sich Fläche des Parallelogramms zu v w sin ϕ = v 2 w 2 (1 cos 2 ϕ) = = µ 2 i ν2 j ( µ i ν i ) Geometrische Bedeutung der Gleichung einer Hyperebene in K n : i,j λ 1 x λ n x n = µ. Wir setzen v = (λ 1,..., λ n ), x = (x 1,..., x n ) und schreiben die Gleichung in der Form < v, x > µ = 0 Der zu dieser Hyperebene gehörige Untervektorraum ist gegeben als Lösungsmenge der homogenen Gleichung < v, x >= 0, ist also das orthogonale Komplement zu {v}; da er parallel zu der Hyperebene ist, folgt daraus, dass der Vektor v senkrecht zu der Hyperebene ist. Allgemein bezeichnet man einen Vektor, der senkrecht zu einem affinen Unterraum A ist, als Normalenvektor zu A. 3. V = {f f R [ π,π] f stetig }, Die Familie < f, g >= π π f g. (1/ 2π) ((cos mt)/ π) m N ((sin mt)/ π) m N ) ist orthonormal (Beweis als Übungsaufgabe).

15 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 15 Gram - Schmidtsches Orthonormalisierungsverfahren : Es seien (V, <,>) ein euklidischer Vektorraum, N = {1, 2, 3,..., n} oder N = N und (v j ) j N eine linear unabhängige Familie. Dann gibt es eine orthonormale Familie (w j ) j N derart, dass für alle k N gilt: Span(w j ) j {1,...,k} = Span(v j ) j {1,...,k} ( Span(w j ) j N = Span(v j ) j N ). Beweis. Konstruktion durch Induktion nach k: k = 1 : w 1 = 1 v 1 v 1. k k + 1 : Als Induktionsvoraussetzung ist eine orthonormale Familie (w 1,..., w k ) mit gegeben. Für j 0 {1,..., k} gilt: Span(w 1,..., w k ) = Span(v 1,..., v k ) ṽ = =< w j0, v k+1 > k < w j, v k+1 > w j < w j0, v k+1 ṽ >= k < w j, v k+1 >< w j0, w j >= 0. Damit gilt v k+1 ṽ w j für alle j {1,..., k}; wegen v k+1 Span(v j ) j {1,...,k} = Span(w j ) j {1,...,k} ist v k+1 ṽ 0 und wir können setzen. w k+1 = 1 v k+1 ṽ (v k+1 ṽ) Jórgen Pedersen Gram, * Nustrup (bei Haderslev/Dänemark) , Kopenhagen , Direktor der Versicherungsgesellschaft Hafnia Erhard Schmidt, * Dorpat 14. Januar 1876, Berlin 6. Dezember Satz. Jeder euklidische Vektorraum höchstens abzählbarer Dimension besitzt eine Orthonormalbasis. Satz. V euklidischer Vektorraum mit dim V = n <, U Untervektorraum von V V = U U, U = U. Beweis. Es sei v 1,..., v k eine Orthonormalbasis von U. Wir ergänzen durch v k+1,..., v n zu einer Orthonormalbasis von V und behaupten U = Span(v k+1,..., v n )

16 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 16 : Sei v = n λ jv j U. Dann gilt für alle l {1,..., k} 0 =< v l, v >= λ j < v l, v j >= λ l < v l, v l >= λ l, woraus v Span(v k+1,..., v n ) folgt. : Für l {1,..., n k} und u = k µ jv j U gilt < v k+l, u >= k µ j < v k+l, v j >= 0, also v k+l U. Da nun U ein Untervektorraum ist, der alle v k+l, l {1,..., n k}, enthält, folgt U Span(v k+1,..., v n ). Folgerung. Ist U ein Untervektorraum des euklidischen Vektorraumes V mit U = 0, so ist U = V. Definition. Es sei V ein euklidischer Vektorraum. Eine Abbildung F : V V heißt orthogonal, wenn gilt: < F (u), F (w) >=< u, w > für alle u, w V. Satz. F orthogonal F (v) = v für alle v V und F linear. Beweis. : F (v) 2 =< F (v), F (v) >=< v, v >= v 2. < F (u + w) F (u) F (w), F (u + w) F (u) F (w) >=< F (u + w), F (u + w) > + < F (u), F (u) > + < F (w), F (w) > 2 < F (u + w), F (u) > 2 < F (u + w), F (w) > +2 < F (u), F (w) >=< u + w, u + w > + < u, u > + < w, w > 2 < u+, u > 2 < u + w, w > +2 < u, w >=< (u + w) u w, (u + w) u w >=< 0, 0 >= 0 F (u + w) F (u) F (w) = 0 F (u + w) = F (u) + F (w) < F (λv) λf (v), F (λv) λf (v) >=< F (λv), F (λv) > 2 < F (λv), λf (v) > + < λf (v), λf (v) >=< λv, λv > 2 λ < F (λv), F (v) > λ 2 < F (v), F (v) >= λ 2 < v, v > 2 λ < λv, v > λ 2 < v, v >= 0 F (λv) λf (v) = 0 F (λv) = λf (v) : Die Voraussetzung besagt, dass die zu den Formen <, > und <, > F gehörigen quadratischen Formen übereinstimmen. Da aber symmetrische Bilinearformen durch ihre zugehörigen quadratischen Formen eindeutig bestimmt sind, folgt die Behauptung. Satz. Der Vektorraum R n sei mit dem kanonischen Skalarprodukt versehen. Dann sind für eine Matrix A R n,n sind die folgenden Eigenschaften äquivalent: 1. A ist als Abbildung R n R n aufgefasst orthogonal; 2. die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis von R n ; 3. A t A = E n ; 4. A ist invertierbar und A 1 = A t ; 5. AA t = E n ;

17 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME die Zeilenvektoren bilden eine Orthonormalbasis von R n. Definitionen. (Erinnerung) Es sei V ein Vektorraum. Eine Abbildung f : V V heißt Verschiebung oder Translation, wenn es einen Vektor v gibt, derart dass für alle v V gilt: F (v) = v + v ; affin, wenn sie eine Verkettung aus einer linearen Abbildung gefolgt von einer Verschiebung ist, also wenn es eine lineare Abbildung G : V V und einen Vektor v gibt, derart dass für alle v V gilt: f(v) = G(v) + v. Bemerkung. Der lineare Anteil und der Verschiebungsvektor einer affinen Abbildung sind durch die Abbildung eindeutig bestimmt. Denn mit den obigen Bezeichnungen ist v = f(0) und G(v) = f(v) v. Satz. Eine Abbildung ist genau dann affin, wenn sie mit affinen Kombinationen verträglich ist. Definition. Es sei V ein euklidischer Vektorraum. Eine Abbildung f : V V heißt Bewegung, wenn sie abstandstreu ist. Satz. Eine Bewegung ist eine affine Abbildung, deren Linearanteil eine orthogonale Abbildung ist. Beweis. Es seien V ein euklidischer Vektorraum und f : V V eine Bewegung. Wir definieren G : V V, v f(v) f(0). Dann gilt zunächst: G(v) = f(v) f(0) = d(f(v), f(0)) = d(v, 0) = v 0 = v. Also ist die Abbildung G mit der Norm verträglich. Weiter folgt: G(u) G(w) = (f(u) f(0)) (f(w) f(0)) = f(u) f(w) = d(f(u), f(w)) = Durch Quadrieren ergibt sich = d(u, w) = u w. u 2 2 < u, w > + w 2 > = < u, u > 2 < u, w > + < w, w > = = < u w, u w > = u w 2 = = G(u) G(w) 2 = = G(u) 2 2 < G(u), G(w) > + G(w) 2 = = u 2 2 < G(u), G(w) > + w 2 = < u, w >=< G(u), G(w) >.

18 4 EUKLIDISCHE VEKTORRÄUME 18 Damit ist die Abbildung G auch mit dem Skalarprodukt verträglich, also orthogonal, falls noch die Bilinearität nachgewiesen werden kann. Dazu berechnen wir < G(λu + νw) λg(u) νg(w), G(λu + νw) λg(u) νg(w) >= =< G(λu + νw), G(λu + νw) > +λ 2 < G(u), G(u) > +ν 2 < G(w), G(w) > 2λ < G(λu + νw), G(u) > 2ν < G(λu + νw), G(w) > +2λν < G(u), G(w) >= =< λu + νw, λu + νw > +λ 2 < u, u > +ν 2 < w, w > 2λ < λu + νw, u > 2ν < λu + νw, w > +2λν < u, w >= < λu + νw λu νw, λu + νw λu νw >= 0.