Rechnen mit Vektoren
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- Liese Hochberg
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1 () Der Ortsvektor Definition: Der Ortsvektor beginnt im Koordinatenursprung und endet in einem beliebigen Punkt P. Die Koordinaten des Punktes stimmen mit den Koordinaten des Ortsvektors überein. Schreibweise: Punkt P( xx) OP p Ortsvektor T Bemerkung: Falls man also Punkte berechnen möchte, können Sie einfach den Ortsvektor berechnen. Ortsvektoren dürfen also nicht an einen anderen Ort verschoben werden. Das zeichnet diese Vektoren aus. () Berechnung eines Richtungsvektors Gegeben sind die Punkte A(xx ) B(xx ). Gesucht ist der Verbindungsvektor oder der Richtungsvektor: AB OB OA Bemerkung: Der Richtungsvektor wird berechnet, indem man den Ortsvektor des Anfangspunktes vom Ortsvektor des Endpunktes subtrahiert. Das Prinzip Ende minus Anfang kennen Sie bereits von Anstiegen oder Temperaturdifferenzen. (Seite )
2 In dem folgenden Beispiel können wir den Ortsvektor und den Richtungsvektor verwenden. Gegeben sind die Punkte A(xx ), B(xx) und C(x6x). Gesucht ist der Punkte D, sodass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. D C O A B Frage: Erkennen Sie den Ansatz mit Hilfe der Skizze? Gesucht ist der Punkt D, also werden wir wahrscheinlich den Ortsvektor OD berechnen müssen. OD OA + AD OA + BC OA + OC OB + 6 Der Punkt D hat die Koordinaten D( xx). (Seite )
3 () Kollinearität von Punkten Definition: Punkte bezeichnet man als kollinear, wenn sie auf ein und derselben Geraden liegen. Bemerkung: Um Punkte auf Kollinearität zu untersuchen, sollte man die Richtungsvektoren zwischen den Vektoren untersuchen. Auftrag: Prüfen Sie jeweils, ob die Punkte kollinear sind! P( ) Q( ) R( 8) PQ PR 6 9 PQ 7 PR Die Punkte liegen auf einer Geraden. Sie sind kollinear. P( 9 9 ) Q( 9 8 ) R( ) PQ 6 9 PR 8 9 PQ $ PR Die Punkte liegen auf einer Geraden. Sie sind kollinear. (Seite )
4 () Komplanarität von Punkten Definition: Punkte bezeichnet man als komplanar, wenn sie in ein und derselben Ebene liegen. Bemerkung: Punkte sind immer komplanar. Punkte, die nicht kollinear sind, legen eindeutig eine Ebene fest. Liegen Punkte in einer Ebene, dann liegen die Richtungsvektoren ebenfalls innerhalb einer Ebene und sind linear abhängig. Man sollte also die Richtungsvektoren zwischen den Punkten auf lineare Abhängigkeit untersuchen. Prüfen Sie jeweils, ob die Punkte komplanar sind. A() B() C(-) D(67) AB a AC a AD a 7 o t $ a + t $ a + t $ t + t + t t + t + 7t t t + t u t t t oder a det 7 ( 6) () Die Punkte liegen nicht in einer Ebene. Sie sind nicht komplanar. (Seite )
5 () Die Länge eines Vektors (Abstand zwischen Punkten) Entwickeln Sie eine Formel zur Berechnung der Länge eines Vektors in der Ebene bzw. im Raum. Geben Sie auch ein konkretes Zahlenbeispiel an. Erinnern Sie sich dabei an die Raumdiagonale eines Quaders. Skizze (im Raum): AG AG AC + CG AB + BC + CG (x G x A ) + (y G y A ) + (z G z A ) Bemerkung: Man spricht etwas vereinfacht vom räumlichen Pythagoras. OA OG AG AG Knobelaufgabe: In welchen weiteren Fällen sind sowohl die Koordinaten als auch der Betrag des Vektors ganzzahlig? (Seite )
6 (6) Der Einheitsvektor Definition: Ein Vektor heißt Einheitsvektor, wenn sein Betrag beträgt. e Beispiele: Folgende Vektoren sind Einheitsvektoren: a b b Gegenbeispiele: Folgende Vektoren sind keine Einheitsvektoren: a b c Bemerkung: Man erhält einen Einheitsvektor, indem man einen Vektor durch seine Länge teilt. Man spricht von der Normierung eines Vektors. a 8 u a u e a a a Jetzt können wir schon sehr knifflige Aufgaben lösen. Aufgabe: Gesucht ein Punkt C, der auf der Strecke AB liegt und genau LE von A entfernt ist. OA 6 OB u AB u AB OC OA + $ AB u C( 9 7 ) (Seite 6)
7 (7) Der Mittelpunkt einer Strecke (AB) Auftrag: Leiten Sie eine Formel zur Berechnung des Mittelpunktes einer Strecke her. y A AB B O x. Variante: OM AB OA + AB OA + OB OA a + b. Variante: OM AB OB + BA OB + OA OB a + b OA, OB u OM AB (Seite 7)
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