Wiederholung und Zusammenfassung: Vektoranalysis

Transkript

1 Wiederholung und Zusammenfassung: Vektoranalysis Wenn wir z.b. ein Objekt in unserer Umgebung (Raum eigentlich Raumzeit) beschreiben wollen, können wir mehrere Informationen zusammenfassen. Ein Freund will seine Freundin besuchen und fragt, wo sie sich befindet. Die Freundin sagt: Gehe zuerst zu jenem Ort, wo wir uns zum ersten Mal getroffen haben (frei gewählter Ursprung eines rechtwinkligen Koordinatensystems), wenn du dann 00 m nach Süden (x-achse), 40m nach Osten (y-achse) und dann mit dem Lift in den. Stock fährst (z-achse), wirst du mich um 4.00 Uhr dort finden. Diese drei Raum- Informationen für die Freundin, fassen wir in einem neuen Objekt VEKTOR zusammen (mit der Zeit hätten wir einen Vierervektor, wie er in der Physik für die Raumzeit auch verwendet wird). Es ist hochmotivierend sich also mit der Vektoranalysis zu befassen, falls man mit Objekten in unserer Umgebung rechnen oder wie im Beispiel Menschen zusammenführen will.. Ortsvektoren und Richtungsvektoren Ortsvektoren bestimmen den Weg vom Ursprung eines Koordinatensystems zu einem Punkt. Sie sind daher unbeweglich, mit einer fixen Länge. Richtungsvektoren geben eine bestimmte Richtung vor. Ihre Länge ist sekundär. Man kann sie parallel verschieben und kollinear verformen, sie behalten stets ihre Richtung bei. Sie sind beweglich. Begriff kollinear: Die einzelnen Komponenten werden mit einem Skalar multipliziert (dividiert), um eine einfachere Darstellung zu erhalten. Dabei verändert der RV seine Länge, aber nicht seine Richtung, was entscheident ist.. Betrag Man kann den Weg von einem Punkt A zu B durch die Spitze MINUS Schaft Regel berechnen. Dies läßt sich leicht durch die Differenzen von den Strecken im Koordinatensystem veranschaulichen. Die Länge erhält man mit Hilfe des Pythagoras. Bei drei Komponenten veranschauliche man sich die Raumdiagonale eines Quaders. A( ); B( 4 5) AB = ; AB = + + = = Beachte: Falls man AB zu AB kollinear verformt, behält man zwar die Richtung von A nach B bei, kommt aber nicht mehr bei B an.. Einheitsvektor Wir erhalten einen Vektor mit der Länge, wenn wir jede Komponente des Vektors durch seinen Betrag dividieren. Berechne zur Kontrolle den Betrag von AB 0! z.b. nehmen wir den Vektor AB = ; AB0 = = 4. Vektoraddition Die Addition kann graphisch durch das Anhängen eines Vektors an einen anderen Vektor dargestellt werden. So erhält man einen neuen Vektor. Durch paralleles Ergänzen erhält man im allgemeinen ein Parallelogramm. Somit ist der neue Vektor die Diagonale in diesem Parallelogramm. Physikalisch, falls man von zwei Krafvektoren spricht, die addiert werden, nennt man den neuen Vektor gerne den Resultierenden Kraftvektor. Falls z.b. an einem Körper (z.b. Kugel) verschiedene Kräfte (Länge und Richtung ist unterschiedlich) ansetzen, kann man durch aneinanderhängen aller Kraftvektoren die resultierende Kraft ermitteln, d.h. die Richtung und die Kraft. Z.B. wird der Körper A von vier Kräften angegriffen u; v; w; z. Wir addieren alle RV beginnend mit u und erhalten als resultierende Kraft d. = Eine weitere Anwendung findet die Vektoraddition bei der Berechnung von Winkelsymmetralen: In einem Parallelogramm ist die Diagonale nicht die Winkelsymmetrale, aber in einer Raute (Rhombus - spezielles Parallelogramm). Wir verändern die RV, welche ein Parallelogramm aufspannen kollinear so, dass sie dieselbe Länge besitzen. Wir könnten natürlich eine beliebige Länge wählen z.b. 4. Einfacher ist es aber, wenn wir uns für den Einheitsvektor (Länge ) entscheiden. Damit bilden die Einheitsvektoren eine Raute und dessen Diagonale (Addition der Einheitsvektoren) die Winkelsymmetrale. Die Winkelsymmetrale ω : ω = O + ω mit ω = OV 0 + OU 0

2 5. Vektorsubtraktion Wir subtrahieren a von b indem wir b addieren. Wir drehen b um 80 und hängen wie beim Addieren b an a an. Man rechnet dies leicht nach. Beachte: Bei der Herleitung der Gleichung zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren mit Hilfe des Cosinussatzes werden wir auf diese Darstellung zurückgreifen. Der parallel verschobene Differenzenvektor liegt somit dem von a und b eingeschlossenen Winkel gegenüber. 6. Winkel zwischen zwei Vektoren: cos( a, b) = a 0 b 0 Um dies zu zeigen, beschreiben wir die Strecke zwischen den beiden Vektoren auf zwei verschiedene Arten. (i) Mit Hilfe der Subtraktion (s. oben): c = a b und (ii) Mit Hilfe des Kosinussatzes aus der Trigonometrie in vektorieller Form: c = a + b a b cos(γ) Wenn wir (i) und (ii) gleichsetzen und komponentenweise aufschreiben erhalten wir, da die Subtraktion und die Multiplikation komponentenweise erfolgt: a b = a + b a b cos(γ) (x a x b ) +(y a y b ) +(z a z b ) = x a +ya +za +x b +yb +zb a b cos(γ) () x a x b +y a y b +z a z b = a b cos(γ) () cos(γ) = a b a b cos(γ) = a 0 b 0 (4) Von () auf () kommt man, wenn man die l.s. sauber ausquadriert und zusammenfasst. Es fallen alle Quadrate weg und man kann durch - dividieren. Bei () sieht man auf der l.s., dass dort genau das Skalarprodukt von a b steht. 7. Orthogonalitätskriterium Wenn man bei der Gleichung () oben auf der l.s. für γ = 90 setzt, erhält man bekanntlich für cos(90 ) = 0, d.h. falls das Skalarprodukt zweier Vektoren 0 ist, schließen sie einen rechten Winkel ein! 8. Fläche eines Parallelogramms/Dreiecks: Welche Varianten kennst du? Mit Hilfe der allgemeinen Berechnungsvorschrift für eine Dreiecksfläche aus der Trigonometrie in vektorieller Form und der oben hergeleiteten Gleichung für cos(γ) sehen wir: A = a b sin(γ) mit [sin(γ) = cos (γ); und cos(γ) = a b a (vgl. Gl. ())] a b A = b ( a b) a b A = a b ( a b) ()

3 Beachte: a = ( x a +y a +z a) = x a +y a +z a = a Mit etwas mehr Schreibarbeit kann man von dieser Gleichung ausgehend und mit der Definition für ein Vektorprodukt die Fläche folgend angeben (vgl. handschriftliche Ausführung): A = a b 9. Eigenschaften eines Vektorproduktes (i) c steht normal auf a und b, mit c = a b (ii) Der Betrag beschreibt die Fläche eines Parallelogramms, welches von a und b aufgespannt wird. (iii) Berechnung der x-achse von c, indem man die x-achse gedanklich streicht und y a z b z a y b y-achse von c, indem man die y-achse gedanklich streicht und (x a z b z a x b ) z-achse von c, indem man die z-achse gedanklich streicht und x a y b y a x b rechnet. Beachte das veränderte Vorzeichen bei der y-achse!! Manchmal sieht man auch, dass für die y-achse Subtrahend und Minuend vertauscht werden, wodurch das negative Vorzeichen entfällt c y = z a x b x a z b. Diese Berechnungsvorschrift erhält man durch die Definition, dass c normal auf a und b stehen soll und das so entstandene Gleichungssystem löst. 0. Normalprojektion: Projiziere z.b. F normal auf s Herleitung: Wir beschreiben wieder den Winkel α, den beide Vektoren einschließen auf zwei verschiedene Arten. F (i) Vektor-Winkel-Gleichung: cos(α) = s F p F (ii) Trigonometrie: cos(α) = s F Wir setzen wieder gleich und sehen, dass sich der Betrag von F kürzt und wir erhalten sofort F p = F s 0 vektorielle Darstellung: F p = F p s0 ; hier wird die Länge F p mit dem Einheitsvektor s0 multipliziert, wodurch die Länge nicht verändert wird, aber der Vektor die Richtung von s 0 erhält. Anwendung in der Physik: Arbeit = Kraft mal Weg; W = F p s! Welche Kraft ist effektiver?. Abstand von windschiefen Geraden: d(g, h) = AP ( g h) 0 Es seien die Geraden g und h mit A g und P h gegeben. Wenn wir das Vektorprodukt mit den RV von g und h bilden, erhalten wir einen Vektor, der normal auf g und h steht. Nun brauchen wir nur noch den Vektor AP normal auf diesen projizieren und wir erhalten den Abstand! (Wow!) Beachte, dass A und P beliebige Punkte auf g bzw. auf h sind. Analog erhält man so die bekannte Hess sche Abstandsformel für den

4 Abstand eines Punktes von einer Ebene d(p,ǫ) = AP, n 0 wobei n = g h. Die RV g und h spannen hier die Ebene ǫ auf. Wenn die RV g und h eine Ebene ǫ aufspannen, wobei n = g h, dann können wir eine Ebene in der sogenannten Normalvektorgleichung (NVGl) darstellen. Dazu nehmen wir einen frei gewählten, aber fixen Punkte A ǫ und einen variabalen Punkt X ǫ. Da die beiden Vektoren n und AX einen rechten Winkel einschließen, wissen wir (vgl. Vektor-Winkel-Gleichung), dass das Skalarprodukt 0 sein muss. Also n AX = 0 n (X A) = 0 Hinweis: der Normalvektor auf die Ebene ǫ kann entweder über das Vektorprodukt ermittelt bzw. direkt mit den Koeffizienten der parameterfreien Darstellung der Ebene angeschrieben werden.. Volumen eines Parallelepipeds Allgemein gilt: Volumen ist gleich Grundfläche mal Höhe Die Grundfläche wird von zwei Vektoren a und b aufgespannt: G = a b... Parallelogramm h = c ( a b) 0... Normalprojektion von c = AE in die Richtung des Normalvektors der Ebene n0 = ( a b) 0 Falls die Höhe explizit nicht gefragt ist, lässt sich das Volumen kürzer über das sogenannte Spatprodukt berechnen: V = G h = a b c ( a b) 0 = a c ( a b) b a b V = c ( a b) 4

5 . Abstand eines Punktes von einer Geraden: d(p, g) = AP a 0 5