H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Niedersachsen. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen

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1 H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Niedersachsen Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der Gleichung zur Kurve... 9 Aufstellen von Funktionen mit Randbedingungen... Von der Kurve zur Gleichung... Differenzieren... 8 Gleichungslehre... 9 Eigenschaften von Kurven... Kurvendiskussion... 8 Integralrechnung... 9 Extremwertaufgaben / Wachstums- und Zerfallsprozesse... Geometrie Rechnen mit Vektoren... Geraden... Ebenen... Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen... Gegenseitige Lage zweier Ebenen... 9 Abstandsberechnungen... Winkelberechnungen... Spiegelungen... Stochastik 8 Grundlegende Begriffe... 9 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten... 9 Kombinatorische Zählprobleme... Wahrscheinlichkeitsverteilung von Zufallsgrößen... Binomialverteilung... 9 Hypothesentests... Tipps... Lösungen... 9 Stichwortverzeichnis... 9

3 . Rechnen mit Vektoren Geometrie Grundkenntnisse zu Vektoren / Geraden / Ebenen Gleichungen von Ebenen und Geraden Skizze des Schaubilds einer Ebene bzw. Geraden im dreidimensionalen Koordinatensystem Auffinden einer entsprechenden Gleichung für Ebene bzw. Gerade, wenn Skizze gegeben Lagebeziehungen Gerade Gerade, Gerade Ebene, Ebene Ebene Wenn nicht anders angegeben gilt für alle Parameter: r, s, t,... IR Rechnen mit Vektoren Tipps ab Seite 9, Lösungen ab Seite In diesem Kapitel geht es darum, dass Sie mit Vektoren sicher rechnen können und grundlegende Begriffe sicher beherrschen. Einige Anwendungsaufgaben runden das Kapitel ab. Tipp: Schreiben Sie sich die grundlegenden Formeln und Begriffe auf Vokabelkärtchen; manche Dinge muss man auch in der Mathematik einfach auswendig lernen!. Addition und Subtraktion von Vektoren Gegeben sind die Vektoren a = und b =. Berechnen Sie: a) a + b b) a b c) a d) a e) a + b f) a b g) a h) b i) a + b. Orthogonalität von Vektoren Prüfen Sie, ob folgende Vektoren senkrecht (orthogonal) aufeinander stehen. a) a =, b = b) r =, n = c) z =, w =

4 . Rechnen mit Vektoren. Auffinden von orthogonalen Vektoren Geben Sie drei verschiedene Vektoren an, die zu n =. Orts- und Verbindungsvektoren Gegeben sind die Punkte A( ), B( ) und C( ). a) Bestimmen Sie die Ortsvektoren a, b, und c. b) Bestimmen Sie die Verbindungsvektoren AB, AC und BC. orthogonal sind. c) Ist jeder Verbindungsvektor ein Ortsvektor? Begründen Sie Ihre Antwort.. Verschiedene Aufgaben Tipp: Fertigen Sie eine Skizze zu den jeweiligen Aufgabenstellungen an und stellen Sie Vektorketten auf. a) Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist: I) A( ), B( ), C( ) II) A( ), B( ), C( ) b) Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist: A( ), B( ), C( ) c) I) Bestimmen Sie den Mittelpunkt M von A( ) und B( ). II) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P so, dass B( ) der Mittelpunkt von A( ) und P ist. d) Bestimmen Sie jeweils den Schwerpunkt des Dreiecks: I) A( ), B( ), C( ) II) P( ), Q( ), R( ) e) Gegeben sind die Punkte A( ), B( 8 ) und C( ). I) Bestimmen Sie den Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist. II) Bestimmen Sie den Punkt D so, dass das Viereck ABD C ein Parallelogramm ist. III) Bestimmen Sie den Punkt D so, dass das Viereck AD BC ein Parallelogramm ist. 8

5 . Rechnen mit Vektoren f) Von einem Spat (Körper mit jeweils parallelen Kanten) sind die Punkte A( ), B( ), C( ) und F(9 ) gegeben. I) Bestimmen Sie die Koordinaten der übrigen Punkte des Spats. II) Berechnen Sie die Länge der Raumdiagonalen AG. g) Ein schiefes Dreiecksprisma ist gegeben durch die Punkte A( ), B( ), C( ) und D( ). Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte E und F sowie die Länge der Kante EF.. Lineare Abhängigkeit Tipp: Zwei Vektoren prüft man auf lineare Abhängigkeit (und nicht auf lineare Unabhängigkeit) Prüfen Sie, ob die beiden Vektoren linear abhängig (kollinear) oder unabhängig sind: a) a =, b = b) a =, b = c) a =, b = d) a =, b = 9 9 9

6 Tipps. Rechnen mit Vektoren Geometrie Rechnen mit Vektoren. Addition und Subtraktion von Vektoren Für das Rechnen mit Vektoren gelten folgende Gesetze: a b a + b a b Addition: a + b = a + b, Subtraktion: a b = a b a + b a b a s a Skalare Multiplikation: s a = s a (Zahl Vektor = Vektor) für s I R. a s a a b Skalarprodukt: a b = a b + a b + a b (Vektor Vektor = Zahl), a b a Betrag bzw. Länge: a = a + a + a. a. Orthogonalität von Vektoren a b a b a b Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt gleich Null ist. Ist das Skalarprodukt ungleich Null, dann sind die beiden Vektoren nicht orthogonal.. Auffinden von orthogonalen Vektoren Es sind Vektoren zu suchen, deren Skalarprodukt mit n Null ergibt.. Orts- und Verbindungsvektoren Ortsvektoren setzen am Ursprung O( ) an. Verbindungsvektoren zwischen zwei Punkten erhält man mit Hilfe der Ortsvektoren.. Verschiedene Aufgaben a) Stellen Sie jeweils drei Verbindungsvektoren zwischen je zwei Punkten auf und berechnen Sie deren Länge. b) Die Orthogonalität lässt sich mit dem Skalarprodukt überprüfen. c) Tragen Sie in Ihre Skizze jeweils die gegebenen und gesuchten Punkte sowie den Ursprung O ein. Bestimmen Sie mit Hilfe einer Vektorkette den Ortsvektor des gesuchten Punktes. Geben Sie die Koordinaten des gesuchten Punktes an. ( ) d) Den Schwerpunkt S eines Dreiecks ABC erhalten Sie mit der Formel s = a + b+ c. 9

7 . Geraden Tipps e) Tragen Sie in Ihre Skizze die gegebenen und gesuchten Punkte sowie den Ursprung O ein. Achten Sie dabei auf die Reihenfolge der Punkte (gegen den Uhrzeigersinn). Bestimmen Sie jeweils mit Hilfe einer Vektorkette den Ortsvektor des gesuchten Punktes. Geben Sie die Koordinaten des gesuchten Punktes an. f) Da je vier Kanten parallel sind, gilt: BF = CG = DH = AE, BC = AD = FG = EH und AB = EF = DC = HG. Bestimmen Sie mit Hilfe einer Vektorkette den Ortsvektor des gesuchten Punktes. Geben Sie die Koordinaten des gesuchten Punktes an. g) Tragen Sie in ihre Skizze die gegebenen und gesuchten Punkte sowie den Ursprung O ein. Bestimmen Sie mit Hilfe einer Vektorkette den Ortsvektor des gesuchten Punktes. Geben Sie die Koordinaten des gesuchten Punktes an. Die Länge einer Kante ist die Länge des Verbindungsvektors der beiden Eckpunkte.. Lineare Abhängigkeit a) - d) Wenn zwei Vektoren linear abhängig sind, dann ist der eine Vektor ein Vielfaches des anderen, d.h. sie müssen eine Zahl k finden, so dass gilt: k a = b; k I R. Geraden. Aufstellen von Geradengleichungen Verwenden Sie den Ortsvektor des einen Punktes als Stützvektor. Bilden Sie den Richtungsvektor, indem Sie den Verbindungsvektor zwischen den beiden Punkten aufstellen.. Punktprobe Setzen Sie den Ortsvektor des Punktes in die Geradengleichung ein und prüfen Sie, ob sich für alle drei Komponenten der gleiche Parameter ergibt.. Projektion von Geraden Die Projektionsgerade muss in der jeweiligen Ebene liegen. Also muss die Komponente der Geraden, die nicht in dieser Ebene liegt, gleich Null sein. Überlegen Sie dazu, welche Gleichung die jeweilige Koordinatenebene hat.. Parallele Geraden Überlegen Sie, wie die Richtungsvektoren der drei Geraden zueinander liegen müssen, damit die Geraden parallel sind. Die Geraden sollen echt parallel sein und nicht identisch. Wie kann man dies mit Hilfe der Eigenschaften der Stützvektoren ausschließen? 9

8 . Rechnen mit Vektoren Lösungen Geometrie Für alle Parameter bei Geraden und Ebenen gilt r, s, t, u,... I R, falls nicht anders angegeben. Rechnen mit Vektoren. Addition und Subtraktion von Vektoren Gegeben sind die Vektoren a = und b =. a) a + b = d) a = b) a b = e) a+ b = c) a = 8 f) a b = ( ) + + = g) a = ( ) + + = + + = h) b = + + = i) a + b = = + + = 9 =. Orthogonalität von Vektoren a) a b = = ( ) + + = a steht nicht orthogonal auf b. b) r n = c) z w = = + ( ) + ( ) = r steht orthogonal auf n. = + ( ) + = z steht orthogonal auf w.

9 Lösungen. Rechnen mit Vektoren. Auffinden von orthogonalen Vektoren Es sind Vektoren zu bestimmen, deren Skalarprodukt mit n Null ergibt. Dazu kann man zwei Komponenten des Vektors frei wählen, die dritte ergibt sich dann, z.b.: a =, denn a n = = + ( ) + ( ) = = b = c =, denn b n =, denn c n = = + + ( ) = =. Orts- und Verbindungsvektoren = + ( ) + ( ) = = Gegeben sind die Punkte A( ), B( ) und C( ). a) a =, b = b) AB = b a = AC = c a = BC = c b =, c = = = = c) Nein, ein Verbindungsvektor verbindet zwei beliebige Punkte. Ein Ortsvektor geht immer vom Ursprung zu einem Punkt.

10 . Rechnen mit Vektoren Lösungen. Verschiedene Aufgaben a) I) AB =, AC = 8, BC = damit ist das Dreieck gleichschenklig. II) AB = b) AB =, AC =, BC = und BC =, damit ist das Dreieck nicht gleichschenklig. AB AC = AB BC = AC BC =, AC = BC =, = + + = = = = + + =, es ist AB = AC =,, es ist AB = 8, AC = Da das Skalarprodukt von AB und BC gleich Null ist, stehen diese beiden Vektoren senkrecht aufeinander, d.h. das Dreieck ABC hat bei B einen rechten Winkel. OM = OA + AB = + c) I) = 8 M( ) II) OP = OA+ AB = + P( ) 9 =

11 Lösungen. Rechnen mit Vektoren d) I) Den Schwerpunkt S des Dreiecks ABC mit A( ), B( ) und C( ) erhalten Sie mit der Formel: ( s = a + ) b+ c = + + = e) I) S( ). = II) Den Schwerpunkt S des Dreiecks PQR mit P( ), Q( ) und R( ) erhalten Sie mit der Formel: s = ( p + q+ r) = + + = = S( ). OD = OA + BC = D( ) = II) OD = OB + AC = D ( ) 8 + = III) OD = OA + CB = D ( 9 ) + 8 = 9 f) I) Es ergeben sich folgende mögliche Vektorketten: OD = OA + BC = OE = OA + BF = OG = OC + BF = = 9 = D( ) = E( ) G( ) 9

12 . Rechnen mit Vektoren Lösungen OH = OD + BF = + = H( 9) 9 9 II) Die Länge der Raumdiagonalen AG ist die Länge des Verbindungsvektors AG: AG = AG = = = 8 g) Bei einem schiefen Dreiecksprisma sind folgende Kanten parallel: AD, BE und CF AD = BE = CF. Daher gilt: OE = OB + 8 AD = + = E(8 ) OF = OC + AD = + = F( ) Die Länge der Kante EF ist EF = = + + = LE.. Lineare Abhängigkeit a) Der Ansatz k = führt zu k = k = k = und damit zu k =, d.h. a und b sind linear abhängig. k = b) Der Ansatz k = führt zu = k = und damit zu einem Widerspruch, d.h. a und b sind linear unabhängig. k = c) Der Ansatz k = führt zu k = 9 9k = und damit zu k =, d.h. a und b sind linear abhängig. k = d) Der Ansatz k = führt zu k = 9 k = 9 und damit zu verschiedenen Werten für k, also sind a und b linear unabhängig.

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