hat genau eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn für die Determinante der Koeffizientenmatrix gilt:

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1 1 Determinnten Die Determinnte einer qudrtischen Mtrix ist eine reelle Zhl. Sie ermöglicht insbesondere eine Aussge über die Existenz der inversen Mtrix bzw. über die Lösbrkeit von lineren leichungssystemen. 1. Berechnung von zweireihigen Determinnten Bereits im rundkurs sind Determinnten ufgetreten, nämlich bei der Crmerschen Regel (Algebr Linere leichungssysteme). Im Folgenden sind zusmmenfssend einige Eigenschften drgestellt. Ein lineres leichungssystem + = wobei + = 0 oder 0 bzw. 0 oder 0 ht genu eine eindeutig bestimmte Lösung, wenn für die Determinnte der Koeffizientenmtrix gilt: det = = 0 In diesem Fll heisst die Mtrix regulär. Bemerkung: Sttt det A schreibt mn uch kurz oder Nch der us dem rundkurs beknnten Crmerschen Regel können die Lösungen des lineren leichungssystems ls Quotient zweier Determinnten drgestellt werden: b b b x 1 = x2 = b Aus dem Kpitel Vektorprodukt des rundkurses ist zusätzlich beknnt, dss die beiden Spltenvektoren und der Koeffizientenmtrix A ein Prllelogrmm ufspnnen, dessen orientierter Inhlt gerde gleich det ist. Die Beweise der folgenden Eigenschften von zweireihigen Determinnten ergeben sich us der Definition z.t. mit einigem Rechenufwnd. 1. Die Einheitsmtrix E = ht die Determinnte Stimmen bei einer Determinnte zwei Splten (Zeilen) überein, dnn ht die Determinnte den Wert 0.

2 2 3. Wird eine Splte (Zeile) mit dem Fktor λ multipliziert, so multipliziert sich die Determinnte mit λ d.h. bei einer Determinnte knn ein gemeinsmer Fktor vor die Determinnte gezogen werden = = = Die Determinnte ändert sich nicht, wenn zu einer Splte (Zeile) ein Vielfches einer ndern Splte (Zeile) ddiert wird. 6 1 = 24 5 = Addiert mn ds 6-fche der 2. Splte zur 1. Splte, so verändert sich der Wert der Determinnte nicht: 0 1 = 0 29 = Sind die Splten (Zeilen) von A liner bhängig (d.h. ist der Rng von A kleiner ls 2) dnn ist der Wert der Determinnte gleich 0. Beispiele: = = 0 6. Vertuscht mn zwei Splten (Zeilen) von A so wechselt die Determinnte ds Vorzeichen. 7 3 = 7 12 = = = Die Determinnte einer Dreiecksmtrix oder sogr Digonlmtrix ist ds Produkt der Elemente uf der Huptdigonlen = 15 7 = = Die Determinnte eines Mtrizenprodukts AB ist gleich dem Produkt der beiden Fktoren A und B = $ = 2 %$ = = 22 $ = 10 det%$ = 220 = $

3 3 2. Berechnung von dreireihigen Determinnten Der Fll n = 3 wurde ebenflls bereits im Kpitel Vektorrechnung ( Sptprodukt ) gelöst. Dort wurde gezeigt, dss ds orientierte Volumen eines Spts, ds von den drei Spltenvektoren der Mtrix ufgespnnt wird gilt: ' det% = det& ' ( ' ' '' = det ' ' det ' '' ' + ' det '' ' Die dreireihige Determinnte A knn lso uf zweireihige Determinnten, die sogennnten Unterdeterminnten zurückgeführt werden. Diese entstehen us der dreireihigen Determinnte, indem mn die erste Zeile und die j-te Splte (j = 1, 2, 3) streicht. Bezeichnet mn die Unterdeterminnten mit D11, D12 und D13 dnn gilt: det% = 1 ) * + 1 ) * + ' 1 )' * ' Diese Aussge ist ein Spezilfll des sogennnten Lplce schen Entwicklungsstzes. Sie gilt entsprechend uch für jede ndere Zeile oder Splte. Die lternierenden Vorzeichen bilden ein Schchbrettmuster % = & ( Es empfiehlt sich eine Entwicklung nch der 2. Zeile, d D22 wegen 22 = 0 nicht berechnet werden muss. * = = 17 * ' = = 21 det% = 4 1 ) )' 21 = = 110 Übungsufgben: ) A = ' b) Es ist zu überprüfen, ob die die folgenden Vektoren liner unbhängig sind = & 2(,+ = & 5( -+ = & 8( 3 Lösungen: ) 6 9 det% = = 6 b) Die Determinnte der folgenden Mtrix ist = & 2 4 2( Also sind die drei Vektoren liner bhängig, d.h. sie liegen prllel zur derselben Ebene.

4 4 3. Definition einer n-reihigen Determinnte Die Definition der Determinnte knn nun rekursiv erfolgen, indem mn die Berechnung einer n-reihigen Determinnte durch ihre Entwicklung z.b. nch der ersten Zeile definiert. 1 det% = / 0 1 )0 * 0 02 Allgemein gilt der folgende Entwicklungsstz von Lplce: 1 det% = / 1 3)4 34 * Die Entwicklung gilt lso uch, wenn sttt nch der ersten Zeile nch einer beliebigen Zeile (oder Splte) entwickelt wird. Die Unterdeterminnten * 34 entstehen us der ursprünglichen Determinnte, indem die i-te Zeile und die k-te Splte gestrichen werden. Bei der Bestimmung von = wird zweckmässigerweise nch der 2. Zeile entwickelt. = 1 ) * + 1 ) 6 * = = = Entwicklung nch der 1. Splte = = = Entwicklung nch der 2. Zeile = = = Übungsufgbe: Bestimme die Determinnte der folgenden Mtrix A % = F Lösung: Der Rechenufwnd ist miniml, wenn nch der 4. Splte entwickelt wird: = 3 1 ) = 3 2 =

5 5 Die für zweireihige Determinnten gültigen Eigenschften gelten sinngemäss uch für n-reihige Determinnten. Die z.t. ufwändigen Beweise sind in der Fchlitertur zu finden. 1. Der Wert einer Determinnte ändert sich nicht, wenn Zeilen und Splten miteinnder vertuscht werden d.h. es gilt: det H = det wobei H die trnsponierte Mtrix von bedeutet. 2. Beim Vertuschen zweier Zeilen (Splten) ändert eine Determinnte ds Vorzeichen. 3. Werden die Elemente einer Zeile (Splte) mit einer reellen Zhl λ multipliziert, so wird die Determinnte mit λ multipliziert. 4. Eine Determinnte ht den Wert Null, wenn eine Zeile (Splte) ls Linerkombintion der übrigen Zeilen (Splten) drgestellt werden knn. 5. Der Wert einer Determinnte ändert sich nicht, wenn zu einer Zeile (Splte) ein beliebiges Vielfches einer ndern Zeile (Splte) ddiert wird. 6. Für zwei beliebige n-reihige Mtrizen A und B gilt der Multipliktionsstz von Cuchy: det$ = $ 7. Ist A eine Dreiecksmtrix dnn ist ihre Determinnte gleich dem Produkt ihrer Digonlenelemente. = 11 Beispiele zu 4. ) = 0 der 2. Zeilenvektor ist der Nullvektor 1 b) = der 2. Zeilenvektor ist ein Vielfches des 1. Zeilenvektors 1 2 c) = = = = der 3. Spltenvektor ist eine Linerkombintion des 1. und 2. Spltenvektors

6 6 Mit den sieben Eigenschften und dem Entwicklungsstz ergibt sich eine weitere Möglichkeit Determinnten zu berechnen. Beispiele: ) 0 1 % = F multipliziere die letzte Splte mit (-1) und ddiere sie zu den übrigen Splten F ddiere die 1., Splte zur letzten Splte, so erhält mn eine Dreiecksmtrix F Die Determinnte ist ds Produkt der Digonlenelemente det = 3 b) = Zur 1. Zeile wird ds Doppelte der 4. Zeile ddiert = Die Determinnte wird nch der 1. Zeile entwickelt = Die dreireihige Determinnte wird nch der 3. Zeile entwickelt = = =

7 7 Übungsufgben: 1 3 ) % = F Tipp: Addiere z.b. geeignete Vielfche der 1. Splte zu den übrigen Splten so, dss dort Nullen erscheinen. 2 1 b). = F Tipp: Entwickle nch der 4. Splte 3 4 c) J = F d) * = F d) F = Lösungen: ) ddiere zur 2. Splte ds (-3)-fche der 1. Splte, die 1. Splte zur 3. und ds (-6)-fche der 1. Splte zur 4. Splte und entwickle nschliessend nch der 1. Splte det% = = = b) -30 c) 26 (nch der 2. Zeile entwickeln) d) 0 (geeignete Vielfche der 3. Zeile zur 1. bzw. 4 Zeile ddieren ergibt viele Nullen e) det. = 6 (Verllgemeinerung?)

8 8 Es existiert uch die folgende explizite Formel zur Berechnung einer Determinnte: det% = /KLMN,P,P.. 1,P1 P dbei ist über lle Permuttionen N der Zhlen 1, 2,.n zu summieren. Die Summe besteht lso us n! Summnden. KLMN ist + 1 für eine gerde, -1 für eine ungerde Permuttion. Bei den gerden Permuttionen ist die Anzhl der Fehlstände gerde, bei einer ungerden Permuttion ist die Anzhl der Fehlstände ungerde. Beispiele: ) Die Permuttion: ist ungerde, denn es gibt 3 Fehlstände, nämlich 2 > 1, 4 > 1, 4 > b) Die Permuttion erfordert 5 Vertuschungen benchbrter Elemente, um sie in die ntürliche Reihenfolge zu bringen zweireihige Mtrix % = = 2! Permuttionen 1 2 gerde Permuttion sgn π(1) = ungerde Permuttion sgn π(2) = -1 det % = Bemerkung: Dmit steht fest, dss die Srrus sche Regel nur im Fll n = 3 gelten knn, denn sie würde für n > 3 nur einen Teil der Permuttionen umfssen. 4. Reguläre Mtrizen Definition: Eine n-reihige qudrtische Mtrix heisst regulär, wenn ihre Determinnte von 0 verschieden ist. Es knn gezeigt werden, dss eine regulären Mtrix A uch umkehrbr ist, d.h. es gilt: % % R = % R % = S wo E die Einheitsmtrix bedeutet. Als Folgerung der Eigenschft det$ = $ gilt für die Determinnte der inversen Mtrix det% R = 1 det%

9 9 Die inverse Mtrix knn nch dem uss-algorithmus oder uch mit den bereits erwähnten (n 1)-reihigen Unterdeterminnten Dik nch dem folgenden Stz gebildet werden. Stz: Zu jeder regulären n-reihigen Mtrix A existiert genu eine inverse Mtrix A -1 % R = UVWX [ Z Y % %.. % 1 %.. %.... % 1.. % 1 % 1.. ^ ] % 11 \ wobei % 30 = 1 3)0 * 30 Die Elemente * 30 entstehen us det A, wenn die i te Zeile und die k-te Splte gestrichen werden. Es ist zu bechten, dss in der i-ten Zeile und k-ten Splte nicht ds Element ik sondern ds Element ki steht. Folgerung: Sind die Elemente der Mtrix A gnzzhlig und gilt det% = ±1, dnn sind uch die Elemente der inversen Mtrix gnzzhlig, womit ds im Kpitel Mtrizen Abschnitt Berechnung der inversen Mtrix erwähnte Rätsel gelöst ist. Beispiele: ) zweireihige Mtrizen (bereits erwähnt in Mtrizen Abschnitt Berechnung der inversen Mtrix ) % = det% = - - Die Unterdeterminnten sind in diesem einfchen Fll: D11 = d D12 = c D21 = b D22 = Mit diesen Elementen wird nch der Vorzeichenregel die folgende Mtrix gebildet - Die Zeilen und Splten werden vertuscht, die Mtrix lso trnsponiert: - Die Mtrix ist noch durch die Determinnte von A zu dividieren: % R = 1 det% - = b) A = mit det A = -1 Die Unterdeterminnten ergeben sich zu D11 = = -1 D12 = = 2 D13 = = 0

10 10 D21 = = 1 D22 = = -2 D23 = = 1 D31 = = 4 D32= = -7 D23 = = 4 Mit diesen Elementen wird nch der Vorzeichenregel die folgende Mtrix gebildet Diese Mtrix ist zu trnsponieren, d.h. es sind Zeilen und Splten zu vertuschen D die Determinnte den Wert -1 ht sind lle Elemente dieser Mtrix noch durch (-1) zu dividieren, d.h. sie wechseln ds Vorzeichen. A -1 = Multipliziert mn zur Kontrolle A -1 mit A so erhält mn wie erwrtet die Einheitsmtrix I3 A -1 A = 5. Die Crmersche Regel Ist die Koeffizientenmtrix A eines (n n)-leichungssystems regulär, d.h. ist det A 0, dnn ht ds System %+ =,+ genu eine Lösung. Multipliziert mn diese leichung von links mit A -1 so erhält mn R %+ = R,+ + = R,+ Berechnet mn die inverse Mtrix mit den Unterdeterminnten, so ergibt sich die folgende Crmersche Regel Ein lineres (n n)-system %+ =,+ mit regulärer Koeffizientenmtrix A ht die eindeutig bestimmte Lösung 3 = * 3 _ = 0 1,2,,M det% dbei bedeutet Di die Hilfsdeterminnte die us det A hervorgeht, indem mn die i-te Splte durch die Absolutglieder c1, c2,., cn ersetzt.

11 11 `,+ = det% * * * ' b UVWX c Rd 4 e UVWX d Rd 5 ' f UVWX d Rd 3 Ds leichungssystem ht folglich die Lösung: 4 5 ' 3 Übungsufgbe: Lösung des lineren leichungssystems mit der Crmerschen Regel: ' ' 30 Lösung: Ds qudrtische System ist für eine reguläre Koeffizientenmtrix eindeutig lösbr det% * * * ' ' 0 Bemerkung: Die rechenufwändige Crmersche Regel ist in der Theorie wichtig. Es wird nicht empfehlen, sie bei konkreten Beispielen zu verwenden.

12 12 6. Lösungsverhlten eins qudrtischen lineren leichungssystems 6.1. Inhomogenes System g,+ h,+ Nch den Ausführungen im Abschnitt uss-algorithmus ist ein inhomogenes lineres (n n)-system %+,+ nur dnn lösbr, wenn die Koeffizientenmtrix A und die erweiterte Koeffizientenmtrix i%j,+k den gleichen Rng hben: Rg(A) = Rgi%j,+k l 1. Fll det 0 A ist regulär Rg(A) = Rgi%j,+k = M: =,+ ht genu eine Lösung. 2. Fll: det = 0 A ist singulär Rg(A) = Rgij,+k = l < n Rg(A) Rgij,+k =,+ ht unendlich viele Lösungen mit n r Prmetern 6.2. Homogenes System g,+ = q,+ + =,+ ht keine Lösung 1. Fll: det 0 r ist regulär g,+ = q,+ ht genu eine Lösung, nämlich die trivile g,+ = q, Fll: det% = 0 A ist singulär g,+ = q,+ ht neben der trivilen Lösung g,+ = q, unendlich viele Lösungen mit n r Prmetern. Beispiele: zu 6.1.1: ' = ' = ' = 3 Die Koeffizientenmtrix A des leichungssystems ist regulär = = Mit dem uss-algorithmus erhält mn die erweiterte Mtrix s t Und nch Rückwärtseinsetzen die Lösung =6, = 4, ' = 1

13 13 zu 6.1.2: + ' = ' = ' = 0 Die Koeffizientenmtrix A des leichungssystems ist singulär = = 0 dmit ist Rg(A) < die erweiterte Mtrix s t ht den Rng 3, denn sie ht eine von Null verschiedene Unterdeterminnte % = = Ds System ist unlösbr. Dies ist uch mit dem usslgorithmus zu erkennen Offensichtlich ist der Rng der Koeffizientenmtrix r = 2, der Rng der erweiterten Mtrix dgegen r = 3. zu ' = 0 2 ' = ' = 0 Die Koeffizientenmtrix A des leichungssystems ist regulär (vgl ) % = = ds System ht folglich nur die trivile Lösung. zu ' = ' = = 0 Die Koeffizientenmtrix A des homogenen leichungssystems ist singulär % = = Ds homogene System ht lso unendlich viele Lösungen, die sich mit dem uss- Algorithmus bestimmen lssen ' = 0 2 = ' = 2u 7 2 ' = = 4u 7 0 ' = 0 ' = 4u Die Lösung hängt wegen n r = 3 2 = 1 noch von einem Prmeter b ' = 4u, = 2u, = u

14 14 Zusmmenfssung: Die folgenden Aussgen über eine (n n)-mtrix sind äquivlent: ) Die leichung des homogenen Systems g,+ = q,+ ht die eindeutige Lösung g,+ = q,+ b) Für jeden beliebigen n-dimensionlen Spltenvektor h,+ ht ds inhomogene System g,+ = h,+ eine eindeutige Lösung. c) Die Mtrix A ist regulär, ds heisst es existiert die inverse Mtrix A -1. d) det% 0 e) Die reduzierte Zeilenstufenform von A ist die n-te Einheitsmtrix f) A lässt sich ls Produkt von Elementrmtrizen schreiben. 7. Rngbestimmung einer Mtrix mit Determinnten Der Rng einer beliebigen (m n)-mtrix knn beknntlich mit elementren Zeilenumformungen bestimmt werden. Er knn ber uch - u.u. mit erheblichem Rechenufwnd - uch mit Unterdeterminnten bestimmt gemäss der folgenden Definition: Unter dem Rng einer Mtrix A vom Typ (m, n) wird die höchste Ordnung r ller von Null verschiedenen Unterdeterminnten von A verstnden Rg(A) = r Spezilfll: Bei einer regulären Mtrix ist Rg(A) gleich bedeutend mit det A 0: vl% M det % % = s t Der Rng der Mtrix A knn höchstens 3 sein = = = = D lle dreireihigen Determinnten verschwinden, knn der Rng höchstens 2 sein. D die zweireihige Unterdeterminnte = 3 nicht verschwindet, ht die Mtrix A den Rng r = 2.

15 15 Kontrolle: Die Mtrix knn mit elementren Zeilenumformungen uf die folgende Form gebrcht werden: Der Rng r ist gleich der Anzhl der liner unbhängigen Zeilenvektoren oder der Anzhl der führenden Einsen, lso r = 2. Übungsufgbe: Rngbestimmung mit Unterdeterminnten: % F Lösung: Die Mtrix ht 4 Zeilen, ber nur 3 Splten. Der Rng knn dmit höchstens 3 sein. Zwr verschwinden lle dreireihigen Determinnten. D die zweireihige Unterdeterminnte 1 0 = 1 0 ist der Rng