3. Isoparametrische Elemente

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "3. Isoparametrische Elemente"

Transkript

1 3. Isoparametrische lemente Mit dem einfachen Rechteckelement lassen sich nur Probleme mit einer sehr einfachen Geometrie berechnen. Vielseitigere lemente lassen sich formulieren, wenn neben den Verschiebungen auch die Geometrie interpoliert wird. In der Regel werden dabei die gleichen Interpolationsfunktionen für die Geometrie und für die Verschiebungen verwendet. Diese lemente werden daher als isoparametrische lemente bezeichnet. FM 4.3-

2 3. Isoparametrische lemente. Lineares Viereck-lement. Quadratische Viereck-lemente 3. Dreieck-lemente 4. Diskretisierungsregeln FM 4.3-

3 3. Lineares Viereck-lement Geometrie: s y (-, ) 3 y3 4 (, ) 3 4 y4 r y y ½ (x - x) x x4 (-, -) ½ (x + x) x3 x (, -) x FM 4.3-3

4 3. Lineares Viereck-lement Interpolation: Bei einem linearen lement werden lineare Interpolationsfunktionen verwendet. Die lementkanten sind gerade Linien. Für Punkte auf der Kante - gilt: x r = r x x x x = r x r x, r Für Punkte auf der Kante 4-3 gilt: x 43 r = r x 3 r x 4, r FM 4.3-4

5 3. Lineares Viereck-lement Jeder Punkt im lement liegt zwischen diesen beiden Kanten: x r, s = s x s x 43 = s r x s r x 4 4 s r x 3 s r x = N r, s x N r, s x N 3 r, s x 3 N 4 r, s x 4 Die Interpolationsfunktionen stimmen mit den beim einfachen Rechteckelement verwendeten Interpolationsfunktionen überein. Für die Interpolationsfunktionen gilt: N r, s N r, s N 3 r, s N 4 r, s = FM 4.3-5

6 3. Lineares Viereck-lement Die Koordinaten der lementknoten werden in der Matrix der Knotenpunktskoordinaten zusammengefasst: T [x ] =[ x y x 4 y4] Mit der Interpolationsmatrix [ N 0 N 0 N3 0 N4 0 N 0 N 0 N3 0 [ x r, s = [ N r, s ] [ x ] y r, s [ N r, s ]= 0 N4 ] gilt: [ x e r, s ]= ] FM 4.3-6

7 3. Lineares Viereck-lement Ableitungen: Die Ableitungen der Koordinaten nach den Parametern r und s berechnen sich zu e x N = r r e x N = s s [ ][ ] [ ][ ] [x ], [ x ] In Komponenten gilt: 4 4 Nk Nk x y = xk, = yk r k = r r k = r 4 4 Nk Nk x y = xk, = yk s k = s s k = s FM 4.3-7

8 3. Lineares Viereck-lement Für eine beliebige Funktion x, y gilt: x y x y =, = r x r y r s x s y s In Matrix-Schreibweise lauten diese Beziehungen: x r r = x s s y r y s x = [ J r, s ] y x y [ ] [ ][ ] [ ] Die Matrix [ J r, s ] heißt Jacobi-Matrix. Ihre lemente hängen linear von r und s ab. FM 4.3-8

9 3. Lineares Viereck-lement Flächenelement: e e Die Vektoren x / r bzw. x / s sind parallel zu den Linien, auf denen s bzw r konstant ist. xe xe da=det, dr ds r s r = const. e x s da e x r s = const. x r = y r x s dr ds y s =det [ J ] dr ds= J dr ds FM 4.3-9

10 3. Lineares Viereck-lement Die Jacobi-Determinante x y x y J =det [ J ] = r s s r ist eine bilineare Funktion in r und s. Bei einem Parallelogramm ist die Jacobi-Determinante konstant. Verzerrte lemente: Die Beziehung zwischen den Koordinaten (x, y) und den Parameterwerten (r, s) muss umkehrbar eindeutig sein. Dann ist die Jacobi-Determinante in jedem Punkt des lements positiv. FM 4.3-0

11 3. Lineares Viereck-lement Diese Bedingung ist verletzt, wenn zwei Knotenpunkte zusammen fallen oder wenn sich das lement überschneidet. Wenn eine Kantenlänge sehr klein im Vergleich zu den Längen der anderen Kanten ist oder ein Winkel sehr spitz ist, dann ist die Jacobi-Determinante in der Nähe der entsprechenden Knoten nahezu null. Derartig verzerrte lemente sind zu vermeiden. FM 4.3-

12 3. Lineares Viereck-lement 4 Falsch! 4 Falsch! 3 4 Schlecht! 3 Schlecht! FM 4.3-

13 3. Lineares Viereck-lement Verschiebungen: Für die Verschiebungen wird der gleiche Ansatz verwendet wie beim einfachen Rechteckelement: [ e u [ r, s ]= u x r, s = [ N r, s ] [ u ] u y r, s ] Mit diesem Verschiebungsansatz lassen sich die Starrkörperbewegungen darstellen: Translationen: T [ u ] =[ u 0 x u 0 y u 0 x u0 y u0 x u0 y u0 x u 0 y ] [ ue r, s ]= N N N 3 N 4 u 0 x = u 0 x N N N 3 N 4 u0 y u0 y [ ][ ] FM 4.3-3

14 3. Lineares Viereck-lement Rotation um den Ursprung des Koordinatensystems: T [u ] = [ y x y x y 3 x 3 y 4 x 4 ] [ ue r, s ]= N y N y N 3 y 3 N 4 y 4 = y [ N x N x N 3 x 3 N 4 x 4 ] [ ] x Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix: Für die Berechnung der Dehnungen werden die Ableitungen der Ansatzfunktionen nach x und y benötigt. Die Ableitungen nach den Parametern r und s können unmittelbar aus den Ansatzfunktionen berechnet werden. FM 4.3-4

15 3. Lineares Viereck-lement Aus Nk x r r = Nk x s s y r y s Nk x =[ J r, s ] Nk y Nk x, k =,, 4 Nk y [ ] [ ][ ] [ ] [] [] folgt: Nk x =[ J r, s ] Nk y Nk r Nk s FM 4.3-5

16 3. Lineares Viereck-lement Die inverse Jacobi-Matrix berechnet sich zu y y r [ J ] = s x J x s r [ ] Die lemente der inversen Jacobi-Matrix sind gebrochen rationale Funktionen. Der Zähler ist ein Polynom ersten Grades und der Nenner ein Polynom zweiten Grades in r und s. Die inverse Jacobi-Matrix existiert, wenn die Jacobi-Determinante nicht null ist. FM 4.3-6

17 3. Lineares Viereck-lement Mit den Ableitungen der Ansatzfunktionen lässt sich die Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix aufstellen: [ B ]= [ N x 0 N N y N y x 0 N x 0 N N y N y x 0 N3 x 0 N4 x 0 N3 N3 y N3 N4 N4 y N4 y x y x 0 0 ] Die lemente dieser Matrix sind gebrochen rationale Funktionen in r und s. FM 4.3-7

18 3. Lineares Viereck-lement Steifigkeitsmatrix: Die Steifigkeitsmatrix berechnet sich aus T T [ k ]= [ B ] [ C ] [ B ] dv = [ B ] [ C ] [ B ] t J dr V ds Der Integrand ist eine gebrochen rationale Funktion in r und s. Das Integral wird in der Regel mit der Gauß-Integration berechnet, wobei die Anzahl der Integrationspunkte so gewählt wird, dass ein rechteckiges lement exakt integriert wird. FM 4.3-8

19 3. Lineares Viereck-lement Bei einem rechteckigen lement ist der Integrand ein Polynom zweiten Grades in r und s. Daher ist eine Integration mit x Integrationspunkten ausreichend. Diese Integrationsordnung ergibt bei nicht rechteckigen lementen eine brauchbare Näherung, wenn die lemente nicht zu stark verzerrt sind. FM 4.3-9

20 3. Lineares Viereck-lement Bewertung: Das lement stimmt mit dem einfachen Rechteckelement überein, wenn es rechteckig ist. s hat daher im Wesentlichen dieselben igenschaften: Konstante Dehnungen können exakt dargestellt werden. ine reine Biegung kann nicht dargestellt werden, da die Schubspannung nur im Mittelpunkt des lements null wird. Je stärker das lement von der Rechteckform abweicht, desto ungenauer sind die rgebnisse. FM 4.3-0

21 3. Lineares Viereck-lement Beispiel: Patch-Test (Bruce Irons, 966) in lement muss in der Lage sein, konstante Spannungen korrekt wiederzugeben, auch wenn es verzerrt ist. Für den Test wird eine rechteckige Scheibe mit unregelmäßigen verzerrten lementen diskretisiert und so belastet, dass die exakten Spannungen konstant sind. FM 4.3-

22 3. Lineares Viereck-lement 50 5 Aufgabenstellung: 5 Diskretisierung: Dicke: t = 5 00 Welchen Wert haben die exakten Spannungen? FM 4.3-

23 3. Lineares Viereck-lement Spannungen an den Gauß-Punkten: FM 4.3-3

24 3. Quadratische Viereck-lemente Konstruktion der Interpolationsfunktionen: Die Interpolationsfunktionen lassen sich durch sukzessives Hinzufügen weiterer Knoten konstruieren. Knoten 5 auf der Kante -: s (, ) (-, ) r 5 (-, -) 5 (, -) FM 4.3-4

25 3. Quadratische Viereck-lemente Die Interpolationsfunktion N5 muss am Knoten 5 den Wert eins und an allen anderen Knoten den Wert null haben: N 5 r, s = r s Die Interpolationsfunktionen N und N müssen so geändert werden, dass sie am Knoten 5 null werden: N r, s = r s N 5 r, s 4 N r, s = r s N 5 r, s 4 FM 4.3-5

26 3. Quadratische Viereck-lemente FM 4.3-6

27 3. Quadratische Viereck-lemente Auf die gleiche Weise können Knoten zu den übrigen drei Kanten hinzugefügt werden. in neunter Knoten kann im Inneren des lements eingefügt werden: N 9 r, s = r s Die übrigen Interpolationsfunktionen sind so zu modifizieren, dass sie an dem jeweils neu eingefügten Knoten null werden, ohne dass sich ihr Wert an den anderen Knoten ändert. Das lässt sich durch Subtraktion eines Vielfachen der neu hinzukommenden Interpolationsfunktion erreichen. FM 4.3-7

28 3. Quadratische Viereck-lemente s 4 7 y (, ) (-, ) (-, -) r (, -) x FM 4.3-8

29 3. Quadratische Viereck-lemente N = N = N 3= N 4= N 5= N 6= N 7= N 8= N 9= r s N 5 N8 4 r s N 5 N 6 4 r s N6 N7 4 r s N7 N8 4 r s r s r s r s r s N9 4 N9 4 N9 4 N9 4 N9 N9 N9 N9 FM 4.3-9

30 3. Quadratische Viereck-lemente inschränkungen: Die auf den Kanten eingefügten Knoten sollten möglichst in der Mitte zwischen den entsprechenden ckknoten liegen. Der innere Knoten sollte möglichst im Schwerpunkt des lements liegen. Wenn die Knoten auf den Kanten zu nahe bei den ckknoten liegen, schießt das lement über: FM

31 3. Quadratische Viereck-lemente Quadratisches lement mit 9 Knoten: Das lement hat einen vollständigen quadratischen Ansatz, d.h. es sind alle Produkte der Funktionen, r, r mit den Funktionen, s, s in den Ansatzfunktionen enthalten. Wenn alle Kanten gerade sind, kann das lement lineare Dehnungsverläufe exakt darstellen. In der Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix treten lemente auf, die quadratisch von r oder s abhängen. Für die Berechnung der Steifigkeitsmatrix müssen daher mindestens 3 x 3 Integrationspunkte verwendet werden. FM 4.3-3

32 3. Quadratisches Viereck-lement FM 4.3-3

33 3. Quadratische Viereck-lemente Knotenpunktskräfte für eine konstante Volumenlast: Betrachtet wird ein rechteckiges lement, auf das eine konstante Volumenlast wirkt: a [ f e ]= fx, f x =const. 0 [ ] b Für die zugehörigen Knotenpunktskräfte gilt: T [ f ]= [ N ] dv [ f e ] V Mit dv =a b t dr ds folgt: T [ f ]=a b t [ N ] dr ds [ f e ] FM

34 3. Quadratische Viereck-lemente Berechnung der Integrale: N 6 r, s dr ds= = r dr s ds = = N 5 r, s dr ds= N 9 r, s dr ds= r dr s ds= N 7 r, s dr ds= N 8 r, s dr ds= N r, s dr ds= = N r, s dr ds= N 3 r, s dr ds= N 4 r, s dr ds= FM

35 3. Quadratische Viereck-lemente rgebnis: V =4 a b t f x= f x= f 3 x = f 4 x = V fx 36 f 5 x= f 6 x= f 7 x= f 8 x = V f x 9 4 f 9x= V f x 9 Die größte Kraft greift am inneren Knoten an, während die Kräfte an den ckknoten am kleinsten sind. FM

36 3. Quadratische Viereck-lemente Quadratisches lement mit 8 Knoten: lemente höherer Ordnung ohne innere Knoten werden als Serendipity-lemente bezeichnet. Das lement hat einen unvollständigen quadratischen Ansatz, da der Term rs fehlt. Lineare Dehnungsverläufe können nur dann exakt dargestellt werden, wenn das lement ein Parallelogramm ist. FM

37 3. Quadratische Viereck-lemente FM

38 3. Quadratische Viereck-lemente Knotenpunktskräfte für eine konstante Volumenlast: Betrachtet wird ein rechteckiges lement, auf das eine konstante Volumenlast wirkt: a [ f e ]= fx, f x =const. 0 [ ] b Für die zugehörigen Knotenpunktskräfte gilt: T [ f ]= [ N ] dv [ f e ] V Mit dv =a b t dr ds folgt: T [ f ]=a b t [ N ] dr ds [ f e ] FM

39 3. Quadratische Viereck-lemente Die Berechnung der Integrale ergibt: V =4 a b t f x = f x = f 3 x = f 4 x = V fx f 5 x= f 6 x= f 7 x= f 8 x = V f x 3 Die Kräfte an den ckknoten wirken in die entgegengesetzte Richtung! FM

40 3. Quadratische Viereck-lemente Fehlerabschätzung: Ist h eine typische Länge einer lementkante und N die Anzahl der lemente, dann gilt für den Fehler in den Dehnungen bei lementen, die konstante Dehnungen korrekt darstellen können: C C h= N bei lementen, die lineare Dehnungen korrekt darstellen können: C C h = N Die Konstanten C und C hängen vom Problem ab. FM

41 3. Quadratische Viereck-lemente Bewertung: Quadratische lemente liefern bessere rgebnisse als lineare, sofern sie nicht stark verzerrt sind. Wegen der größeren Anzahl von Integrationspunkten erfordert das Aufstellen der Steifigkeitsmatrizen mehr Rechenzeit. Da quadratische lemente mehr Knoten miteinander verbinden als lineare, enthält die Steifigkeitsmatrix der Gesamtstruktur weniger Nullelemente. Wenn die lemente klein sein müssen, um geometrische Details abbilden zu können, werden in der Regel lineare lemente verwendet. FM 4.3-4

42 3. Quadratische Viereck-lemente Beispiel: 50 y x q h 500 Die abgebildete rechteckige Scheibe ist am linken nde fest eingespannt und wird am rechten nde durch den Schubfluss q belastet. Gesucht sind die Verschiebungen und die Spannungen. FM 4.3-4

43 3. Quadratische Viereck-lemente Daten: Dicke t = mm lastizitätsmodul = 0000MPa, Poisson-Zahl ν = 0,3 Schubfluss: y q y y =q 0 h mit q 0 =5 N / mm rgebnisse der elementaren Biegetheorie: Verschiebung am rechten nde: u y L =9,54 mm Maximale Spannung: xmax =600 MPa FM

44 3. Quadratische Viereck-lemente Diskretisierungen: Die rgebnisse werden mit Q8 lementen und mit Q9 lementen berechnet. Dabei werden jeweils drei verschieden feine Diskretisierungen verwendet. a) x 0 lemente: b) x 0 lemente: c) 5 x 50 lemente: FM

45 3. Quadratische Viereck-lemente Verschiebung am freien nde: a b c Q4-6,466-8,56-9,390 mm Q8-9,507-9,565-9,578 mm Q9-9,547-9,57-9,579 mm FM

46 3. Quadratische Viereck-lemente Spannungen (Q9): Diskretisierung b) σx(x, y) Diskretisierung c) σx(x, y) FM

47 3. Quadratische Viereck-lemente Diskretisierung b) σy(x, y) Diskretisierung c) σy(x, y) FM

48 3. Quadratische Viereck-lemente Diskretisierung b) τxy(x, y) Diskretisierung c) τxy(x, y) FM

49 3.3 Dreieck-lemente Lineares Dreieck-lement: Geometrie: s 3 (0, ) 3 (0, 0) (, 0) r FM

50 3.3 Dreieck-lemente Interpolation: Linearer Interpolationsansatz: x r, s =a 0 a r r a s s, y r, s =b0 b r r b s s 0 r, 0 s r Die 6 unbekannten Koeffizienten lassen sich aus den sechs Bedingungen für die Knoten bestimmen: x = a0 y = b0 x = a 0 a r, y = b 0 b r x 3 = a 0 a s y 3 = b 0 b s a0 = x b0 = a r = x x, b r = as = x 3 x bs = y y y y 3 y FM

51 3.3 Dreieck-lemente Damit gilt x r, s = x x x r x 3 x s= r s x r x s x 3 = [ r s r mit x x s ] x =[ N N N 3 ] x x3 x3 [] [] N r, s = r s, N r, s =r, N 3 r, s =s ntsprechend folgt: y r, s = [ N N N 3 ] y y y3 [] FM 4.3-5

52 3.3 Dreieck-lemente Die Interpolationsmatrix lautet: [ N ]= [ N 0 N 0 N3 0 N 0 N 0 0 N3 ] Ableitungen: Die Ableitungen der Koordinaten nach den Parametern berechnen sich zu x x y y =x x, = x 3 x, = y y, = y 3 y r s r s Die Ableitungen sind konstant. FM 4.3-5

53 3.3 Dreieck-lemente Für die Jacobi-Matrix folgt: Die Jacobi-Determinante ist [ J ]= [ x x x 3 x y y y 3 y ] J = x x y 3 y x 3 x y y Jacobi-Matrix und Jacobi-Determinante sind konstant. FM

54 3.3 Dreieck-lemente Verschiebungen: Für die Verschiebungen wird der gleiche Interpolationsansatz wie für die Geometrie verwendet: u x r, s [ u r, s ]= = [ N r, s ] [ u ] u y r, s e [ ] Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix: Ableitungen der Ansatzfunktionen nach den Koordinaten: Nk x = [ J r, s ] Nk y Nk r Nk s [] [] FM

55 3.3 Dreieck-lemente Die Ableitungen der Interpolationsfunktionen sind: N r Mit =, [J ] N = N r =, y 3 y J x x 3 [ N3 r N =0, y y x x s ] =, N s =0, N3 s = folgt: y y y y = y y3 3 x J J N = x x 3 x x = x 3 x y J J N N = y 3 y, = x x 3 x y J J = FM

56 3.3 Dreieck-lemente N3 N3 = y y, = x x x y J J Damit lautet die Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix: [ B ]= J [ y y 3 0 x 3 x 0 x 3 x y y 3 y 3 y 0 x x 3 0 x x 3 y 3 y y y 0 x x 0 x x y y ] Die Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix ist konstant. Daher sind die Dehnungen und die Spannungen im lement konstant. FM

57 3.3 Dreieck-lemente Steifigkeitsmatrix: T T [ k ]= [ B ] [ C ] [ B ] dv = [ B ] [ C ] [ B ] t J ds V =t J T r 0 r [ B ] [ C [ B ] dr tj T [ B ] [C [ B ] ds dr= Dabei wurde benutzt, dass das verbleibende Integral gleich der Fläche des rechtwinkligen Dreiecks in der Parameterebene ist. FM

58 3.3 Dreieck-lemente Quadratisches Dreieck-lement: Die Interpolationsfunktionen für eine quadratisches Dreiecklement lassen sich wie bei den Viereck-lementen durch Hinzufügen von drei weiteren Knoten auf den Kanten konstruieren. s 3, , ,5,0 r FM

59 3.3 Dreieck-lemente N = r s N = r N 3= s N4 N6 N4 N5 N5 N6 N 4 = 4 r r s N 5= 4r s N 6 = 4 s r s FM

60 3.3 Dreieck-lemente Wenn alle Kanten gerade sind, kann das lement lineare Dehnungsverläufe exakt darstellen. Steifigkeitsmatrix: Die lemente der Verzerrungs-Verschiebungs-Transformationsmatrix sind linear in r und s. Für die Berechnung der Steifigkeitsmatrix werden drei Integrationspunkte verwendet: r s w 0,5 0 /6 0,5 0,5 / ,5 /6 Damit ist das Integral für lemente mit geraden Kanten exakt. FM

61 3.3 Dreieck-lemente Bewertung: Da das lineare Dreieck-lement nur konstante Dehnungen darstellen kann, müssen die lemente sehr klein sein, um gute rgebnisse zu liefern. Lineare Dreieck-lemente sollte daher möglichst vermieden werden. Sie werden in der Regel im Zusammenhang mit linearen Viereck-lementen verwendet, wenn es die Geometrie erfordert. Quadratische Dreieck-lemente liefern gute rgebnisse, wenn die Kanten nicht zu stark gekrümmt sind. Sie werden in der Regel von automatischen Netzgeneratoren verwendet, die nur Dreieck-lemente generieren können. FM 4.3-6

62 3.3 Dreieck-lemente Beispiel: 50 y x q h 500 Die abgebildete rechteckige Scheibe ist am linken nde fest eingespannt und wird am rechten nde durch den Schubfluss q belastet. Gesucht sind die Verschiebungen und die Spannungen. FM 4.3-6

63 3.3 Dreieck-lemente Daten: Dicke t = mm lastizitätsmodul = 0000MPa, Poisson-Zahl ν = 0,3 Schubfluss: y q y y =q 0 h mit q 0 =5 N / mm rgebnisse der elementaren Biegetheorie: Verschiebung am rechten nde: u y L =9,54 mm Maximale Spannung: xmax =600 MPa FM

64 3.3 Dreieck-lemente Diskretisierungen: Die rgebnisse werden mit T3 lementen und mit T6 lementen berechnet. Dabei werden jeweils drei verschieden feine Diskretisierungen verwendet. a) x 0: b) x 0: c) 5 x 50: FM

65 3.3 Dreieck-lemente Verschiebung am freien nde: a b c Q4-6,466-8,56-9,390 mm Q8-9,507-9,565-9,578 mm Q9-9,547-9,57-9,579 mm T3 -,0-5,57-8,4 mm T6-9,507-9,564-9,577 mm FM

66 3.4 Diskretisierungsregeln Auswahl der lemente: lemente mit einem quadratischen Verschiebungsansatz sind besser als lemente mit einem linearen Verschiebungsansatz. Die Serendipity-lemente sind bei niedrigerem Rechenaufwand nur geringfügig schlechter als lemente mit einem vollständigen quadratischen Ansatz. Viereck-lemente sind besser als Dreieck-lemente. Dreieck-lemente mit linearem Verschiebungsansatz sind möglichst zu vermeiden. FM

67 3.4 Diskretisierungsregeln Wenn eine feine Diskretisierung nötig ist, um die Details der Geometrie abzubilden, werden in der Regel lemente mit einem linearen Verschiebungsansatz verwendet. Diese Regeln gelten sinngemäß auch für dreidimensionale Volumenelemente und für Schalenelemente. Bei Volumenelementen sind Hexaeder-lemente besser als Pentaederelemente. Am schlechtesten sind Tetraederlemente. Tetraeder-lemente mit einem linearen Verschiebungsansatz sind zu vermeiden. FM

68 3.4 Diskretisierungsregeln Beispiel: y 50 x q h 500 Die abgebildete rechteckige Scheibe ist am linken nde fest eingespannt und wird am rechten nde durch den Schubfluss q belastet. Untersucht wird die Verschiebung am freien nde in Abhängigkeit vom lementtyp und der Anzahl der Freiheitsgrade. FM

69 3.4 Diskretisierungsregeln Verschiebung am freien nde: FM

70 3.4 Diskretisierungsregeln Vernetzung: Die rgebnisse lassen sich leichter interpretieren, wenn symmetrische Teile der Struktur auch symmetrisch vernetzt werden, die Vernetzung möglichst regelmäßig ist. Die lemente sollten möglichst wenig verzerrt sein, d.h. Viereck-lemente sollten möglichst wenig von der Rechteckform abweichen. Bei lementen mit einem quadratischen Verschiebungsansatz sollten die Kanten möglichst gerade sein und die Zwischenknoten in der Mitte zwischen den ckknoten liegen. FM

71 3.4 Diskretisierungsregeln influss der Verzerrung: y δ q h x L Diskretisierung: Verzerrungsfaktor: = L FM 4.3-7

72 3.4 Diskretisierungsregeln Verschiebung am freien nde: Q4, Q8, Q9 Q8, Q9 FM 4.3-7

73 3.4 Diskretisierungsregeln lemente mit einem quadratischen Verschiebungsansatz sind weniger empfindlich gegenüber Verzerrungen als lemente mit einem linearen Verschiebungsansatz. Kommerzielle F- Programme verwenden in der Regel leistungsfähigere lineare lemente als das hier gezeigte isoparametrische lement. FM

74 3.4 Diskretisierungsregeln Unstetigkeiten: An einspringenden cken ist die Spannung unendlich groß. Mit zunehmender Netzverfeinerung werden die berechneten Spannungen daher immer größer und konvergieren nicht gegen einen festen Wert. Für eine genaue Untersuchung muss daher die tatsächliche Ausrundung der einspringenden Kante mit berücksichtigt werden. Bei realen Bauteilen kann an einspringenden cken Plastifizierung auftreten, wodurch die Spannungsspitzen abgebaut werden. FM

75 3.4 Diskretisierungsregeln Wenn die Länge einer lementkante und der Radius der Ausrundung die gleiche Größenordnung haben, muss der Radius mit abgebildet werden. R FM

76 3.4 Diskretisierungsregeln An den Stellen, an denen inzelkräfte angreifen, werden die Spannungen ebenfalls unendlich groß. Wenn die Krafteinleitung untersucht werden soll, muss deshalb die inzelkraft durch die tatsächliche Flächenkraft ersetzt werden, sobald die Länge einer lementkante und die Abmessungen der Fläche, auf der die Flächenkraft wirkt, die gleiche Größenordnung haben. F q FM

3. Praktische Anwendung

3. Praktische Anwendung 3. Praktische Anwendung 3.1 Berechnungsprozess 3.2 Modellbildung 3.3 Diskretisierung 3.4 Festigkeitsnachweis 3.3-1 3.1 Berechnungsprozess Idealisierung Physikalisches Problem Preprocessor Mathematisches

Mehr

4. Das Verfahren von Galerkin

4. Das Verfahren von Galerkin 4. Das Verfahren von Galerkin 4.1 Grundlagen 4.2 Methode der finiten Elemente 4.3 Beispiel: Stab mit Volumenkraft Prof. Dr. Wandinger 3. Prinzip der virtuellen Arbeit FEM 3.4-1 4.1 Grundlagen Das Verfahren

Mehr

2. Gauß-Integration. Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-1

2. Gauß-Integration. Prof. Dr. Wandinger 4. Scheibenelemente FEM 4.2-1 Die analytische Integration der Steifigkeitsmatrix für das Rechteckelement ist recht mühsam. Für Polynome gibt es eine einfachere Methode zur Berechnung von Integralen, ohne dass die Stammfunktion benötigt

Mehr

2. Finite Elemente. Die Methode der finiten Elemente ist ein spezielles Bubnow-Galerkin-Verfahren:

2. Finite Elemente. Die Methode der finiten Elemente ist ein spezielles Bubnow-Galerkin-Verfahren: 2. Finite lemente Die Methode der finiten lemente ist ein spezielles Bubnow-Galerkin-Verfahren: Zur Lösung der Gleichung K [ ~ u,u]+d [ ~ u, u]+m [ ~ u, ü]=l[ ~ u ] ~ u wird folgender Ansatz gemacht: u=

Mehr

Finite Elemente Modellierung

Finite Elemente Modellierung Finite Elemente Modellierung Modellerstellung Diskretisierung des Kontinuums Methode der Finite Elemente Anwendungsbeispiele der FEM Zugstab: Kraftmethode Zugstab: Energiemethode Zugstab: Ansatzfunktion

Mehr

Mathematikarbeit Klasse 8 03.06.03

Mathematikarbeit Klasse 8 03.06.03 Mathematikarbeit Klasse 8 0.06.0 Name: A. Aufgabe Bestimme bei der folgenden Gleichung die Definitionsmenge und die Lösungsmenge in. z z = 4 z z. Aufgabe In dieser Aufgabe geht es um ganz normale zylindrische

Mehr

FEM isoparametrisches Konzept

FEM isoparametrisches Konzept FEM isoparametrisches Konzept home/lehre/vl-mhs--e/deckblatt.tex. p./ Inhaltsverzeichnis. Interpolationsfunktion für die finiten Elemente. Finite-Element-Typen. Geometrie. Interpolations-Ansatzfunktion

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Niedersachsen. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Basiswissen Niedersachsen. Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Basiswissen Niedersachsen Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der Gleichung zur Kurve... 9 Aufstellen

Mehr

Interpolation und Approximation

Interpolation und Approximation Interpolation und Approximation Fakultät Grundlagen Mai 2006 Fakultät Grundlagen Interpolation und Approximation Übersicht 1 Problemstellung Polynominterpolation 2 Kubische Fakultät Grundlagen Interpolation

Mehr

Kreissektoren und Bogenmaß

Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des

Mehr

WS 2014/15 FINITE-ELEMENT-METHODE JUN.-PROF. D. JUHRE

WS 2014/15 FINITE-ELEMENT-METHODE JUN.-PROF. D. JUHRE 4.2 FINITE-ELEMENTE-DISKRETISIERUNG Elementierung und Diskretisierung Im Gegensatz zum räumlichen Fachwerk, bei dem bereits vor der mathematischen Diskretisierung ein konstruktiv diskretes Tragwerk vorlag,

Mehr

Klausurvorbereitung CM2 Lösungsvorschläge

Klausurvorbereitung CM2 Lösungsvorschläge Klausurvorbereitung CM2 Lösungsvorschläge 1 Praktische Modellierung und Berechnung 1.1 Beispiele für Wissens- und Verständnis-Fragen 1.) Erklären Sie die Begriffe Solid Modeling und Direkte Generierung!

Mehr

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012 c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d der Punkte P 1 und

Mehr

WS 2014/15 FINITE-ELEMENT-METHODE JUN.-PROF. D. JUHRE

WS 2014/15 FINITE-ELEMENT-METHODE JUN.-PROF. D. JUHRE Approximation der äußeren virtuellen Arbeit Die virtuelle Arbeit der äußeren Lasten lässt sich als Funktion der vorgeschriebenen Knotenlasten N i 1 und der vorgeschriebenen Streckenlast p 1 ξ 1 angeben.

Mehr

LAF Mathematik. Näherungsweises Berechnen von Nullstellen von Funktionen

LAF Mathematik. Näherungsweises Berechnen von Nullstellen von Funktionen LAF Mathematik Näherungsweises Berechnen von Nullstellen von Funktionen von Holger Langlotz Jahrgangsstufe 12, 2002/2003 Halbjahr 12.1 Fachlehrer: Endres Inhalt 1. Vorkenntnisse 1.1 Nicht abbrechende Dezimalzahlen;

Mehr

FEM isoparametrisches Konzept

FEM isoparametrisches Konzept FEM isoparametrisches Konzept /home/lehre/vl-mhs-/folien/vorlesung/5_fem_isopara/deckblatt.tex Seite von 25. p./25 Inhaltsverzeichnis. Interpolationsfunktion für die finiten Elemente 2. Finite-Element-Typen

Mehr

1.4 Gradient, Divergenz und Rotation

1.4 Gradient, Divergenz und Rotation .4 Gradient, Divergenz und Rotation 5.4 Gradient, Divergenz und Rotation Die Begriffe Gradient, Divergenz und Rotation erfordern die partiellen Ableitung aus Abschnitt.. sowie das Konzept des Differentialoperators.

Mehr

2. Die Steifigkeitsmatrix

2. Die Steifigkeitsmatrix . Die Steifigkeitsmatrix Freiheitsgrade der Gesamtstruktur: Bei einem ebenen Fachwerk hat jeder Knoten zwei Freiheitsgrade, nämlich die Verschiebungen u x und u y, zu denen die Kräfte F x und F y gehören.

Mehr

Modellieren in der Angewandten Geologie II. Sebastian Bauer

Modellieren in der Angewandten Geologie II. Sebastian Bauer Modellieren in der Angewandten Geologie II Geohydromodellierung Institut für Geowissenschaften Christian-Albrechts-Universität zu Kiel CAU 3-1 Die Finite Elemente Method (FEM) ist eine sehr allgemeine

Mehr

24.1 Überblick. 24.2 Beispiele. A. Bestimmen einer ganzrationalen Funktion. 24. Interpolation mit Ableitungen

24.1 Überblick. 24.2 Beispiele. A. Bestimmen einer ganzrationalen Funktion. 24. Interpolation mit Ableitungen 4. Interpolation mit Ableitungen 4. Interpolation mit Ableitungen 4.1 Überblick Die Interpolationsaufgabe haben wir bereits in Kapitel 7 (Band Analysis 1) untersucht. Als Auffrischung: Zu n vorgegebenen

Mehr

Elementare Geometrie. Inhaltsverzeichnis. info@mathenachhilfe.ch. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)

Elementare Geometrie. Inhaltsverzeichnis. info@mathenachhilfe.ch. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) fua0306070 Fragen und Antworten Elementare Geometrie (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis 1 Geometrie 1.1 Fragen............................................... 1.1.1 Rechteck.........................................

Mehr

5. Ebene Probleme. 5.1 Ebener Spannungszustand 5.2 Ebener Verzerrungszustand Höhere Festigkeitslehre Prof. Dr.

5. Ebene Probleme. 5.1 Ebener Spannungszustand 5.2 Ebener Verzerrungszustand Höhere Festigkeitslehre Prof. Dr. 5. Ebene Probleme 5.1 Ebener Spannungszustand 5.2 Ebener Verzerrungszustand 1.5-1 Definition: Bei einem ebenen Spannungszustand ist eine Hauptspannung null. Das Koordinatensystem kann so gewählt werden,

Mehr

Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen

Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen Rekonstruktion kontinuierlicher Daten Interpolation multivariater Daten Ulrich Rüde Lehrstuhl für Systemsimulation Sommersemester

Mehr

1. Formänderungsenergie

1. Formänderungsenergie 1. Formänderungsenergie 1.1 Grundlagen 1. Grundlastfälle 1.3 Beispiele.1-1 1.1 Grundlagen Zugstab: F L F x E, A F W u u An einem am linken Ende eingespannten linear elastischen Stab greift am rechten Ende

Mehr

y x x y ( 2x 3y + z x + z

y x x y ( 2x 3y + z x + z Matrizen Aufgabe Sei f R R 3 definiert durch ( ) x 3y x f = x + y y x Berechnen Sie die Matrix Darstellung von f Aufgabe Eine lineare Funktion f hat die Matrix Darstellung A = 0 4 0 0 0 0 0 Berechnen Sie

Mehr

4.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral

4.1 Stammfunktionen: das unbestimmte Integral Kapitel 4 Integration 4. Stammfunktionen: das unbestimmte Integral Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation: zu einer gegebenen Funktion f(x) sucht man eine Funktion F (x), deren Ableitung

Mehr

Vektorgeometrie Ebenen 1

Vektorgeometrie Ebenen 1 Vektorgeometrie Ebenen 1 Parametergleichung von Ebenen Punkte und Geraden in Ebenen. Spezielle Lagen von Punkten in Bezug auf ein Parallelogramm oder Dreieck. Datei Nr. 63021 Stand 1. Juli 2009 INTERNETBIBLIOTHEK

Mehr

Exemplar für Prüfer/innen

Exemplar für Prüfer/innen Exemplar für Prüfer/innen Kompensationsprüfung zur standardisierten kompetenzorientierten schriftlichen Reifeprüfung AHS Juni 2015 Mathematik Kompensationsprüfung Angabe für Prüfer/innen Hinweise zur Kompensationsprüfung

Mehr

Download. Mathematik Üben Klasse 5 Geometrie. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Martin Gehstein

Download. Mathematik Üben Klasse 5 Geometrie. Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr. Martin Gehstein Download Martin Gehstein Mathematik Üben Klasse 5 Geometrie Differenzierte Materialien für das ganze Schuljahr Downloadauszug aus dem Originaltitel: Mathematik üben Klasse 5 Geometrie Differenzierte Materialien

Mehr

4 Reihen und Finanzmathematik

4 Reihen und Finanzmathematik 4 Reihen und Finanzmathematik 4. Reihen Aus Folgen lassen sich durch Aufaddieren weitere Folgen konstruieren. Das sind die sogenannten Reihen, sie spielen in der Finanzmathematik eine wichtige Rolle. Sei

Mehr

WS 2014/15 FINITE-ELEMENT-METHODE JUN.-PROF. D. JUHRE

WS 2014/15 FINITE-ELEMENT-METHODE JUN.-PROF. D. JUHRE Eigenschaften Der wesentliche Nachteil neunknotiger biquadratischer Lagrange Elemente ist die gegenüber dem bilinearen Element erhöhte Anzahl von Elementfreiheitsgraden. Insbesondere die beiden Freiheitsgrade

Mehr

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen

2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen 2.5. Aufgaben zu Dreieckskonstruktionen Aufgabe 1 Zeichne das Dreieck AC mit A( 1 2), (5 0) und C(3 6) und konstruiere seinen Umkreis. Gib den Radius und den Mittelpunkt des Umkreises an. Aufgabe 2 Konstruiere

Mehr

Kreis - Tangente. 2. Vorbemerkung: Satz des Thales Eine Möglichkeit zur Bestimmung der Tangente benutzt den Satz des Thales.

Kreis - Tangente. 2. Vorbemerkung: Satz des Thales Eine Möglichkeit zur Bestimmung der Tangente benutzt den Satz des Thales. Kreis - Tangente 1. Allgemeines 2. Satz des Thales 3. Tangente an einem Punkt auf dem Kreis 4. Tangente über Analysis (an einem Punkt eines Ursprungkreises) 5. Tangente von einem Punkt (Pol) an den Kreis

Mehr

Aufgabe zum Thema: Gebrochen - rationale Funktionen

Aufgabe zum Thema: Gebrochen - rationale Funktionen Aufgabe zum Thema: Gebrochen - rationale Funktionen Eine gebrochen-rationale Funktion Z (x) hat als Zähler- N (x) funktion Z (x) eine lineare Funktion und als Nennerfunktion N (x) eine ganz-rationale Funktion

Mehr

Proseminar über multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Proseminar über multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie Proseminar über multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie Aufgabensteller: Dr. M. Kaplan Josef Lichtinger Montag, 1. Dezember 008 Proseminar WS0809 Inhaltsverzeichnis 1 Aufgabenstellung 3

Mehr

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren

3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse

Mehr

Prof. Schneider Höhere Mathematik I/II Musterlösung A = x 1 = 6x 1 + x 3 x 2 = 2x 2 x 3 = x 1 + 6x 3

Prof. Schneider Höhere Mathematik I/II Musterlösung A = x 1 = 6x 1 + x 3 x 2 = 2x 2 x 3 = x 1 + 6x 3 Aufgabe ( Punkte) a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix 6 A = 6 b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Differentialgleichungssystems x = 6x + x 3 x = x x 3 = x + 6x 3 c) Bestimmen

Mehr

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren

Vektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man

Mehr

Aufgabe 1 (LGS mit Parameter): Bestimmen Sie die Lösungsmengen des folgenden LGS in Abhängigkeit vom Parameter :

Aufgabe 1 (LGS mit Parameter): Bestimmen Sie die Lösungsmengen des folgenden LGS in Abhängigkeit vom Parameter : Mathematik MB Übungsblatt Termin Lösungen Themen: Grundlagen Vektoren und LGS ( Aufgaben) DHBW STUTTGART WS / Termin SEITE VON Aufgabe (LGS mit Parameter): Bestimmen Sie die Lösungsmengen des folgenden

Mehr

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen

H. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für den Pflichtteil Baden-Württemberg mit Tipps und Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Themen des Pflichtteils... Analysis Von der Gleichung

Mehr

Optimieren unter Nebenbedingungen

Optimieren unter Nebenbedingungen Optimieren unter Nebenbedingungen Hier sucht man die lokalen Extrema einer Funktion f(x 1,, x n ) unter der Nebenbedingung dass g(x 1,, x n ) = 0 gilt Die Funktion f heißt Zielfunktion Beispiel: Gesucht

Mehr

2. Methode der Randelemente

2. Methode der Randelemente 2. Methode der Randelemente Bei allgemeinen Schall abstrahlenden Flächen lässt sich der Schalldruck an einem beliebigen Punkt im Raum aus einem Integral über auf der Fläche definierte Funktionen berechnen.

Mehr

Grundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012

Grundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012 Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht

Mehr

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius die Länge des Kreisbogens für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius den Flächeninhalt

Mehr

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß

M 10.1. Kreissektoren und Bogenmaß M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius die Länge des Kreisbogens für einen Kreissektor mit Mittelpunktswinkel? Wie berechnet man in einem Kreis mit Radius den Flächeninhalt

Mehr

fwg Kreissektoren und Bogenmaß Mittelpunktswinkel : Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( ): M 10.

fwg Kreissektoren und Bogenmaß Mittelpunktswinkel : Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des zugehörigen Kreisbogens im Einheitskreis ( ): M 10. M 10.1 Kreissektoren und Bogenmaß In einem Kreis mit Radius Mittelpunktswinkel : Länge des Kreisbogens gilt für einen Kreissektor mit Fläche des Kreissektors Das Bogenmaß eines Winkels ist die Länge des

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Übersicht Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen 1 Lineare Gleichungssystem mit 2 Variablen Beispiele 2 Fakultät Grundlagen Folie: 2 Beispiel I Lineare

Mehr

9.2 Invertierbare Matrizen

9.2 Invertierbare Matrizen 34 9.2 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen

Mehr

Dieses Kapitel vermittelt:

Dieses Kapitel vermittelt: 2 Funktionen Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: wie die Abhängigkeit quantitativer Größen mit Funktionen beschrieben wird die erforderlichen Grundkenntnisse elementarer Funktionen grundlegende Eigenschaften

Mehr

10.4 Funktionen von mehreren Variablen

10.4 Funktionen von mehreren Variablen 10.4 Funktionen von mehreren Variablen 87 10.4 Funktionen von mehreren Variablen Veranschaulichung von Funktionen eine Variable wei Variablen f() oder = f() (, ) f(, ) oder = f(, ) D(f) IR; Darstellung

Mehr

Vektoren, Vektorräume

Vektoren, Vektorräume Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010

Mehr

1. Das Stabelement. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM L x E u 1. u 2

1. Das Stabelement. Prof. Dr. Wandinger 1. Fachwerke FEM L x E u 1. u 2 Ein Fachwerk besteht aus einzelnen Stäben, die in den Knoten gelenkig miteinander verbunden sind. Für jeden Stab besteht eine lineare Beziehung zwischen den Verschiebungen seiner Knoten und den Kräften

Mehr

Mathematik verstehen 7 Lösungsblatt Aufgabe 6.67

Mathematik verstehen 7 Lösungsblatt Aufgabe 6.67 Aufgabenstellung: Berechne die Schnittpunkte der e k1 und k mit den Mittelpunkten M1 bzw. M und den Radien r1 bzw. r a. k1: M1 3, 4, P 5, 3 k 1, k geht durch A 0 und B 4 0 r 5 M liegt im 1. Quadranten

Mehr

) (1 BE) 1 2 ln 2. und somit

) (1 BE) 1 2 ln 2. und somit 1 Aufgaben aus dem Aufgabenpool 1 1.1 Analysis A1_1 Eine Funktion f ist durch 1 x f(x) e 1, x IR, gegeben. Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion f. ( ) b) Die Tangente an den Graphen von f im Punkt

Mehr

Pflichtteil... 2. Wahlteil Analysis 1... 6. Wahlteil Analysis 2... 9. Wahlteil Analysis 3... 13. Wahlteil Analytische Geometrie 1...

Pflichtteil... 2. Wahlteil Analysis 1... 6. Wahlteil Analysis 2... 9. Wahlteil Analysis 3... 13. Wahlteil Analytische Geometrie 1... Pflichtteil... Wahlteil Analsis 1... 6 Wahlteil Analsis... 9 Wahlteil Analsis 3... 13 Wahlteil Analtische Geometrie 1... 16 Wahlteil Analtische Geometrie... 3 Lösungen: 006 Pflichtteil Lösungen zur Prüfung

Mehr

Fachwerke

Fachwerke 1. Fachwerke Ein Fachwerk besteht aus einzelnen Stäben, die in den Knoten gelenkig miteinander verbunden sind. Am Beispiel des Fachwerks lassen sich die einzelnen Berechnungsschritte einer Finite-Elemente-Rechnung

Mehr

Übungsaufgaben zur Linearen Funktion

Übungsaufgaben zur Linearen Funktion Übungsaufgaben zur Linearen Funktion Aufgabe 1 Bestimmen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden mit den Funktionsgleichungen f 1 (x) = 3x + 7 und f (x) = x 13! Aufgabe Bestimmen Sie den Schnittpunkt der

Mehr

Kegelschnitte. Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007

Kegelschnitte. Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007 Workshops zur VO Einfu hrung in das mathematische Arbeiten im SS 2007 Kegelschnitte Evelina Erlacher 13. & 14. M arz 2007 Denken wir uns einen Drehkegel, der nach oben als auch nach unten unbegrenzt ist.

Mehr

Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung A =

Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung A = Prof. Steinwart Höhere Mathematik I/II Musterlösung 7..7 Aufgabe ( Punkte) (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenräume der Matrix A mit 3 3 A = 3 Ist die Matrix A diagonalisierbar? (b) Die Matrix A

Mehr

Anhang B. Regression

Anhang B. Regression Anhang B Regression Dieser Anhang rekapituliert die in der Analysis und Statistik wohlbekannte Methode der kleinsten Quadrate, auch Regression genannt, zur Bestimmung von Ausgleichsgeraden Regressionsgeraden

Mehr

Markus' Formelsammlung für die Vektorgeometrie

Markus' Formelsammlung für die Vektorgeometrie Markus' Formelsammlung für die Vektorgeometrie Markus Dangl.4. Zusammenfassung Dieses Dokument soll eine Übersicht über die Vektorgeometrie für die Oberstufe am Gymnasium geben. Ich versuche hier möglichst

Mehr

Mehrdimensionale Integralrechnung 1

Mehrdimensionale Integralrechnung 1 Mehrdimensionale Integralrechnung Im - dimensionalen Fall wurde die Integralrechnung eingeführt, um Flächen unter Kurven zu berechnen. Eine ähnliche Fragestellung führt uns auf die mehrdimensionale Integralrechnung.

Mehr

Einführung FEM 1D - Beispiel

Einführung FEM 1D - Beispiel p. 1/28 Einführung FEM 1D - Beispiel /home/lehre/vl-mhs-1/folien/vorlesung/4_fem_intro/deckblatt.tex Seite 1 von 28 p. 2/28 Inhaltsverzeichnis 1D Beispiel - Finite Elemente Methode 1. 1D Aufbau Geometrie

Mehr

Aufgaben zum Thema Kraft

Aufgaben zum Thema Kraft Aufgaben zum Thema Kraft 1. Ein Seil ist mit einem Ende an einem Pfeiler befestigt und wird reibungsfrei über einen weiteren Pfeiler derselben Höhe im Abstand von 20 m geführt. Das andere Seilende ist

Mehr

Monat Inhalt und Lernziele laut Lehrplan Bemerkung September

Monat Inhalt und Lernziele laut Lehrplan Bemerkung September September Oktober 1. Die Teilbarkeit natürlicher Zahlen wichtige Teilbarkeitsregeln kennen und anwenden können größten gemeinsamen Teiler berechnen können kleinstes gemeinsames Vielfaches berechnen können

Mehr

Algebra Für welche reellen Zahlen m hat das folgende Gleichungssystem nur die triviale

Algebra Für welche reellen Zahlen m hat das folgende Gleichungssystem nur die triviale Algebra 1 www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. Für welche reellen Zahlen m hat das folgende Gleichungssystem nur die triviale Lösung? x + y + mz = 0 mx y + z = 0 x + y + z = 0. Welche Punkte P z der z-achse

Mehr

Ortskurvenerkennung. Christian Liedl, WS06/07 TUM

Ortskurvenerkennung. Christian Liedl, WS06/07 TUM Ortskurvenerkennung Christian Liedl, WS06/07 TUM Überblick Was sind Ortskurven Beispiele spezieller Ortskurven Kurvenerkennung Voraussetzung Erster Ansatz Modellierung Beispiel: Identifikation Ortskurve

Mehr

Grundwissen 7 Bereich 1: Terme

Grundwissen 7 Bereich 1: Terme Grundwissen 7 Bereich 1: Terme Termwerte 1.1 S1 Berechne für den Term T (x) = 3 (x 2) 2 + x 2 die Termwerte T (1), T (2) und T ( 3 2 ). 1.2 S1 Gegeben ist der Term A(m) = 2 2m 5 m Ergänze die folgende

Mehr

Mehrfachintegrale 1-E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya

Mehrfachintegrale 1-E1. Ma 2 Lubov Vassilevskaya Mehrfachintegrale 1-E1 1-E2 Mehrfachintegrale c Die Erweiterung des Integralbegriffs führt zu den Mehrfachintegralen, die in den naturwissenschaftlich-technischen Anwendungen u.a. bei der Berechnung der

Mehr

D-MAVT Lineare Algebra I HS 2017 Prof. Dr. N. Hungerbühler. Lösungen Serie 14: Ferienserie

D-MAVT Lineare Algebra I HS 2017 Prof. Dr. N. Hungerbühler. Lösungen Serie 14: Ferienserie D-MAVT Lineare Algebra I HS 7 Prof. Dr. N. Hungerbühler Lösungen Serie 4: Ferienserie . Finden Sie ein Erzeugendensystem des Lösungsraums L R 5 des Systems x + x x 3 + 3x 4 x 5 = 3x x + 4x 3 x 4 + 5x 5

Mehr

Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C /07

Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C /07 Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C - 6/7. Gegenseitige Lage von Geraden Gesucht ist die gegenseitige Lage der Geraden g durch die beiden Punkte A( ) und B( 5 9 ) und der Geraden

Mehr

Überblick. Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung

Überblick. Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung Überblick Kapitel 7: Anwendungen der Differentialrechnung 1 Beispiel 1: Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 1 Beispiel 1: Steigung der Tangente Kapitel 7.1: Implizites Differenzieren 2 Beispiel 1: Steigung

Mehr

Mathematik. Abiturprüfung 2014. Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden.

Mathematik. Abiturprüfung 2014. Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Mathematik Abiturprüfung 2014 Prüfungsteil A Arbeitszeit: 90 Minuten Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Zu den Themengebieten Analysis, Stochastik und Geometrie

Mehr

Analytische Geometrie

Analytische Geometrie Analytische Geometrie Übungsaufgaben Punkte, Vektoren, Geradengleichungen Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com März 04 Aufgabe : Gegeben sind die Punkte O(0/0/0), A(6/6/0), B(/9/0),

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das Studium linearer Gleichungssysteme und ihrer Lösungen ist eines der wichtigsten Themen der linearen Algebra. Wir werden zunächst einige grundlegende Begriffe

Mehr

5 Numerische Mathematik

5 Numerische Mathematik 6 5 Numerische Mathematik Die Numerische Mathematik setzt sich aus mehreren Einzelmodulen zusammen Für alle Studierenden ist das Modul Numerische Mathematik I: Grundlagen verpflichtend In diesem Modul

Mehr

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1

Achsensymmetrie. Konstruktionen M 7.1 M 7.1 Achsensymmetrie Punkte, die auf der Symmetrieachse liegen und nur diese, sind von zueinander symmetrischen Punkten gleich weit entfernt. Eigenschaften achsensymmetrischer Figuren Die Verbindungsstrecke

Mehr

Mathematik. Abiturprüfung 2015. Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden.

Mathematik. Abiturprüfung 2015. Prüfungsteil A. Arbeitszeit: 90 Minuten. Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Mathematik Abiturprüfung 2015 Prüfungsteil A Arbeitszeit: 90 Minuten Bei der Bearbeitung der Aufgaben dürfen keine Hilfsmittel verwendet werden. Zu den Themengebieten Analysis, Stochastik und Geometrie

Mehr

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt

Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. F. Hettlich Dr. S. Schmitt Dipl.-Math. J. Kusch Karlsruhe, den 09.06.20 Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik

Mehr

eine vom Nullvektor verschiedene Lösung hat. r heisst in diesem Fall Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ.

eine vom Nullvektor verschiedene Lösung hat. r heisst in diesem Fall Eigenvektor der Matrix A zum Eigenwert λ. Eigenwert, Eigenvektor In der Regel hat bei einer linearen Abbildung das Bild eines Vektors eine andere Richtung als das Original r. Bei der Untersuchung der geometrischen Eigenschaften von linearen Abbildungen

Mehr

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1

f : x y = mx + t Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, welche die y-achse im Punkt S schneidet. = m 2 x 2 m x 1 III. Funktionen und Gleichungen ================================================================== 3.1. Lineare Funktionen Eine Funktion mit der Zuordnungvorschrift f : x y = mx + t und m, t R heißt lineare

Mehr

2. Verzerrungszustand

2. Verzerrungszustand 2. Verzerrungszustand Ein Körper, der belastet wird, verformt sich. Dabei ändern die Punkte des Körpers ihre Lage. Die Lageänderung der Punkte des Körpers wird als Verschiebung bezeichnet. Ist die Verschiebung

Mehr

Analytische Geometrie - Das Lotfußpunktverfahren - Gerade/Gerade (R 3 )

Analytische Geometrie - Das Lotfußpunktverfahren - Gerade/Gerade (R 3 ) Analytische Geometrie - Das Lotfußpunktverfahren - Gerade/Gerade R 3 ) Gerade - Gerade in R 3 ) Der Fall sich schneidender Geraden ist uninteressant. Es existiert dann ein beliebiger Abstand je nach der

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag $Id: jordantex,v 8 9// 4:48:9 hk Exp $ $Id: quadrattex,v 9// 4:49: hk Exp $ Eigenwerte und die Jordansche Normalform Matrixgleichungen und Matrixfunktionen Eine

Mehr

Multivariate Analysis

Multivariate Analysis Kapitel Multivariate Analysis Josef Leydold c 6 Mathematische Methoden I Multivariate Analysis / 38 Lernziele Funktionen in mehreren Variablen Graph und Niveaulinien einer Funktion in zwei Variablen Partielle

Mehr

Transformation - 3. Für "übliche" Anwendungen in der Geometrie ist es sinnvoll, bei Transformationen eine gleiche

Transformation - 3. Für übliche Anwendungen in der Geometrie ist es sinnvoll, bei Transformationen eine gleiche Transformation - 3 Wiederholung und spezielle Angaben im Zusammenhang mit Kreis-Berechnungen 1. Problemstellung Im Zusammenhang mit der Berechnung von Schnittflächen kann es sinnvoll sein, die Berechnung

Mehr

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:

Geometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt: Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:

Mehr

Lineare Abbildungen. Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls. d.h.

Lineare Abbildungen. Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls. d.h. Lineare Abbildungen Es seien V und W Vektorräume über einem Körper K. Eine Abbildung f : V W heißt linear oder Homomorphismus, falls (1) u, v V : f( u + v) = f( u) + f( v). (2) v V α K : f(α v) = αf( v).

Mehr

(x x j ) R m [x] (3) x x j x k x j. R m [x]. (4)

(x x j ) R m [x] (3) x x j x k x j. R m [x]. (4) 33 Interpolation 147 33 Interpolation In vielen praktischen Anwendungen der Mathematik treten Funktionen f auf, deren Werte nur näherungsweise berechnet werden können oder sogar nur auf gewissen endlichen

Mehr

M 3.1. Seite 1. Modul 3.1 Geometrie: Umgang mit dem Geodreieck. Thema. 1. Umgang mit dem Geodreieck. Datum

M 3.1. Seite 1. Modul 3.1 Geometrie: Umgang mit dem Geodreieck. Thema. 1. Umgang mit dem Geodreieck. Datum Seite. Wie zeichnet man zueinander senkrechte Geraden?. Zeichne zunächst mit deinem Geodreieck eine Gerade von 2 cm. 2. Nun drehst du dein Geodreieck wie rechts abgebildet. Achte darauf, dass die Gerade

Mehr

Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung

Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung Aufgaben zu Anwendungen zur Vektorrechnung. Von einer Strecke AB mit dem Mittelpunkt M sind bekannt: A(/5) und M(-4/3). Berechnen Sie B.. Die Punkte A(3/7) und B(/-) sind gegenüberliegende Ecken eines

Mehr

Rechnen mit Vektoren

Rechnen mit Vektoren () Der Ortsvektor Definition: Der Ortsvektor beginnt im Koordinatenursprung und endet in einem beliebigen Punkt P. Die Koordinaten des Punktes stimmen mit den Koordinaten des Ortsvektors überein. Schreibweise:

Mehr

Demoseiten für

Demoseiten für Lineare Ungleichungen mit Variablen Anwendung (Vorübungen für das Thema Lineare Optimierung) Datei Nr. 90 bzw. 500 Stand 0. Dezember 009 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK 90 / 500 Lineare Ungleichungen

Mehr

Beispielseite (Band 1) 2. Ganzrationale Funktionen 2.4 Nullstellen bei Funktionen 3. Grades

Beispielseite (Band 1) 2. Ganzrationale Funktionen 2.4 Nullstellen bei Funktionen 3. Grades Beispielseite (Band ). Ganzrationale Funktionen.4 Nullstellen bei Funktionen. Grades Funktionen. Grades ohne Absolutglied Bei ganzrationalen Funktionen. Grades ohne Absolutglied beginnt die Nullstellenberechnung

Mehr

Mischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw.

Mischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw. Kapitel 5 Lineare Algebra 51 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Man begegnet Systemen von linearen Gleichungen in sehr vielen verschiedenen Zusammenhängen, etwa bei Mischungsverhältnissen von Substanzen

Mehr

Mehrdimensionale Integralrechnung 2

Mehrdimensionale Integralrechnung 2 Mehrdimensionale Integralrechnung Quiz Wir wollen die Dynamik zweier Teilchen beschreiben, die über ein hoch elastisches Seil verbunden sind und sich wild im Raum bewegen! Ein Kollege schlägt dazu vor

Mehr

Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie "Träger" oder "Fahrer".

Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie Träger oder Fahrer. Was ist ein Vektor? Das Wort Vektor kommt aus dem lateinischen und heißt so viel wie "Träger" oder "Fahrer". Vektoren sind Listen von Zahlen. Man kann einen Vektor darstellen, indem man seine Komponenten

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz wwwmathe-aufgabencom September 6 Abituraufgaben (Haupttermin) Aufgabe

Mehr