Lösung zur Klausur zur Stochastik ( , SoSe 2016) am , Zeit: 10-12, Raum: W

Transkript

1 Prof Dr Dietmr Pfeifer Istitut für Mthemti Lösug zur Klusur zur Stohsti (500, SoSe 06) m 40706, Zeit: 0, Rum: W0005 Nme: MtrNr: GebDtum: Studiegg: ewertugsmodlitäte: Die Klusur ist mit 50 Pute ud mehr bestde Es wird ur gewertet, ws uf de geheftete lätter geshriebe wurde (ei leistift, ei Rotstift!) Erlubte Hilfsmittel: eie I de Aufgbe geforderte TeilErgebisse öe gege Putbzug vo der Aufsiht erfrgt werde Utershrift KlusurteilehmerI Aufgbe x x 3 x 4 x Summe Note gez Putzhl erreihte Pute Notesl: Pute Note 5,0 4,0 3,7 3,3 3,0,7,3,0,7,3,0

2 Puteverteilug: Aufgbe ) 5 Pute Aufgbe b) 5 Pute Aufgbe ) 5 Pute 5 Pute Aufgbe d) 0 Pute Aufgbe 0 Pute 0 Pute Aufgbe 3 ) 5 Pute Aufgbe 3 b) 0 Pute 30 Pute Aufgbe 3 ) 5 Pute Aufgbe 4 ) 0 Pute Aufgbe 4 b) 0 Pute 5 Pute Aufgbe 4 ) 5 Pute

3 Aufgbe: (5 Pute) Es sei ( W,,P) ei Whrsheiliheitsrum ud Î ei fest gewähltes Ereigis mit 0 < P ( ) < Ferer sei die Abbildug Q : defiiert durh Zeige Sie: ) Q ist ei Whrsheiliheitsmß uf b) P domiiert Q QA ( ): = PA ( \ ) + PA ( ) P ( ) für A Î ) Es gilt QA ( ) = PA ( ) für A Î geu d, we A ud stohstish ubhägig sid dq d) Gebe Sie explizit eie Dihte f : = vo Q bzgl P Existiert uh eie Dihte vo dp P bezgl Q? egrüde Sie Ihre Atwort usführlih Lösug: ) Die Abbildug P( \ ) = P( Ç ) ist ei Spurmß, lso ei Mß Ebeso ist ei Mß, lso uh Q Wege P( ) P( ) ( ) Q( W ) = P + P( ) = P( W ) = ist Q Whrsheiliheitsmß (Altertiv: Q( Æ ) = 0 ud Q( W ) = sowie die s Additivität diret hprüfe) b) Sei A Î mit PA= ( ) 0 D folgt 0 QA ( ) = PA ( \ ) + PA ( ) P ( ) P(A) + 0 = 0, lso QA ( ) = 0 Dmit ist die Aussge gezeigt ) Aus PA ( ) = QA ( ) = PA ( \ ) + PA ( ) P ( ) folgt ( ) ( \ ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) PAÇ = PA = PA P = PA P, dh A ud sid stohstish ubhägig ud dmit uh A ud Wege ( ) W für A Î Q( A) = P( A\ ) + P( A) P( ) = P AÇ + P( A) P( ) = dp+ P( ) dp ist f : = + P( ) = P( ) + ( + P( ) ) eie Dihte vo Q bzgl P W Eie Dihte vo P bzgl Q existiert, flls Q uh P domiiert Für A Î mit QA= ( ) 0 ergibt sih: 0 = PA ( \ ) + PA ( ) P ( ), lso PA ( \ = ) 0 ud PA ( ) P ( ) = 0, lso wege P> ( ) 0 uh PA= ( ) 0, lso domiiert Q uh P Eie geeigete Dihte ist g : = > 0 wege gdq = g fdp = dp = P( A) für A Î, mit g = + f + P ( P ( ) ) A A A A A

4 Aufgbe: (0 Pute) Peter ud Pul wolle drum obel, wer de esuh bei der Eisdiele Alfredo bezhle soll Pul sgt: Ih hbe hier eie lte Müze vo meiem Großvter, die brigt mir Glü We ih Zhl werfe, gewie ih ud Du zhlst; we ih Adler werfe, verliere ih ud ih zhle Peter ist septish ud sgt: Meietwege öe wir die Müze verwede Aber wir spiele h folgeder Regel: Jeder vo us wirft die Müze eiml We zwei gleihe Seite flle, wiederhole wir ds Verfhre, bis erstmlig zwei utershiedlihe Seite geflle sid Zeigt der erste Wurf Zhl, gewist Du, soste ih Zeige Sie, dss dieses Verfhre bsolut fir ist, selbst we die Müze verfälsht sei sollte Hiweis: Verwede Sie i geeigeter Weise bedigte Whrsheiliheite Lösug: M ds Müzwurfexperimet durh zwei stohstish ubhägige je (, p) verteilte Zufllsvrible X (erster Wurf) ud Y (zweiter Wurf) modelliere mit p Î[ 0, ], der Whrsheiliheit für ds Werfe vo Zhl Zhl dbei mit, Adler mit 0 idetifiziert werde Es bezeihe A: = { X = 0, Y = } ud : = { X =, Y = 0} D beshreibt A È ds Ereigis, dss i zwei ufeider folgede Würfe utershiedlihe Seite flle Die Whrsheiliheit dfür, dss Pul gewit, ist d gegebe durh die bedigte Whrsheiliheit wie behuptet PX ( =, Y= 0) p ( p) PX ( = AÈ ) = = =, PA ( ) + P ( ) p ( p) 3

5 3 Aufgbe: (30 Pute) X ud Y seie reelle Zufllsvrible mit der bedigte Verteilug P ( Y = ) =G(, ) für > 0 (GmmVerteilug) mit festem > Die Vertei X lug vo Y sei gegebe durh eie () Expoetilverteilug Zeige Sie: / X ) P = ( ) (PretoVerteilug) Y b) P ( X = x) =G ( +,+ x ) für x > 0 (GmmVerteilug) ) + EXY ( ) = ud EY ( X) = fst siher Y + X Hiweis zu ): erehe Sie zuähst die Dihte f X vo X ud drus die Dihte f / X vo æö / X eutze Sie dzu die bete Trsformtiosformel f / X( z) = fx ç z çèz ø für z > 0 Lösug: ) Es gilt ud dmit Es folgt (, ) ( ) ( ) f( XY, ) x = fx x Y = fy = x e G( ) (+ x) ( + x) fx( x) = f( X, Y) ( x, ) d = x e d 0 0 G( ) für x, > 0 + ( + x) ( + x) x e d + + x 0 x = = ( + x) G ( + ) ( + ) + æö æö æö ç èz ø çèzø f ( z) = f ç = = = z çèzø z æ ö æ ö ( + z) ç + + è z ø çè z ø / X X für z > 0, ud ds ist die Dihte der ( ) Verteilug b) Es gilt f x x fy ( X = x) = = = e G + ( + x) x e + ( XY, )(, ) G( ) ( + ) ( + x) fx ( x) x + ( ) ( + x) für > 0, ud ds ist die Dihte der G ( +, + x) Verteilug ) Folgt sofort us de eziehuge zwishe Prmeter ud Momete der Gmm Verteilug 4

6 4 Aufgbe: (5 Pute) Gegebe seie stohstish ubhägige Zufllsvrible X,,, X die wie X ( J) verteilt seie mit der Dihte Zeige Sie: J f( x; J) =, x> 0, JÎQ= (0, ) J+ ( + x) ) Der MximumLielihoodShätzer Ĵ ist gegebe ist durh Jˆ = l( + X ) = b) Ei Mometeshätzer J ˆ ist gegebe durh Jˆ = ( + X ) = ) Utersuhe Sie beide Shätzer uf stre Kosistez Hiweis zu ): Überlege Sie sih (mit eweis), dss l( + X) expoetilverteilt ist mit Prmeter J ÎQ Lösug: ) Die LogLielihoodFutio ist gegebe durh mit ( x,, x ; J) = l( J) ( J+ ) l( + x ) l= ( x,, x; J) = l( + x), (,, ; J) = < 0 x x J J J J l= Nullsetze der prtielle Ableitug ergibt de gegebee MLShätzer æ ö J J J+ J b) Es gilt Eç = dx = dx = <, worus folgt: J+ J+ çè + Xø ( + x) J+ ( + x) J+ 0 0 J = = E( ( æ ö E + X) ç ) çè + X ø 5

7 ( ) Der gegebee Shätzer ergibt sih hierus durh Ersetzug vo E ( + X ) = ( + X ) durh ) Nh dem stre Gesetz der große Zhle overgiert ( + X ) fst siher ge = ge de Erwrtugswert Y = (( ) J E + X ) =, lso J ˆ fst siher gege J J + overgiert ebeflls h dem stre Gesetz der große Zhle fst siher gege de Erwrtugswert umittelbr folgt EY ( ) =, worus die stre Kosistez beider Shätzer J 6