Aufgaben Schwingungen (3)

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1 Aufgaben Schwingungen () 99. Prüfung 998/99 An eine 0 langen Kraneil hängt ein Betonteil der Mae,0 t. Auf Grund einer Unachtakeit de Kranführer beginnt da Seil it der axialen Aulenkung von 5,0 zu chwingen. a) Berechnen Sie die axiale Gechwindigkeit, die da Betonteil i Verlauf der erten Periode erreicht. b) Berechnen Sie die Periodendauer und tellen Sie die horizontale Aulenkung in Abhängigkeit von der Zeit grafich dar. Geben Sie indeten zwei Gültigkeitbedingungen für Ihre verwendeten Gleichungen an. c) Begründen Sie, da die Kraft, die da Seil belatet, bei urchchwingen der Gleichgewichtlage a größten it. Berechnen Sie den Betrag dieer Kraft. 7. a) Ein Federpendel it der Federkontanten = / wird u c augelenkt und logelaen. Eine Mae von kg hängt an der Feder und beginnt zu chwingen. Betien Sie den Abtand der Mae zur Ruhelage, den Gechwindigkeitbetrag und den Bechleunigungbetrag 0 nach de erten urchgang durch die Ruhelage, fall die Schwingung reibungfrei verläuft. b) Zeichnen Sie für die Elongation, die Gechwindigkeit und die Bechleunigung für die erten Sekunden der Schwingung da entprechende iagra. 98. ie Elongation einer Sinuchwingung von 5 auer und 0 c Aplitude verdoppelt ich innerhalb von. Wie groß ind diee Elongationen? (e gilt: in( α + β ) = inαcoβ + coαinβ 0. ie Karoerie (= 800 kg) eine Latkraftwagen enkt ich bei einer Zuladung von,8 t u 6 c. a) Welche Periodendauer ergibt ich darau? b) Welche Periodendauer hat die leere Karoe? c) Bei welcher Zuladung ergibt ich die doppelte Periodendauer gegenüber b)? 04. Ein i Waer chwiender Holzquader von der Höhe h und der ichte K wird bi zur Oberkante in Waer gedrückt und logelaen. Er führt nun eine auf- und niederchwingende Bewegung au. Welcher Audruck ergibt ich für die Periodendauer?

2 Löungen 99. geg.: l = 0 = 0 kg ge.: α = 5 Löung:. Wie hoch wird da Betonteil gehoben? Au der Skizze kann an ableen: x coα = l x = co α l x = 9,9 ait wird da Betonteil 0,076 angehoben und beitzt gegenüber der Ruhelage potenzielle Energie. iee wird bei Zurückchwingen in kinetiche Energie ugewandelt. E = E pot g h = v v = kin v =, g h a ) v

3 b) Schwingungdauer: T = π l g T = 8,97 ie grafiche artellung erfolgt nach der Gleichung y = y ax in( ω t) abei berechnet ich die Aplitude entprechend der Skizze nach yax in α = l y = inα l ax yax =,7 ie grafiche artellung it eine Sinukurve it der Aplitude,7 und den ulldurchgängen 0; 4,49 und 8,97. Gültigkeitbedingungen: Reibungfrei, da Betonteil wird al Maepunkt betrachtet, die Gleichungen gelten nur für kleine Aplituden. c) Auf da Seil wirken zwei Kräfte: ie Radialkraft und die oralkraft. Radialkraft (hält da Betonteil auf der Kreiegentbahn): v FR = r oralkraft (entteht durch die Anziehungkraft der Erde und wirkt in Richtung de Seile) : F = g coα In der Gleichgewichtlage it die Gechwindigkeit a größten -> die Radialkraft it a größten. In der Gleichgewichtlage it der Winkel 0, dait it der Koinu = und die oralkraft entpricht der Gewichtkraft. F = F + F R F = 9,9k Antwort: a) ie axiale Gechwindigkeit erreicht da Betonteil bei Zurückchwingen i Ruhepunkt. iee Gechwindigkeit beträgt, /. c) ie Kraft in der Gleichgewichtlage beträgt 9,9 k.

4 7. geg.: Löung: = kg = y = 0, ge.: y,v, a t = 0 Zuert u die Schwingungdauer berechnet werden: T = π T = π kg T =,57 Wenn da Pendel bei eine Abtand von c von der Ruhelage logelaen wird, erreicht e nach,57/4=0,645 die Ruhelage. In der Schwingunggleichung u diee Zeit berückichtigt werden und zu den 0 dazugezählt werden.

5 Auf der anderen Seite haben die Elogationen dann negative Werte. ait lät ich über die Gleichung der haronichen Schwingung die Elongation berechnen: y = yˆ in ω t a die Schwingung in eine Ukehrpunkt beginnt, u die Verchiebung u die Viertelchwingung beachtet werden. ie Gleichung u eine Koinu-Kurve ergeben. a erreicht an durch die Addition von π : Antwort: y yˆ π = in ω t + er Vorgang beginnt eine viertel Schwingung vor de ulldurchgang. Geucht it die Aulenkung 0 nach diee urchgang. Alo u zu der Zeit noch die eit de Start vergangene Zeit addiert werden. T y yˆ π = in ω t π π y = 0, in ( 0 + 0,645 ) +,57 y = 0,07 y = 7c ie Gechwindigkeit it die erte Ableitung de Wege (y) nach der Zeit: dy v = dt π v = yˆ ω co ω t + π π π v = 0, co ( 0 + 0,645 ) +,57,57 v = 0, ie Bechleunigung it die erte Ableitung der Gechwindigkeit nach der Zeit: dv a = dt ˆ π a = y ω in ω t + π π π a = 0, in ( 0 + 0,645 ) +,57,57 a = 0,45 a Pendel it nach 0 7 c vo Ruhepunkt auf der gleichen Seite entfernt. ort hat e noch eine Gechwindigkeit von -0, /, bewegt ich alo auf die Ruhelage zu. ie Bechleunigung beträgt -0,45 /

6 98. geg.: Löung: ŷ = 0c T = 5 ge.: y,y t = ie Elongation einer Sinuchwingung erhält an it der Schwingunggleichung y = yˆ in ω t In dieer Gleichung ind die Aplitude und die Kreifrequenz bekannt: π ω= T Gefragt it eine Elongation, die ich eine Sekunde päter verdoppelt hat. ie zweite Elongation it alo doppelt o groß wie die erte: y = y ie beiden Gleichungen für die beiden Elongationen lauten: y = yˆ in ω t y = yˆ in ω t + t ie beiden Gleichungen kann an zuaenführen: y = y ˆ yˆ in ω t = y in ω t + t In dieer Gleichung it nur noch die Zeit t unbekannt. a it die Zeit für die erte Elongation. ie zweite Zeit it dann päter. ie Gleichung u nach der geuchten Größe ugetellt werden. a kann ein Rechner chaffen oder an u elber Hand anlegen: in ω t = in ω t + t ( ) ( ) in ω t = in ω t co ω t + co ω t in ω t Würg, da ieht fat unlöbar au. Ert al die gleichen Sinüe auf eine Seite: in ω t in ω t co ω t = co ω t in ω t und auklaern: in ω t co ω t = co ω t in ω t a in durch co gleich tan it, teilt an durch den co: in( ω t) ( co( ω t) ) = in( ω t) co ω t ( ) tan ω t co ω t = in ω t ait teht die geuchte Größe auf einer Seite und kann berechnet werden: in( ω t) tan( ω t) = co ω t ( ) Bei Berechnen it der Tachenrechner auf RA uzuchalten, ont kot Grütze rau! Man erhält: t = 0,86 ait it auch t bekannt:,86 Mit dieen Zeiten werden die Elongationen berechnet:

7 y = yˆ in ω t π y = 0c in 0,86 5 y =,5 c y = 7c Antwort: er Schwinger hat nach 0,86 eine Elongation von,5 c. Eine Sekunde päter beträgt die Elongation 7 c.

8 0. geg.: = 800kg =,8 0 kg = 6 0 ge.: a) T Löung: a) Karoerie und Fahrgetell ind bei jede Auto über Federn verbunden. ait werden Stöße abgefedert. Jede Feder it aber ein chwingungfähige Syte, o da an eine Fahrzeug eine Schwingungdauer zuordnen kann. Wird da Fahrzeug it dieer Schwingungdauer z.b. durch Unebenheiten der Straße erregt, kann e zu unangenehen Reonanzercheinungen koen, die die Fahricherheit gefährden. ie Schwingungdauer einer Feder berechnet ich allgeein it T = π it die Mae de chwingenden Körper und die Federkontante. ie Mae it die Geatae de LKW, alo Leerae plu Zuladung: = + =,6 0 kg ie Federkontante kann an au der Abenkung de LKW, alo der Längenänderung der Federn berechnen: F = F it die Gewichtkraft der Zuladung und der Weg, u den die Federn ihre Länge ändern: g =,8 0 kg 9,8 = 6 0 = 94, 0 ait kann die Schwingungdauer berechnet werden: T = π,6 0 kg 94, 0 T = 0,59 b) Zur Berechnung der Schwingungdauer de leeren Fahrzeuge wird die gleiche Federkontante verwendet. ie it ja für die Federn kontant. ie Mae it aber nur noch die Leerae. adurch chwingt der LKW chneller, die Schwingungdauer u alo kleiner werden. T = π T = 0, kg 94, 0

9 c) Bei dieer Teilaufgabe it die Mae geucht und T gegeben. Au a) it bekannt: + T = π iee Gleichung u nach der Zuladung ugetellt werden: + T = 4 π T + = 4 π T = + 4 π T = 4 π Für T wird 0,66 eingeetzt. ait it die geuchte Mae berechenbar: , 0 = 800kg 4 π = 450kg Antwort: er beladene LKW chwingt it 0,59, der leere it 0,. ait die Schwingungdauer 0,66 beträgt, üen 450 kg zugeladen werden.

10 04. geg.: ge.: Löung: Wird der chwiende Holzquader in Waer eingetaucht, verpürt er die Auftriebkraft, die ihn wieder in die Ruhelage zurückbringen will. ie Auftriebkraft it nach de Archiedichen Geetz o groß, wie die Gewichtkraft der verdrängten Flüigkeit, alo F =ρ V g A W a diee Kraft proportional zur Eintauchtiefe it (Holzquader), führt der Quader nach de Lolaen eine haroniche Schwingung au. ie Richtgröße it der Proportionalitätfaktor zwichen der Auftriebkraft und der Eintauchtiefe : F = A ρw V g = ie Schwingungdauer eine olchen Syte berechnet ich T = π T = π ρ V g W ie Mae durch da Voluen it aber die ichte de Quader: T ρ K = π ρ W g a die Eintauchtiefe genau h war, ergibt ich: Antwort: T ρ h K = π ρ W T = π ρ ρ K W g h g