Der Reflexionsfaktor bei der senkrechten Reflexion von Luftstoßwellen an starren und an nachgiebigen Materialien

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1 Bei diesem Beitrag handelt es sih um einen wissenshaftlih begutahteten und freigegebenen Fahaufsatz ( reviewed aer ). Der Reflexionsfaktor bei der senkrehten Reflexion von Luftstoßwellen an starren und an nahgiebigen Materialien N. Gebbeken, T. Döge Exlosion Reflexion Einwirkungen 496 Zusammenfassung Für die Bemessung von Tragwerken, die einer Exlosion ausgesetzt sind, wird die bemessungsrelevante Einwirkung benötigt. Diese lässt sih niht in Vorshriften festlegen (s. DIN 55, EC). Jeder Einzelfall muss individuell untersuht werden. Im Falle der Ferndetonation müssen die Einwirkungsarameter reflektierter Sitzenüberdruk und Dauer der Überdrukhase bestimmt werden. Unter Umständen kann auh die Soghase maßgebend sein. Der reflektierte Druk und der Reflexionsfaktor werden für die senkrehte Reflexion einer Luftstoßwelle an einer starren Oberflähe berehnet. Dafür sind die thermodynamishen Zustandsänderungen für Luft im Bereih der Shokfront durh die Erhaltungsgleihungen zu beshreiben. Abshließend wird untersuht, wie sih der Reflexionsfaktor bei nahgiebigen im Vergleih zu starren Materialien ändert. The refletion oeffiient for normal refletion of air shok waves at rigid and flexible materials Abstrat What is the design load in ase of an exlosion event? This question an not be answered in odes due to its omlexity. Every defined event has to be uniquely examined. In ase of a far field detonation the design load arameter refleted overressure and duration of overressure hase have to be determined. Sometimes, the negative overressure hase an be deisive. The refleted ressure and the refletion oeffiient are alulated for a normal refletion of an air shok wave at a rigid surfae. For this, the thermodynami hanges of state aross a shok front have to be desribed by the onservation equations. Finally is investigated, how the refletion oeffiient hanges for soft materials in omarison with rigid materials. Motivation Der Reflexionsfaktor wird zur Ermittlung der Bemessungslasten und damit zur Bemessung von Bauteilen und Gebäuden gegen Luftstoßeinwirkung (z. B. infolge einer Exlosion) benötigt. Das Verhältnis vom Sitzenüberdruk einer reflektierten Luftstoßwelle zum Sitzenüberdruk einer einfallenden Luftstoßwelle wird als Reflexionsfaktor r (refletion oeffiient) bezeihnet. Im Zusammenhang mit diesem Thema werden immer wieder Fragen gestellt, die in diesem Beitrag beantwortet werden. In Fahgesrähen wiederkehrende Fragen sind z. B.: Warum ist der Reflexionsfaktor niht auf Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. Norbert Gebbeken Dil.-Ing. Torsten Döge Professur für Baustatik Universität der Bundeswehr Münhen Werner-Heisenberg-Weg 39 D Neubiberg norbert.gebbeken@unibw.de einen Maximalwert von begrenzt? Warum gibt es untershiedlihe Angaben für den Maximalwert des Reflexionsfaktors ( r,max ) wie z. B. nah KINNEY & GRAHAM [4] r,max < 8 aber nah TM [] r,max > 3? Wie verändert sih der Reflexionsfaktor bei untershiedlihen Materialien? Kann er konstruktiv beeinflusst werden, z. B. durh Mem brane? Welhen Einfluss hat der Auftreffwinkel? Der Auftreffwinkel der Luftstoßwelle hat zwar einen Einfluss auf den Reflexionsfaktor, wird aber in diesem Aufsatz aus Platzgründen niht behandelt. Selbst in der Fahliteratur treten Fehler in Bezug auf den Reflexionsfaktor auf. So war beisielsweise zu lesen, dass der Reflexionsfaktor nah oben durh begrenzt ist, was niht stimmt. Da der Reflexionsfaktor sehr wihtig für die Ermittlung der Bemessungslasten aus Exlosionen ist, soll dieser Beitrag zur Verdeutlihung der hysikalishen Vorgänge dienen. Überdruk und reflektierter Überdruk eine anshaulihe Beshreibung Der Detonationsrozess in einem festen Srengstoff erfolgt mit einer Detonationsgeshwindigkeit bis maximal etwa m/s. Das sind etwa 3 Mah in Bezug auf die Shallgeshwindigkeit unserer Umgebungsluft. Dieser Detonationsstoß trifft auf die ruhende Luft und verdihtet sie stoßartig in Pikosekunden ( Pikosekunde Millionstel Mikrosekunde Sekunden). Ähnlih wie in einer Luftume wird die Luft dabei heiß und zwar bis über 5 C. Das ist so heiß, dass die verdihtete Luft Liht aussendet. Diese Hitze hat nihts mit dem Exlosionsfeuer zu tun, das durh die hemishe Reaktion des Srengstoffes auftritt. Überdruk [kpa] Exeriment, frei Simulation, frei Simulation, reflektiert Zeit [ms] Bild. Exlosion: Überdruk-Zeit-Verläufe: Exeriment, numerishe Berehnungen Fig.. Exlosion: overressure-time-histories: exeriment, simulations Bauingenieur Band 8, November 6

2 In freier Luft breitet sih eine Luftstoßwelle kugelförmig im Raum aus. Ein Drukaufnehmer nimmt an einem festen Ort ein Signal wie in Bild (shwarze Kurve) auf; es ist ein Überdruk-Zeit-Verlauf. Bei diesem Beisiel exlodierten kg TNT in 5 m Entfernung. Zum Vergleih ist der Überdruk-Zeit-Verlauf aus einer numerishen Simulation dieses Beisiels abgebildet (blaue Kurve). Der Überdruk-Zeit-Verlauf ist gekennzeihnet durh den Sitzenüberdruk, die Überdrukhase und die Unterdrukhase (Soghase; vergleihe auh mit Druk-Zeit-Verlauf im Bild (a)). Druk und Überdruk dürfen niht verwehselt werden. Der Überdruk ist gleih dem Druk abzüglih dem Umgebungsluftdruk. Trifft die Luftstoßwelle in derselben Entfernung des Messunktes wie bei der freien Ausbreitung senkreht auf ein starres Hindernis, so wird der in Bild mit der roten Kurve dargestellte Überdruk-Zeit-Verlauf erhalten. Der Sitzenüberdruk ist gegenüber dem der freien Ausbreitung etwa,8 mal so groß. Was ist der Hintergrund für diesen Drukanstieg? Zunähst könnte man denken, dass sih die einfallende Welle und die ausfallende Welle überlagern, und somit bei der Reflexion der doelte Überdruk entstehen muss. Dies ist auh rihtig, nur kommt noh der Staudruk, auh dynamisher Druk genannt, hinzu. Denn die Luft hinter der Shokfront besitzt eine Geshwindigkeit und wird beim Auftreffen auf die Oberflähe gestot. Dieser Staudruk ähnelt dem Luftwiderstand, den wir versüren, wenn wir bei einer Autofahrt mit höherer Geshwindigkeit, z. B. auf der Autobahn, die Hand aus dem Fenster halten, was niht erlaubt ist. Im Folgenden wird die Anshauung bzw. die exerimentelle Beobahtung hysikalish und mathematish beshrieben. 3 Zustandsgleihung für Luft Der thermodynamishe Zustand eines beliebigen Stoffes wird mit sogenannten Zustandsgrößen beshrieben. Zustandsgrößen in diesem Sinne sind beisielsweise bei konstanter Masse m die Temeratur T, der Druk, das Volumen V und die innere Energie U. Als reine Stoffe werden Substanzen bezeihnet, die aus genau einer Art von Teilhen aufgebaut sind und sih niht durh einfahe hysikalishe Methoden in kleinere, andersartige Einheiten zerlegen lassen. Der Zustand reiner Stoffe (z. B. ideales Gas) wird durh zwei unabhängige Zustandsgrößen eindeutig beshrieben (MÜLLER [7]). Alle anderen Zustandsgrößen sind damit festgelegt. Für die vier oben genannten Zustandsgrößen gibt es somit zwei Zustandsgleihungen. Luft wird hier als ideales Gas betrahtet. Die Zustandsgleihungen des idealen Gases sind V m R' T (die thermishe Zustandsgleihung) und () U m V T (die kalorishe Zustandsgleihung), () wobei R' eine massenbezogene Gaskonstante und V die sezifishe Wärmekaazität bei konstantem Volumen sind. Zwishen R' und V besteht der Zusammenhang R' V, mit als der sezifishen Wärmekaazität bei konstantem Druk. Mit der Dihte ρ m/v und dem Zusammenhang R' V ergibt sih aus () ( V ) ρ T. (3) Weiterhin wird die sezifishe innere Energie U e (4) m eingeführt, wodurh sih aus () e V T (5) ergibt. Das Umstellen von (3) und (5) in Bezug auf T und Gleihsetzen führt zu e ρ ( V ), (6) V woraus 497 Sitzendruk Sitzenüberdruk Shokfront Überdrukhase Soghase Zustand verdihtete Luft, unmittelbar hinter der Shokfront,,e,u r Shokfront u s Ausgangszustand Luft, unmittelbar vor der Shokfront, r,e,u t t s (a) Idealisierter Druk-Zeit-Verlauf am Ort x s (t s ) x() t (b) Shokfront und Zustandsgrößen zum Zeitunkt t s s s x Bild. Ebener Luftstoß, Modellbildung Fig.. Planar air shok, modeling Band 8, November 6 Bauingenieur

3 V V ρ e (7) ρ( us u) ρus. (9) 498 folgt. Unter Verwendung des Verhältnisses der sezifishen Wärmekaazitäten γ / V wird die häufig verwendete Zustandsgleihung γ ρe (8) erhalten. γ wird als Isentroenexonent bezeihnet, da für isentroishe Zustandsänderungen von idealen Gasen V γ onst gilt. Für Luft im Normzustand (DIN 343 []: T 73,5 K, 35 Pa) ist γ,4. 4 Ebener Luftstoß Bild (a) zeigt qualitativ den tyishen Druk-Zeit-Verlauf einer Luftstoßwelle infolge einer Exlosion bei freier Ausbreitung. Luftstoßwellen sind gekennzeihnet durh einen lötzlihen Anstieg des Druks an der Shokfront vom Umgebungsluftdruk auf den Sitzendruk. Die Anstiegszeit, und damit die Dike dieser Shokfront, ist für die raktishe Analyse vernahlässigbar und wird gleih Null idealisiert. Die Shokfront stellt nihts anderes als die Grenzflähe zwishen der hier betrahteten Luft im Ausgangszustand und dem Zustand in der Luftstoßwelle dar. Der Überdrukhase (Überdruk > ) folgt eine Soghase, in welher der Druk geringer als der Umgebungsluftdruk ist. Um den Sahverhalt im Folgenden einfaher zu formulieren, werden an dieser Stelle die Begriffe unmittelbar vor der Shokfront und unmittelbar hinter der Shokfront eingeführt. Die Position einer sih bewegenden Shokfront sei durh die Funktion x s (t) beshrieben. Wird eine Shokfront zum Zeitunkt t s betrahtet, dann bedeuten unmittelbar vor der Shokfront der Ort x s (t s + Δt) und unmittelbar hinter der Shokfront der Ort x s (t s Δt), mit Δt > und Δt. Im Bild (b) ist die Shokfront eines ebenen Luftstoßes zum Zeitunkt t s durh eine gestrihelte Linie dargestellt. Diese Shokfront bewegt sih mit der Shokwellengeshwindigkeit u s in Rihtung der Raumkoordinaten x und trifft auf das Ausgangsmedium Luft mit dem Druk, der Dihte ρ, der sezifishen inneren Energie e und der Gasgeshwindigkeit u. In Anlehnung an andere Literatur, in der die Gasgeshwindigkeit als Partikelgeshwindigkeit bezeihnet wird, wird der Index verwendet. Es wird hier angenommen, dass das Ausgangsmedium in Ruhe ist (u ). Unmittelbar hinter der Shokfront hat das Gas den Druk, die Dihte ρ, die sezifishe innere Energie e und die Gasgeshwindigkeit u. Das Abfallen des Druks hinter der Shokfront wie in Bild (a) wird hier zunähst niht berüksihtigt, sondern es wird nur der Zustand unmittelbar vor und unmittelbar hinter der Shokfront betrahtet. Wird vorausgesetzt, dass die Größen, ρ, u und bekannt sind, so ergeben sih fünf Unbekannte (e, u s, ρ, e, u ), die durh fünf Gleihungen zu bestimmen sind. Beim Srung vom Ausgangszustand in den Zustand müssen die Erhaltungssätze für Masse, Imuls und Energie erfüllt sein. Daraus folgen drei Erhaltungsgleihungen. Zusätzlih werden zwei Zustandsgleihungen für die Luft unmittelbar vor und unmittelbar hinter der Shokfront, die mit (8) bestimmt werden, benötigt. Aus der Massenerhaltung folgt Die Imulserhaltung wird mit ρ us u () beshrieben. Die Gleihung für die Energieerhaltung ist u us e e + u ρ. () Mit der Zustandsgleihung für ideale Gase (8) ergeben sih für e und e e e γ ρ γ ρ und damit wird aus Gleihung () u + u ( γ ) ρ ( γ ) ρ ρus () (3). (4) Durh Lösen der Gleihungen (9), () und (4) lassen sih die drei Unbekannten ρ, u und u s zu ρ ρ u u s ( γ )+ γ + ( γ + )+ γ ρ ( γ )+ γ + [ ] ( γ )+ γ + ρ (5) (6) (7) bestimmen. Mit (), (3), (5), (6) und (7) sind die erforderlihen Bestimmungsgleihungen für die zuvor genannten fünf Unbekannten gegeben,, und ρ sind gegeben und γ ist, wie bereits in Abshnitt 3 erwähnt, γ,4. 5 Senkrehte Reflexion an starren Oberflähen Im Bild 3 ist die Reflexion einer Luftstoßwelle unmittelbar nah dem Auftreffen auf eine starre Oberflähe abgebildet. Trifft die Luft mit der Geshwindigkeit u auf die starre Oberflähe, so wird sie abrut gestot (u ) und verdihtet. Es entsteht eine neue Shokfront, welhe sih mit der Geshwindigkeit u s zurük bewegt. Die Zustandsgrößen, ρ und e beshreiben den Zustand der Luft an der starren Oberflähe. Es werden wieder die Erhaltungsgleihungen aufgestellt. Für die Massenerhaltung folgt analog zu (9) Bauingenieur Band 8, November 6

4 Zustand Bei Reflexionen mit einfallenden Überdrüken bis so MPa sind die Abweihungen bei der Verwendung eines Isentroenexonenten γ,4 gering. Der Überdruk MPa kn/m bar entsriht ungefähr dem Sitzenüberdruk bei einer Exlosion von 7 kg TNT in m Entfernung. Detonationen werden untershieden in Kontakt-, Nah- und Ferndetonationen. Detonationen mit einem skalierten Ab,,e,u r Shokfornt u s r e u Zustand starre Oberflähe definiert. Einsetzen von () liefert r ( ) 3γ ( γ γ )+ γ +. (4) Wird für Luft im Normzustand der Isentroenexonent γ,4 verwendet, so ergibt sih für diesen Fall aus (4) Bild 3. Reflektierter Luftstoß Fig. 3. Refleted air shok ρ (u s + u ) ρ u s (8) mit ρ und u aus (5) und (6). Für die Imulserhaltung ergibt sih analog zu () ρ (u s + u ) u. (9) Für die Energieerhaltung ergibt sih analog zu () u us e e u ρ () mit e nah (3) und e γ ρ. () Die verbleibenden unbekannten Größen sind u s, und ρ. Diese drei Unbekannten können mit den drei Gleihungen (8), (9) und () bestimmt werden. Das Ergebnis für den Druk unmittelbar hinter der reflektierten Shokfront, der hier als reflektierter Druk bezeihnet wird, ist ( 3γ ) ( γ ). () ( γ )+ ( γ + ) Bei der Annahme von Luft als ideales Gas ist der reflektierte Druk bei der senkrehten Reflexion nur vom Umgebungsluftdruk, dem Isentroenexonenten γ und dem einfallenden Druk und niht von der Dihte oder von der inneren Energie e (bzw. von der Temeratur T, s. (5)) abhängig. Trifft die Luftstoßwelle niht senkreht auf eine Oberflähe, so ist der reflektierte Druk auh vom Auftreffwinkel abhängig. Auf die Berehnung des reflektierten Drukes in Abhängigkeit vom Auftreffwinkel wird in diesem Aufsatz aus Platzgründen niht eingegangen. Der Reflexionsfaktor r wird als das Verhältnis vom reflektierten Sitzenüberdruk ro (eak refleted overressure) zum Sitzenüberdruk der einfallenden Luftstoßwelle so (eak side-on overressure) r ro so (3) r (5) + 6 Der Reflexionsfaktor ist im Bild 4 in Abhängigkeit vom einfallenden Überdruk so mit 35 Pa abgebildet. Für sehr kleine Überdrüke gilt lim r und für sehr große Überdrüke strebt r gegen die Asymtote lim r 8. Dies gilt nur unter der Annahme, dass Luft ein ideales Gas mit einem konstanten Isentroenexonenten γ,4 ist. Unter Annahme eines konstanten Isentroenexonenten γ,4 gilt für die senkrehte Reflexion von Luftstoßwellen an starren Oberflähen < r < 8. Luft verhält sih aber nur näherungsweise wie ein ideales Gas. Bei hohen Drüken und hohen Temeraturen verringert sih der Isentroenexonent bis auf γ,7 (TM []). Dies hat Einfluss auf den Reflexionsfaktor, der auf r,5 bei einem einfallenden Überdruk von so 34,5 MPa steigt. Unter realen Bedingungen mit einem veränderlihen Isentroenexonenten erreiht der Reflexionsfaktor r Werte bis etwa 4. r Ferndetonationsbereih Nahdetonationsbereih Gleihung (5) untere Grenze nah TM [ MPa] Bild 4. Reflexionsfaktor in Abhängigkeit vom einfallenden Überdruk so mit 35 Pa Fig. 4. Refletion oeffiient deending on inident overressure so with 35 Pa so 499 Band 8, November 6 Bauingenieur

5 5 stand z R/W /3 >,5 m/kg /3 (R Abstand, W Srengstoffmasse) können als Ferndetonationen betrahtet werden (MAYRHOFER [6]). Dies entsriht einfallenden Uberdrüken bis 4 MPa. Dabei beträgt die Abweihung des Reflexionsfaktors bei Berüksihtigung eines veränderlihen im Vergleih zu einem konstanten Isentroenexonenten ungefähr 6 %. Damit ist die Verwendung eines konstanten Isentroenexonenten für Anwendungen im Bereih von Ferndetonationen ausreihend genau. Für Nahdetona tionen sollte der Effekt eines erhöhten Reflexionsfaktors berüksihtigt werden. Durh Umformen der Gleihung () und Verwenden der Gleihungen (5) und (6) wird die interessante Darstellung ro so + γ + ρ u (6) für den reflektierten Sitzenüberdruk erhalten. Gleihung (6) zeigt anshaulih, dass der reflektierte Sitzenüberdruk ro sih aus dem Doelten des einfallenden Sitzenüberdruks so und dem dynamishen Sitzendruk ρ u, welher mit dem Faktor (γ + ) multiliziert wird, zusammensetzt. Der Reflexionsfaktor ist niht auf einen Maximalwert von begrenzt, da die Geshwindigkeit der Luft hinter der Shokfront größer als m/s ist. Dies verdeutliht die in Abshnitt beshriebene Vorstellung, dass sih die Überdrüke der einfallenden und ausfallenden Welle und zusätzlih ein Druk durh das Stoen der Luft überlagern. 6 Senkrehte Reflexion an nahgiebigen Materialien Jüngst war zu lesen, dass der Reflexionsfaktor z. B. abhängig von der Glasstärke ist. Dieser Abshnitt soll die Frage beantworten, in welhem Maße sih der Reflexionsfaktor bei der Wahl untershiedliher Bauteildiken und untershiedliher Materialien beeinflussen lässt. In diesem Abshnitt wird ein konstanter Isentroenexonent γ,4 für Luft verwendet, da dies, wie in Abshnitt 5 gezeigt wurde, für bauraktishe Anwendungen im Bereih des Ferndetonationsshutzes ausreihend genau ist. 6. Überblik Das Bild 5 zeigt die Reflexion einer ebenen Luftstoßwelle an einem nahgiebigen Feststoff. Die einfallende Luftstoßwelle breite sih wie in den vorangegangenen Abshnitten in x- Rihtung aus. In y- und z-rihtung sei das System unendlih ausgedehnt. Für eine bessere Anshauung ist nur ein Ausshnitt mit den Abmessungen Δy und Δz dargestellt. Es wird der Zustand zur Zeit Δt nah dem Auftreffen der Luftstoßwelle auf das Material mit Δt > und Δt betrahtet. Es wird hier angenommen, dass der Feststoff im Ausgangszustand in Ruhe ist (u ) und sih im Material ein hydrostatisher Druk wie in der ruhenden Umgebungsluft eingestellt hat. Dies bedeutet, dass der CAUCHY-Sannungstensor die Form σ ij, σ σ σ σ σ σ σ σ σ xx, o xy, o xz, o yx, o yy, o yz, o zx, o zy, o zz, o (7) hat. Die Dihte des Materials im Ausgangszustand ist ρ m. Trifft die Luftstoßwelle mit den Zustandsgrößen, ρ und e und der Geshwindigkeit u auf das nahgiebige Material, so wird in das Material eine Stoßwelle eingetragen, welhe sih mit der Geshwindigkeit u sm bewegt. In der Luft entsteht eine neue Shokwelle, welhe sih mit der Geshwindigkeit u s zurük bewegt. Die Luft wird niht wie an einer starren Oberflähe vollständig gestot, sondern behält eine Restgeshwindigkeit, da der Feststoff etwas nahgibt. Zwishen den beiden Shokfronten besitzen die Luft und der Feststoff die Geshwindigkeit u. Der Druk in der reflektierten Luft wird wieder als bezeihnet. Die Sannungen im Feststoff sind niht in allen Rihtungen gleih groß. In x-rihtung muss im Feststoff die gleihe Druksannung herrshen wie in der reflektierten Luft (σ xx, ). In y- und z-rihtung ist die Verformung unterbunden, da das System in diese Rihtungen unendlih ausgedehnt ist. Damit wird σ yy, σ zz, ( ) ν + erhalten, wobei ν die POISSON-Zahl ν (Querdehnungszahl) ist. Damit nimmt der CAUCHY-Sannungstensor die Form σ u,,, e ij, u s reflektierte Shokfront Luft u,,, e y x z u, ij, m, u u, ij, m Materialgrenzflähe, ( ) ν + ν ( ) ν + ν (8) an. Die reflektierte Luft hat die innere Energie e und die Dihte ρ. Die Dihte des verdihteten Materials ist ρ m. Die innere Energie des Feststoffes wird hier niht dargestellt. Sie ist in der verwendeten Zustandsgleihung imlizit berüksihtigt. 6. Erhaltungsgleihungen Es werden wieder wie in Abshnitt 4 die Erhaltungsgleihungen benötigt. Sie werden hier getrennt für die Luft und den Feststoff aufgestellt. So folgt in Analogie zu (9) für die Luft u sm x(u s+u sm) t Bild 5. Reflexion eines Luftstoßes an einem Feststoff (z. B. Stahl) Fig. 5. Refletion of an air shok at a solid material (e. g. steel) Feststoff z y Shokfront im Feststoff Bauingenieur Band 8, November 6

6 ρ (u s + u ) ρ (u s + u ) (9) und für den Feststoff ρ m u sm ρ m (u sm u ). (3) Die Imulserhaltung für die Luft wird mit ρ (u s + u ) u + ρ (u s + u ) u (3) und für den Feststoff mit ρ m (u sm u ) u (3) beshrieben. Die Energiehaltungsgleihung für die Luft ist + ( ) u u us + u e e u u ρ. (33) mit e nah (3) und e nah (). 6.3 Zustandsgleihungen für ausgewählte Materialien Für homogene Feststoffe (z. B. für Stahl) wird häufig als Zustandsgleihung die lineare u s -u -Beziehung (Shokwellengeshwindigkeit-Partikelgeshwindigkeits-Beziehung) u s (u ) B + S u. (34) verwendet (z. B. GREULICH [3]). Sie beshreibt alle möglihen Shokzustände des Materials unter Vorgabe eines Ausgangszustandes. Solhe Zustandsgleihungen, die nur Shokzustände beshreiben, werden auh als HUGONIOT- Zustandsgleihungen oder als HUGONIOT-Kurven bezeihnet. Die HUGONIOT-Kurve liegt auf der Zustandsflähe in Hautaufsatz einem dreidimensionalen Raum (z. B. Druk-Dihte-innere Energie-Raum). Die HUGONIOT-Kurve kann auf einen zweidimensionalen Raum (hier: u s -u -Raum) rojiziert werden. Somit ist in der Gleihung (34) die innere Energie bereits imlizit berüksihtigt. Die Gleihung (34) stellt eine Näherung des Zusammenhangs zwishen den exerimentell er- K mittelten Größen u s und u dar. B ist die Komressionswellengeshwindigkeit. K ist der ρm E 3 ν Komressionsmodul mit dem Elastizitätsmodul E und der POISSON-Zahl ν. S ist ein Materialarameter und gleihzeitig die Steigung der u s -u -Beziehung. Für Betonstahl wird mit ρ m 7 85 kg/m 3, E N/mm, ν,8 und S,367 (nah GREULICH [3]) u sm (u ) 4 5 m/s +,367 u (35) erhalten. Der Verlauf dieser Funktion ist in Bild 6(a) dargestellt. In diesem Diagramm ist ebenfalls die u s -u -Beziehung für ein Glasmaterial (siehe GLASS, Pyrex in MARSH [5]) enthalten. Die Dihte wird in [5] mit ρ m 3 kg/m 3 angegeben. Die Steigung S wird durh lineare Interolation zwishen den Werten u s (u m/s) m/s und u s (u 565 m/s) 4 93 m/s zu S,86 ermittelt. Die Zustandsgleihung für dieses Material wird folglih mit u sm (u ) m/s +,86 u (36) beshrieben. Diese Gleihung bildet nur den Bereih m/s u 565 m/s, der für die hier durhgeführten Berehnungen ausreihend ist, ab. Im Bild 6(a) ist weiterhin eine u s -u -Kurve für ein Betonmaterial abgebildet. Sie wurde mit Daten nah RIEDEL [8] erstellt. Tyish für Beton ist, dass die Kurve beim Übergang vom elastishen zum elastish-lastishen Bereih abfällt. Dies ist auf eine Komaktion des orösen Material- 5 u [ m/s s ] 8 Shokwellengeshwindigkeit us [m/s] 6 4 Betonstahl Glas Beton Betonstahl (Greulih [xx]) xxx (Greulih [xx]) Glas (Marsh [xx]) Beton (Riedel [xx]) Partikelgeshwindigkeit u [m/s] u [ m/s ] - [ GPa] Druk [GPa] HEL Shok orös EoS Reihe. Komaktion ,3 r m,5,7,9 Dihte [g/m³] r m [ g/m³] (a) Shokwellengeshwindigkeit-Partikelgeshwindigkeits-Beziehungen (b) Druk-Dihte-Beziehung eines orösen Materials, hier: Beton (GREULICH [3]) Bild 6. HUGONIOT-Zustandsgleihungen für vershiedene Materialien Fig. 6. HUGONIOT equations of state for various materials Band 8, November 6 Bauingenieur

7 5 gefüges zurükzuführen. Bei größeren Partikelgeshwindigkeiten steigt die Kurve wieder an. Das Bild 6(b) zeigt eine HUGONIOT-Zustandsgleihung für einen Beton und zwar in Form einer Druk-Dihte-Beziehung. Die Daten für diese Kurve wurden GREULICH [3] entnommen. Zunähst gibt es einen linearen Verlauf bis zum HUGONIOT-Elasti-Limit (HEL). Die Steigung der Gerade bis zum HEL ist Δ/Δρ orös. Wird das HEL übershritten, erfolgt eine Komaktion des Porengefüges des Betons, wobei die Steifigkeit und damit auh die Wellengeshwindigkeit abnehmen. Bei stärkerer Komaktion nehmen die Steifigkeit und die mit ihr verbundene Wellengeshwindigkeit wieder zu. Ist die Wellengeshwindigkeit Shok > orös, dann entstehen Shokwellen. Zu beahten ist, dass der hydrostatishe Druk (σ xx + σ yy + σ zz )/3 ist. Die u s -u -HUGONIOT-Kurven lassen sih mit Hilfe der Erhaltungsgleihungen in -ρ m -HUGONIOT-Kurven überführen und umgekehrt. Für eine ausführlihere Beshreibung der Betoneigenshaften unter kurzzeitdynamishen Einwirkungen siehe z. B. GREULICH [3], RIEDEL [8] und RUPPERT []. 6.4 Lösung der Gleihungen Mit den Gleihungen (9) bis (33) und den zuvor beshriebenen Zustandsgleihungen wurden der Druk und der Reflexionsfaktor r für untershiedlihe Materialien und für vershiedene einfallende Überdrüke so bestimmt. Dafür wurde als Ausgangszustand der Luft der Normzustand (s. Abshnitt 3) angenommen. Die Ergebnisse für die Reflexionsfaktoren sind in Tabelle angegeben. Für Beton wurde keine u s -u -Beziehung, und somit kein B und kein S, sondern die -ρ m -Beziehung aus Bild 6(b) und ν, verwendet. Die Materialien, und 3 sind theoretishe Materialien mit frei gewählten Materialkenngrößen. Sie besitzen folgende Eigenshaften: Material hat eine relativ hohe Dihte aber eine geringe Komressionswellengeshwindigkeit bzw. Steifigkeit (z. B. Polyethylen, low density (PE-LD)). Material hat eine geringe Dihte aber eine hohe Steifigkeit (z. B. Aluminiumshaum). Material 3 hat eine geringe Dihte und eine geringe Steifigkeit (z. B. weiher Polyurethanshaum). Die Ergebnisse in Tabelle zeigen, dass sih der Reflexionsfaktor für Konstruktionsmaterialien wie Stahl, Glas oder Beton raktish niht im Vergleih zu einem ideal starren Material ändert. Der Einfluss der meisten Konstruktionsmaterialien auf den Reflexionsfaktor ist vernahlässigbar gering. Das Bild 7 zeigt den Reflexionsfaktor in Abhängigkeit vom einfallenden Überdruk und vershiedenen Materialien. Tabelle. Reflexionsfaktoren für untershiedlihe Materialien und untershiedlihe einfallende Überdrüke Table. Refletion oeffiients for different materials and different inident overressures r Reihe Reihe starres Material Reihe Material Reihe3 Material Material 3 5 Es ist zu erkennen, dass Materialien mit geringer Dihte ρ m und geringer Komressionswellengeshwindigkeit B bzw. mit geringem Komressionsmodul K verwendet werden müssen, um den Reflexionsfaktor zu senken, also z. B. leihte, weihe Shaumstoffe. Stoffe mit geringer Dihte und geringer Steifigkeit können den Reflexionsfaktor reduzieren. so [bar] Bild 7. Reflexionsfaktor in Abhängigkeit vom einfallenden Überdruk so und vershiedenen Materialien Fig. 7. Refletion oeffiient deending on inident overressue so and different materials Eine wihtige Kenngröße ist hierbei die Imedanz, das Produkt aus Dihte und Wellengeshwindigkeit (siehe z. B. RINEHART [9]). Bewegt sih eine Welle in einem Material mit der Imedanz I m und trifft auf ein Material mit der Imedanz I m, so entsriht bei einem Verhältnis von I m /I m << die stattfindende Reflexion einer Reflexion an einer starren Oberflähe. Zum Vergleih: Luft hat im Normzustand in etwa eine Dihte von,9 kg/m 3 und eine Shallgeshwindigkeit von 33 m/s. Möglihe Werkstoffe, die den Reflexionsfaktor reduzieren, sind leihte, weihe Shaumstoffe. Die meisten Aluminiumshäume sind zwar leiht, haben aber eine große Steifigkeit und sind deshalb niht otimal. Eine zusätzlihe günstige Eigenshaft solher Shaumstoffe sollte sein, dass sie ernergieabsorbierend wirken. Es ist also zukünftig eine Aufgabe der Materialwissenshaftler, solhe Werkstoffe zu kreieren, die den Reflexionsfaktor signifikant reduzieren und zusätzlih Energie absorbieren. 6.5 Einfluss der Bauteildike und -lagerung auf den Reflexionsfaktor An dieser Stelle sei die Frage erörtert, inwieweit die Bauteildike und die Bauteillagerung den Reflexionsfaktor beeinflussen. Bisher wurde hier vereinfahend angenommen, dass die Anstiegszeit der Shokfront und damit auh die Dike der Shokfront gleih Null ist. In Realität führen Viskosität und Wärmeleitung der Luft zu einer Ausrundung der Stoßwellenfront. Die Stoßwellenfront hat somit eine Dike d, welhe in TAYLOR [] mit d 4 m u / s (37) angegeben ist. Aus der Dike der Stoßwellenfront berehnet sih die Anstiegszeit Bauingenieur Band 8, November 6

8 t a 4 d m / s. (38) u u u s s Bei Überdrüken in der einfallenden Luftstoßwelle von, MPa < so 4 MPa liegt die Anstiegszeit im Bereih von 3 s t a,3 9 s. Bei Shokwellengeshwindigkeiten im Feststoff von 5 m/s < u sm m/s flanzt sih die Shokwelle bis zu,3 mm im Bauteil fort, bis der maximale reflektierte Überdruk erreiht ist. Da Bauteile in der Bauraxis gewöhnlih diker als,3 mm sind, wird der maximale reflektierte Überdruk und damit auh der Reflexionsfaktor weder von der Bauteildike noh von der Bauteilsteifigkeit oder von den Auflagern beeinflusst. Die Bauteildike und die Bauteillagerung beeinflussen den Reflexionsfaktor niht. In diesem Aufsatz wurde nur der reflektierte Sitzenüberdruk betrahtet, aber niht der gesamte Überdruk-Zeit- Verlauf. Neben dem reflektierten Sitzenüberdruk ist der Imuls, der sih aus dem Überdruk-Zeit-Verlauf ergibt, entsheidend für das Tragverhalten von Bauteilen unter Ferndetonationsbelastung. Obwohl die Bauteilsteifigkeit keinen Einfluss auf den Reflexionsfaktor und auf den reflektierten Sitzenüberdruk hat, so hat sie einen Einfluss auf den gesamten Überdruk-Zeit-Verlauf. Für relativ steife Bauteile ist dieser Einfluss vernahlässigbar. Jedoh bieten leihte, nahgiebige Konstruktionen wie z. B. Membranen die Möglihkeit, den Überdruk-Zeit-Verlauf ositiv zu beeinflussen. Leihte, nahgiebige Konstruktionen können zwar niht unbedingt den reflektierten Sitzenüberdruk jedoh den Überdruk-Zeit-Verlauf deutlih beeinflussen. In diesem Aufsatz wird aus Platzgründen niht auf die Berehnung des Überdruk-Zeit-Verlaufes an nahgiebigen Konstruktionen eingegangen. 7 Zusammenfassung In diesem Aufsatz wurde die Vorgehensweise zur Berehnung des reflektierten Sitzenüberdrukes bzw. des Reflexionsfaktors bei der senkrehten Reflexion von Luftstoß wellen erläutert. Bezugnehmend auf die Fragen in Abshnitt kann Folgendes festgehalten werden: Der Reflexionsfaktor r nimmt bei der senkrehten Reflexion von Luftstoßwellen an starren Oberflähen Werte größer als an. Unter Annahme eines konstanten Isentroenexonenten γ,4 ist r nah oben durh 8 begrenzt. Die Annahme eines konstanten Isentroenexonenten γ,4 ist für Ferndetonationen ausreihend genau. Bei Nahdetonationen können Reflexionsfaktoren bis etwa 4 auftreten. Die meisten Konstruktionsmaterialien (z. B. Stahl, Beton, Glas) haben einen vernahlässigbaren Einfluss auf den Reflexionsfaktor. Um den reflektierten Sitzenüberdruk deutlih zu reduzieren, müssen Materialien mit geringer Dihte und geringer Steifigkeit wie z. B. Shaumstoffe eingesetzt werden. Die im Bauwesen übliherweise verwendeten Bauteilabmessungen (>,3 mm) und die Auflager haben keinen Einfluss auf den Reflexionsfaktor. Um den Überdruk-Zeit-Verlauf ositiv zu beeinflussen, können leihte, nahgiebige Konstruktionen wie z. B. Membranen verwendet werden. 8 Danksagung Die Autoren danken der Wehrtehnishen Dienststelle für Shutz- und Sondertehnik (WTD5) in Oberjettenberg für die Unterstützung der Arbeit. Weiterhin wird Herrn Univ.- Prof. Dr.-Ing. Ch. Mundt und Herrn Dil.-Ing. B. Thorwald vom Institut für Thermodynamik der Universität der Bundeswehr Münhen für die Unterstützung und für die Gesrähe gedankt. Literatur [] DIN 343. Referenzzustand, Normzustand, Normvolumen Begriffe und Werte, 99 [] Defense Seial Weaons Ageny and the Joint Deartments of the Army, Air Fore, and Navy. TM , Design and Analysis of Hardened Strutures to Conventional Weaons Effets. 997 [3] Greulih, S.: Zur numerishen Simulation von Stahlbetonund Faserbetonstrukturen unter Detonationsbeansruhung. Dissertation, Berihte des Konstruktiven Ingenieurbaus 4/4, Universität der Bundeswehr Münhen, 4 [4] Kinney, G. F.; Graham, K. J.: Exlosive Shoks in Air. Sringer- Verlag, Berlin, 985 [5] Marsh, S. P. editor: LASL Shok Hugoniot Data. University of California Press, Berkeley, 98 [6] Mayrhofer, C.: Methoden der dynamishen Grenztragfähigkeitsberehnung. In K. Thoma, N. Gebbeken, and H. Thünemann, editors, Worksho Bau-Protet Baulihe Strukturen unter Belastung durh Imakt und Srengwirkung, ages Fraunhofer EMI, Freiburg, 4 [7] Müller, P. editor.: Übungsbuh Physik. Fahbuhverlag Leizig im Carl Hanser Verlag, Münhen, 996 [8] Riedel, W.: Beton unter dynamishen Lasten: Meso- und makromehanishe Modelle und ihre Parameter. Dissertation, EMI-Beriht E6/, Fraunhofer EMI, Freiburg, [9] Rinehart, J. S.: Stress Transients in Solids. HyerDynamiS, 975 [] Ruert, M.: Zur numerishen Simulation von hohdynamish beansruhten Betonstrukturen. Dissertation, Berihte des Konstruktiven Ingenieurbaus /4, Universität der Bundeswehr Münhen, [] Taylor, G. I.: The Proagation and Deay of Blast Waves. In G.K. Bathelor, editor, The Sientifi Paers of Sir Geoffrey Ingram Taylor, Vol III, ages 35, Cambridge, 963. Cambridge University Press 53 Band 8, November 6 Bauingenieur