Analysis: Ganzrationale Funktionen Analysis Ganzrationale Funktionen Differenzialrechnung, Extrem- und Wendepunkte

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Matilde Hauer
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1 Analysis: Ganzraionale Funkionen Analysis Ganzraionale Funkionen Differenzialrechnung, Exrem- und Wendepunke Gymnasium Klasse 0 Alexander Schwarz Juni 0

2 Analysis: Ganzraionale Funkionen Aufgabe : Gegeben is die Funkion f mi f(x) = x x 7,5 ; x Ihr Schaubild sei K. a) Besimme die Nullsellen und das globale Minimum von f. b) In welchem Inervall is K eine Rechskurve? Aufgabe : a) Welche Bedeuung haben die folgenden Angaben für das Schaubild K einer auf ganz definieren Funkion f?.) Die.Ableiung von f ha einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus..) Das Schaubild der.ableiung ha einen Hochpunk. b) Warum kann das Schaubild einer ganzraionalen Funkion vom Grad n höchsens n- Wendesellen haben? c) Fülle die Lücken aus: "Das Schaubild einer ganzraionalen Funkion ha einen Übergang von einer Links- in eine Rechskurve, wenn die erse Ableiung oder wenn die zweie Ableiung ". Aufgabe : (Teil b) mi GTR) Gegeben sind die Funkionen f und g durch f(x) = x,5x und g(x) = x x, x 6 a) Unersuche eine der beiden Funkionen auf Exrema und gib deren Ar an. b) Besimme den Schnipunk der beiden Schaubilder im.quadranen. Aufgabe : Begründe die Symmerie des Schaubildes der Funkion f mi In welchem Inervall is das Schaubild eine Linkskurve? 5 f(x) = x x + 6, x 0 Aufgabe 5: Gegeben is für jedes > 0 eine Funkion f durch f (x) = x x + x, x Ihr Schaubild sei K. a) Skizziere K mi Hilfe des GTR. Zeige, dass jedes Schaubild K die x-achse berühr. b) Auf welche Kurve liegen die Hochpunke aller K? c) Für welchen Wer von geh die Wendeangene in W( /?) durch den Punk P(0/)? Aufgabe 6: (mi GTR) Eine ganzraionale Funkion f.grades ha folgende Eigenschafen: () Der Ursprung lieg auf dem Graphen G f () Die Wendeangene : y = x berühr G f an der Selle x= 9 9 a) Besimme den Funkionserm von f (Konrollergebnis: f(x) = x + x ) 6 b) Besimme die Nullsellen und Exrema von G f. c) Skizziere G f aufgrund der bisherigen Ergebnisse und zeichne ein. d) Die Punke A(-/0), B(b/0) und C(b/f(b)) bilden ein rechwinkliges Dreieck. Dabei is - < b < 0. vorausgesez. Besimme b so, dass die Dreiecksfläche maximal wird. Wie groß is dann die Fläche?

3 Analysis: Ganzraionale Funkionen Aufgabe : a) Nullsellen von f(x): f(x) = 0 x x 7,5 0 x x 5 0 Lösungen = = Subsiuion u= x ± + 60 ± u u 5= 0 Lösungsformel: u, = = u= 5 oder u = - Rücksubsiuion: x = 5 x=± 5 x = nich lösbar Das Schaubild besiz Nullsellen bei x=± 5 Lokales Minimum von f: f (x) = 0 und f (x) 0 f (x) = x x und f (x) = 6x = = = f (x) 0 x x 0 x (x ) 0 Saz vom Nullproduk: x = 0 oder x = - oder x = f ( ) = > 0 Tiefpunk T( / f( )) T( / ) f (0) = < 0 Hochpunk f () = > 0 Tiefpunk T (/ f()) T (/ ) Zur Besimmung des globalen Minimums müssen die Randwere von f unersuch werden: Für x sreb f(x) + Für x + sreb f(x) + An den Rändern exisier kein kleinerer Wer als -. Folglich besiz das globale Minimum von f(x) den Wer -. b) Das Schaubild K is rechsgekrümm, wenn f (x) < 0 is. Zu lösen is die Ungleichung 6x < 0 Zunächs wird die zugehörige Gleichung gelös: 6x = 0 x=± Bei diesen x-weren befinden sich die Wendesellen der Funkion. Wir berachen nun Inervalle: x< : Es gil z.b. f ( ) = > 0 Linkskurve < x < : Es gil z.b. f (0) = < 0 Rechskurve x > : Es gil z.b. f () = > 0 Linkskurve K is rechsgekrümm im Inervall < x<

4 Analysis: Ganzraionale Funkionen Aufgabe : a).) Wenn die.ableiung von f einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus besiz, befinde sich an der beroffenen Selle ein lokales Minimum (Tiefpunk)..) Wenn das Schaubild der.ableiung einen Hochpunk besiz, ha das Schaubild von f an der beroffenen Selle eine Wendeselle. Der Wendepunk von f ha eine maximale Tangenenseigung und sell den Übergang von einer Links- in eine Rechskurve dar. b) Wenn man das Schaubild einer ganzraionalen Funkion vom Grad n zweimal ableie, erhäl man eine Funkion vom Grad n-. Da man zur Berechnung des Wendepunkes f (x) = 0 sezen muss, erhäl man eine Gleichung vom Grad n-, die maximal n- Lösungen besiz. Somi kann es maximal n- Wendesellen geben. c) Fülle die Lücken aus: "Das Schaubild einer ganzraionalen Funkion ha einen Übergang von einer Links- in eine Rechskurve, wenn die erse Ableiung einen Hochpunk / ein relaives Maximum besiz oder wenn die zweie Ableiung eine Nullselle mi einem Vorzeichenwechsel von plus nach minus besiz". Aufgabe : a) Exrema von f(x) = x,5x 6 Bedingung: f (x) = 0 und f (x) 0 f (x) = x,5 und f (x) = x f (x) = 0 x,5 = 0 x 9= 0 x=± f ( ) = < 0 Hochpunk H(-/9) Wegen der Symmerie zum Ursprung folg T(/-9) Exrema von g(x) = x x Bedingung: g(x) = 0 und g (x) 0 g(x) = x 6x und g (x) = 6x x = = = g(x) 0 x 6x 0 x (x ) 0 Saz vom Nullproduk: x = 0 oder x = g () = > 0 Tiefpunk T(/-,5) g (0) = 0 keine Aussage möglich, Konrolle mi VZW von f erforderlich g( ) = < 0 und g() = < 0 Es exisier beim Durchgang durch x = 0 kein Vorzeichenwechsel, daher exisier bei x = 0 auch kein Exrempunk. b) Schnipunk im.quadran: f(x) = g(x) Lösung mi dem GTR: Schnipunk S(-,7/5,6)

5 Analysis: Ganzraionale Funkionen Aufgabe : Begründung der Symmerie: 5 Das Schaubild von g(x) = x x is punksymmerisch zum Ursprung, da die Funkion 0 nur ungerade Hochzahlen besiz. Das Schaubild von f(x) = g(x) + 6 is gegenüber g(x) um 6 Einheien nach oben verschoben. Somi is das Schaubild von f punksymmerisch zum Punk P(0/6). Inervall der Linkskurve: Bedingung für eine Linkskurve: f (x) > 0 Es is = x und f (x) 0, 5x f (x) = x x Um die Ungleichung x x> 0 zu lösen, lös man zunächs die zugehörige Gleichung: x x= 0 x (x ) = 0 Lösung mi dem Saz vom Nullproduk: x = 0 oder x=± Wir berachen nun Inervalle: x< : Es gil z.b. f ( ) = < 0 Rechskurve < x< 0: Es gil z.b. f ( ) = 7> 0 Linkskurve 0< x< : Es gil z.b. f () = 7< 0 Rechskurve x> : Es gil z.b. f () = > 0 Linkskurve Das Schaubild is linksgekrümm in den Inervallen < x< 0 und für x> Aufgabe 5: a) Skizze von K : Es is f (x) = x 6x + 9x 5

6 Analysis: Ganzraionale Funkionen Die Zerlegung der Funkionsgleichung in Fakoren ergib: f (x) = x (x x+ ) = x (x ) An der Zerlegung erkenn man, dass bei x = eine doppele Nullselle exisier. Eine doppele Nullselle sell eine Berührung des Schaubildes von f mi der x-achse dar. b) Berechnung der Hochpunke der Schar: Es is f (x) = x x+ und f (x) = 6x Bedingung für Hochpunk: f (x) = 0 und f (x) < 0 x x+ = 0 ± 6 ± Lösungsformel: x, = = x= oder 6 6 f () = > 0 Tiefpunk f ( ) = < 0 Hochpunk H( / ) 7 x= Berechnung der Kurve der Hochpunke: x= (*) y= 7 Aus (*) folg = x Einsezen in (**) ergib die Kurvengleichung y = (x) y= x 7 c) Die allgemeine Gleichung der Wendeangene laue y= mx+ b Es is m= f ( ) = Der y-wer des Wendpunkes laue f ( ) = 7 Einsezen der Seigung und der Wendepunkkoordinaen in die Geradengleichung: = + b b= 7 7 Die Gleichung der Wendeangene laue y= x+ 7 Einsezen des Punkes P(0/) in die Gleichung ergib = = 7 = 7 Für = geh die Wendeangene durch P(0/). Aufgabe 6: a) Ansaz für die Funkionsgleichung: f (x) = ax + bx+ c f (x) = 6ax+ b f(x) = ax + bx + cx+ d 6

7 Analysis: Ganzraionale Funkionen Bedingungen: Ursprung lieg auf dem Graphen: f(0) = 0 d= 0 Wendeselle bei x= : f ( ) = 0 a+ b= 0 6 Seigung an der Wendeselle is -: f ( ) = a b+ c= 6 6 y-wer des Wendepunkes is y= ( ) = : f( ) = a+ b c = 7 9 Lösung des Gleichungssysems mi dem GTR: 9 a= ; b =,5 ; c = 0 6 Die Funkionsgleichung laue 9 9 f(x) = x + x b) Nullsellen von f(x): f(x) = 0 x + x = 0 6 Saz vom Nullproduk: x = 0 oder x= 9 9 x ( x + ) = 0 6 c) Exrema: f (x) = 0 und f (x) f (x) = x + x und f (x) = x f (x) = 0 x ( x + ) = 0 6 Saz vom Nullproduk: x = 0 oder x= 9 f (0) = > 0 Tiefpunk T(0/0) 6 f ( ) =,5< 0 Hochpunk H( / ) 7

8 Analysis: Ganzraionale Funkionen d) Skizze des Dreiecks: Flächeninhalsformel des Dreiecks: A= AB BC Die Punkkoordinaen lauen A(-/0), B(b/0) und C(b/f(b)). Für die Srecken gil AB= b ( ) = b+ A(b) = (b+ ) f(b) BC= f(b) 0= f(b) Gesuch is das globale Maximum von A(b) mi - < b < 0: Die Dreiecksfläche wird maximal für b = - mi A(-) =,5 FE. Unersuchung der Randwere: Für b = - ergib sich A(-) = 0. Für b = 0 ergib sich A(0) = 0. Somi befinden sich am Rand keine höheren Ergebnisse. Das globale Maximum der Fläche beräg A =,5 Flächeneinheien.

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