Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Definition 2.77: Normalverteilung & Standardnormalverteilung Es sei µ R und 0 < σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt mit den Parametern µ und σ 2, kurz: X N(µ,σ 2 ). Gilt dabei µ = 0 und σ 2 = 1, so heißt X standardnormalverteilt. Dr. Karsten Webel 264

2 Bemerkung 2.78: Eigenschaften der Normalverteilung µ = µ = 2 f(x) σ 2 = 1 f(x) σ 2 = x x µ = µ = 2 f(x) σ 2 = 2 f(x) σ 2 = x x Dr. Karsten Webel 265

3 Bemerkung 2.78: Eigenschaften der Normalverteilung (Fortsetzung) Es sei X N(µ,σ 2 ). Dann gilt: a) Die Dichte von X ist symmetrisch um µ, d. h. f(µ x) = f(µ + x) für alle x R. b) Der Erwartungswert und die Varianz von X lauten: E (X) = µ und Var (X) = σ 2. Dr. Karsten Webel 266

4 Beispiel 2.79: Rendite Angenommen, die zeitstetige monatliche Rendite (in %) einer Aktie ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0,5 und Varianz 4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigt der Kurs dieser Aktie dann in einem Monat um mehr als 5%? Dr. Karsten Webel 267

5 Beispiel 2.79: Rendite (Fortsetzung) X = monatliche Rendite in % X N(0,5;4) P(X > 5) = 1 P(X 5) = e 1 2( x 0,5 2 ) 2 2π 4 dx } {{ } schwer zu berechnen Dr. Karsten Webel 268

6 Satz 2.80: Es sei X N(µ,σ 2 ). Dann gilt: X µ σ N(0,1). Dr. Karsten Webel 269

7 Beispiel 2.81: Rendite (Fortsetzung Bsp 2.79) Für die monatliche Rendite der Aktie ergibt sich damit: P(X > 5) = 1 P(X 5) = 1 P X 0,5 2 } {{ } N(0,1) = 1 F N(0,1) (2,25) = 1 Φ(2,25) 5 0,5 2 = 1 0, 9878 = 0,0122 = 1,22%. Dr. Karsten Webel 270

8 Bemerkung 2.82: tabellierte Verteilungsfunktion Φ( ) der N(0,1)-Verteilung 0,00 0,04 0,05 0,06 x 1 0,0 0,5000 0,5160 0,5199 0, ,1 0,9821 0,9838 0,9842 0,9846 2,2 0,9861 0,9875 0,9878 0,9881 2,3 0,9893 0,9904 0,9906 0, x 2 Dr. Karsten Webel 271

9 Satz 2.83: Es seien X 1,X 2,...,X n unabhängige Zufallsvariablen mit X i N(µ i,σi 2 ). Dann gilt: ( n n n X i N µ i, i=1 i=1 i=1 σ 2 i ). Dr. Karsten Webel 272

10 Bemerkung 2.84: Spezialfall von Satz 2.83 Es seien X 1,X 2,...,X n unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit X i N(µ,σ 2 ). Dann gilt: n X i N ( nµ,nσ 2) i=1 bzw. X n N ) (µ, σ2. n Dr. Karsten Webel 273

11 Satz 2.85: zentraler Grenzwertsatz Es seien X 1,X 2,...,X n unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit E (X i ) = µ und Var (X i ) = σ 2. Dann gilt: lim P n n i=1 X i nµ σ n x = Φ (x) bzw. ( n lim P Xn µ n σ ) x = Φ (x). Dr. Karsten Webel 274

12 Beispiel 2.86: Aktienindex DAX Angenommen, die sukzessiven Änderungen des Deutschen Aktienindexes (DAX) seien unabhängige Zufallsvariablen und es gelte: P(DAX steigt) = P(DAX fällt) = 1/2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit steigt dann der DAX an mehr als 120 von insgesamt 200 Börsentagen? Dr. Karsten Webel 275

13 Beispiel 2.86: Aktienindex DAX (Fortsetzung) Definiere X i = 1, DAX steigt am i-ten Börsentag 0, sonst, i = 1,...,200. Dann gilt: ( uiv X 1,X 2,...,X 200 Bin 1, 1 ) 2 X = 200 i=1 X i Bin ( 200, 1 ) 2 Dr. Karsten Webel 276

14 Beispiel 2.86: Aktienindex DAX (Fortsetzung) Gesucht: P(X > 120) = 1 P(X 120) = P(X = k) k=0 = k=0 ( 200 )( 1 k 2) (nicht tabelliert) (schwer zu berechnen) Dr. Karsten Webel 277

15 Satz 2.87: Grenzwertsatz von Laplace und de Moivre Es seien X 1,X 2,...,X n unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit X i Bin(1,p). Dann gilt: lim P n n X i np i=1 x np (1 p) = Φ (x). Dr. Karsten Webel 278

16 Bemerkung 2.88: Der Grenzwertsatz von Laplace und de Moivre ist ein Spezialfall des zentralen Grenzwertsatzes (Satz 2.85) mit µ = p und σ 2 = p (1 p). Die Approximation durch Satz 2.87 ist akzeptabel, wenn die Bedingungen (1) n 30, (2) np 10, (3) n (1 p) 10 erfüllt sind. Dr. Karsten Webel 279

17 Bemerkung 2.89: Approximation der Bin(10; 0, 4)-Verteilung durch die N(4; 2, 4)-Verteilung F(x) x Dr. Karsten Webel 280

18 Beispiel 2.90: Aktienindex DAX (Fortsetzung Bsp. 2.86) Voraussetzungen von Satz 2.87 sind erfüllt: (1) n = , (2) np = , (3) n (1 p) = Also: P(X > 120) = 1 P(X 120) = 1 P X } {{ } N(0,1) Φ(2,83) = 1 0,9977 = 0,0023 = 0,23% Dr. Karsten Webel 281

19 Bemerkung 2.91: Fazit zu ausgesuchten Verteilungen unabhängige Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments als Indiz für Binomialverteilung Normalverteilung als wichtigste stetige Verteilung Berechnung von Wahrscheinlichkeiten für normalverteilte Zufallsvariablen immer über Standardnormalverteilung Approximation beliebiger Verteilungen durch Standardnormalverteilung bei großem Stichprobenumfang möglich Dr. Karsten Webel 282

20 Kapitel 3 Schließende Statistik

21 Kapitel 3 Schließende Statistik Motivation Grundgesamtheit mit unbekannter Verteilung F Stichprobe X 1,...,X n mit Verteilung F Realisation x 1,...,x n der Stichprobe Rückschluss auf F Dr. Karsten Webel 284

22 Motivation (Fortsetzung) Kapitel 3 Schließende Statistik Kapitel 2: Verteilung F einer Zufallsvariablen X ist bekannt sämtliche Parameter von F (Erwartungswert, Varianz, Quantile,... ) lassen sich direkt angeben Kapitel 3: Verteilung F einer Zufallsvariablen X ist unbekannt Stichprobe X 1,X 2,...,X n uiv F Realisationen x 1,x 2,...,x n sollen Rückschlüsse auf unbekannte Parameter von F liefern Dr. Karsten Webel 285

23 Punktschätzung

24 Kapitel 3 Schließende Statistik Beispiel 3.1: Verspätung der S1 (vgl. Bsp. 2.39) An einem bestimmten Tag im Januar 2009 wurden an der S-Bahn-Haltestelle Dortmund Universität folgende Verspätungen der S1 (in Minuten) gemessen: 4, 12, 10, 0, 7, 20, 10, 0, 5, 2. Wie groß ist die durchschnittliche Verspätung der S1 an diesem Tag? Dr. Karsten Webel 287

25 Kapitel 3 Schließende Statistik Definition 3.2: Schätzfunktion & Schätzwert Es seien X 1,X 2,...,X n Stichprobenvariablen aus einer Grundgesamtheit mit unbekannter Verteilung F θ. Dann heißt eine Funktion ˆθ = g (X 1,X 2,...,X n ) Schätzfunktion, kurz: Schätzer, für den unbekannten Parameter θ. Der sich aus den Realisationen der Stichprobenvariablen ergebende Wert g (x 1,x 2,...,x n ) heißt Schätzwert für θ. Dr. Karsten Webel 288