Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch"

Transkript

1 6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt f(x) 0.1 f(y) f(z) 68% x y z Um welche Verteilungen handelt es sich? Geben Sie die Formeln der Dichtefunktionen und die Werte ihrer Parameter an. Handelt es sich um stetige oder diskrete Verteilungen? Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz der einzelnen Verteilungen an. b) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: (i) P(X 8), P(X 4), P(2 X 10) (ii) P(Y 1), P(Y 4), P(1 < Y 2) (iii) P(Z 4), P(Z > 5), P(3 < Z 6) Lösungen: a) (i) Normalverteilung (stetig) f x (x) = 1 σ 2π e (x µ) 2 2σ 2 für < x < 68% der Fläche liegen zwischen µ σ und µ + σ. Bezogen auf die obige Funktion bedeutet das, dass 68% der Fläche zwischen 4 und 8 liegen. Da µ = 6 ist, muss σ dementsprechend 2 sein. EX = µ = 6, Var X = σ 2 = 4

2 6 Stetige Verteilungen 2 (ii) Exponentialverteilung (stetig) { f y (y) = λe λy für y 0 0 sonst mit λ = 5 E Y = 1 λ, VarY = 1 λ 2 (iii) Rechteckverteilung (stetig) 1 für a z b f z (z) = b a 0 sonst mit a = 2 ; b = 7 E Z = a + b (b a)2, Var Z = b) (i) P(X 8) = 1 P(X 8) = 1 Φ = 1 Φ(1) = P(X 4) = Φ = Φ( 1) = P(2 X 10) = Φ Φ = Φ(2) Φ( 2) = (ii) P(Y 1) = P(Y 4) = 1 5 P(1 < Y 2) = 5 (iii) P(Z 4) = P(Z > 5) = P(3 < Z 6) = [ e 5y dy = 5 1 ] 1 ( 5 e 5y = 5 1 ( 0 5 e ) ) e 0 = [ e 5y dy = ] 4 ( 5 e 5y = ( 0 5 e 20 1 ) ) e 0 = 0 5 [ e 5y dy = 5 1 ] 2 ( 5 e 5y = 5 1 ( 1 5 e 10 1 ) ) e 5 = [ ] dz = 5 z = = 2 5 [ ] dz = 5 z = = dz = [ 1 5 z ] 6 3 = = 3 5

3 6 Stetige Verteilungen 3 B: Übungsaufgaben [ 1 ] Die folgenden Aussagen betreffen die Familie der Exponentialverteilungen. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an. a) Die Verteilung einer exponentialverteilten Zufallsvariablen ist erst dann völlig festgelegt, wenn außer dem Parameter λ auch die Varianz bekannt ist. b) Die Exponentialverteilung hat einen Parameter λ und für diesen gilt λ = 1/EX > 0. c) Für alle Dichten aus der Familie der Exponentialverteilungen gilt f (0) = 1. d) Vergrößert man den Parameter λ, so vergrößert sich auch der Erwartungswert. e) Vergrößert man den Wert des Parameter λ, so werden mehr kleine Werte angenommen. [ 2 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. Für eine normalverteilte Zufallsvariable gilt immer: a) Der Erwartungswert ist gleich der Varianz. b) Eine normalverteilte Zufallsvariable mit µ = 0 und σ 2 = 1 nennt man standardnormalverteilt. c) P(X µ) = 0.5. d) Die Dichtefunktion ist symmetrisch zur Geraden x = 0. e) Die Dichtefunktion hat an der Stelle µ ihr Maximum. [ 3 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an. a) Die Exponentialverteilung hat die Dichte λ x x! e λ,x 0. b) Eine exponentialverteilte Zufallsvariable ist stetig. c) Man benutzt exponentialverteilte Zufallsvariablen als Modell für die Wartezeiten zwischen dem Eintreten zweier Ereignisse. d) Der Parameter λ einer Exponentialverteilung kann alle Werte zwischen 1 und +1 annehmen. e) Für die Dichte einer Exponentialverteilung gilt f (x) > 0 für alle x (, ).

4 6 Stetige Verteilungen 4 [ 4 ] Die Dichtefunktion beschreibt eine Normalverteilung N(µ, σ 2 ). Bestimmen Sie die Parameter µ und σ 2. f (x) = 1 2 π e 0.25x2 x 1 µ = σ = [ 5 ] Gegeben sei folgende Normalverteilung: f(x) 68.2% x Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: P(X 3) = P(X 3) = P(X 5) =

5 6 Stetige Verteilungen 5 [ 6 ] 0.2 f(x) b x Die Dichtefunktion einer rechteckverteilten Zufallsvariablen X ist oben gezeichnet. Bestimmen Sie: a) b = f) P(X 15) = b) P(X > b) = g) P(12 X 14) = c) P(X b) = h) P(X > 16) = ( d) E X = i) P X 10 + b ) 2 = e) Var X = j) F(x) = für

6 6 Stetige Verteilungen 6 [ 7 ] Die Zufallsvariable X sei N(0;1) - verteilt. Es gilt P(X a) = Geben Sie den Wert für a an. a = [ 8 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. f(x) A 0 a x Bei der N(0,1) - Verteilung ist A die Wahrscheinlichkeit des Intervalls (0,a). Wenn X eine N(0,1) - verteilte Zufallsvariable ist, dann ist: a) P(X > a) = 1 A b) P( a < X < a) = 2A c) P(X < a) = 0.5 A d) P(X a) = P(X > a) e) P(X < a) = A

7 6 Stetige Verteilungen 7 [ 9 ] Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit EX = µ und Var X = σ 2. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) E (X µ) = 0 b) Var (X µ) = 0 X µ c) Var = 1 σ X µ d) E = 0 σ e) Var X = Var(X µ) [ 10 ] Eine Zufallsvariable X sei N(0;1) - verteilt. Für welches a gilt: P( a X a) = a = [ 11 ] Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern µ = 25 und σ 2 = 16. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: a) P(21 X 57) = c) P(X > 37) = b) P(17 X 33) = d) P(X 21) = [ 12 ] Sei X normalverteilt mit µ = 4 und σ = 2. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) P(2 X 6) = c) P(3 X 5) = b) P(X 3) = d) P(X 6) =

8 6 Stetige Verteilungen 8 [ 13 ] Gegeben sei folgende Normalverteilung: f(x) B A µ σ µ µ + σ x Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. (Nutzen Sie gegebenenfalls die Tabelle.) a) 0.5 A = B b) f (µ σ) = f (µ + σ) c) P(X < µ) = 0.5 d) P(X < µ + σ) = 1 2B e) A = [ 14 ] Die Zeit in Minuten zwischen den Ankünften zweier Fußgänger an einem ampelgesteuerten Zebrastreifen sei exponentialverteilt mit einem Erwartungswert von 1.25 Minuten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verstreichen mehr als 2 Minuten zwischen den Ankünften zweier Fußgänger? P(X > 2) =

9 6 Stetige Verteilungen 9 [ 15 ] Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit µ = 100 und VarX = σ 2. Es gilt P(X 110) = Berechnen Sie die Standardabweichung σ der Zufallsvariablen X. σ = [ 16 ] Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit µ = 10. Außerdem gelte P(5 X 15) = Bestimmen Sie daraus die Standardabweichung der Zufallsvariablen X. σ = [ 17 ] Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern µ = 12 und σ 2 = 16. Für welches a gilt P(µ a X µ + a) = a = [ 18 ] Eine Zufallsvariable Y sei exponentialverteilt mit λ = 2. Bestimmen Sie f (0), den Wert der Dichtefunktion an der Stelle Y = 0, und die folgenden Wahrscheinlichkeiten: ( a) f(0) = d) P Y 1 ) 2 = b) P(Y 0) = e) P(Y > 2) = 1 c) P 2 < Y 2 =

10 6 Stetige Verteilungen 10 [ 19 ] Für eine normalverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 gelte f (x) = f ( x) und P(X 2) = a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P( 1 < X < 0). P( 1 < X < 0) = b) Geben Sie den entsprechenden R Befehl an. R Befehl = [ 20 ] Das Eingehen von Telefonanrufen in einem Call Center aus Beispiel 1.10 wird durch einen Poissonprozess beschrieben. Im Durchschnitt gehen in 1000 Sekunden 7 Anrufe ein. a) Bestimmen Sie den Parameter λ und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zeit, die zwischen zwei Anrufen vergeht, mindestens 6 Minuten beträgt. P(X 6) = b) Geben Sie den entsprechenden R Befehl an. R Befehl =

11 6 Stetige Verteilungen 11 [ 21 ] Betrachten Sie Beispiel 1.7 aus dem Skript. Das Zeitintervall zweier Erdbeben der Stärke 7.0 oder größer sei exponentialverteilt mit einem Erwartungswert von 25 Tagen. Ihnen sei folgende R Ausgabe gegeben. (lam ist der Parameter der Verteilung) Geben Sie das Ergebnis auf 4 Stellen gerundet an. > round(pexp(0:20,rate=lam),digits=4) [1] [8] [15] Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der obigen R Ausgabe. P(X 3) = P(8 X 11) = P(X < 10) = [ 22 ] Die Blockzeiten der American Airlines Flüge von Dallas/ Fort Worth nach Philadelphia aus Bespiel 1.2 seit normalverteilt mit den Parametern µ = 183 Minuten und σ 2 = 196Minuten 2. Geben Sie das Ergebnis auf 4 Stellen gerundet an. > round(pnorm(170:196,183,13),digits=4) [1] [8] [15] [22] Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der obigen R Ausgabe. P(X < 173) = P(X 192) = P(180 X 185) =

12 6 Stetige Verteilungen 12 [ 23 ] Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit X N(µ;σ 2 ). Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Je kleiner man σ 2 wählt, desto flacher wird die Dichtefunktion. b) P(X < µ) = 0.5 c) P(X = 2) = 0 d) Eine Änderung von µ bewirkt eine Verschiebung der Dichtefunktion entlang der x- Achse. e) P(X 2σ < X < X + 2σ) 0.95 [ 24 ] Welche der folgenden Aussagen sind in diesem Zusammenhang WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Eine χ 2 verteilte Zufallsvariable nimmt nur Werte 0 an. b) Die t Verteilung konvergiert mit wachsenden Freiheitsgraden gegen die Normalverteilung. c) Insbesondere für kleine ν ist die Varianz der t Verteilung größer als die Varianz der Standardnormalverteilung. d) Die F Verteilung besitzt zwei Parameter, die mit ν 1 und ν 2 bezeichnet werden. e) Die log Normalverteilung ist gut geeignet, Einkommensverteilungen zu beschreiben. [ 25 ] Eine Maschine produziert laufend Werkstücke mit einem Ausschußanteil von 20%. Es werden zufällig 400 Stücke gezogen. Mit welcher (angenäherten) Wahrscheinlichkeit hat man dabei mehr als 80 Ausschußstücke beobachtet? (HINWEIS: Nähern Sie die hier zu verwendende diskrete Verteilung durch eine stetige Verteilung an deren Approximation sich mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes ergibt.) P(X 800) =

13 6 Stetige Verteilungen 13 [ 26 ] Approximieren Sie die Binomialverteilung b(x, n = 100, π = 0.5) durch eine Normalverteilung und berechnen Sie P(46 X 54) mit Hilfe der Stetigkeitskorrektur. P(46 X 54) = Die exakte Wahrscheinlichkeit lautet: Sie lässt sich sowohl mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion als auch mit der Verteilungsfunktion berechnen. Geben Sie die entsprechenden R Befehle an: R Befehl = R Befehl = [ 27 ] Die Zufallsvariable X sei hypergeometrisch verteilt mit n = 16, N e = 100, N m = 300. Approximieren Sie diese Verteilung zunächst durch eine Binomialverteilung und dann durch eine Normalverteilung. Überprüfen Sie, ob die Regeln, die in der Vorlesung behandelt wurden, erfüllt sind. Geben Sie zunächst die Parameter der approximierten Binomialverteilung an: n = π = Geben Sie nun die Parameter der approximierten Normalverteilung an: µ = σ =

14 6 Stetige Verteilungen 14 C: Klausuraufgaben [ 28 ] II07S Die Zufallsvariable X beschreibe das Gewicht von 500 g -Mehlpackungen und sei normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 500 und der Varianz σ 2 = 9. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten oder geben Sie den R-Befehl zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeiten an. Hinweis: Falls Sie sich zweimal für den R-Befehl entscheiden, verwenden Sie mindestens einmal den R-Befehl für die standardisierte Zufallsvariable! P(X 505) = P(496 X 502) = [ 29 ] IV07S Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern µ = 50 und σ = 10. Bestimmen Sie die folgende Wahrscheinlichkeit oder geben Sie den R-Befehl zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der standardisierten Zufallsvariablen an. P(40 X 60) =

15 6 Stetige Verteilungen 15 [ 30 ] II07S1 Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktion einer in der Vorlesung behandelten bekannten Verteilung. 0.5 Dichtefunktion y x Bestimmen Sie den Parameter der Verteilung aus der Abbildung. Parameter = Berechnen Sie mit dem oben bestimmten Parameter der Verteilung die folgende Wahrscheinlichkeit oder geben Sie den R-Befehl zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit an. Hinweis: Falls Sie nicht in der Lage sind, den Parameter zu bestimmen, dann (und nur dann) verwenden Sie bitte den nicht korrekten Wert 0.3 für den Parameter. P(5 < X < 10) = [ 31 ] IV07S1 Welche Ausgabe ergibt der R-Befehl qnorm(0.5, 100, sd = a)? Hinweis: Die Ausgabe hängt nicht davon ab, welchen Wert für a man eingibt. Ausgabe des R-Befehls:

16 6 Stetige Verteilungen 16 D: Lösungen 1) b, e 2) b, c, e 3) b, c 4) -2 ; 2 5) ; ; ) 20 ; 0 ; 1 ; 15 ; ; 0.5 ; 0.2 ; 0.4 ; 0.5 ; F(x) = 0 x < 10 x für 10 x 20 1 x > 20 7) 1.2 8) b, d, e 9) a, c, d, e 10) ) ; ; 0 ; ) ; ; ; ) a, b, c, e 14) e ( 1.6) 15) ) ) 6 18) 2 ; 1 ; 0.35 ; ; ) ; pnorm(0,0,2)-pnorm(-1,0,2) 20) ) ; ; ) ; ; ) b, c, d, e 24) a, b, c, d, e 25) 0.5

17 6 Stetige Verteilungen 17 26) ; sum(dbinom(46:54,100,0.5)) ; pbinom(54,100,0.5)-pbinom(45,100,0.5) 27) 16 ; 1 4 ; 4 ; 3 28) ; 1-pnorm(( )/3,0,1) ; ; pnorm(502,500,3)-pnorm(496,500,3) 29) ) 0.25 ; ) 50

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.77: Normalverteilung & Standardnormalverteilung Es sei µ R und 0 < σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt

Mehr

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit

Mehr

5. Spezielle stetige Verteilungen

5. Spezielle stetige Verteilungen 5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für

Mehr

A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen:

A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 Diskrete Verteilungen 1 Kapitel 5: Diskrete Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 0.6 x 0.4 5 x (i) P x (x)

Mehr

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern.

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. Aufgabe 1 (2 + 1 + 2 + 2 Punkte) Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. a) Wieviele Möglichkeiten hat

Mehr

Kapitel VII. Einige spezielle stetige Verteilungen

Kapitel VII. Einige spezielle stetige Verteilungen Kapitel VII Einige spezielle stetige Verteilungen D. 7.. (Normalverteilung) Eine stetige Zufallsgröße X sei als normalverteilt bezeichnet, wenn sie folgende Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt: µ f ( ; µ,

Mehr

Biostatistik, Winter 2011/12

Biostatistik, Winter 2011/12 Biostatistik, Winter 2011/12 Wahrscheinlichkeitstheorie:, Kenngrößen Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 7. Vorlesung: 09.12.2011 1/58 Inhalt 1 2 Kenngrößen von Lagemaße 2/58 mit Dichte Normalverteilung

Mehr

70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen

70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen 70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen 70. Motivation Zufallsvariablen sind nicht immer diskret, sie können oft auch jede beliebige reelle Zahl in einem Intervall [c, d] einnehmen. Beispiele für solche

Mehr

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) :=

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := Definition 2.34. Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := x f(x)dx der Erwartungswert von X, sofern dieses Integral existiert. Entsprechend wird die Varianz V(X)

Mehr

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a

Mehr

Modellanpassung und Parameterschätzung. A: Übungsaufgaben

Modellanpassung und Parameterschätzung. A: Übungsaufgaben 7 Modellanpassung und Parameterschätzung 1 Kapitel 7: Modellanpassung und Parameterschätzung A: Übungsaufgaben [ 1 ] Bei n unabhängigen Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments sei π die Wahrscheinlichkeit

Mehr

Kenngrößen von Zufallsvariablen

Kenngrößen von Zufallsvariablen Kenngrößen von Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch die sogenannten Kenngrößen beschrieben werden, sie charakterisieren sozusagen die Verteilung. Der Erwartungswert Der Erwartungswert

Mehr

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie

Mehr

12 Die Normalverteilung

12 Die Normalverteilung 12 Die Normalverteilung Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Praxis, weil aufgrund des sogenannten zentralen Grenzwertsatzes in vielen Situationen angenommen

Mehr

Beziehungen zwischen Verteilungen

Beziehungen zwischen Verteilungen Kapitel 5 Beziehungen zwischen Verteilungen In diesem Kapitel wollen wir Beziehungen zwischen Verteilungen betrachten, die wir z.t. schon bei den einzelnen Verteilungen betrachtet haben. So wissen Sie

Mehr

Einführung in Quantitative Methoden

Einführung in Quantitative Methoden Einführung in Quantitative Methoden Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides 11. Mai 2011 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 1/40 Poisson-Verteilung Diese Verteilung

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 23. Dezember 2011 1 Stetige Zufallsvariable, Normalverteilungen Der zentrale Grenzwertsatz und die 3-Sigma Regel

Mehr

Fit for Abi & Study Stochastik

Fit for Abi & Study Stochastik Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen

Mehr

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels

Mehr

QM III Normalverteilung Aufgabe 10.1 Die Lebensdauer (in Jahren) von KFZ-Batterien des Typs

QM III Normalverteilung Aufgabe 10.1 Die Lebensdauer (in Jahren) von KFZ-Batterien des Typs Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 1, Tel 3914 jutta.arrenberg@th-koeln.de QM III Normalverteilung Aufgabe 10.1 Die Lebensdauer (in Jahren)

Mehr

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion Kapitel 1 Stetige Zufallsvariablen 1.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig

Mehr

Bestimmte Zufallsvariablen sind von Natur aus normalverteilt. - naturwissenschaftliche Variablen: originär z.b. Intelligenz, Körpergröße, Messfehler

Bestimmte Zufallsvariablen sind von Natur aus normalverteilt. - naturwissenschaftliche Variablen: originär z.b. Intelligenz, Körpergröße, Messfehler 6.6 Normalverteilung Die Normalverteilung kann als das wichtigste Verteilungsmodell der Statistik angesehen werden. Sie wird nach ihrem Entdecker auch Gaußsche Glockenkurve genannt. Die herausragende Stellung

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI

Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik Anpassung von Verteilungen Zu Aufgabe ) a) Zeichnen des Histogranmmes: Um das Histogramm zu zeichnen, benötigen wir die Höhe der Balken. Die Höhe

Mehr

Kapitel 9. Verteilungsmodelle. 9.1 Diskrete Verteilungsmodelle Die Gleichverteilung

Kapitel 9. Verteilungsmodelle. 9.1 Diskrete Verteilungsmodelle Die Gleichverteilung Kapitel 9 Verteilungsmodelle Es gibt eine Reihe von Verteilungsmodellen für univariate diskrete und stetige Zufallsvariablen, die sich in der Praxis bewährt haben. Wir wollen uns von diesen einige anschauen.

Mehr

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Zufallsvariable Erinnerung: Merkmal, Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik:

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 1. Dezember 21 1 Integralrechnung Flächeninhalt Stammfunktion Rechenregeln 2 Dichten von Erwartungswert und Varianz

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 24. November 2010 1 Stetige Verteilungen Normalapproximation Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalapproximation

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm.

Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm. Veranstaltung: Statistik für das Lehramt 16.12.2016 Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm Erwartungswert Varianz Standardabweichung Die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen. 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen

Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen. 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen Biometrieübung 5 (Spezielle Verteilungen) - Aufgabe Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen Aufgabe 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen Anzahl weiblicher Mäuse (k) Anzahl Würfe

Mehr

Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9

Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9 Diskrete Zufallsgrößen Zu Aufgabe Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines Servers pro Jahr genüge folgender Verteilung: ai 0 3 4 5 6 >6 pi /0 /0 3/0 /0 /0 /0 /0 0 Ein Ausfall des Servers verursacht

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R. 02-429 (Persike) R. 02-431 (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 2008/2009

Mehr

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009 Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene Steen Elstner, Klaus Wohlrabe, Steen Henzel SS 9 1 Wichtige Verteilungen Die Normalverteilung Eine stetige Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Mehr

Eine Zufallsvariable X sei stetig gleichverteilt im Intervall [0,5]. Die Wahrscheinlichkeit P(2< x <4) ist dann

Eine Zufallsvariable X sei stetig gleichverteilt im Intervall [0,5]. Die Wahrscheinlichkeit P(2< x <4) ist dann 4. Übung Themenkomplex: Zufallsvariablen und ihre Verteilung Aufgabe 1 Für eine stetige Zufallsvariable gilt: a) P (x = t) > 0 b) P (x 1) = F (1) c) P (x = 1) = 0 d) P (x 1) = 1 F(1) e) P (x 1) = 1 F(1)

Mehr

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind:

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind: Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr

DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr 1.4.2 Kontinuierliche Zufallsvariablen als Grenzwerte diskreter Zufallsvariablen Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable. Wir können aus X leicht eine diskrete Zufallsvariable konstruieren, indem wir

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilungen stetiger Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

(8 + 2 Punkte) = = 0.75

(8 + 2 Punkte) = = 0.75 Aufgabe 1 (8 + 2 Punkte) Von 20 Teilnehmern einer Bergwanderung geben 8 Personen an Knieschmerzen zu haben. 6 Teilnehmer leiden an Sonnenbrand. 8 Teilnehmer blieben unversehrt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Stetige Zufalls-Variable Erweitert man den Begriff der diskreten Zufallsvariable

Mehr

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Ü1.1 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren numerischer Wert solange unbekannt ist, bis er beobachtet wird. Der Wert einer Zufallsvariable

Mehr

Übungsaufgaben, Statistik 1

Übungsaufgaben, Statistik 1 Übungsaufgaben, Statistik 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten [ 4 ] 3. Übungswoche Der Spiegel berichtet in Heft 29/2007 von folgender Umfrage vom 3. und 4. Juli 2007:,, Immer wieder werden der Dalai Lama

Mehr

SozialwissenschaftlerInnen II

SozialwissenschaftlerInnen II Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II Henning Best best@wiso.uni-koeln.de Universität zu Köln Forschungsinstitut für Soziologie Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.1 Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Mehr

Standardnormalverteilung

Standardnormalverteilung Standardnormalverteilung 1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben 1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß 1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet alternative

Mehr

Grundlagen der Mathematik II (LVA U)

Grundlagen der Mathematik II (LVA U) Dr. Marcel Dettling 21.05.2010 Dr. Daniel Haase FS 2010 daniel.haase@math.ethz.ch Grundlagen der Mathematik II (LVA 401-0622-00 U 11 Zur Übungsstunde vom 21.05.2010 Aufgabe 31 (Rechnen mit der Normalverteilung

Mehr

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz

13.5 Der zentrale Grenzwertsatz 13.5 Der zentrale Grenzwertsatz Satz 56 (Der Zentrale Grenzwertsatz Es seien X 1,...,X n (n N unabhängige, identisch verteilte zufällige Variablen mit µ := EX i ; σ 2 := VarX i. Wir definieren für alle

Mehr

Statistik III. Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie

Statistik III. Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie Statistik III Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie Inhaltsverzeichnis 1 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 1 1.1 Diskrete Zufallsvariablen........................... 1 1.2 Stetige Zufallsvariablen............................

Mehr

Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen. 0 sonst.

Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen. 0 sonst. Aufgabe 1 (2 + 4 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y : { 2x + 2y für 0.5 x 0.5, 1 y 2 f(x, y) = 3 0 sonst. a) Berechnen

Mehr

825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170 e 500 e 443 e 608 e. Zeichnen Sie das Box-Plot. Sind in dieser Stichprobe Ausreißer vorhanden?

825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170 e 500 e 443 e 608 e. Zeichnen Sie das Box-Plot. Sind in dieser Stichprobe Ausreißer vorhanden? 1. Aufgabe: Eine Bank will die jährliche Sparleistung eines bestimmten Kundenkreises untersuchen. Eine Stichprobe von 12 Kunden ergab folgende Werte: 825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170

Mehr

Exponentialverteilung

Exponentialverteilung Exponentialverteilung Dauer von kontinuierlichen Vorgängen (Wartezeiten; Funktionszeiten technischer Geräte) Grenzübergang von der geometrischen Verteilung Pro Zeiteinheit sei die Eintrittswahrscheinlichkeit

Mehr

Spezielle stetige Verteilungen

Spezielle stetige Verteilungen Spezielle stetige Verteilungen schon bekannt: Die Exponentialverteilung mit Parameter k R, k > 0 hat die Dichte f (x) = ke kx für x 0 und die Verteilungsfunktion F (x) = 1 e kx für x 0. Eigenschaften Für

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen 12.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig

Mehr

Stichproben Parameterschätzung Konfidenzintervalle:

Stichproben Parameterschätzung Konfidenzintervalle: Stichproben Parameterschätzung Konfidenzintervalle: Beispiel Wahlprognose: Die Grundgesamtheit hat einen Prozentsatz p der Partei A wählt. Wenn dieser Prozentsatz bekannt ist, dann kann man z.b. ausrechnen,

Mehr

Definition 2.1 Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

Definition 2.1 Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsfunktion Kapitel 2 Erwartungswert 2.1 Erwartungswert einer Zufallsvariablen Definition 2.1 Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsfunktion È ist definiert als Ü ÜÈ Üµ Für spätere

Mehr

Wirtschaftsstatistik Normalverteilung

Wirtschaftsstatistik Normalverteilung Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 1, Tel 39 14 jutta.arrenberg@fh-koeln.de Wirtschaftsstatistik Normalverteilung Aufgabe 10.1 Die Lebensdauer

Mehr

8. Stetige Zufallsvariablen

8. Stetige Zufallsvariablen 8. Stetige Zufallsvariablen Idee: Eine Zufallsvariable X ist stetig, falls ihr Träger eine überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen R ist. Beispiel: Glücksrad mit stetigem Wertebereich [0, 2π] Von Interesse

Mehr

Ausgewählte spezielle Verteilungen

Ausgewählte spezielle Verteilungen Ausgewählte spezielle Verteilungen In Anwendungen werden oft Zufallsvariablen betrachtet, deren Verteilung einem Standardmodell entspricht. Zu den wichtigsten dieser Modelle gehören: diskrete Verteilungen:

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen

Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel V - Stetige Verteilungen Georg Bol georg.bol@statistik.uni-karlsruhe.de Markus Höchstötter hoechstoetter@statistik.uni-karlsruhe.de Stetige Verteilungen Definition: Sei

Mehr

Zufallsvariablen [random variable]

Zufallsvariablen [random variable] Zufallsvariablen [random variable] Eine Zufallsvariable (Zufallsgröße) X beschreibt (kodiert) die Versuchsausgänge ω Ω mit Hilfe von Zahlen, d.h. X ist eine Funktion X : Ω R ω X(ω) Zufallsvariablen werden

Mehr

STETIGE VERTEILUNGEN

STETIGE VERTEILUNGEN STETIGE VERTEILUNGEN. Die Näherungsformel von Moivre Laplace Betrachtet man die Binomialverteilungen Bnp für wachsendes n bei konstantem p, so werden die Histogramme einer binomialverteilten Zufallsvariablen

Mehr

Heute. Die Binomialverteilung. Poissonverteilung. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

Heute. Die Binomialverteilung. Poissonverteilung. Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Heute Die Binomialverteilung Poissonverteilung Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung Arbeiten mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen Die Binomialverteilung Man werfe eine Münze n

Mehr

2. Übung zur Vorlesung Statistik 2

2. Übung zur Vorlesung Statistik 2 2. Übung zur Vorlesung Statistik 2 Aufgabe 1 Welche der folgenden grafischen Darstellungen und Tabellen zeigen keine (Einzel-)Wahrscheinlichkeitsverteilung? Kreuzen Sie die richtigen Antworten an und begründen

Mehr

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Markus Höchstötter Lehrstuhl

Mehr

Von der Normalverteilung zu z-werten und Konfidenzintervallen

Von der Normalverteilung zu z-werten und Konfidenzintervallen Von der Normalverteilung zu z-werten und Konfidenzintervallen Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Universität Bielefeld 3. Mai 2005 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet

Mehr

Sigma-Umgebung. Vergleichen wir die beiden Binomialverteilungen: n = 30 p = 0,5. n = 20 p = 0,75

Sigma-Umgebung. Vergleichen wir die beiden Binomialverteilungen: n = 30 p = 0,5. n = 20 p = 0,75 Sigma-Umgebung Vergleichen wir die beiden Binomialverteilungen: n = 30 p = 0,5 0,2 (z.b. 30-maliges Werfen einer Münze, X Anzahl von Zahl ) 5 10 15 20 n = 20 p = 0,75 0,2 5 10 15 20 Der Erwartungswert

Mehr

Stetige Verteilungen, Unabhängigkeit & ZGS

Stetige Verteilungen, Unabhängigkeit & ZGS Mathematik II für Biologen Stetige Verteilungen, & ZGS 19. Juni 2015 Stetige Verteilungen, & ZGS Stetige Zufallsvariable Dichte & Verteilungsfunktion Eigenschaften & Kennzahlen Definition Eigenschaften,

Mehr

0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1

0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1 Aufgabe 1 (2 + 2 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x, y) = P (X = x, Y = y) der Zufallsvariablen X und Y : 0.2 x = 1, y = 1 0.3 x = 2, y = 1 f(x, y) = 0.45 x

Mehr

4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen

4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen 4. Verteilungen von Funktionen von Zufallsvariablen Allgemeine Problemstellung: Gegeben sei die gemeinsame Verteilung der ZV en X 1,..., X n (d.h. bekannt seien f X1,...,X n bzw. F X1,...,X n ) Wir betrachten

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Wiederholung: Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler 31. Mai 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Binomialverteilung 1 2 Normalverteilung 2 3 T-Verteilung

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik für Biologen Spezielle Verteilungen Noémie Becker & Dirk Metzler http://evol.bio.lmu.de/_statgen 7. Juni 2013 1 Binomialverteilung 2 Normalverteilung 3 T-Verteilung

Mehr

Wahrscheinlichkeitsfunktion. Binomialverteilung. Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitshistogramme

Wahrscheinlichkeitsfunktion. Binomialverteilung. Binomialverteilung. Wahrscheinlichkeitshistogramme Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsfunktion Konstruktionsprinzip: Ein Zufallsexperiment wird n mal unabhängig durchgeführt. Wir interessieren uns jeweils nur, ob ein bestimmtes Ereignis A eintritt oder

Mehr

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus

Mehr

Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung I

Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung I 10 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Bedingte Verteilungen 10.6 Beispiel: Zweidimensionale Normalverteilung I Wichtige mehrdimensionale stetige Verteilung: mehrdimensionale (multivariate) Normalverteilung

Mehr

Chi-Quadrat-Verteilung

Chi-Quadrat-Verteilung Chi-Quadrat-Verteilung Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/chi-quadrat-verteilung 1 von 7 6/18/2009 6:13 PM Chi-Quadrat-Verteilung aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie Die Chi-Quadrat-Verteilung ist

Mehr

1 Dichte- und Verteilungsfunktion

1 Dichte- und Verteilungsfunktion Tutorium Yannick Schrör Klausurvorbereitungsaufgaben Statistik Lösungen Yannick.Schroer@rub.de 9.2.26 ID /455 Dichte- und Verteilungsfunktion Ein tüchtiger Professor lässt jährlich 2 Bücher drucken. Die

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Dr. Jochen Köhler 1 Inhalt der heutigen Vorlesung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Zusammenfassung der vorherigen Vorlesung Übersicht über Schätzung und

Mehr

Stetige Standardverteilungen

Stetige Standardverteilungen Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Stetige Standardverteilungen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die stetige Gleichverteilung 2. Die Normalverteilung (a) Einstimmung (b) Standardisierung

Mehr

Übungen zur Vorlesung Statistische Methoden Kapitel 1-2

Übungen zur Vorlesung Statistische Methoden Kapitel 1-2 TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND Sommersemester 2011 FAKULTÄT STATISTIK Dr. M. Arnold Dipl.-Stat. R. Walter Übungen zur Vorlesung Statistische Methoden Kapitel 1-2 Aufgabe 1: Gegeben ist eine diskrete Zufallsvariable

Mehr

Inferenzstatistik (=schließende Statistik)

Inferenzstatistik (=schließende Statistik) Inferenzstatistik (=schließende Statistik) Grundproblem der Inferenzstatistik: Wie kann man von einer Stichprobe einen gültigen Schluß auf di Grundgesamtheit ziehen Bzw.: Wie groß sind die Fehler, die

Mehr

Die Varianz (Streuung) Definition

Die Varianz (Streuung) Definition Die (Streuung) Definition Diskrete Stetige Ang., die betrachteten e existieren. var(x) = E(X EX) 2 heißt der Zufallsvariable X. σ = Var(X) heißt Standardabweichung der X. Bez.: var(x), Var(X), varx, σ

Mehr

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Einführung Stetige Verteilungen

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Einführung Stetige Verteilungen Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Einführung Stetige Verteilungen Stetige Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalverteilung Bibliografie: Prof. Dr. Kück Universität Rostock

Mehr

Klausur Statistik Lösungshinweise

Klausur Statistik Lösungshinweise Klausur Statistik Lösungshinweise Prüfungsdatum: 21. Januar 2016 Prüfer: Etschberger, Heiden, Jansen Studiengang: IM und BW Punkte: 15, 15, 12, 14, 16, 18 ; Summe der Punkte: 90 Aufgabe 1 15 Punkte Bei

Mehr

3 Stetige Zufallsvariablen

3 Stetige Zufallsvariablen 3 Stetige Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable heißt stetig, falls zu je zwei Werten a < b auch jeder Zwischenwert im Intervall [a, b] möglich ist Beispiele: X = Alter, X = Körpergröße, X = Temperatur,

Mehr

Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung

Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung Weierstraß-Institut für Angewandte Analysis und Stochastik Von der Binomialverteilung zur Normalverteilung Wolfgang König (WIAS und TU Berlin) Mohrenstraße 39 10117 Berlin Tel. 030 20372 0 www.wias-berlin.de

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment

Mehr

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen. Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung

Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen. Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung Verteilungen eindimensionaler stetiger Zufallsvariablen Stetige Verteilungen Chi-Quadrat-Verteilung Studentverteilung Fisher-Verteilung Typisierung der stetigen theoretischen Verteilungen Bibliografie:

Mehr

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren

13 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren 3 Mehrdimensionale Zufallsvariablen Zufallsvektoren Bisher haben wir uns ausschließlich mit Zufallsexperimenten beschäftigt, bei denen die Beobachtung eines einzigen Merkmals im Vordergrund stand. In diesem

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Übung 7 1 Inhalt der heutigen Übung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorrechnen der Hausübung D.9 Gemeinsames Lösen der Übungsaufgaben D.10: Poissonprozess

Mehr

Probeklausur Statistik II

Probeklausur Statistik II Prof. Dr. Chr. Müller PROBE-KLAUSUR 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Gesamt: 15 8 16 16 7 8 15 15 100 Probeklausur Statistik II Name: Vorname: Fachrichtung: Matrikel-Nummer: Bitte beachten Sie folgendes: 1) Die Klausur

Mehr

Übungsblatt 9 (25. bis 29. Juni)

Übungsblatt 9 (25. bis 29. Juni) Statistik 2 Dr. Andrea Beccarini Dipl.-Vw. Dipl.-Kffr. Heike Bornewasser-Hermes Sommersemester 2012 Übungsblatt 9 (25. bis 29. Juni) Stetiges Verteilungsmodell und Gemeinsame Verteilung Stetiges Verteilungsmodell

Mehr

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen...

I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit Reellwertige Zufallsvariablen... Inhaltsverzeichnis I Grundbegriffe 1 1 Wahrscheinlichkeitsräume......................... 1 2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Unabhängigkeit........... 7 3 Reellwertige Zufallsvariablen........................

Mehr

[ 2 ] Die Zufallsvariablen X und Y haben die in der Tabelle gegebene gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion

[ 2 ] Die Zufallsvariablen X und Y haben die in der Tabelle gegebene gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion Paare von Zufallsvariablen Kapitel : Paare von Zufallsvariablen A: Übungsaufgaben: [ ] Die Zufallsvariable X kann die Werte, 2 und die Zufallsvariable Y die Werte 0,, 2 annehmen. Die gemeinsame Verteilungsfunktion

Mehr

Woche 2: Zufallsvariablen

Woche 2: Zufallsvariablen Woche 2: Zufallsvariablen Patric Müller ETHZ WBL 17/19, 24.04.2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik Patric Müller WBL 2017 Teil III Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit

Mehr

Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen. Woche 4: Gemeinsame Verteilungen. Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen

Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen. Woche 4: Gemeinsame Verteilungen. Zusammenfassung: diskrete und stetige Verteilungen Zusammenfassung: e und e Verteilungen Woche 4: Gemeinsame Verteilungen Wahrscheinlichkeitsverteilung p() Wahrscheinlichkeitsdichte f () WBL 15/17, 11.05.2015 Alain Hauser P(X = k

Mehr

Zufallsvariable: Verteilungen & Kennzahlen

Zufallsvariable: Verteilungen & Kennzahlen Mathematik II für Biologen 12. Juni 2015 Zufallsvariable Kennzahlen: Erwartungswert Kennzahlen: Varianz Kennzahlen: Erwartungstreue Verteilungsfunktion Beispiel: Exponentialverteilung Kennzahlen: Erwartungswert

Mehr

Aufgabe Punkte

Aufgabe Punkte Institut für Mathematik Freie Universität Berlin Carsten Hartmann, Stefanie Winkelmann Musterlösung für die Nachklausur zur Vorlesung Stochastik I im WiSe 20/202 Name: Matr.-Nr.: Studiengang: Mathematik

Mehr