Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Stetige Verteilungen. A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch"

Transkript

1 6 Stetige Verteilungen 1 Kapitel 6: Stetige Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: a) In den folgenden Abbildungen sind die Dichtefunktionen von drei bekannten Verteilungen graphisch dargestellt f(x) 0.1 f(y) f(z) 68% x y z Um welche Verteilungen handelt es sich? Geben Sie die Formeln der Dichtefunktionen und die Werte ihrer Parameter an. Handelt es sich um stetige oder diskrete Verteilungen? Geben Sie den Erwartungswert und die Varianz der einzelnen Verteilungen an. b) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: (i) P(X 8), P(X 4), P(2 X 10) (ii) P(Y 1), P(Y 4), P(1 < Y 2) (iii) P(Z 4), P(Z > 5), P(3 < Z 6) Lösungen: a) (i) Normalverteilung (stetig) f x (x) = 1 σ 2π e (x µ) 2 2σ 2 für < x < 68% der Fläche liegen zwischen µ σ und µ + σ. Bezogen auf die obige Funktion bedeutet das, dass 68% der Fläche zwischen 4 und 8 liegen. Da µ = 6 ist, muss σ dementsprechend 2 sein. EX = µ = 6, Var X = σ 2 = 4

2 6 Stetige Verteilungen 2 (ii) Exponentialverteilung (stetig) { f y (y) = λe λy für y 0 0 sonst mit λ = 5 E Y = 1 λ, VarY = 1 λ 2 (iii) Rechteckverteilung (stetig) 1 für a z b f z (z) = b a 0 sonst mit a = 2 ; b = 7 E Z = a + b (b a)2, Var Z = b) (i) P(X 8) = 1 P(X 8) = 1 Φ = 1 Φ(1) = P(X 4) = Φ = Φ( 1) = P(2 X 10) = Φ Φ = Φ(2) Φ( 2) = (ii) P(Y 1) = P(Y 4) = 1 5 P(1 < Y 2) = 5 (iii) P(Z 4) = P(Z > 5) = P(3 < Z 6) = [ e 5y dy = 5 1 ] 1 ( 5 e 5y = 5 1 ( 0 5 e ) ) e 0 = [ e 5y dy = ] 4 ( 5 e 5y = ( 0 5 e 20 1 ) ) e 0 = 0 5 [ e 5y dy = 5 1 ] 2 ( 5 e 5y = 5 1 ( 1 5 e 10 1 ) ) e 5 = [ ] dz = 5 z = = 2 5 [ ] dz = 5 z = = dz = [ 1 5 z ] 6 3 = = 3 5

3 6 Stetige Verteilungen 3 B: Übungsaufgaben [ 1 ] Die folgenden Aussagen betreffen die Familie der Exponentialverteilungen. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an. a) Die Verteilung einer exponentialverteilten Zufallsvariablen ist erst dann völlig festgelegt, wenn außer dem Parameter λ auch die Varianz bekannt ist. b) Die Exponentialverteilung hat einen Parameter λ und für diesen gilt λ = 1/EX > 0. c) Für alle Dichten aus der Familie der Exponentialverteilungen gilt f (0) = 1. d) Vergrößert man den Parameter λ, so vergrößert sich auch der Erwartungswert. e) Vergrößert man den Wert des Parameter λ, so werden mehr kleine Werte angenommen. [ 2 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. Für eine normalverteilte Zufallsvariable gilt immer: a) Der Erwartungswert ist gleich der Varianz. b) Eine normalverteilte Zufallsvariable mit µ = 0 und σ 2 = 1 nennt man standardnormalverteilt. c) P(X µ) = 0.5. d) Die Dichtefunktion ist symmetrisch zur Geraden x = 0. e) Die Dichtefunktion hat an der Stelle µ ihr Maximum. [ 3 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie diese an. a) Die Exponentialverteilung hat die Dichte λ x x! e λ,x 0. b) Eine exponentialverteilte Zufallsvariable ist stetig. c) Man benutzt exponentialverteilte Zufallsvariablen als Modell für die Wartezeiten zwischen dem Eintreten zweier Ereignisse. d) Der Parameter λ einer Exponentialverteilung kann alle Werte zwischen 1 und +1 annehmen. e) Für die Dichte einer Exponentialverteilung gilt f (x) > 0 für alle x (, ).

4 6 Stetige Verteilungen 4 [ 4 ] Die Dichtefunktion beschreibt eine Normalverteilung N(µ, σ 2 ). Bestimmen Sie die Parameter µ und σ 2. f (x) = 1 2 π e 0.25x2 x 1 µ = σ = [ 5 ] Gegeben sei folgende Normalverteilung: f(x) 68.2% x Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: P(X 3) = P(X 3) = P(X 5) =

5 6 Stetige Verteilungen 5 [ 6 ] 0.2 f(x) b x Die Dichtefunktion einer rechteckverteilten Zufallsvariablen X ist oben gezeichnet. Bestimmen Sie: a) b = f) P(X 15) = b) P(X > b) = g) P(12 X 14) = c) P(X b) = h) P(X > 16) = ( d) E X = i) P X 10 + b ) 2 = e) Var X = j) F(x) = für

6 6 Stetige Verteilungen 6 [ 7 ] Die Zufallsvariable X sei N(0;1) - verteilt. Es gilt P(X a) = Geben Sie den Wert für a an. a = [ 8 ] Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. f(x) A 0 a x Bei der N(0,1) - Verteilung ist A die Wahrscheinlichkeit des Intervalls (0,a). Wenn X eine N(0,1) - verteilte Zufallsvariable ist, dann ist: a) P(X > a) = 1 A b) P( a < X < a) = 2A c) P(X < a) = 0.5 A d) P(X a) = P(X > a) e) P(X < a) = A

7 6 Stetige Verteilungen 7 [ 9 ] Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit EX = µ und Var X = σ 2. Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) E (X µ) = 0 b) Var (X µ) = 0 X µ c) Var = 1 σ X µ d) E = 0 σ e) Var X = Var(X µ) [ 10 ] Eine Zufallsvariable X sei N(0;1) - verteilt. Für welches a gilt: P( a X a) = a = [ 11 ] Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern µ = 25 und σ 2 = 16. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: a) P(21 X 57) = c) P(X > 37) = b) P(17 X 33) = d) P(X 21) = [ 12 ] Sei X normalverteilt mit µ = 4 und σ = 2. Bestimmen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) P(2 X 6) = c) P(3 X 5) = b) P(X 3) = d) P(X 6) =

8 6 Stetige Verteilungen 8 [ 13 ] Gegeben sei folgende Normalverteilung: f(x) B A µ σ µ µ + σ x Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. (Nutzen Sie gegebenenfalls die Tabelle.) a) 0.5 A = B b) f (µ σ) = f (µ + σ) c) P(X < µ) = 0.5 d) P(X < µ + σ) = 1 2B e) A = [ 14 ] Die Zeit in Minuten zwischen den Ankünften zweier Fußgänger an einem ampelgesteuerten Zebrastreifen sei exponentialverteilt mit einem Erwartungswert von 1.25 Minuten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verstreichen mehr als 2 Minuten zwischen den Ankünften zweier Fußgänger? P(X > 2) =

9 6 Stetige Verteilungen 9 [ 15 ] Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit µ = 100 und VarX = σ 2. Es gilt P(X 110) = Berechnen Sie die Standardabweichung σ der Zufallsvariablen X. σ = [ 16 ] Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit µ = 10. Außerdem gelte P(5 X 15) = Bestimmen Sie daraus die Standardabweichung der Zufallsvariablen X. σ = [ 17 ] Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern µ = 12 und σ 2 = 16. Für welches a gilt P(µ a X µ + a) = a = [ 18 ] Eine Zufallsvariable Y sei exponentialverteilt mit λ = 2. Bestimmen Sie f (0), den Wert der Dichtefunktion an der Stelle Y = 0, und die folgenden Wahrscheinlichkeiten: ( a) f(0) = d) P Y 1 ) 2 = b) P(Y 0) = e) P(Y > 2) = 1 c) P 2 < Y 2 =

10 6 Stetige Verteilungen 10 [ 19 ] Für eine normalverteilte Zufallsvariable X mit Erwartungswert µ und Varianz σ 2 gelte f (x) = f ( x) und P(X 2) = a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit P( 1 < X < 0). P( 1 < X < 0) = b) Geben Sie den entsprechenden R Befehl an. R Befehl = [ 20 ] Das Eingehen von Telefonanrufen in einem Call Center aus Beispiel 1.10 wird durch einen Poissonprozess beschrieben. Im Durchschnitt gehen in 1000 Sekunden 7 Anrufe ein. a) Bestimmen Sie den Parameter λ und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Zeit, die zwischen zwei Anrufen vergeht, mindestens 6 Minuten beträgt. P(X 6) = b) Geben Sie den entsprechenden R Befehl an. R Befehl =

11 6 Stetige Verteilungen 11 [ 21 ] Betrachten Sie Beispiel 1.7 aus dem Skript. Das Zeitintervall zweier Erdbeben der Stärke 7.0 oder größer sei exponentialverteilt mit einem Erwartungswert von 25 Tagen. Ihnen sei folgende R Ausgabe gegeben. (lam ist der Parameter der Verteilung) Geben Sie das Ergebnis auf 4 Stellen gerundet an. > round(pexp(0:20,rate=lam),digits=4) [1] [8] [15] Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der obigen R Ausgabe. P(X 3) = P(8 X 11) = P(X < 10) = [ 22 ] Die Blockzeiten der American Airlines Flüge von Dallas/ Fort Worth nach Philadelphia aus Bespiel 1.2 seit normalverteilt mit den Parametern µ = 183 Minuten und σ 2 = 196Minuten 2. Geben Sie das Ergebnis auf 4 Stellen gerundet an. > round(pnorm(170:196,183,13),digits=4) [1] [8] [15] [22] Bestimmen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der obigen R Ausgabe. P(X < 173) = P(X 192) = P(180 X 185) =

12 6 Stetige Verteilungen 12 [ 23 ] Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit X N(µ;σ 2 ). Welche der folgenden Aussagen sind WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Je kleiner man σ 2 wählt, desto flacher wird die Dichtefunktion. b) P(X < µ) = 0.5 c) P(X = 2) = 0 d) Eine Änderung von µ bewirkt eine Verschiebung der Dichtefunktion entlang der x- Achse. e) P(X 2σ < X < X + 2σ) 0.95 [ 24 ] Welche der folgenden Aussagen sind in diesem Zusammenhang WAHR? Kreuzen Sie sie an. a) Eine χ 2 verteilte Zufallsvariable nimmt nur Werte 0 an. b) Die t Verteilung konvergiert mit wachsenden Freiheitsgraden gegen die Normalverteilung. c) Insbesondere für kleine ν ist die Varianz der t Verteilung größer als die Varianz der Standardnormalverteilung. d) Die F Verteilung besitzt zwei Parameter, die mit ν 1 und ν 2 bezeichnet werden. e) Die log Normalverteilung ist gut geeignet, Einkommensverteilungen zu beschreiben. [ 25 ] Eine Maschine produziert laufend Werkstücke mit einem Ausschußanteil von 20%. Es werden zufällig 400 Stücke gezogen. Mit welcher (angenäherten) Wahrscheinlichkeit hat man dabei mehr als 80 Ausschußstücke beobachtet? (HINWEIS: Nähern Sie die hier zu verwendende diskrete Verteilung durch eine stetige Verteilung an deren Approximation sich mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes ergibt.) P(X 800) =

13 6 Stetige Verteilungen 13 [ 26 ] Approximieren Sie die Binomialverteilung b(x, n = 100, π = 0.5) durch eine Normalverteilung und berechnen Sie P(46 X 54) mit Hilfe der Stetigkeitskorrektur. P(46 X 54) = Die exakte Wahrscheinlichkeit lautet: Sie lässt sich sowohl mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion als auch mit der Verteilungsfunktion berechnen. Geben Sie die entsprechenden R Befehle an: R Befehl = R Befehl = [ 27 ] Die Zufallsvariable X sei hypergeometrisch verteilt mit n = 16, N e = 100, N m = 300. Approximieren Sie diese Verteilung zunächst durch eine Binomialverteilung und dann durch eine Normalverteilung. Überprüfen Sie, ob die Regeln, die in der Vorlesung behandelt wurden, erfüllt sind. Geben Sie zunächst die Parameter der approximierten Binomialverteilung an: n = π = Geben Sie nun die Parameter der approximierten Normalverteilung an: µ = σ =

14 6 Stetige Verteilungen 14 C: Klausuraufgaben [ 28 ] II07S Die Zufallsvariable X beschreibe das Gewicht von 500 g -Mehlpackungen und sei normalverteilt mit dem Erwartungswert µ = 500 und der Varianz σ 2 = 9. Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten oder geben Sie den R-Befehl zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeiten an. Hinweis: Falls Sie sich zweimal für den R-Befehl entscheiden, verwenden Sie mindestens einmal den R-Befehl für die standardisierte Zufallsvariable! P(X 505) = P(496 X 502) = [ 29 ] IV07S Die Zufallsvariable X sei normalverteilt mit den Parametern µ = 50 und σ = 10. Bestimmen Sie die folgende Wahrscheinlichkeit oder geben Sie den R-Befehl zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der standardisierten Zufallsvariablen an. P(40 X 60) =

15 6 Stetige Verteilungen 15 [ 30 ] II07S1 Die folgende Abbildung zeigt die Dichtefunktion einer in der Vorlesung behandelten bekannten Verteilung. 0.5 Dichtefunktion y x Bestimmen Sie den Parameter der Verteilung aus der Abbildung. Parameter = Berechnen Sie mit dem oben bestimmten Parameter der Verteilung die folgende Wahrscheinlichkeit oder geben Sie den R-Befehl zur Berechnung dieser Wahrscheinlichkeit an. Hinweis: Falls Sie nicht in der Lage sind, den Parameter zu bestimmen, dann (und nur dann) verwenden Sie bitte den nicht korrekten Wert 0.3 für den Parameter. P(5 < X < 10) = [ 31 ] IV07S1 Welche Ausgabe ergibt der R-Befehl qnorm(0.5, 100, sd = a)? Hinweis: Die Ausgabe hängt nicht davon ab, welchen Wert für a man eingibt. Ausgabe des R-Befehls:

16 6 Stetige Verteilungen 16 D: Lösungen 1) b, e 2) b, c, e 3) b, c 4) -2 ; 2 5) ; ; ) 20 ; 0 ; 1 ; 15 ; ; 0.5 ; 0.2 ; 0.4 ; 0.5 ; F(x) = 0 x < 10 x für 10 x 20 1 x > 20 7) 1.2 8) b, d, e 9) a, c, d, e 10) ) ; ; 0 ; ) ; ; ; ) a, b, c, e 14) e ( 1.6) 15) ) ) 6 18) 2 ; 1 ; 0.35 ; ; ) ; pnorm(0,0,2)-pnorm(-1,0,2) 20) ) ; ; ) ; ; ) b, c, d, e 24) a, b, c, d, e 25) 0.5

17 6 Stetige Verteilungen 17 26) ; sum(dbinom(46:54,100,0.5)) ; pbinom(54,100,0.5)-pbinom(45,100,0.5) 27) 16 ; 1 4 ; 4 ; 3 28) ; 1-pnorm(( )/3,0,1) ; ; pnorm(502,500,3)-pnorm(496,500,3) 29) ) 0.25 ; ) 50

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen

6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen 6. Stochastische Modelle II: Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, insbesondere Normalverteilungen Dr. Antje Kiesel Institut für Angewandte Mathematik WS 2011/2012 Bisher: Diskrete Zufallsvariablen,

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Definition 2.77: Normalverteilung & Standardnormalverteilung Es sei µ R und 0 < σ 2 R. Besitzt eine stetige Zufallsvariable X die Dichte f(x) = 1 2 πσ 2 e 1 2 ( x µ σ ) 2, x R, so heißt X normalverteilt

Mehr

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5

0 für t < für 1 t < für 2 t < für 3 t < für 4 t < 5 1 für t 5 4 Verteilungen und ihre Kennzahlen 1 Kapitel 4: Verteilungen und ihre Kennzahlen A: Beispiele Beispiel 1: Eine diskrete Zufallsvariable X, die nur die Werte 1,, 3, 4, 5 mit positiver Wahrscheinlichkeit

Mehr

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Stetige Zufallsvariable Verteilungsfunktion: Dichtefunktion: Integralrechnung:

Mehr

5. Spezielle stetige Verteilungen

5. Spezielle stetige Verteilungen 5. Spezielle stetige Verteilungen 5.1 Stetige Gleichverteilung Eine Zufallsvariable X folgt einer stetigen Gleichverteilung mit den Parametern a und b, wenn für die Dichtefunktion von X gilt: f x = 1 für

Mehr

Biostatistik, Sommer 2017

Biostatistik, Sommer 2017 1/51 Biostatistik, Sommer 2017 Wahrscheinlichkeitstheorie: Verteilungen, Kenngrößen Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 8. Vorlesung: 09.06.2017 2/51 Inhalt 1 Verteilungen Normalverteilung Normalapproximation

Mehr

A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen:

A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 Diskrete Verteilungen 1 Kapitel 5: Diskrete Verteilungen A: Beispiele Beispiel 1: Zwei Zufallsvariablen X und Y besitzen die beiden folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktionen: 5 0.6 x 0.4 5 x (i) P x (x)

Mehr

Statistik für Ingenieure Vorlesung 5

Statistik für Ingenieure Vorlesung 5 Statistik für Ingenieure Vorlesung 5 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 28. November 2017 3.4 Wichtige stetige Verteilungen 3.4.1 Exponentialverteilung Parameter:

Mehr

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern.

Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. Aufgabe 1 (2 + 1 + 2 + 2 Punkte) Der Trainer einer Fußballmannschaft stellt die Spieler seiner Mannschaft auf. Insgesamt besteht der Kader seiner Mannschaft aus 23 Spielern. a) Wieviele Möglichkeiten hat

Mehr

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) :=

Definition Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := Definition 2.34. Sei X eine stetige Z.V. mit Verteilungsfunktion F und Dichte f. Dann heißt E(X) := x f(x)dx der Erwartungswert von X, sofern dieses Integral existiert. Entsprechend wird die Varianz V(X)

Mehr

Biostatistik, Winter 2011/12

Biostatistik, Winter 2011/12 Biostatistik, Winter 2011/12 Wahrscheinlichkeitstheorie:, Kenngrößen Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 7. Vorlesung: 09.12.2011 1/58 Inhalt 1 2 Kenngrößen von Lagemaße 2/58 mit Dichte Normalverteilung

Mehr

Kapitel VII. Einige spezielle stetige Verteilungen

Kapitel VII. Einige spezielle stetige Verteilungen Kapitel VII Einige spezielle stetige Verteilungen D. 7.. (Normalverteilung) Eine stetige Zufallsgröße X sei als normalverteilt bezeichnet, wenn sie folgende Wahrscheinlichkeitsdichte besitzt: µ f ( ; µ,

Mehr

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik

Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Definitionen und Sätze Prof. Dr. Christoph Karg Studiengang Informatik Hochschule Aalen Sommersemester 2018 2.5.2018 Diskrete Wahrscheinlichkeitsräume Diskreter

Mehr

70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen

70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen 70 Wichtige kontinuierliche Verteilungen 70. Motivation Zufallsvariablen sind nicht immer diskret, sie können oft auch jede beliebige reelle Zahl in einem Intervall [c, d] einnehmen. Beispiele für solche

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Dr. Andreas Wünsche TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 7. Mai 2018 Dr. Andreas Wünsche Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 5 Version: 30. April

Mehr

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung

Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Stetige Verteilungen Rechteckverteilung Die Längenabweichungen X produzierter Werkstücke von der Norm seien gleichmäßig verteilt zwischen a = mm und b = 4mm. Die Dichtefunktion lautet also f(x) = für a

Mehr

Modellanpassung und Parameterschätzung. A: Übungsaufgaben

Modellanpassung und Parameterschätzung. A: Übungsaufgaben 7 Modellanpassung und Parameterschätzung 1 Kapitel 7: Modellanpassung und Parameterschätzung A: Übungsaufgaben [ 1 ] Bei n unabhängigen Wiederholungen eines Bernoulli-Experiments sei π die Wahrscheinlichkeit

Mehr

Beziehungen zwischen Verteilungen

Beziehungen zwischen Verteilungen Kapitel 5 Beziehungen zwischen Verteilungen In diesem Kapitel wollen wir Beziehungen zwischen Verteilungen betrachten, die wir z.t. schon bei den einzelnen Verteilungen betrachtet haben. So wissen Sie

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 23. Dezember 2011 1 Stetige Zufallsvariable, Normalverteilungen Der zentrale Grenzwertsatz und die 3-Sigma Regel

Mehr

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter

Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VI - Lage- und Streuungsparameter Markus Höchstötter Lehrstuhl für Statistik, Ökonometrie

Mehr

Wirtschaftsmathematik

Wirtschaftsmathematik Einführung in einige Teilbereiche der Wintersemester 206 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Unabhängigkeit von Ereignissen A, B unabhängig: Eintreten von A liefert keine Information über P(B). Formal: P(A

Mehr

Kenngrößen von Zufallsvariablen

Kenngrößen von Zufallsvariablen Kenngrößen von Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeitsverteilung kann durch die sogenannten Kenngrößen beschrieben werden, sie charakterisieren sozusagen die Verteilung. Der Erwartungswert Der Erwartungswert

Mehr

Einführung in Quantitative Methoden

Einführung in Quantitative Methoden Einführung in Quantitative Methoden Karin Waldherr & Pantelis Christodoulides 11. Mai 2011 Waldherr / Christodoulides Einführung in Quantitative Methoden- 8.VO 1/40 Poisson-Verteilung Diese Verteilung

Mehr

12 Die Normalverteilung

12 Die Normalverteilung 12 Die Normalverteilung Die Normalverteilung ist eine der wichtigsten Wahrscheinlichkeitsverteilungen in der Praxis, weil aufgrund des sogenannten zentralen Grenzwertsatzes in vielen Situationen angenommen

Mehr

Fit for Abi & Study Stochastik

Fit for Abi & Study Stochastik Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen

Mehr

Stochastik Serie 11. ETH Zürich HS 2018

Stochastik Serie 11. ETH Zürich HS 2018 ETH Zürich HS 208 RW, D-MATL, D-MAVT Prof. Marloes Maathuis Koordinator Dr. Marvin Müller Stochastik Serie. Diese Aufgabe behandelt verschiedene Themenbereiche aus dem gesamten bisherigen Vorlesungsmaterial.

Mehr

QM III Normalverteilung Aufgabe 10.1 Die Lebensdauer (in Jahren) von KFZ-Batterien des Typs

QM III Normalverteilung Aufgabe 10.1 Die Lebensdauer (in Jahren) von KFZ-Batterien des Typs Technische Hochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 1, Tel 3914 jutta.arrenberg@th-koeln.de QM III Normalverteilung Aufgabe 10.1 Die Lebensdauer (in Jahren)

Mehr

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenho Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2 Elementare

Mehr

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig)

ETWR Teil B. Spezielle Wahrscheinlichkeitsverteilungen (stetig) ETWR Teil B 2 Ziele Bisher (eindimensionale, mehrdimensionale) Zufallsvariablen besprochen Lageparameter von Zufallsvariablen besprochen Übertragung des gelernten auf diskrete Verteilungen Ziel des Kapitels

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 24. November 2010 1 Stetige Verteilungen Normalapproximation Gleichverteilung Exponentialverteilung Normalapproximation

Mehr

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion Kapitel 1 Stetige Zufallsvariablen 1.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig

Mehr

Zusammenfassung PVK Statistik

Zusammenfassung PVK Statistik Zusammenfassung PVK Statistik (Diese Zusammenfassung wurde von Carlos Mora erstellt. Die Richtigkeit der Formeln ist ohne Gewähr.) Verteilungen von diskreten Zufallsvariablen Beschreibung Binomialverteilung

Mehr

Bestimmte Zufallsvariablen sind von Natur aus normalverteilt. - naturwissenschaftliche Variablen: originär z.b. Intelligenz, Körpergröße, Messfehler

Bestimmte Zufallsvariablen sind von Natur aus normalverteilt. - naturwissenschaftliche Variablen: originär z.b. Intelligenz, Körpergröße, Messfehler 6.6 Normalverteilung Die Normalverteilung kann als das wichtigste Verteilungsmodell der Statistik angesehen werden. Sie wird nach ihrem Entdecker auch Gaußsche Glockenkurve genannt. Die herausragende Stellung

Mehr

Referenten: Gina Spieler, Beatrice Bressau, Laura Uhlmann Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn

Referenten: Gina Spieler, Beatrice Bressau, Laura Uhlmann Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn 8.5 Eindimensionale stetige Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable X heißt stetig, wenn es eine Funktion f(x) gibt, sodass die Verteilungsfunktion von X folgende Gestalt hat: x F(x) = f(t)dt f(x) heißt

Mehr

Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI

Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik2/Stochastik 2 Master KI/PI Lösungen zu Übungsblatt 9 Höhere Mathematik/Stochastik Anpassung von Verteilungen Zu Aufgabe ) a) Zeichnen des Histogranmmes: Um das Histogramm zu zeichnen, benötigen wir die Höhe der Balken. Die Höhe

Mehr

f(x) = P (X = x) = 0, sonst heißt Poisson-verteilt mit Parameter (oder Rate) λ > 0, kurz X P o(λ). Es gilt x x! 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 212

f(x) = P (X = x) = 0, sonst heißt Poisson-verteilt mit Parameter (oder Rate) λ > 0, kurz X P o(λ). Es gilt x x! 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung 212 1.6.2 Poisson Verteilung Eine weitere wichtige diskrete Verteilung ist die Poisson-Verteilung. Sie modelliert die Anzahl (eher seltener) Ereignisse in einem Zeitintervall (Unfälle, Todesfälle; Sozialkontakte,

Mehr

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft

Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Vorlesung: Statistik II für Wirtschaftswissenschaft Prof. Dr. Helmut Küchenhoff Institut für Statistik, LMU München Sommersemester 2017 Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2

Mehr

Kapitel 9. Verteilungsmodelle. 9.1 Diskrete Verteilungsmodelle Die Gleichverteilung

Kapitel 9. Verteilungsmodelle. 9.1 Diskrete Verteilungsmodelle Die Gleichverteilung Kapitel 9 Verteilungsmodelle Es gibt eine Reihe von Verteilungsmodellen für univariate diskrete und stetige Zufallsvariablen, die sich in der Praxis bewährt haben. Wir wollen uns von diesen einige anschauen.

Mehr

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential

Zufallsvariablen. Diskret. Stetig. Verteilung der Stichprobenkennzahlen. Binomial Hypergeometrisch Poisson. Normal Lognormal Exponential Zufallsvariablen Diskret Binomial Hypergeometrisch Poisson Stetig Normal Lognormal Exponential Verteilung der Stichprobenkennzahlen Zufallsvariable Erinnerung: Merkmal, Merkmalsausprägung Deskriptive Statistik:

Mehr

Statistik. Sommersemester Stefan Etschberger. für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik

Statistik. Sommersemester Stefan Etschberger. für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik Stefan Etschberger für Betriebswirtschaft, Internationales Management, Wirtschaftsinformatik und Informatik Sommersemester 2017 Normalverteilung Eine Zufallsvariable X mit einer Dichtefunktion f(x) =

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 1. Dezember 21 1 Integralrechnung Flächeninhalt Stammfunktion Rechenregeln 2 Dichten von Erwartungswert und Varianz

Mehr

(8 + 2 Punkte) = = 0.75

(8 + 2 Punkte) = = 0.75 Aufgabe 1 (8 + 2 Punkte) Von 20 Teilnehmern einer Bergwanderung geben 8 Personen an Knieschmerzen zu haben. 6 Teilnehmer leiden an Sonnenbrand. 8 Teilnehmer blieben unversehrt. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,

Mehr

Eine Zufallsvariable X sei stetig gleichverteilt im Intervall [0,5]. Die Wahrscheinlichkeit P(2< x <4) ist dann

Eine Zufallsvariable X sei stetig gleichverteilt im Intervall [0,5]. Die Wahrscheinlichkeit P(2< x <4) ist dann 4. Übung Themenkomplex: Zufallsvariablen und ihre Verteilung Aufgabe 1 Für eine stetige Zufallsvariable gilt: a) P (x = t) > 0 b) P (x 1) = F (1) c) P (x = 1) = 0 d) P (x 1) = 1 F(1) e) P (x 1) = 1 F(1)

Mehr

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009

Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene SS 2009 Übung zu Empirische Ökonomie für Fortgeschrittene Steen Elstner, Klaus Wohlrabe, Steen Henzel SS 9 1 Wichtige Verteilungen Die Normalverteilung Eine stetige Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm.

Veranstaltung: Statistik für das Lehramt Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm. Veranstaltung: Statistik für das Lehramt 16.12.2016 Dozent: Martin Tautenhahn Referenten: Belinda Höher, Thomas Holub, Maria Böhm Erwartungswert Varianz Standardabweichung Die Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen. 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen

Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen. 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen Biometrieübung 5 (Spezielle Verteilungen) - Aufgabe Biometrieübung 5 Spezielle Verteilungen Aufgabe 1. Anzahl von weiblichen Mäusen in Würfen von jeweils 4 Mäusen Anzahl weiblicher Mäuse (k) Anzahl Würfe

Mehr

Vorlesung 5a. Zufallsvariable mit Dichten

Vorlesung 5a. Zufallsvariable mit Dichten Vorlesung 5a 1 Vorlesung 5a Zufallsvariable mit Dichten Vorlesung 5a Zufallsvariable mit Dichten Teil 1 Uniforme Verteilung, Exponentialverteilung. Kontinuierlich uniform verteilte Zufallsvariable: 2 Kontinuierlich

Mehr

1. Grundbegri e der Stochastik

1. Grundbegri e der Stochastik . Grundbegri e der Stochastik Raum der Ereignisse. Die einelementigen Teilmengen f!g heißen auch Elementarereignisse. Das Ereignis A tritt ein, wenn ein! A eintritt. A ist ein geeignetes System von Teilmengen

Mehr

Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9

Lösungen zu Übungsaufgaben Blatt 9 Diskrete Zufallsgrößen Zu Aufgabe Die zufällige Anzahl X von Ausfällen eines Servers pro Jahr genüge folgender Verteilung: ai 0 3 4 5 6 >6 pi /0 /0 3/0 /0 /0 /0 /0 0 Ein Ausfall des Servers verursacht

Mehr

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind:

Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Themen dieses Kapitels sind: Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Inhalte Themen dieses Kapitels sind: Das Konzept stetiger Zufallsvariablen Die

Mehr

Die tatsächlichen Breiten und Höhen der Säulen und damit der Flächeninhalt bleiben unverändert:

Die tatsächlichen Breiten und Höhen der Säulen und damit der Flächeninhalt bleiben unverändert: Flächeninhalte als Wahrscheinlichkeiten Eine Zufallsvariable X kann die Werte,, 3, 4, 5 oder 6 annehmen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind rechts in einem Stabdiagramm dargestellt. k 3 4 5 6 P

Mehr

Grundlagen der Mathematik II (LVA U)

Grundlagen der Mathematik II (LVA U) Dr. Marcel Dettling 21.05.2010 Dr. Daniel Haase FS 2010 daniel.haase@math.ethz.ch Grundlagen der Mathematik II (LVA 401-0622-00 U 11 Zur Übungsstunde vom 21.05.2010 Aufgabe 31 (Rechnen mit der Normalverteilung

Mehr

DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr

DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 234/467 Ernst W. Mayr 1.4.2 Kontinuierliche Zufallsvariablen als Grenzwerte diskreter Zufallsvariablen Sei X eine kontinuierliche Zufallsvariable. Wir können aus X leicht eine diskrete Zufallsvariable konstruieren, indem wir

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilungen stetiger Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 4 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 25. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung

Mehr

Statistik 2 für SoziologInnen. Stetige Zufallsvariable Normalverteilung & Exponentialverteilung

Statistik 2 für SoziologInnen. Stetige Zufallsvariable Normalverteilung & Exponentialverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Stetige Zufallsvariable Normalverteilung & Exponentialverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Stetige Zufalls-Variable Erweitert

Mehr

SozialwissenschaftlerInnen II

SozialwissenschaftlerInnen II Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II Henning Best best@wiso.uni-koeln.de Universität zu Köln Forschungsinstitut für Soziologie Statistik für SozialwissenschaftlerInnen II p.1 Wahrscheinlichkeitsfunktionen

Mehr

Exponentialverteilung

Exponentialverteilung Exponentialverteilung Dauer von kontinuierlichen Vorgängen (Wartezeiten; Funktionszeiten technischer Geräte) Grenzübergang von der geometrischen Verteilung Pro Zeiteinheit sei die Eintrittswahrscheinlichkeit

Mehr

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie

Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Übung 1: Wiederholung Wahrscheinlichkeitstheorie Ü1.1 Zufallsvariablen Eine Zufallsvariable ist eine Variable, deren numerischer Wert solange unbekannt ist, bis er beobachtet wird. Der Wert einer Zufallsvariable

Mehr

Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen. 0 sonst.

Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen. 0 sonst. Aufgabe 1 (2 + 4 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende zweidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen X und Y : { 2x + 2y für 0.5 x 0.5, 1 y 2 f(x, y) = 3 0 sonst. a) Berechnen

Mehr

Teil VIII. Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle. Woche 6: Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle. Lernziele. Typische Situation

Teil VIII. Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle. Woche 6: Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle. Lernziele. Typische Situation Woche 6: Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle Patric Müller ETHZ Teil VIII Zentraler Grenzwertsatz und Vertrauensintervalle WBL 17/19, 29.05.2017 Wahrscheinlichkeit

Mehr

Forschungsstatistik I

Forschungsstatistik I Prof. Dr. G. Meinhardt 2. Stock, Nordflügel R. 02-429 (Persike) R. 02-431 (Meinhardt) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung Forschungsstatistik I Dr. Malte Persike persike@uni-mainz.de WS 2008/2009

Mehr

1. Grundbegri e. T n i=1 A i = A 1 \ A 2 \ : : : \ A n alle A i treten ein. na = A das zu A komplementäre Ereignis; tritt ein, wenn A nicht eintritt.

1. Grundbegri e. T n i=1 A i = A 1 \ A 2 \ : : : \ A n alle A i treten ein. na = A das zu A komplementäre Ereignis; tritt ein, wenn A nicht eintritt. . Grundbegri e Menge der Ereignisse. Die Elemente! der Menge heißen Elementarereignisse und sind unzerlegbare Ereignisse. Das Ereignis A tritt ein, wenn ein! A eintritt. ist auch das sichere Ereignis,

Mehr

825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170 e 500 e 443 e 608 e. Zeichnen Sie das Box-Plot. Sind in dieser Stichprobe Ausreißer vorhanden?

825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170 e 500 e 443 e 608 e. Zeichnen Sie das Box-Plot. Sind in dieser Stichprobe Ausreißer vorhanden? 1. Aufgabe: Eine Bank will die jährliche Sparleistung eines bestimmten Kundenkreises untersuchen. Eine Stichprobe von 12 Kunden ergab folgende Werte: 825 e 290 e 542 e 945 e 528 e 486 e 675 e 618 e 170

Mehr

Biostatistik, Sommer 2017

Biostatistik, Sommer 2017 1/52 Biostatistik, Sommer 2017 Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 7. Vorlesung: 02.06.2017 2/52 Inhalt 1 Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel 2 Diskrete Stetige 3/52 Wahrscheinlichkeit Bayes

Mehr

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg. für Betriebswirtschaft und internationales Management

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg. für Betriebswirtschaft und internationales Management für Betriebswirtschaft und internationales Management Sommersemester 2015 Prof. Dr. Stefan Etschberger Hochschule Augsburg Normalverteilung Eine Zufallsvariable X mit einer Dichtefunktion und σ > 0 heißt

Mehr

Vorlesung Gesamtbanksteuerung Mathematische Grundlagen II Dr. Klaus Lukas Carsten Neundorf. Vorlesung 04 Mathematische Grundlagen II,

Vorlesung Gesamtbanksteuerung Mathematische Grundlagen II Dr. Klaus Lukas Carsten Neundorf. Vorlesung 04 Mathematische Grundlagen II, Vorlesung Gesamtbanksteuerung Mathematische Grundlagen II Dr. Klaus Lukas Carsten Neundorf 1 Was sollen Sie heute lernen? 2 Agenda Wiederholung stetige Renditen deskriptive Statistik Verteilungsparameter

Mehr

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung

Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen. Normalverteilung. Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec. Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Statistik 2 für SoziologInnen Normalverteilung Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Statistik 2 für SoziologInnen 1 Normalverteilung Stetige Zufalls-Variable Erweitert man den Begriff der diskreten Zufallsvariable

Mehr

Die tatsächlichen Breiten und Höhen der Säulen und damit der Flächeninhalt bleiben unverändert:

Die tatsächlichen Breiten und Höhen der Säulen und damit der Flächeninhalt bleiben unverändert: Flächeninhalte als Wahrscheinlichkeiten Eine Zufallsvariable X kann die Werte, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen. Die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten sind rechts in einem Stabdiagramm dargestellt. k 2 3 4 5

Mehr

Stichproben Parameterschätzung Konfidenzintervalle:

Stichproben Parameterschätzung Konfidenzintervalle: Stichproben Parameterschätzung Konfidenzintervalle: Beispiel Wahlprognose: Die Grundgesamtheit hat einen Prozentsatz p der Partei A wählt. Wenn dieser Prozentsatz bekannt ist, dann kann man z.b. ausrechnen,

Mehr

1. Grundbegri e der Stochastik

1. Grundbegri e der Stochastik Wiederholung von Grundwissen der Stochastik. Grundbegri e der Stochastik Menge der Ereignisse. Die Elemente! der Menge heißen Elementarereignisse und sind unzerlegbare Ereignisse. Das Ereignis A tritt

Mehr

Normalverteilung. Erwartungswert, Median und Modus sind identisch. Symmetrieeigenschaft um den Erwartungswert

Normalverteilung. Erwartungswert, Median und Modus sind identisch. Symmetrieeigenschaft um den Erwartungswert Normalverteilung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die zahlreiche natur, wirtschafts und sozialwissenschaftliche Merkmalsausprägungen mit guter Näherung abbilden kann und somit von elementarer Bedeutung

Mehr

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungssekretariat Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Sommersemester 2015

Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungssekretariat Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Sommersemester 2015 Wirtschaftswissenschaftliches Prüfungssekretariat Bachelor-Prüfung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Sommersemester 205 Namensschild Dr. Martin Becker Hinweise für die Klausurteilnehmer

Mehr

Spezielle stetige Verteilungen

Spezielle stetige Verteilungen Spezielle stetige Verteilungen schon bekannt: Die Exponentialverteilung mit Parameter k R, k > 0 hat die Dichte f (x) = ke kx für x 0 und die Verteilungsfunktion F (x) = 1 e kx für x 0. Eigenschaften Für

Mehr

Übungsaufgaben, Statistik 1

Übungsaufgaben, Statistik 1 Übungsaufgaben, Statistik 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten [ 4 ] 3. Übungswoche Der Spiegel berichtet in Heft 29/2007 von folgender Umfrage vom 3. und 4. Juli 2007:,, Immer wieder werden der Dalai Lama

Mehr

Marcel Dettling. GdM 2: LinAlg & Statistik FS 2017 Woche 11. Winterthur, 10. Mai Institut für Datenanalyse und Prozessdesign

Marcel Dettling. GdM 2: LinAlg & Statistik FS 2017 Woche 11. Winterthur, 10. Mai Institut für Datenanalyse und Prozessdesign Marcel Dettling Institut für Datenanalyse und Prozessdesign Zürcher Hochschule für Angewandte Wissenschaften marcel.dettling@zhaw.ch http://stat.ethz.ch/~dettling Winterthur, 10. Mai 017 1 Zufallsvariablen:

Mehr

Standardnormalverteilung

Standardnormalverteilung Standardnormalverteilung 1720 erstmals von Abraham de Moivre beschrieben 1809 und 1816 grundlegende Arbeiten von Carl Friedrich Gauß 1870 von Adolphe Quetelet als "ideales" Histogramm verwendet alternative

Mehr

Statistik III. Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie

Statistik III. Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie Statistik III Walter Zucchini Fred Böker Andreas Stadie Inhaltsverzeichnis 1 Zufallsvariablen und ihre Verteilung 1 1.1 Diskrete Zufallsvariablen........................... 1 1.2 Stetige Zufallsvariablen............................

Mehr

DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 240/476 c Ernst W. Mayr

DWT 1.4 Rechnen mit kontinuierlichen Zufallsvariablen 240/476 c Ernst W. Mayr 1.4.4 Laplace-Prinzip in kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsräumen Das folgende Beispiel zeigt, dass im kontinuierlichen Fall die Bedeutung von gleichwahrscheinlich nicht immer ganz klar sein muss. Bertrand

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 21. Dezember 2011 1 Definition Binomialverteilung Geometrische Verteilung Poissonverteilung 2 Standardisierte Verteilung

Mehr

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 11. Vorlesung Jochen Köhler 10.05.011 1 Inhalt der heutigen Vorlesung Zusammenfassung Parameterschätzung Übersicht über Schätzung und Modellbildung Modellevaluation

Mehr

2 Verteilungen. Zoltán Zomotor. Versionsstand: 1. April 2015, 10:29. Die nummerierten Felder bitte während der Vorlesung ausfüllen. Inhaltsverzeichnis

2 Verteilungen. Zoltán Zomotor. Versionsstand: 1. April 2015, 10:29. Die nummerierten Felder bitte während der Vorlesung ausfüllen. Inhaltsverzeichnis 2 Verteilungen Zoltán Zomotor Versionsstand: 1. April 2015, 10:29 Die nummerierten Felder bitte während der Vorlesung ausfüllen. This work is licensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike

Mehr

Stetige Verteilungen, Unabhängigkeit & ZGS

Stetige Verteilungen, Unabhängigkeit & ZGS Mathematik II für Biologen Stetige Verteilungen, & ZGS 26. Juni 2009 Stetige Verteilungen, & ZGS Wiederholung Stetige Zufallsvariable Definition Eigenschaften, Standardisierung Zusammenhang von Poisson-

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen

Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Universität Karlsruhe (TH) Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel VII - Funktion und Transformation von Zufallsvariablen Markus Höchstötter Lehrstuhl

Mehr

Statistik für Ingenieure Vorlesung 3

Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Statistik für Ingenieure Vorlesung 3 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 14. November 2017 3. Zufallsgrößen 3.1 Zufallsgrößen und ihre Verteilung Häufig sind

Mehr

Sigma-Umgebung. Vergleichen wir die beiden Binomialverteilungen: n = 30 p = 0,5. n = 20 p = 0,75

Sigma-Umgebung. Vergleichen wir die beiden Binomialverteilungen: n = 30 p = 0,5. n = 20 p = 0,75 Sigma-Umgebung Vergleichen wir die beiden Binomialverteilungen: n = 30 p = 0,5 0,2 (z.b. 30-maliges Werfen einer Münze, X Anzahl von Zahl ) 5 10 15 20 n = 20 p = 0,75 0,2 5 10 15 20 Der Erwartungswert

Mehr

1 1 e x2 =2 d x 1. e (x2 +y 2 )=2 d x d y : Wir gehen nun zu Polarkoordinaten uber und setzen x := r cos und y := r sin.

1 1 e x2 =2 d x 1. e (x2 +y 2 )=2 d x d y : Wir gehen nun zu Polarkoordinaten uber und setzen x := r cos und y := r sin. Lemma 92 Beweis: Wir berechnen zunachst I 2 : I 2 = Z 1 I := e x2 =2 d x p = 2: 1 Z 1 1 Z 1 Z 1 = 1 1 Z 1 e x2 =2 d x 1 e (x2 +y 2 )=2 d x d y : e y2 =2 d y Wir gehen nun zu Polarkoordinaten uber und setzen

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun http://blog.ruediger-braun.net Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 16. Januar 2015 1 Verteilungsfunktionen Definition Binomialverteilung 2 Stetige Zufallsvariable,

Mehr

Wirtschaftsstatistik Normalverteilung

Wirtschaftsstatistik Normalverteilung Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschafts- und Rechtswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 1, Tel 39 14 jutta.arrenberg@fh-koeln.de Wirtschaftsstatistik Normalverteilung Aufgabe 10.1 Die Lebensdauer

Mehr

Zulassungsprüfung Stochastik,

Zulassungsprüfung Stochastik, Zulassungsprüfung Stochastik, 5.5. Wir gehen stets von einem Maßraum (Ω, A, µ) bzw. einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,A,P) aus. Die Borel σ-algebra auf R n wird mit B n bezeichnet, das Lebesgue Maß auf

Mehr

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion

Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen Dichtefunktion und Verteilungsfunktion. stetig. Verteilungsfunktion Kapitel 12 Stetige Zufallsvariablen 12.1. Dichtefunktion und Verteilungsfunktion stetig Verteilungsfunktion Trägermenge T, also die Menge der möglichen Realisationen, ist durch ein Intervall gegeben Häufig

Mehr

Ausgewählte spezielle Verteilungen

Ausgewählte spezielle Verteilungen Ausgewählte spezielle Verteilungen In Anwendungen werden oft Zufallsvariablen betrachtet, deren Verteilung einem Standardmodell entspricht. Zu den wichtigsten dieser Modelle gehören: diskrete Verteilungen:

Mehr

Binomialverteilung. Häufigkeit, mit der Ereignis A bei n unabhängigen Versuchen eintritt. Träger von X : X = {0, 1, 2,..., n}.

Binomialverteilung. Häufigkeit, mit der Ereignis A bei n unabhängigen Versuchen eintritt. Träger von X : X = {0, 1, 2,..., n}. Binomialverteilung Konstruktionsprinzip: Ein Zufallsexperiment wird n mal unabhängig durchgeführt. Wir interessieren uns jeweils nur, ob ein bestimmtes Ereignis A eintritt oder nicht. X = Häufigkeit, mit

Mehr

0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1

0 sonst. a) Wie lautet die Randwahrscheinlichkeitsfunktion von Y? 0.5 y = 1 Aufgabe 1 (2 + 2 + 2 + 1 Punkte) Gegeben sei folgende gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x, y) = P (X = x, Y = y) der Zufallsvariablen X und Y : 0.2 x = 1, y = 1 0.3 x = 2, y = 1 f(x, y) = 0.45 x

Mehr

Folie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse

Folie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse Folie zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung und Stoch. Prozesse Die Gamma-Verteilung 13.12.212 Diese Verteilung dient häufig zur Modellierung der Lebensdauer von langlebigen Industriegüstern. Die Dichte

Mehr

Definition 2.1 Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsfunktion

Definition 2.1 Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsfunktion Kapitel 2 Erwartungswert 2.1 Erwartungswert einer Zufallsvariablen Definition 2.1 Der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsfunktion È ist definiert als Ü ÜÈ Üµ Für spätere

Mehr