Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

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1 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Gaußsche Normalverteilung [7] S.77 [6] S.7 ORIGIN µ : Mittelwert σ : Streuung :, 9.. Zufallsvariable, Zufallsgröße oder stochastische Variable f norm ( ) e : ( µ ) σ σ Variable MathCad-Synta Mathematische Schreibweise Mathematische Schreibweise Durch den vorgebbaren Mittelwert µ und die vorgebbare Streuung σ ist die Normalverteilung sehr anpassungsfähig. Sie spielt z.b. in der Thermodynamik für die Berechnung der Geschwindigkeit von Gasmolekülen, die vom Druck und von der Temperatur abhängig ist, eine Rolle.. dnorm(, µ, σ) f norm ( ) f norm ( ) dnorm(, µ, σ)... Mathem. Schreibw. Die Tabellen zeigen nur einen Teil der Werte. MathCad-Synta Das Rechenprogramm MathCad bietet in seinem Regelwerk (Synta) in der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung eine Reihe von Befehlswörtern an, die direkt angewandt werden können und das Zusammenstellen der mathematischen Formeln überflüssig machen. Der erste Buchstabe des Befehlswortes in MathCad kennzeichnet die Art der Berechnungsformel für die Berechnung zufälliger Ereignisse. d... bei stetiger oder diskreter Verteilung p... kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung oder q... inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung oder inverse r... Erzeugung von Zufallszahlen mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen [3], [], [] 9.. Stetig.mcd

2 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung Die F norm (ξ ) ist die Integralfunktion der f norm () mit ξ als oberer Grenze. Variable und Parameter ξ :, 9.. variable obere Grenze des Integrationsbereichs Variable Die Wahrscheinlichkeit F norm (a,b) für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses beispielsweise im Intervall zwischen a und b der Zugriffsvariablen a : und b : beträgt F norm ( a, b) F norm ( ) b : f norm ( ) d F norm ( a, b).. a : f norm ( ) d F norm ( ) Das Integral über den gesamten Ereignisraum beträgt. Bei der stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung ist die Wahrschinlichkeit für das Eintreten eines bestimmten Ereignisses gleich Null. Es ist immer nur die Wahrscheinlichkeit in einem Bereich der Zufallsvariablen angebbar. Inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung F norm ( ξ) ξ : f norm ( ) d Mathematische Schreibweise MathCad-Synta pnorm(, µ, σ) Die Tabellen zeigen nur einen Teil der Werte. F norm ( ξ) pnorm(, µ, σ) Die inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt die Zufallsvariable für den vorgegebenen Wert m der Wahrscheinlichkeit an, bis zu der die Ereignisse möglicherweise schon eingetreten sind. Der Wert dieser Zufallsvariable ist auch durch die gegeben. Variable und Parameter m :. qnorm( m, µ, σ) m :.9 qnorm( m, µ, σ) ξ Math. Schreibweise MathCad-Synta 9.. Stetig.mcd

3 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung 3 Mittelwert Standardabweichung µ norm : f norm ( ) d µ norm σ norm : ( µ ) f norm ( ) d σ norm Ableitung der Mit Hilfe der symbolischen läßt sich mit Hilfe von MathCad die Ableitung der angeben. Ableitung der d f norm ( ) d d f norm d ( ).... Ableitung der 6 ep 8 An der Nullstelle der Ableitung, hat die ein Maimum. Die Tabellen zeigen nur einen Teil der Werte. Zufallszahlengenerator auf der Basis der Normalverteilung Anzahl der Zufallszahlen m : Mittelwert µ : Standardabweichung σ : M : rnorm( m, µ, σ) Zufallszahlen (MathCad-Synta) N : sort ( M) sortierte Zufallszahlen (MathCad-Synta) Bei jedem Aufruf des Zufallszahlengenerators wird eine andere Zahlenfolge erzeugt. Zufallszahlen (MathCad-Synta) M 6.69 N Stetig.mcd

4 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung M N Normalverteilte Zufallszahlen Sortierte, normalverteilte Zufallszahlen Gleichmäßige Wahrscheinlichkeitsverteilung und a : b : Grenzen des Intervalls :.. Zufallsvariable Kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung Zufallsvariable MathCad-Synta MathCad-Synta. dunif (, a, b)... punif (, a, b)... dunif(, a, b) punif(, a, b). Mittelwert µ uni : dunif (, a, b) d µ uni Standardabweichung σ uni : ( µ ) dunif (, a, b) d σ uni Stetig.mcd

5 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung Inverse kumulative Wahrscheinlichkeitsverteilung p :. Wahrscheinlichkeit qunif ( p, a, b) Zufallsvariable Zufallszahlengenerator auf der Basis der gleichmäßigen Wahrscheinlichkeitsverteilung Anzahl der Zufallszahlen m : Zufallszahlen MathCad-Synta sortierte Zufallszahlen MathCad-Synta M : runif ( m, a, b) N : sort ( M) M.89 N M Zufallszahlen Bei jedem Aufruf des Zufallszahlengenerators erscheint eine andere Zahlenfolge. Etremwerte ma ( M) min( M).88 N Sortierte Zufallszahlen Weibull-Verteilung [3] S.96 [Differentialgleichungen] s :. :,... f Weib ( ) : dweibull (, s) MathCad-Synta f Weib ( ) s s : e s Math. Schreibweise F Weib ( ) : pweibull (, s) MathCad-Synta 9.. Stetig.mcd

6 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung 6. f Weib ( ) F Weib ( ) f Weib ( ) d f Weib ( ) d. Mittelwert f Weib ( ) d.887 µ Weib : f Weib ( ) d µ Weib.887 Varianz ( ) f Weib µ Weib ( ) d τ Weib : ( µ Weib ) f Weib ( ) d τ Weib. Standardabweichung σ Weib : ( µ Weib ) f Weib ( ) d σ Weib.38 Cauchy-Verteilung [], S.3 [6] S.6 :,.8.. f Cau ( ) : + Mathem. Schreibweise F Cau ( ) : + atan( ) Mathem. Schreibweise. f Cau ( ). F Cau ( ). 9.. Stetig.mcd

7 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung 7 Zufallsvariable f Cau ( ) F Cau ( ) Berechnung mit Hilfe der f Cau ( ) d Berechnung mit Hilfe der F Cau ( ) F Cau ( ) F Cau ( ) F Cau ( ) F Cau ( ) Mittelwert µ : f Cau ( ) d Varianz µ + d Das Integral der Varianz-Funktion von Minus-Unendlich bis Plus-Unendlich ist unendlich groß, und damit ist auch die Varianz unendlich groß. Varianz-Funktion Limes der Varianz-Funktion j( ) : + lim j( ).38. j( ). Varianz-Funktion 9.. Stetig.mcd

8 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung 8 Berechnung der Cauchy-Verteilung mit Hilfe der MathCad-Synta f Cau ( ) : dcauchy (, l, s) l : Horizontale Verschiebung MathCad-Synta s : :,.8.. Skalenparameter s > F cau ( ) : pcauchy (, l, s) Zufallsvariable MathCad-Synta. f Cau ( ). F cau ( ). Varianz k ( ) : ( l) dcauchy (, l, s) Varianz-Funktion. k( ). Varianz-Funktion Am Verlauf der Varianz-Funktion ist schon erkennbar, dass auch in diesem Fall die Varianz unendlich groß ist. In der MathCad-Schreibweise ist die Horizontalverschiebung (Mittelwert) der in der Formel schon angebbar. 9.. Stetig.mcd