Und man braucht sie doch!

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1 Und man braucht sie doch! Nützlichkeit von Mathematik erfahrbar machen Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg Wien, Gliederung Nützlichkeit von Mathematik Wozu braucht man Mathematik? Relevanzparadoxon Ebenen der Nützlichkeit Nützlichkeit im Unterricht erfahrbar machen

2 Wozu braucht man Mathematik? Wozu braucht man Mathematik? Mathematik ist wichtig sagt der Lehrer Kommt diese Botschaft bei den Schülern auch an?

3 Wozu braucht man Mathematik? Ich finde das richtig [dass Mathematik nach Klasse 6 abgeschafft wird], weil man nach der sechsten Klasse alles Wichtige im Leben weiß. (Schüler, Klasse 7) [Mathematik hat] für die gesamte Gesellschaft keine große [Bedeutung], da nur die elementarsten mathematischen Dinge von Nutzen sind. Zum Beispiel um den Zahlungsverkehr mit Geld zu gewährleisten, und dazu bracht man nun keine exponentiellen Gleichungen. (Studentin, 1. Semester) Braucht man Mathematik überhaupt? Mathematik abstrakt logisch sehr exakt formal eindeutig Realität nicht exakt oft unkalkulierbar komplex selten in Formeln erfassbar Unvereinbare Gegensätze?

4 Wozu braucht man Mathematik? Nützlichkeit ist einsichtig für die Inhalte bis Klasse 6 oder 7, danach weniger Mathematik zwischen diffusem wichtig und subjektiv empfundener Nutzlosigkeit Was meint man eigentlich mit nützlich in Bezug auf die Mathematik? Inwiefern ist sie nützlich für einen Menschen? Wann ist sie nützlich für alle Menschen? verschiedene Perspektiven sind nötig! Nützlichkeit von Mathematik Direkter Nutzen für das Individuum: Extreme Position: Nur die Mathematik ist nützlich, die man im Alltag unbedingt benötigt Das ist wenig!

5 Nützlichkeit von Mathematik Indirekter Nutzen: Fundamentale Rolle für viele Wissenschaften Fundamentale Rolle für Errungenschaften des Alltags Geld- und Geschäftsanlegenheiten Graphische Darstellungen Verschlüsselungen Landkarten Wahlsysteme Politische Entscheidungen basieren auf Modellierungen und Statistik Relevanzparadoxon Alltag basiert zunehmend mehr auf Mathematik Mathematik verschwindet zunehmend hinter der Technik Mathematischen Grundlagen sind vielfach zu komplex Bedeutung von Mathematik wird vielen Menschen nicht klar Beispiel: Waage GPS

6 Relevanzparadoxon Herausforderung im Unterricht: Paradoxon nicht unter den Teppich kehren Sonst werden Schüler in ihrem Glauben bestätigt Mathe wird meiner Meinung nach viel zu hoch bewertet! Die große Allgemeinheit profitiert zwar indirekt von Mathe durch Wissenschaft, kaum einer kann aber wirklich etwas damit anfangen (wenn sie/er nicht gerade im Mathebereich tätig ist). (Studentin, 1. Semester, 2003) Nützlichkeit: Individuelle Nützlichkeit; Nützlichkeit für verschiedene Lebensbereiche und Berufsfelder Lebensvorbereitung Weltorientierung (Heymann 1996) Wo ist Mathematik überall nützlich? Ebenen der Nützlichkeit Rechnen im Alltag Leichter kommunizieren Mittel zum kritischen Hinterfragen Einsicht in Lebens- und Berufsfelder

7 Rechnen im Alltag Umgang mit Zahlen und Beherrschen grundlegender Rechenoperationen Grundrechenarten, Zinsrechnen, Bruchrechnen, Prozentrechnen und proportionale Zuordnungen Rechner Rechnungen kontrollieren, überschlagen, schätzen, runden, Größenordnungen einschätzen In welchen Situation genau muss man noch rechnen, überschlagen, etc.? Rechnen im Alltag Urlaub und Währungen Kontostand überschlagen Kredit und Bedeutung des Zinssatzes Sondertilgung

8 Rechnen im Alltag Umrechnen von Rezeptangaben auf Andere Personenanzahlen Andere Größe einer Backform Maschenprobe Farbe zum Streichen der Wohnung Ebenen der Nützlichkeit Rechnen im Alltag Leichter kommunizieren Mittel zum kritischen Hinterfragen Einsicht in Lebens- und Berufsfelder

9 Leichter kommunizieren Lesen von Karten und Fahrplänen

10 Leichter kommunizieren Lesen von Karten und Fahrplänen Tabellen lesen (Mobilfunkbetreiber)

11 Leichter kommunizieren Lesen von Karten und Fahrplänen Tabellen lesen (Mobilfunkbetreiber) Statistischen Angaben in Medien Die Heilungschancen von Leukämie bei Kindern sind gestiegen: Vorher wurde nur jedes 7. Kind geheilt, jetzt 80% Graphiken Leichter kommunizieren

12 Leichter kommunizieren Lesen von Karten und Fahrplänen Tabellen lesen (Mobilfunkbetreiber) Statistischen Angaben in Medien Die Heilungschancen von Leukämie bei Kindern sind gestiegen: Vorher wurde nur jedes 7. Kind geheilt, jetzt 80% Graphiken Formeln können Berechnungsvorschriften kurz darstellen (Bsp. Bremsweg) Leichter kommunizieren Mathematische Begriffe können die Kommunikation präzisieren (Rechteck, parallel, Kegel )

13 Leichter kommunizieren Lesen von Karten und Fahrplänen Tabellen lesen (Mobilfunkbetreiber) Statistischen Angaben in Medien Die Heilungschancen von Leukämie bei Kindern sind gestiegen: Vorher wurde nur jedes 7. Kind geheilt, jetzt 80% Graphiken Formeln können Berechnungsvorschriften kurz darstellen (Bsp. Bremsweg) Mathematische Begriffe können die Kommunikation präzisieren (Rechteck, parallel, Kegel ) Leichter kommunizieren Mathematik nutzen heißt auch, gestützt durch Mathematik zu kommunizieren Mathematikhaltige Botschaften entschlüsseln Allerdings: Mathematische Sprache kann auch unverständlich sein!

14 Nützlichkeit von Mathematik Rechnen im Alltag Leichter kommunizieren Mittel zum kritischen Hinterfragen Einsicht in Lebens- und Berufsfelder Mittel zum kritischen Hinterfragen

15 Mittel zum kritischen Hinterfragen Finanzierungsangebote in der Werbung Beispiel PKW-Kauf Angegebene Genauigkeit (SWR 3, ): Jeder Bundesbürger liest pro Tag 28 Minuten und schaut 126 Minuten TV Beispiel: Eierverbrauch Statistik Zahlen 83 : 1983 hat jeder Bundesbürger durchschnittlich 272 Eier gegessen. Zu genau? Gegenargument: Wenn es nur ein Ei weniger oder mehr gewesen wäre, dann hätte man sich um ca. 60 Millionen verzählt. Das ist nicht möglich! Volkswirtschaftliche Statistiken sind aber viel ungenauer. Die Zahl der Eier, die wir essen, wird nämlich aus nationalen Versorgungsbilanzen berechnet, also nicht durch repräsentative Erhebungen. (BM für Ernährung, Landwirtschaft und Forsten). Um die Anzahl der Eier zu bestimmen, die ein Bundesbürger durchschnittlich im Jahr verzerrt, werden Erzeugung, Lagerbestandsänderungen und Außenhandel saldiert Durch Division des Verbrauchs durch die Bevölkerungszahl ergibt sich der Je-Kopf-Verbrauch. Dieser Verbrauch entspricht allerdings nicht dem menschlichen Verzehr (Marktverluste, Zubereitungs- und Schälverluste, Abschnitte, Verderb usw. sind nicht quantifiziert). (Schornstein 1998)

16 Mittel zum kritischen Hinterfragen Finanzierungsangebote in der Werbung Beispiel PKW-Kauf Angegebene Genauigkeit Jeder Bundesbürger liest pro Tag 28 Minuten und schaut 126 Minuten TV Beispiel Kreditwesen Mittel zum kritischen Hinterfragen PRO Sicherheit Kreditsumme: ab Zinssatz: 5,4 %, 10 Jahre fest, ohne Tilgung. Gleichzeitiges Ansparen eines Bausparvertrages über die Kreditsumme, der Bausparvertrag löst nach 10 Jahren den Kredit ab. Vorteile: Zinssicherheit bis zur vollständigen Tilgung, Tilgung ist nach ca. 20 Jahren fertig Angebot einer Bank aus Süddeutschland, 2001 BauFinanzierung LEICHT GEMACHT Kreditsumme: ab Zinssatz 5,4 %, 10 Jahre fest Tilgung: 1 %, 2 %, nach Wahl Übliche Annuitätenfinanzierung

17 Nützlichkeit von Mathematik Rechnen im Alltag Leichter kommunizieren Mittel zum kritischen Hinterfragen Einsicht in Lebens- und Berufsfelder Einsicht in Lebens- und Berufsfelder Wie entstehen eigentlich Computertomogramme? Strahlenmessung lineares Gleichungssystem Welches Potential können regenerative Energien für eine bestimmte Region in der Zukunft haben? Aidstests: Treffsicherheit: 99%. Was bedeutet es, wenn der Test positiv ausfällt?

18 Aidstest (Boer 1997) Wahrscheinlichkeit für eine Aidsinfektion: 0,1 % Wahrscheinlichkeit für richtige Positiv-Diagnose: 99,8% Wahrscheinlichkeit einer richtigen Negativ- Diagnose: 99 % 99,8% T+ 9, ,1% 99,9% A+ 0,2% 1 % A- 99 % T - T+ 9, T - 98, Aidstest 4 P(A + T+ ) 9,98 10 P(A + T+ ) = = 4 3 P(T+ ) 9, , ,1% d. h. ist das Textergebnis positiv, so ist die Wahrscheinlichkeit für eine tatsächliche Infektion nur 9,1 %. Beispiel: Personen getestet Davon wären dann 100 Personen infiziert Der Test würde fast alle Infizierten erfassen. Von den Nicht-Infizierten werden 1% also ca irrtümlich erfasst. Von 1100 positiven Testergebnissen stimmen nur 100, das sind rund 9 %.

19 Einsicht in Lebens- und Berufsfelder Weltorientierung Besseres Verständnis von Zusammenhängen, Geräten und Prozessen Metaebene: Wie funktioniert das Anwenden von Mathematik, die Modellbildung? Welche Art Aufklärung kommt dadurch zustande? Und im Unterricht? Geeignete Lernanlässe Nicht nur Textaufgaben Sachverhalt ist häufig viel zu künstlich

20 Zähneputzen Nach dem Zähneputzen ist auf einem Backenzahn ein Bakterium übrig geblieben. Diese Bakterienart vermehrt sich so, dass die Anzahl der Bakterien nach eine Stunde verdoppelt wird. Wie viele Bakterien sind nach 1,2,3 oder 4 Stunden vorhanden? Stelle eine Funktionsgleichung auf. Boot fahren Am Ende einer Bootsfahrt auf einem kreisrunden See wird ein Urlauber von einem knurrenden Hund daran gehindert, in sein am Ufer geparktes Auto zu steigen. Durch Anwendung einer mathematischen List ist es ihm dennoch möglich, unversehrt zu seinem Fahrzeug zu kommen. Welche Strategie wendet der Urlauber an?

21 Und im Unterricht? Geeignete Lernanlässe Nicht nur übliche Textaufgaben Sachverhalt ist häufig viel zu künstlich Schüler gewöhnen sich daran und zweifeln Sachverhalte nicht mehr an Problem Eingekleidete Aufgaben können den Lernenden den Eindruck vermitteln, dass Mathematik und die Realität nichts miteinander zu tun haben und sich sogar widersprechen. Aufgabe: Die Klasse 8a bekommt ihre Mathematikarbeit zurück, für die 45 Minuten Bearbeitungszeit zur Verfügung stand. Milena war schon nach 15 Minuten fertig, ihre Arbeit wurde mit 1 beurteilt. Rudi brauchte 30 Minuten und schrieb eine 2. Kannst du sagen, welche Note Tanja erhielt, die ihre Arbeit erst nach 45 Minuten abgab? Begründe deine Antwort!

22 Und im Unterricht? Man sollte Aufgaben aus allen Bereichen der Nützlichkeit von Mathematik Beachtung schenken und sich nicht auf das Rechnen im Alltag beschränken auch fächerübergreifende Themen behandeln sich nicht scheuen, längere Texte einzusetzen offene Problemstellungen im Unterricht behandeln, denn realistische Probleme sind in der Regel offen Aufgaben auswählen, deren mathematischer Inhalt nicht direkt vor der Aufgabe behandelt wurde. Aufgaben mit realistischem Sachkontext auswählen Dem Sachkontext einen angemessenen Stellenwert einräumen. Sorgfältige Analyse des Sachkontextes, der Aufgabe und der damit verfolgten Zielsetzungen. Aufgabenanalyse Sachkontext Authenzität Schülernähe Zielsetzung Offenheit und Komplexität Mathematischer Inhalt

23 Authenzität Eine authentische Situation ist eine außermathematische Situation, die in ein bestimmtes Gebiet eingebettet ist und sich mit Phänomenen und Fragen beschäftigt, die für dieses Gebiet bedeutsam sind und von den entsprechenden Fachleuten auch als solche erkannt werden. Dabei gilt auch der Alltag als Gebiet und hier die Menschen, die in ihm leben, als Fachleute. Eine Situation wird auch als authentisch angesehen, wenn sie im Unterricht nur simuliert wird. Authenzität des Sachkontextes Eingekleidete Textaufgabe: Kontext ist nicht relevant Kontext wurde extremvereinfacht oder ist künstlich Realitätsnahe Aufgabe: Aufgabe hat Bezug zur Realität, wurde aber vereinfacht Realistischer Kontext Fragestellung? Mit einer didaktisch relevanten Fragestellung Mit einer interessanten Fragestellung, die Einblick in ein bestimmtes Gebiet gibt. Mit einer authentischen Fragestellung, die auch von Experten dieses Gebietes als authentisch angesehen wird. Authentische Fragestellungen von allen Ebenen der Nützlichkeit von Mathematik

24 Schülernähe Wann ist ein Sachkontext schülernah? Rechnen im Alltag Kommunizieren im Alltag Kritisches Hinterfragen Aber auch: Einblicke Verständlich für die Schüler Zielsetzung Einfaches Anwenden eines bestimmten mathematischen Inhaltes Heuristische Strategien Mathematik flexibel anwenden? Einblick in den Nutzen von Mathematik bekommen?

25 Offenheit und Komplexität Eindeutige Lösung? Ein Lösungsweg? Alle Angaben vorhanden? Viele Lösungen möglich? Mehrere Lösungswege? Angaben müssen erst ermittelt werden? Modellierungsprozess Reales vereinfachen Realmodell Realität Problem interpretieren, validieren mathematisieren Mathematische Lösung mathematisch arbeiten Mathematisches Modell Mathematik

26 Beispiel 1 Dieses Angebot für Berliner gab es in Freiburg am Ein einzelner Berliner kostete an dem Tag 0,80. Würdest du die Preise für die Sonderangebote bei den Berlinern genauso festlegen? Begründe! Beispiel 2 Bodensee Der Bodensee ist ein großer See in Baden- Württemberg, er gehört zum Teil zu Deutschland, zum Teil zu Österreich und der Schweiz. Er dient auch als Trinkwasserreservoir, und sogar Stuttgart wird noch aus dem Bodensee versorgt. Aufgefüllt wird der Bodensee durch den Zufluss von Flüssen, das Grundwasser und den Regen. Man kann den Bodensee, außer vielleicht in extremen Trockenzeiten, also nicht leer trinken. Dennoch, nur damit wir uns eine Vorstellung von der Größe des Sees machen können: Wie lange bräuchte eine Stadt wie Stuttgart, um mit ihrem normalen Wasserverbrauch den Bodensee zu leeren (wenn er eben nicht nachgefüllt würde)?

27 Vogelgrippe (vgl. Stollorz, Volker: Vogelgrippe: Lokal handeln, global stoppen. In: FAZ, ) Die Vogelgrippe ist eine Viruserkrankung, die von Vogel zu Vogel übertragbar ist und bei V ögeln zum Tode führt. Die Krankheit auch von Vogel zu Mensch übertragbar und für die Menschen meistens tödlich. Besonders gefährlich wird die Situation jedoch, wenn der Vogelgrippevirus so mutiert, d. h. sich so verändert, dass er von Mensch zu Mensch übertragbar ist. Dann besteht die Gefahr einer Pandemie Besonders problematisch ist die rasche Geschwindigkeit, mit der sich eine Pandemie verbreiten kann. Ein Modell zeigt, wie schnell sich die Vogelgrippe in Asien ausbreiten kann: In Thailand hat sich 30 Tage nach dem ersten Fall ein lokaler Krankheitsherd gebildet. Nach 60 Tagen ist der Vormarsch des Erregers selbst durch entschlossene Maßnahmen kaum noch zu stoppen. Eine Chance, die Seuche zu stoppen, hat man also lediglich im ersten Monat. Wie kommen die Forscher zu einem solchen Modell? Stelle ein einfaches Modell für die Ausbreitung der Vogelgrippe in Deutschland auf. Monatskarten Sandra Meinert wohnt in Göttingen- Weende und fährt mit dem Bus von Weende zu ihrer Arbeitsstelle Grone. Die Bürgerkarte kostet im Monat 37,00, im Jahresabonnement 372. Ein Einzelfahrschein kostet 1,70, eine Viererkarte 5,40. Lohnt sich der Kauf einer Bürgerkarte? Unter welchen Umständen lohnt sich der Kauf einer Jahreskarte? Hole Informationen über die Kosten des öffentlichen Personennahverkehrs in deinem Wohnort ein. Welche Fahrkartenvariante ist für dich die günstigste?

28 Schwangerschaft Frau Müller ist im März dieses Jahres wieder schwanger geworden. Es ist ihr viertes Kind. Das Erste wurde am 1.1. geboren, das Zweite am 2.2. und das Dritte am 3.3. In welchem Monat kommt das vierte Kind zur Welt? Aus der Zeitung

29 Im Unterricht Schüler reduzieren Nützlichkeit häufig auf das Rechnen im Alltag Im Unterricht Schüler reduzieren Nützlichkeit häufig auf das Rechnen im Alltag Albert Ich habe nicht verstanden, was das Thema [Porsche] bringt. [ ] aber ich würde es nicht noch mal machen, weil das Thema [Stau] mich nicht interessiert. Elli Außerdem interessieren mich Autos nicht und es ist mir eigentlich egal, wie groß die Oberfläche eines Porsche ist Gunda Das Thema Handy [war] nicht sehr interessant, weil ich kein Handy habe. Ich finde es recht interessant, weil ich mit meiner Mutter das so ähnlich für Leinfelden in dem Verein LE Solar mache. Mich hat nichts gestört. Carsten Die Einheit zum Thema Sonnenenergie hat mir sehr schlecht gefallen, weil es eine Realitätsaufgabe war.

30 Im Unterricht Britta Sehr interessant.außerdem fand ich noch interessant, dass unsere Methoden auch in der Medizin genutzt werden, um auf z.b. Formeln wie diese zu kommen. Interessant war, dass dieser Stau wirklich war und es wird bestimmt interessant, sich die nötigen Informationen zu beschaffen. Doro Ich fand die Einheit Handy sehr gut, weil realitätsverbunden, besser als rechnen, interessant, zwar lang, aber hat mich nicht gestört, gut fürs zukünftige Leben. Eigentlich fand ich sie gut, sie wissen ja, ich liebe Realitätsaufgaben! War auch mal gut zu sehen, dass Sonnenenergie viel besser und billiger ist. Hab es auch meinen Eltern erzählt, aber sie haben abgelehnt, weil es doch einige Nachteile gibt... Im Unterricht Schüler reduzieren Nützlichkeit häufig auf das Rechnen im Alltag Schrittweise zum Denken und Reflektieren in diesen Bereichen anregen Was nützt dir das Bearbeiten des Problems? Ist es realistisch? Welche Einsichten gewinnst du daraus? In welcher Weise ist Mathematik hier nützlich?

31 Im Unterricht Am Anfang nicht zu viel erwarten Mit eventueller Ablehnung ruhig umgehen Langsam anfangen Bei Aufgaben mit unrealistischen Sachkontexten: Intellektuelle Ehrlichkeit Bewusst diskutieren Boot fahren Am Ende einer Bootsfahrt auf einem kreisrunden See wird ein Urlauber von einem knurrenden Hund daran gehindert, in sein am Ufer geparktes Auto zu steigen. Durch Anwendung einer mathematischen List ist es ihm dennoch möglich, unversehrt zu seinem Fahrzeug zu kommen. Welche Strategie wendet der Urlauber an?

32 Boot fahren Am Ende einer Bootsfahrt auf dem Titisee wird ein Urlauber von einem gefährlich aussehenden Kampfhund daran gehindert, in sein am Ufer geparktes Auto zu steigen. Welche Möglichkeiten hat er, an sein Auto zu gelangen? Inwieweit hilft ihm die Strategie, die in der vorherigen Aufgabe entwickelt wurde? Aufgaben woher? Aufgaben aus Büchern verändern

33 Zähneputzen Nach dem Zähneputzen ist auf einem Backenzahn ein Bakterium übrig geblieben. Diese Bakterienart vermehrt sich so, dass die Anzahl der Bakterien nach eine Stunde verdoppelt wird. Wie viele Bakterien sind nach 1,2,3 oder 4 Stunden vorhanden? Stelle eine Funktionsgleichung auf. Zähneputzen Zahnärzte empfehlen, die Zähne mindestens morgens und abends zu putzen, am besten jedoch nach jeder Mahlzeit, da sich mit jeder Speise Bakterien auf den Zähnen absetzen, die sich anschließend vermehren. Welche Konsequenzen hat es, wann man nach einer Mahlzeit 6, 12, 24, 48 Stunden die Zähne nicht putzt? Entwickele ein geeignetes mathematisches Modell, das zeigt, wie schnell sich Bakterien vermehren und somit zu Zahnproblemen führen können.

34 Modellierungsprozess Reales vereinfachen Realmodell Realität Problem interpretieren, mathematisieren validieren Mathematische Lösung mathematisch arbeiten Mathematisches Modell Mathematik Aufgaben woher? Aufgaben aus Büchern verändern Die Welt durch die mathematische Brille sehen Didaktische Literatur

35 Aufgaben woher? Maaß, Katja (2007): Mathematisches Modellieren im Unterricht Aufgaben für die Sekundarstufe I Istron-Bände 0-11: Praxis der Mathematik, Februar 2007 Praxis der Mathematik, August 2005 Mathematik lehren, Heft 111, April 2002 Mathematik lehren, Heft 113, Juni 2002 Weitere Informationen EU-Projekt LEMA: Internationale Fortbildung zu Realitätsbezügen und zum Modellieren (www.lema-project.de), ab Ende 2009 wird die ganze Fortbildung im Netz sein, wichtige Informationen bereits jetzt Projekt Stratum: Realitätsbezogene Aufgaben für die Hauptschule (Homepage ab Mitte 2008, google)

36 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit! Prof. Dr. Katja Maaß, Pädagogische Hochschule Freiburg Wien,

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