Bachelorarbeit: Ein diskretes Modell für Finanzmärkte

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Siegfried Huber
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1 Bachelorarbeit: Ein diskretes Modell für Finanzmärkte Die Finanzmathematik ist momentan eine der wichtigsten Anwendungender. Hier soll ein grundlegendes Modell erörtert werden, das auf der Entwicklung von Wertpapieren zu zwei aufeinander folgenden Zeiten beruht. Wichtige Stichworte hierzu sind etwa die Nutzenfunktion, Effizienz von Handelsstrategien, Arbitrage oder die Vollständigkeit des Marktes. In diesem einfachen Modell lässt sich beispielsweise zeigen, dass es genau dann ein Gleichgewichts-Preismaß gibt, wenn es keine Arbitragemöglichkeiten gibt. M. U. Dothan. Prices in Financial Markets, Oxford University Press, 1990, p. 3 48

Wichtige Stichworte hierzu sind etwa die Nutzenfunktion, Effizienz von Handelsstrategien, Arbitrage oder die Vollständigkeit des Marktes.

2 Bachelorarbeit: Die Preisbildung in Finanzmärkten Betrachtet man, wie Preise in Finanzmärkten zustande kommen, gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder man nimmt an, dass nie risikolos Geld gewonnen werden kann (d.h. es gibt keine Arbitrage) oder man geht von Nutzenfunktionen der Händler aus, die maximiert werden sollen (Capital Asset Pricing Model). In dieser Arbeit sollen diese beiden Ansätze gegenüber gestellt werden. Steven E. Shreve. Stochastic Calculus for Finance I. The Binomial Asset Pricing Model. Springer, 2004, p

eiten. Entweder man nimmt an, dass nie risikolos Geld gewonnen werden kann (d.h.

3 Bachelorarbeit: Varianten des Sekretärinnen-Problems Das Sekretärinnen-Problem ist folgendes: auf die Stelle einer Sekretärin bewerben sich n Kandidaten, die zum Bewerbungsgespräch eingeladen werden. Ziel ist es, den besten Sekretär zu finden. Die Schwierigkeit besteht darin, dass man direkt nach dem Gespräch zu entscheiden hat, ob der Sekretär eingestellt werden soll oder nicht. Dieses Problem ist heute in verschiedenen Erweiterungen bekannt. Insbesondere wird etwa der Fall betrachtet, dass die Menge der Sekretäre nicht total geordnet ist, sondern nur partiell. J. P. Gilbert and F. Mosteller. Recognizing the Maximum of a Sequence. Journal of the American Statistical Association, 61, 35 73, R. Freij and J. Wästlund. Partially ordered secretaries. Electronic Communications in Probability, 15, , 2010.

Dieses Problem ist heute in verschiedenen Erweiterungen bekannt. Insbesondere wird etwa der Fall betrachtet, dass die Menge der Sekretäre nicht total geordnet ist, sondern nur partiell. J. P. Gilbert and F.

4 Bachelorarbeit: Die Konvergenzrate im zentralen Grenzwertsatz Bei Grenzwertsätzen kann man neben der eigentlichen Konvergenzaussage ebenfalls die Frage nach der Konvergenzgeschwindigkeit stellen. Für den zentralen Grenzwertsatz wurde das von Berry und Esseen gemacht: sind X 1,X 2,... unabhängig und identisch verteilt mit E[X 1 ] = 0,E[X 2 1 ] =: σ 2,E[ X 1 ] 3 =: ρ <, so gibt eine Konstante C, so dass [ 1 ] P σ 2 n (X X n ) y Φ(y) C ρ σ 3 n, wobei Φ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ist. Man weiß, dass C 3 sein muss. Weiterentwicklungen dieser Schranke betreffen unter anderem, die Konstante C noch von n abhängig zu machen. W. Feller. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Wiley, 1965, XVI.5 Chen, P.-N. Asymptotic Refinement of the Berry-Esseen Constant. 2002

.. unabhängig und identisch verteilt mit E[X 1 ] = 0,E[X 2 1 ] =: σ 2,E[ X 1 ] 3 =: ρ <, so gibt eine Konstante C, so dass [ 1 ] P σ 2 n (X 1 + + X n ) y Φ(y) C ρ σ 3 n, wobei Φ die

5 Bachelorarbeit: Perkolation Gegeben sei das Gitter Z 2. Jede Kante ist unabhängig von jeder anderen mit Wahrscheinlichkeit p aktiv und mit 1 p inaktiv. Die mit aktiven Kanten verbundenen Gitterpunkte bilden Zusammenhangskomponenten, die Cluster genannt werden. Nun kann man einfache Fragen stellen, etwa: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein unendlich großes Cluster gibt? Natürlich hängt die Antwort auf diese Frage von p ab und es zeigt sich, dass es ein p c (0,1) gibt, so dass die Antwort nein ist für p < p c und ja für p > p c. A. Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, p , G. Grimmett. Percolation, Springer, 1999

Nun kann man einfache Fragen stellen, etwa: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es ein unendlich großes Cluster gibt?

6 Bachelorarbeit: Das Gesetz des iterierten Logarithmus Folgende Aussage erweitert den zentralen Grenzwertsatz für unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen X 1,X 2,... mit E[X 1 ] = 0,E[X 2 1 ] = 1: lim sup n X X n 1. 2nloglogn Diese Aussage ist als Gesetz des iterierten Logarithmus bekannt. Auch in neuerer Zeit wird dieses Gesetz noch weiter entwickelt, etwa für negativ assoziierte Zufallsvariablen. Guang-Hui Cai and Hang Wu. Law of iterated logarithm for NA sequences with non-identical distributions. Proc. Indian Acad. Sci. (Math. Sci.) Vol. 117, No. 2, pp , 2007 V. Petrov. Limit theorems of probability theory sequences of independent random variables. Oxford Science Publications, 1995

Auch in neuerer Zeit wird dieses Gesetz noch weiter entwickelt, etwa für negativ assoziierte Zufallsvariablen. Guang-Hui Cai and Hang Wu.

7 Bachelorarbeit: Der small-world -Effekt in zufälligen Graphen Bei einem Experiment von Stanley Milgram in den 60er Jahren sollten Pakete zwischen zwei Personen (i) und (ii) verschickt werden, die sich nicht kannten. Die Ausgangsperson konnte jeweils eine Person ihres Bekanntenkreises (iii) wählen, von der sie dachte, dass (iii) möglicherweise (ii), oder zumindest einen Bekannten von (ii), kennt. Dabei kam heraus, dass fast alle Pakete mit höchstens 6 Stationen beim Empfänger ankamen (falls sie überhaupt ankamen). Dieser Effekte wird heute small-world-effekt genannt, und etwa durch zufällige Graphen modelliert. Diese können einige der beobachteten Phänomene erklären. Jon Kleinberg. The Small-World Phenomenon: An Algorithmic Perspective. In STOC 00: Proceedings of the thirty-second annual ACM symposium on Theory of computing, pages , New York, NY, USA, ACM. Duncan J. Watts and Steven H. Strogatz. Collective dynamics of smallworld networks. Nature, 393, , 1998

Die Ausgangsperson konnte jeweils eine Person ihres Bekanntenkreises (iii) wählen, von der sie dachte, dass (iii) möglicherweise (ii), oder zumindest einen Bekannten von (ii), kennt.

8 Bachelorarbeit: Kingman s Malkästen und austauschbare Partitionen Eine Partition von N ist ein Mengensystem π von disjunkten Teilmengen (Partitionselementen) von N, so dass A π A = N. Eine zufällige Partition Π heißt austauschbar, wenn sich die Verteilung unter Vertauschung der Zahlen nicht ändert. Kingmam hat gezeigt, dass sich solche austauschbaren Partitionen einfach durch einen Malkasten (paintbox) darstellen lassen: Man stelle sich hierzu einen Kasten verschiedener Farben vor, und jede natürliche Zahl wird unabhängig mit einer Farbe angemalt. Zahlen derselben Farbe stellen dann die Partitionselemente dar. N. Berestycki. Recent progress in coalescent theory. Ensaios Matematicos, Volume 16, 1 13, 2009 A. Klenke. Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, p , 2006.

Kingmam hat gezeigt, dass sich solche austauschbaren Partitionen einfach durch einen Malkasten (paintbox) darstellen lassen: Man stelle sich hierzu einen Kasten verschiedener Farben vor, und

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